BO GIAO DUC - DAO TAO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHAM TP.HCM KHOA TỐN
s>Í.Ì~+2
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP MỘT CÁCH XÂY DỰNG KHÁI
NIEM VA CAC TiNH CHAT CUA
HAM G TRUGNG PHO THONG
TRUNG HOC
Chuyén neanh: TOAN GIAI TICH
Trang 3Lei Udi Ddu
EE EE 0 P AP PAP AP Of BRAD EAP PAD ABAD A i AD Mp psp pepe A
LOFHDIBAU
Sh niim duh «a, ham đố, đâm đực nở yea han dany rir pwdngday a
phe thing trang hoc ti nhieng khét niem geist lich vet bein, vit cin théél cho hoc wh fhe ete ede trating dat hoe, cae ding thube cde khét tink (8 hi thudt wd nhdl le cho 5Ã
win khoa lodn ode đường «ve pham Tuy nhibn, 0 trating phi thing, nhibu hoc sinh
gp khé Khan khe tidy ther cde Bhd nit mdi sà kbd tira đương nay So tinh ue
fham me phd» fin cúc đường diều day nhitny khdé niim dé thing thal ddy dd va
chink wde, gdy trd ngat che wie hor lodn caw vip, Trong khéa lain nay, ching le
mudn tink bey eich này dưng cc Khe nedm (rén obi mie dé ling qudl hon, whing
win of ging dém bio tink ur pham Theo ching lit cĩ thé dang khia ludn dé gidng
day che hoc sinh cde lip chuyin, dac Ácệt la dink hering cho cdc em lide luc nghtin ode win mổ (of @ bite dat hoc
Khba latin gim nam phan
Phin 1 nây dựng các khdt nibm vi twong dng, bac gim,: dink nghia (ương ding, dé thé cla tang dng, luring ting ngepe vc hep thank eda hai tang ding Fay đà
các Áuiếm thite chutin by dé xiy dung mit khdé nibm quan trong, db la him — dnh x Vhin 2 néu dink nghia ham — anh xa, don duh, loin dnh, song Anh, dnh re ngupe cia mil song dunk wi hodn wt cia mol lip hope
O phan 3, sau bhé why dang khdé nibm him — dank xa ling gudl, ching lbé
atl tnitttng hap ridng cia ni li him số va dh xa bi rbé ub dang ching dé dink nghia
fhuvng brink wa bit phiring tinh
Khde wd cdch trink bay ÁÁd¿ xâm Áàm lễ đền đục trong cde shch yido khoa
hién nay, trong phd» 4, ching lis dd manh dan ub dung dink nghia ut lan luc oda
him trong Khong yan ling gudl lépe, aa dé més han ché vio khing gian dink chadn
RR Han li, hoc vu phi thing 6 thi hidu deve dink nghia ndy nhit rede hink we
bitin didn ON hata giip cde om niim vf dink nghia, ching đổi di dp dung nd ude wise
Kheo wil ue lian tue dia mil é hem eat bein
Vhdn 5 brink bay bhdr niém gibt han cda ham sé theo tink than tang te
Mâm 4
Trang 4Lai Hi Dau
PE PD SDP AP PP OP PAP AD PAP AP AD AP APD RD Pa,
Khe chon dé tie cho Khia lain, chiing tit nghi, néu hor unk deve trang be
nhitng kiéin thie ny thi ode om sé gap abiéu thudu ba hen đường obec hor lodn env ct
Tuy nhiin, diy chi li nhitng ý điển cÍd quan, cin hebu gud thee ur sị mái: d đi
dung can fect cá thin gian thir nghiim méi dink ged chink mắc deve YẾ Áing đồi rZ
mony nhin dave whiny 9 hiin ding gbp cia Duy Thay Co
Trong gud trink hein think khod twin, ching tee da due CT, Ls The Thin Hoang tin link hing dan, Fs Ngayin Auk Fatin doc ben thio vit che
whiny nhiin vbl guy hha Ain gobi déin hee litin 2È long beet on stu ade oda be
Chin think vim on Luy Thhy C6 thube Khoa Todn, dae bret li Te
Gide Fick, da lin fink ging day ching id sit bin nam hee
Hin cdm on cde ban hoe khéa 96 dé ding win va gidp dé tii trong gud trinh
hoe hip
Tp Hb Chi Mink thing § nam £000 L6 Thde Beto Thiin Trung
Wate oe oe ke b> de be he tw br he be br “or “har “hr “har “hr hr “ie he cứ cứm cứ cán cán sứ cử cứ cứ cử cửu cán cứ ¬ứn cán ¬ảc ¬ản
Trang 5#/ TƯƠNG ỨNG $1 TƯƠNG ỨNG IL Tương ứng 1.1.1 Định nghĩa Cho hai tập hợp A và B
Một tương ứng T giữa tập hợp A và tập hợp B là một quy tắc cho mỗi phần tử x thuộc A ứng với một tập hợp con T(x) của B Ký hiou: Goi P(B): tập hợp tất cả các tập con của B T: xe À — T(x) e P(Bì Hay: x > TIX) H.1 Biểu đồ một tương ứng T
Phần tử x là đối (hay là biến) và T(x) là ảnh của x qua tương ứng T A là tập hợp nguồn B là tập hựp đích (Xem H.I)
Tập hợp A” = [x/ x e A và T(x) # Ø| là tập xác định Ta cĩ: A c A Tập hợp B’ = [y/y € T(x) vax € A ] là tập giá trị Ta cĩ: Bˆ c B
Trang 6#/ TƯƠNG UNG
H.3 Biểu đồ của tướng ứn+# T
LI Đồ thi của mơt tương ứng 1.2.1 Định nghĩa Ta gọi đồ thị của một tương ứng là tập hợp G các cặp (x:y) sao cho x e A” va ye T(x) Ta co: G=(|(x:y)/x£A;y eT(©)] Di nhién: GCA xB CAxB 1.2.2 Vi du Đỏ thị của tương tng T trong vi du 1.1.2 G ={tu: 23); (b; 3): (b; 3): (c: 3}; (c; 3)
Il Biểu đồ của đồ thị mơt tương ứng
Trang 7ý TƯƠNG ỨNG
>*
Ta ký hiệu TỊX) là một tập con của B được cấu thành bởi những ảnh T(x)
với mọi phản tử x thuộc X Tu cĩ: TCX) = {TU()/x € X) =(yf(xeX;yeB.(\x:y) ecG| =ly/yeT(x)vaxe A MX} Ta noi ring T(X) la ảnh của tập con X qua tương ứng T 1.4.2 Vi du Tâp giá trị B` là ảnh của tập xác định ÀA_ qua tướng ing T: TIA) = Bo V Tương ứng ngược I.5.1 Định nghĩa
Mỗi phần tử y của tập hợp B ta cho ứng với tập hợp các tọa độ thứ nhất
của các cặp theo y trong đồ thị G (ta ký hiệu là C(y)1) Như vậy ta cũng xác
định được một tương ứng giữa tập hợp B và tập hợp A: Tương ứng này gọi
là tương ứng ngược của tương ứng T
Ký hiệu: T
Và oT: ,e Bo Ty) =he Cty)
thc,CtLy}: tập hợp các tọa độ thứ nhất của các cặp theo y trong đồ thị G)
Chú ý: Những y nào của B khơng cĩ trong các cặp của Ư thì tương ứng ngược T {typ =2
Tap hyp nguồn là B: Tập hợp dích là A
Trang 8$1 TUONG UNG 3-+T'!(3)= |b: c] Chủ ý: 1 >T'!(I)ze© Và tạ cũng suy ra đỏ thị: G ` #=((23:á1; (2: b);(3: bì; (3: c1;13: c) |} (Xem H5) d * - - - c6 - a a b - - eo W J « # - | 3 3 H.5
VI Hợp thành của hai tương ứng
Cho một tương ứng † giữa hai tập hợp À và B và một tương ứng g giữa hai tập
hợp B và C
Ta cĩ:
l:x£eẦ ¬f(xI=B
#: Í(X) c Baltix} cc
Trang 9yr TUONG UNG sx lá định nghĩa tưng ứng | | i oharab h => f(h) = {hic} v => Í(c! = [a: bị (Xem H.?ú) H.7u x H.”h
3" Đĩ thị G của T là tập con của AxA = Àˆ(Xem H.Thị
3" Khi T(x) = x tá nĩi rằng x là bắt biển Xét những cấp (x:x) nằm trên đường
chéo D cúa A` Những phan uf bat bien 1a he, (2 DI,
Oe da ám đh chĩ dế» se -Eeiìn Số cĩ cĩ ME dể dá Đ sa sẽ de dể ve do d đe do «áo “á đơím để
Trang 112 HÀM +4 se va * Ff ‘ ` 2.1.4 Ví dụ 2 bự - - 8 Cho tập hợp À = [|u: b: c} va B= (1; 2: 3.4) Ta định nghĩa ( zie & $% f: a— f(a) =2 b ` f(b) = | 3.6 B - - cf(c)=4 f là một ánh xạ vì A” = A (Xem H.IL.) +e - & - IIL Ð : š H | |.Anh Xa I a b Œ 2.2.1 Định nghĩa
Ham f là một đơn ánh từ A vào B nếu hai phần tử khác nhau của A cĩ hai
Trang 13\2 « 1
a>
V Song anh,
2.4.1 Dinh nghia
Nếu hàm f vừa là đơn ánh, vừa là tồn ánh, thì f duge goi 1A song
anh Xem H.16a va H.16b) B =B B =B | G G A A face H.léa H léh 2.4.2 Ví dụ Cho tập hựp A = {a; b: c} và tập hup B = { 1; 2: 3) Ta định nghĩa một ánh xạ F: a —= f(a) =| b—l(bì =3 c—l(c)=2 ( là một song ánh từ À vào B (Xem H.17ì je 6 > + le + + oa la ta ° ˆ B G Vv f ° & & a b € H.1? —————` H18
V Tương ứng ngược của một hàm
1” Cho một hàm f và đồ thị G của nĩ ( Xem H.L§) C(y) (tập hợp các cấp theo
y trong G), trong trường hợp tổng quát, cĩ thể chứa nhiều hơn một phần tử là
Trang 14$2 HÀM
Tưởng ứng ngược f'”, mỗi xổ y 20 cho ứng với hài xổ đổi +vV và =vy: AI
vậy Fˆ khơng phải là một hàm Vị dụ 3:Xét ảnh xạ Fớ ví dụ 3.3 3, đỏ thị của G= [(a: 3): (bị 3): (c: 3): tả; lì] Tương ứng ngược Fˆ của F là: Om: toribed 3 —>f !(2) = fare) 3F) =b
"ids Khơng phái là một hàm
2" Nếu hàm F là một đơn ánh thì C(y) chỉ chứa mơt phần tử (x.y1 duy nhất Do đĩ, y là ảnh bởi F của một phần tứ duy nhất x; FÌty) = x
Vậy, nếu hàm fli dun dah, thì tưởng ứng ngược F là một hàm
VỊ Ánh xạ ngược của một song ánh
Cho mot song anh † từ À đến B Vì £là đơn ánh, F` : B —> A là một hàm Vì ÀA =A,F” là tồn ánh Mặt khác, Nếu y # v`, tạ cĩ F'(y}# f'(y`! vì £ là đơn ảnh: vì thế Fˆ là đơn ánh Vậy, FÌ là song ánh từ B đến A Kết luận: Nếu f là một song ánh từ A vào B thì f' la song anh tir B vào A Ví dụ: Xét song ánh F ở ví dụ 3.4.3 Ta cĩ: tr! I—>F'(1)=úu 2F '\(2)=c 363) =b [”: là một song ánh từ B vào A VH Hợp thành của hai hàm Dễ dàng suy ra các kết quả sau 1” Hợp thành của hai hàm là một hàm,
2” Hợp thành của hai tồn ánh là một tồn ánh 3” Hợp thành của hai đơn ánh là một đơn ánh
4” Hựp thành của hai song ánh là một song anh,
VIII Hoan vi cba mét tap hợp
2.8.1 Dinh nghia
Mỗi song ánh f từ tập hợp A vào chính nĩ gọi là một hốn vị của A
Mỗi hốn vị f cĩ một hốn vị ngược f' Hốn vị giữ nguyên các phần tử của A
là hốn vị đồng nhất, Ký hiệu I
1 oe de we ee te de oe fe oe 3m be de be ee we ne ce ee ee 48 oe Fe 8k ee ne oe te ae oe be to de te ide de te te io fh
Trang 16ÿ? HÀM SỐ V PHNG TRèNH or ơx Đ3 HM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH I Ham sé 3.1.1 Dinh nghia Những hàm với giá trị thực được gọi là những hàm số Như vậy hàm số là hàm cĩ tập đích là R F: xeEEOSl(x)eR Tương tự cho khái niệm ánh xạ số Chúng ta quan tâm đến những tập hợp E=R, hay E = RỶ 3.1.2 Ví dụ Cho ánh xụ |: R —> R ft: x—> fXÌ=x fla anh xa sé, Chú ý: các hàm và các ánh xạ được xét từ dây trở về sau đều là các hàm số và các ánh xạ số 3.2.1 Định nghĩa
Cho và g là hai ánh xa từ E vào R
Ta gọi tổng của ánh xạ f và ánh xạ g là ánh xạ s được định nghĩa bởi: S: x£E—s(Xx) =f(X) + g(x) e R Ký hiệu: s=f*+g Theo định nghĩa trên: (Vx) (f + g)(x) = f(x) + g(x) Ghi chu:
Định nghĩa trên vẫn phù hợp trong trường hợp F va g là những hàm số với
Trang 17$2 HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH Se i: xeE,>ftx)= | Với E”, = |0,+#) và E,=R Ta co: Hàm xố s = [+ #: R —> R ss Xe€E,>s(X)=f(x)+g(x)=vx +Í Với E,=E,^E ,=E,= |0.e) II Phé n một ánh xa với một số 3.3.1 Binh nghia Cho ánh xu f: E -> R và œ e R Tích của một ánh xạ f với một số œ là ánh xạ p được định nghĩa bởi: x`eEplIvì=œ.l(x)ìe R Ký hiệu: p=alt Theo định nghĩa trên: (Vx) (œf\(x) = af(x) Ghi chủ:
Định nghĩa wén van phù hựp trong trường hợp f là mỏt hàm số cĩ E' c E
p= đf là một hàm số định nghĩa trên E 3.3.2 Ví dụ Cho ánh xạ f: R => R (: x=> x+l Tích của ánh xạ f với số 2 là ánh xa p = 2í, p: R —> R p: X —> pix) = 2.x) = 23(x + |) 1V Phép nhân hai ánh xa 3.4.1 Định nghĩa
Cho hai ánh xa f và g từ E vào R
Phép nhân ánh xạ f và ánh xạ g là ánh xạ x được định nghĩa bởi: x € E — (x)= f(x) x g(x) € F ta ký hiệu: t =Í.g Theo định nghĩa trên (Vx) (f.g)(x) = (x).g(x) Ghi chi:
Định nghĩa trên phù hợp trong trường hợp [ và g là những hàm, với x thuộc
Trang 18$s HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH L3) Xét các hàm Í # của ví dụ 3 3 3 (3), phép nhìn hàm E và g là hàm œx = l.ự 1: R => R m XéeE,->1(X)=Í(X)g(X)= vx.Ï= Vx Với E'„= E ,¬E',=E)= |0,+s) V Phương trình Cho một ảnh xạ [ từ E vào R: t xeEOt(x)eR
Cho trước một phần tử b của R, ta đi tìm tất cả các phần tử của E cĩ ảnh là b Ta nĩi rằng ta đi giải phương trình f(x) = b
Goi F ` là tướng ứng ngược của É,
[ (bì chỉ tập hợp các phần tử của E cĩ ảnh b bởi f
[ (b) là tập nghiệm của phương tình f(x) = b Néu a £ F (bì, nghĩa là nếu
fla) = b thì a là một nghiệm cụ thể của phương trình F(x) = b
Trong phương trình f(x) = b, x là ẩn số chưa biết Nếu F”(b) = Ø thì phương
trình vỏ nghiệm
Vậy, giải phương trình f(x) = b đồng nghĩa với việc xác định f !(b)
VI, Các phư
Hai phương trình là tương đương nếu chúng cĩ cùng tập nghiệm
(Đây là một quan hệ tương đương, vì quan hệ này thỏa mãn tính phản xạ đối cứng và bắc cầu
Hai phương trình tương đương cùng thuộc vào một lớp tương đương, và một phương trình cĩ thể được thay thế bằng một phương trình tương đương Việc
này được áp dụng trong quá trình giải một phương trình cụ thể)
VIL Phuong trình f(x) = g(x)
Cho các ánh xạ f và g từ E vào R Một phương trình cĩ thể được biểu diễn
dưới dang:
f(x) = g(x)
Trang 19#2 HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH > VHI Nhân một phương trình với một số Cho phương trình f(x) = Ú), cĩ S là tập xác định Ta cĩ [(VX) (x € S): f(x) =O] © |(VX)(x e S5) (œ z()):œf(x) = 0| Từ đĩ: Nếu œ z 0 thì f(x) = 0 © ơf(x) = 0 Tương tự: Néu a + 0 thi f(x) = g(x) <> af{x) = agix) IX Phương trình tích Phương trình tích là phương trình cĩ đạng: f(x) x g(x) = 9 Tạ cĩ: f(x)= [f(x)g(x)=0]©| hay gÍx)=0
X Phép nhân một ánh xạ vào phương trình
Cho hai ánh xa f và g từ E vào R Ta xét hai phương trình sau: f(x) =O va f(x).g(x) = 0 1” Hai phương trình trên khơng tương đương, vì: f(x)= 0| [f(x)g(x)=0]©| hay ¿| ds)=0] Vi vay,
Trong trường hợp tổng quát, ta khơng thể nhân một ánh xạ (hay hàm số)
vào một phương trình trong phép biến đổi tương đương
2° Tuy nhiên, nếu phương trình g(x) = 0 khơng cĩ nghiệm trong E ta cĩ thể
nhân g(x) vào phương trình f(x) = 0
XI Bất phương trình
Cho ánh xạ f từ E vào R I: xe EoRxyeR
Cho trước một tập con Á của R, khơng rỗng và khơng suy biến thành một
phần tử Ta đi tìm tất cả các phần tử của E cĩ ảnh nằm trong A Ta nĩi rằng ta đi giải bất phương trình f(x) €A
f'(A) là tập nghiệm của bất phương trình Các phần tử của f(A) là một
nghiệm cụ thể của bất phương trình THI7~VIÊN
và ae “ Su vem
= tee ir
Trang 20#z HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH 2 h I" Trong trường hựp À = R”(0) (huy À = RẺ): tạ trái bất phượng trình f(x) > O (tx) 20) 2" Cho hai ham sổ F và g Tạ cĩ hai dạng bất phương trình sau: f(x) > gin) hay (x) 2 gtx) 3° Hai bất phương trình tương đương nếu chúng cĩ cùng tập nghiệm Tương tự VI: [f(x) z g(x) + h(x)] © [f(x) - h(x) > g(x)] Tương tự VHI: Nếu œ> [f(x) > g(x)| ©> [œf(x) > œg(x)| Néua<0 [f(x) > g(x)] ©> [œf(x) < œg(x)]
4° Đẻ giải bất phương trình tích cĩ dang: E(x)g(x) > Ú, tạ phải xét dấu E(x).g{x) và suy ra nghiệm của bắt phương trình
XI Đổi biến số (đổi ẩn số) Ta xét phương trình cĩ dạng: (gt xj= 0) E, Ta cĩ thể viết: g{ftx)] = 0 E› Datu # f(x) Việc giải Ey được quy về giải phương trình: giu)= Ụ E,
u là ẩn số mới Vậy việc giải E, quy về giải E¿, sau đĩ là giải các phương
trình f(x) = u với mỗi u là nghiệm cua Ey
Ví dụ: Giải phương trình 3.2”*— 2.2" - § = 0 (1) trong N
Ta đặt u = 3` phương trình ( Ì ) trở thành
Trang 21£3 HAM SO VA PHUONG TRINH
>
*
“1
XIV Tổ hợp tuyến tính của các phương trình
I” Chu hẻ phương trình: l(x)=U (E¿)
hee (E;)
Nếu a và b là các phần tử của R thì phương trình ậf(x) + bg(x) = Ú (E) là một
tổ hựp tuyến tính của hệ phương trình trên Nếu œ là nghiêm của hệ thì
alia) + beta) =O suy ra đ là nghiệm của E Vay Tất cả các nghiệm của hệ phương trình là nghiệm của tất cả các tổ hợp tuyến tính của hệ 2" Hai hệ: /Eixiz “lại xb=0) es =0 af{x)+ bg(x) = 0Íb z 0} là tương đương Thật vậy gọi S và S' là hai tập nghiệm của Š và Ề”, ta cĩ: f(œ)=U [f(œì=U aeS=> =e =>aeS tase *»x TK" [ftœ)=0 Iie =0 => |af(œ)+ bgtœ)=0 —” |g(œ) =0 => => (do b # 0) Vì thể § =S'; hay 3 và 3` là tương đương và ¥ 4 va aeS ắeS 3" Hai hệ run =0 về je bg(x) =0 g(x) =0 a'f(x)+ b g(x) =0
là tương đương nếu ab' ~ ba" = 0
Trang 22ys HAM SO VA PHƯƠNG TRÌNH
Nghĩa là
((ab’ — ba (œ}= 0
i(ab’ - baJe(a) = 0
Viab’ ~ ba’ <0 nénta co:
Vậy hai hệ X và ®" là tưởng đương
Bina ae ce ae te ce ce oe ae tor tw dar ow ce HH Oe te ne ow Ếm Or de SA s4 de fe ae oe ae % 7 8 se of
TFrang 22
>
Trang 23ys SU LIEN TUC
PS ee
$4 SU LIEN TUC
L Lân cân
Một khoảng (œ;B) là một lần cân của x„ nếu ta cĩ œ < Xa < B
Trên tia x'Õx, lấy các điểm Atd!, Bí và Mj1x,) Nếu (d:B) là một lân cận V của x„ thì điểm M—, thuốc đoạn AB (Xem H I9a] i tì \ B ` i I ] x | My TEs Vi dus (-3;2), 1-10 ` 10”) La hai lần cần của điểm x.= F0: 102 sa» -~
| cant a | la lan ein cda x = |
(a.$)— goila | khoảng mở (lần can mi)
|œ.B[ — gọi là | khoảng đĩng (mỏi đoạn!
(ơ:B|] hay [œ:8! là các nưa đoan
Khi x, = a, khoảng (x„:B) là một lân cận phải của x„ (Xem H.19b) Khi x,„ = 8, khoảng (œ;x„) là một lân cận trái của x„ (Xem H 19c) « 8 A 8 0 A B X | | | ` ` L ! | : L L | ' Í Mi, My H.19b, H.19c
Với là số dương cho trước V = (x, - £: X + £) là một lân cận tâm x,, ban
kính e Mọi điểm x thuộc V đều thủa mãn bất đẳng thức: |x - x;Ì< e V được
gọi là lân cận cĩ tâm (Xem H.19d) £ ca >> › 0 A Mix) B x L ' | x rT : Xạ *£ Mut cud a H.19u
Khoảng (œ;+œ) là lân cận của điểm x„= +; khoảng (-s;œ) là lân cận của điểm x, = -«
Ví dụ: (0;+) là một lân cận của +2 (~œ;~Š) là một lân cận của -z.,
Aas kho G2 NHÀ G4 5GE'S8246180121/42:406003016010518:44034090040030240Gã2KkãSk:ESLẢE
Trang 24#4 SỰ LIÊN TỤC Ss Il Su liên tục của một hàm Chủ một hàm Ï: L: xeR¬y=llx)<R Giả sử hàm F xác định trong một lân cần U,, cua x,, (x, 6 U,) va x, cd ảnh y„= f(x.)
Hàm f là liên tục tại điểm x„ nếu với mọi lân cận W của y„ cho trước đều tồn tại một lân cận V của x„ (VY c U„) sao cho ảnh của V qua F, f(V), được chứa trong WWẲV (Xem H.30)
Hàm F là liên tục trên khoảng (a,B) nếu nĩ liên tục tại mọi điểm thuộc
khoảng (œ.)
Ghi chu
Binh nghia trén cd thé phat biéu cho cdc lda edn cd tim Khi W 1a lin can tim y, =
f(x,,), ban kinh ¢ V 14 lin cin tim x,, ban kinh n thi dinh nghĩa trên trở thành:
Hàm số f liên tục tại x„ nếu, với mọi bán kính ¢ cua lan can W tam
Y„ = f(x„) cho trước, luơn tổn tại một lân cận V tâm x, bán kính rị sao cho
ảnh f(V) của nĩ chứa trong W,
Hay ta phát biểu dưới dạng tương đương sau:
Hàm số f là liên tục tại x„ nếu với mọi số dương e cho trước, luơn tồn tại
một số dương rị sao cho:
|x - x„Ì <n = | (x) = yu | <E,
II Những tính chất của các hàm liên tục Chúng ta chấp nhận các kết quả sau,
Tổng của các hàm liên tục tại x„ là một hàm liên tục tai X,
Tích của các hàm liên tục tai x, là một hàm liên tục tại x
Nếu các ham f, g liên tục tại x„ và nếu g(x„) # 0 thì hàm : là liên tục tai x,, &
IV Sự liên tục của hàm hằng
Cho hàm hằng f như sau:
t: xeROy=Í(x)=aeR
Hàm f xác định tai moi x e R và Í(X„) = Y„ = 4
Done dein km mm, 5 4 ome be er ene vn Án (CÁ be ee ee eer be we CĐ de me oe ke we te oe me ote So doko te bo to fh * , *
Trang 25#4 SỰ LIÊN TỤC
“ “ oc = «ef “se .x *.e “se sẽ sẻ oe ‘ ` tứ tứ ’ í *
ứ1 “
Cho trước một lần cận W =(ơ:J) của y„ = a Tá xét một lần cần V = (Au nao
do cua x, nh của V qua f: (CV) = fa} =W Vì vậy, hàm hằng É: x —> a liên tục trên R
V Sư liên tục của hàm tuyến tính
Cho hàm tuyển tỉnh F:
[: xeR-+y=fx)=ux+bs<R Hàm † xác dịnh tại mọi x e R và
|: Xx,€R>y,=Íl(x)=ax,+be R Cho trước một lần cận W của y,
WE=(y,- œ; v„ + 8) với œ, B là hai số dương cho trước,
Nếu a >ƠƯ tà xét lần cận V eta x, ` là œ =| Ni HC] a il Fre Vtaco egies Wie a a Bằng cách nhân a rỗi cộng thêm b vào bất đẳng thức kép, ta cĩ: ax,-a<cax<ax,+f6 ax,+b-a<ax+b<ax,+b+h nghia la y,-acaxeb<y, +B Vi vay (V)=W x : 0 a
Néua <0, xétlan can V = x, +i - = Ly luận tương tự như trường hợp a > Ơ: ta cĩ I(V)ì=W Vậy, Hàm tuyến tính f: x => ax + b là liên tục trên R VỊ Sự liên tục của cá hức Hàm đa thức x => P;(x) là hàm cĩ dạng: X —> P(x) = agx" + ap iX” + + ax ta, vớia,eRVie l,2, n Ta cĩ, hàm đồng nhất x => x là hàm liên tục vì là dạng đặc biệt của hàm tuyến tính
Hàm x > x" = xx x là hàm liên tục vì là dch của n hàm liên tục Vay x — ax" ciing liên tục
Trang 27ÿz GIỚI HAN
ae
§5 GIGI HAN
L “x tién vé x, ”
Cho trước một lân cận tùy ý V của x„ nếu cĩ thể lấy tất cả những điểm x
của lân cận này trừ x„ thì ta nĩi rằng x tiến về x„
Định nghĩa chỉ ra rằng cĩ thể lấy tất cá các điểm x (trừ x„) trong mọi lần cận
củu x„ Nếu x,= 0 và moi lân cần V cĩ dạng [0,a] thi x tién ve x, bởi những
giả trị dưỡng, hay “x tiến vẻ (ˆ”; tì định nghĩa tướng tự cho *x tiến về Ú—, Il Giới hạn của mơt hàm số
Cho ham t-
L: ‹ẽR-vy=l(xI=<R
Giả sử F xác định trên một lần vận U của x,.trừ điểm x
Ta noi f(x) cĩ giới hạn À khi x tiến về x„ (hay f(x) tiến về À khi x tiến về xu), nếu cho trước một lân cận W nào đĩ của À, ton tại một lân cận V của x„ (V œ U) sao cho ảnh f(V - {x,,}) chứa trong W (Xem H.3I1) Ký hiệu: lim t(x)=% X>v, Ghi chủ Tương tự như sư liên tục, nẻu sử dụng các lần cần cĩ tâm thì dịnh nghĩa trên trở thành:
f(x) cĩ giới hạn À khi x tiến về x„ nếu với mọi số dương e cho trước, tồn tại số đương rị sao cho:
lx-x„|Ì <n= ÌWx)-3Í <e
IH Giới han và liên tục
So sánh định nghĩa của sự liên tục và giới hạn của hàm số, ta thấy hàm số f là liên tục tại x„ nếu f xác định tại x, và lim f(x) = f(x,„)
ts,
LV Tính chất của giới hạn Ta chấp nhân các kết quả sau đầy
Trang 285 GIO] HAN 1) lim loi]; lim is) lim a(x) =A X-*®\$, t1) Ngồi ra nẻu gie, tạ cĩ: > tm tx f(x) YA, ( À lu |2 1x8 ‹x,|tÍx), tim a(x) op ` V Giới hạn ở vơ cùng của hàm f(x Cho him [: |: xeR¬ux+heR * Trường hựp a > Ư Cho trite mot lan cin W = [M:+x%) cua h = +7 ce cớ ` ÂN W Ta xet lan can V = | +20 | của X,„ +#: Khi đĩ d ị M-b J Bằng cách nhắn thêm a rồi cộng b vào hai về của bất đẳng thức ta được M~b<ax, M <ax +b, Nghĩa là: l(Vì=Whay lim (ax+b}= +z x ~~ vyreV= <X Tương tự nẻu cho trước lân cận W = (-z;M| Xét lân cận V = | ~2:; M~ | CỦa X,= -z, ta cĩ \ a M - a Nhân a, cộng b vào hai về ta được ax+bs<M, Vậy I(V)=W, hay — lim [ax+b)= —= ơ YfxeV=x< x-*+#x * Trường hop a < 0
Trang 29#7 GIỚI HAN >> Vay iVi=W, Hay = lim (ax+b)=+0 xX-.-~*# Tương tự lim (ax + b}= —z: xX—=-£ Cho hàm sỏ [: f: x—x"(neN) Với mọi lần cân W = [M: +#| (M >U) của À = +x+ Xét lân căn: V = lÈM:+>] cli X,, = #90 VfxeV=\Msxw Lũy thừa bậc n hai vẻ của bất đẳng thức ta được M <x’ Nghĩa là f(Vi=W và lim x" =+00 x—>-# Chứng minh tương tự, ta cĩ lim x” =(-I)”x X. -# VII Giới han ở x = 0 của hàm f(x)= + x Cho ham sé f: f: x—> 1 X Miền xác định R` = R\{0]
Với mọi W z [M; +œ) (M >0) của 2 = +œ
Trang 30#5 GIỚI HAN VIIL Giới han ở vơ cùng của hàm t(x)= ` X Cho hàm [: (: xX- X Miễn xúc định R` = R0) Cho trước mĩt lần cin phair W = [Osa] (a > O) của 2 = Ù r Xét lần cận V = Fan cua X= +7 œ YxeV=_-<\k | ct Nhân hai vẽ của bất đẳng thức với — & (o x \} ee 0) tả được 042 X Vậy I(V)=W, Hay lim + =0” x—=*x\ X : Tương tự m|š) lim | = x-z|L X im | | x#\ x"
IX Giéi han ở vơ cùng của đa thức
Trang 31$5 GIO] HAN
vr 5x
Vậy, giúi hàn ở vỏ cùng của mốt đa thức bắc n
f⁄(X)Z dạX” úy th + aye +a ld giới hạn của dạng cĩ bậc cao nhất a„x”
ux+b * s
X Giới hạn của I(x)= -; i khi x ở vơ cùng
Trang 32Tai Li¢u Tham Khao
>
Tat Liéu “Sham ¿áo
[1] C BREARD
Mathématique (Classes de Premiére CD), Editions de L’Ecule, 1967,
(2| PHAN ĐỨC CHÍNH - NGƠ HỮU DŨNG - HÀN LIÊN HẢI
Đại Số 10, Nhà Xuất Bản Giáo Dục, 99
(3| PHAN ĐỨC CHÍNH - NGƠ HỮU DŨNG - HAN LIEN HAI
Giải Tích I1, Nhà Xuất Bản Giiuo Dục, 1998 :
(4| TRẤN VĂN HAO - PHAN TRUGNG DAN
Dai S6 va Gidi Tich 11, Nha Nudt Ban Giio Due 1996
15] HOANG TUY
Giải Tích Hiện Đa: tập 3 Nhà Xuất Bán Giáo Dục, 197
+ he sr dw sh he sh whee shir wa hi is iw ower ws de tr v9 ae fear oe oe de de de ce «em oe SG co: so te do @=- de ke km tor o>