Tai lieu hoc tap mon toan 9 tap 2 tran cong dung

TRẦN CÔNG DŨNG TÀI LIỆU HỌC TẬP C 48◦ D 72,5m A 56◦ B TP HỒ CHÍ MINH - 2022 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH / Trang Ơ 0906 804 540 MỤC LỤC PHẦN I Đại số Chương Hệ hai phương trình bậc ẩn A B C D Phương trình bậc hai ẩn số 5 I Tóm tắt lý thuyết II Phương pháp giải toán III Bài tập luyện tập Hệ hai phương trình bậc hai ẩn I Tóm tắt lí thuyết II Các dạng tốn Giải hệ phương trình phương pháp 12 I Tóm tắt lí thuyết 12 II Phương pháp giải tốn 12 Dạng Giải hệ phương trình 12 Dạng Sử dụng hệ phương trình giải tốn 15 Giải hệ phương trình phương pháp cộng 17 I Tóm tắt lí thuyết 17 II Các dạng toán 18 Dạng Giải hệ phương trình 18 Dạng Sử dụng hệ phương trình giải toán 20 Bài tập luyện tập 20 III E Giải tốn cách lập hệ phương trình I Tóm tắt lí thuyết 22 22 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP II / Trang Các dạng toán 22 Dạng Bài toán chuyển động 22 Dạng Bài tốn vịi nước 24 Chương Hàm số y = ax2 Phương trình bậc hai ẩn số A B C D Hàm số y = ax2 , (a 6= 0) 27 I Tóm tắt lí thuyết 27 II Phương pháp giải tốn 27 Đồ thị hàm số y = ax2 , a 6= 28 I Tóm tắt lí thuyết 28 II Phương pháp giải tốn 29 Phương trình bậc hai ẩn số 32 I TĨM TẮT LÍ THUYẾT 32 II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 32 III BÀI TẬP LUYỆN TẬP 34 Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai 35 I Tóm tắt lí thuyết 35 II Các dạng tốn 35 Dạng Giải phương trình bậc hai 36 Dạng Điều kiện có nghiệm phương trình bậc hai 37 Dạng Nghiệm nguyên nghiệm hữu tỉ phương trình bậc hai 39 Bài tập luyện tập 39 III E 27 CHỦ ĐỀ 5: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ CÁC ỨNG DỤNG I 41 A TĨM TẮT LÍ THUYẾT 41 Dạng Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai 42  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP / Trang Dạng Tìm hai số biết tổng tích chúng 44 Dạng Tìm giá trị biểu thức đối xứng nghiệm 48 Dạng Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào tham số 49 Dạng Xét dấu nghiệm 52 Dạng Tìm giá trị tham số để nghiệm phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước 54 F PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I 59 Phương pháp giải toán 59 Dạng Giải phương trình tích 59 Dạng Sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình phương trình bậc hai 60 Dạng Giải phương trình chứa ẩn mẫu 60 Dạng Giải phương trình bậc ba 61 Dạng Giải phương trình trùng phương 62 Dạng Giải phương trình hồi quy phản hồi quy 63 Dạng Phương trình dạng ( x + a)( x + b)( x + c)( x + d) = m b = c+d Dạng Phương trình dạng ( x + a)4 + ( x + b)4 = c (1), với a + 64 (1) 65 Dạng Sử dụng phương trình bậc hai giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 65 II G Dạng 10 Sử dụng phương trình bậc hai giải phương trình chứa thức 66 Bài tập 66 GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 70 I Tóm tắt lí thuyết 70 II Phương pháp giải toán 70 Dạng Bài toán chuyển động 70  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP III / Trang Dạng Bài toán số chữ số 71 Dạng Bài tốn vịi nước 72 Dạng Bài tốn có nội dung hình học 72 Dạng Bài toán phần trăm - suất 73 Bài tập luyện tập 74 PHẦN II Hình học Chương Góc với đường trịn A B C D Góc tâm - Số đo cung 75 77 77 I Tóm tắt lí thuyết 77 II Phương pháp giải tốn 77 III Bài tập tự luyện 78 Liên hệ cung dây 79 I Tóm tắt lí thuyết 79 II Phương pháp giải toán 79 III Bài tập tự luyện 80 Góc nội tiếp 80 I Tóm tắt lí thuyết 80 II Các dạng toán 81 Dạng Giải toán định lượng 81 Dạng Giải tốn định tính 82 Góc tạo tiếp tuyến dây cung 84 I Tóm tắt lí thuyết 84 II Các dạng tốn 84  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP III E / Trang Dạng Giải toán định tính 84 Dạng Giải tốn định lượng 85 Bài tập tự luyện 85 Góc có đỉnh bên đường trịn, góc có đỉnh bên ngồi đường trịn 86 I Tóm tắt lý thuyết 86 II Phương pháp giải toán 87 III Bài tập luyện tập 88  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH / Trang Ơ 0906 804 540 Phần I Đại số Phần II Hình học 75 Chương GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN A GĨC Ở TÂM - SỐ ĐO CUNG I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Góc tâm đường trịn Định nghĩa Góc tâm đường trịn góc mà đỉnh tâm đường trịn Mỗi góc tâm cắt đường trịn hai điểm, xác định hai cung trịn xảy hai trường hợp: Một cung nhỏ cung lớn Hai cung nửa đường tròn Số đo cung tròn Định nghĩa số đo cung AB (kí hiệu sđ ˜ AB) xác định sau: Số đo (độ) cung nhỏ AB số đo (độ) góc tâm chắn cung Số đo (độ) cung lớn AB 360◦ trừ số đo độ cung nhỏ AB Số đo (độ) nửa đường tròn 180◦ Định nghĩa Trong đường tròn hay hai đường tròn nhau: Hai cung gọi chúng có số đo (độ) Trong hai cung không nhau, cung lớn cung có số đo (độ) lớn Điểm nằm cung trịn ˆ ta có sđ Định lí 1: Nếu điểm C nằm cung AB chia cung thành hai cung kí hiệu ˜ AC CB ˜ ˆ AB = sđ ˜ AC + sđ CB II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN  VÍ DỤ 1: Kim kim phút đồng hồ tạo thành góc tâm có số đo độ vào thời điểm sau: a) b) c) d) 12 e) 20  VÍ DỤ 2: Cho đường tròn (O; R), dây AB = R Tính số đo hai cung ˜ AB  VÍ DỤ 3: Hai tiếp tuyến đường tròn (O) A B cắt M Biết \ AMB = 35◦ Tính số đo góc tâm tạo hai bán kính OA, OB 77 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP / Trang 78 Tính số đo cung ˜ AB (cung lớn cung nhỏ) [ = 120◦ , góc tâm AOC [ = 30◦ Tính số đo  VÍ DỤ 4: Cho đường trịn (O), góc tâm AOB ˆ cung BC “ = α, B b = β Đường tròn (O) nội tiếp tam giác với AB, AC, BC  VÍ DỤ 5: Cho ABC có A theo thứ tự D, E, F Tính số đo cung nhỏ cung lớn ˜ DE Tính số đo cung nhỏ cung lớn EF  VÍ DỤ 6: Chứng minh tiếp tuyến song song với dây tiếp điểm chia đơi cung căng dây  VÍ DỤ 7: Cho đường trịn (O) đường kính AB cung AC có số đo nhỏ 90◦ Vẽ dây CD vuông góc với AB dây DE song song với AB Chứng minh rằng: ˆ a) ˜ AC = BE b) Ba điểm C, O, E thẳng hàng III BÀI TẬP TỰ LUYỆN √  BÀI 1: Cho đường tròn tâm (O; R), dây AB = R Tính số đo hai cung ˜ AB “ = 70◦ Đường tròn (O) nội tiếp tam giác tiếp xúc với AB, AC theo thứ  BÀI 2: Cho ABC có A tự D, E Tính số đo cung nhỏ ˜ DE  BÀI 3: Từ điểm A đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AM AN, chúng tạo với góc α ¯ Tính số đo (độ) cung lớn MN ¯ vẽ tiếp tuyến với đường tròn cắt AM AN B Từ điểm I cung nhỏ MN, C Tia OB OC cắt đường tròn D E Chứng minh số đo cung nhỏ ˜ ¯ DE có giá trị không đổi điểm I chạy cung nhỏ MN  BÀI 4: Cho đường tròn (O) dây AB Lấy hai điểm M N nằm cung nhỏ AB chia cung ¯ = MN ¯ =˜ thành ba cung AM NB Các bán kính OM ON cắt AB C D Chứng minh AC = BD AC > CD  BÀI 5: Cho đường tròn (O; R) dây AB cho số đo cung lớn AB gấp đôi cung nhỏ AB Tính diện tích ABC Ç √ å R  BÀI 6: Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) O; Tiếp tuyến đường tròn nhỏ cắt đường tròn lớn A B Tính số đo hai cung ˜ AB  BÀI 7: Cho ABC Gọi O tâm đường tròn qua ba đỉnh A, B, C Tính số đo góc tâm tạo hai trong ba bán kính OA, OB, OC Tính số đo cung tạo hai ba điểm A, B, C  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP / Trang 79 B LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa Đối với hai cung nhỏ đường tròn: Hai cung chúng căng hai dây Cung lớn căng dây lớn Trong đường trịn (O), ta có minh họa: ˜ ⇔ AB = CD ⇔ AOB [ = COD [  ˜ AB = CD ˜ ⇔ AB > CD ⇔ AOB [ > COD [  ˜ AB > CD II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN  VÍ DỤ 1: Cho ABC vng cân A nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) ˜ AB = ˜ AC ˆ b) ˜ AB < BC  VÍ DỤ 2: A Vẽ đường trịn tâm (O), bán kính R = cm Nêu cách vẽ cung ˜ AB có số đo 60◦ Hỏi dây AB dài xen-ti-mét? O B Làm để chia đường trịn thành sáu cung hình bên  VÍ DỤ 3: Cho đường trịn (O), dây AB Gọi M điểm cung AB Vẽ dây MC cắt dây AB D Vẽ đường vng góc với AB D, cắt OC K Chứng minh 4KCD tam giác cân  VÍ DỤ 4: Chứng minh hai cung chắn hai dây song song  VÍ DỤ 5: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH tam giác cắt đường trịn D Vẽ đường kính AE Chứng minh BECD hình thang cân Gọi M điểm cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC Tính bán kính đường trịn biết BC = 24 cm, I M = cm  VÍ DỤ 6: Cho hai đường tròn (O) (O0 ) cắt hai điểm A B Kẻ đường kính AC, đường trịn (O) đường kính AD đường trịn (O0 ) Gọi E giao điểm thứ hai AC với đường tròn (O0 )  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP / Trang 80 ˆ ˜ So sánh cung nhỏ BC BD Chứng minh B điểm cung ˘ EBD (tức điểm B chia cung ˘ EBD ˆ ˜ thành hai cung BE = BD) III BÀI TẬP TỰ LUYỆN b=D “ = 90◦ Biết AB < AD, chứng minh BC > CD  BÀI 1: Tứ giác ABCD có B  BÀI 2: Hai đường trịn (O) (O0 ) bán kính cắt M N ¯ hai đường tròn Chứng minh hai cung nhỏ MN Vẽ đường kính MA đường trịn (O) đường kính MB đường tròn (O0 ) Chứng ˜ minh N A=˜ NB ¯ Vẽ đường kính NOC Tia BM cắt đường tròn (O) D Chứng minh cung nhỏ MN, ˜ ˜ AC CD  BÀI 3: Cho ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp DBC Từ O hạ đường vng góc với OH, OK với BC BD (H ∈ BC, K ∈ BD) Chứng minh OH > OK ˆ So sánh hai cung nhỏ ˜ BD BC  BÀI 4: Trên dây cung ˜ AB đường tròn (O) lấy hai điểm C D cho AC = CD = DB Các bán kính qua C qua D cắt cung nhỏ AB E F Chứng minh ˜ AE = ˆ BF < ˆ EF  BÀI 5: Chứng minh đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung Mệnh đề đảo có khơng? Hãy nêu thêm điều kiện để mệnh đề đảo Chứng minh đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại C GĨC NỘI TIẾP I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định nghĩa Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh cắt đường trịn ¯ (viết [ góc nội tiếp chắn cung AbC Trong hình họa bên, ta thấy ABC tắt ˜ AC hiểu cung ˜ AC không chứa điểm B) ˜ [ góc nội tiếp chắn cung BA BCA ˆ [ góc nội tiếp chắn cung CB CAB A C  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH a B Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP / Trang 81 Định lí 1: Trong đường trịn, số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn A O C a B 1[ [ = sđ˜ Ta có minh họa ABC AC = AOC 2 Hệ Các góc nội tiếp chắn cung hai cung đường trịn Ta có minh học với điểm A, A1 , A1 phía với BC A A1 A2 [ = BA \ \ ˆ BAC C = BA2 C = sđ BC ˜ ˜ [ = CFD [ ⇔ AB = CD ⇔ AB = CD AEB O C B A Hệ Góc nội tiếp nửa đường trịn góc vng Ta có minh họa: [ = 90◦ BAC BC đường kính (O ∈ BC ) a C O B Hệ Trong đường trịn, góc nội tiếp khơng q 90◦ có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung Ta có minh họa sau [ = AOC [ ABC II CÁC DẠNG TOÁN  DẠNG Giải tốn định lượng Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung chúng  VÍ DỤ 1: Muốn xác định tâm đường trịn mà dùng êke phải làm nào?  VÍ DỤ 2: Dựng tam giác vuông, biết cạnh huyền dài cm cạnh góc vng dài 2,5 cm  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP / Trang 82  VÍ DỤ 3: Cho ABC Đường trịn ( I ) nội tiếp tam giác tiếp xúc với BC, AC, BA theo thứ tự [ = EDF [ [ Tính số đo góc BAC D, E, F Cho biết BAC  DẠNG Giải tốn định tính  VÍ DỤ 1: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB S điểm nằm bên ngồi đường tròn SA SB cắt đường tròn M, N Gọi H giao điểm BM AN Chứng minh SH vng góc với AB  VÍ DỤ 2: Cho đường trịn (O), đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn Gọi E điểm đối xứng với A qua D Gọi K giao điểm EB với đường tròn (O) H giao điểm BD AK E D ABE tam giác gì? Chứng minh EH vng góc với AB A Chứng minh OD vng góc với AK K H O B  VÍ DỤ 3: Trên nửa đường trịn (O) đường kính AB, lấy điểm M (khác A B) Vẽ tiếp tuyến (O) A Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến C Chứng minh ta ln có: MA2 = MB · MC  VÍ DỤ 4: Cho ABC có ba góc nhọn Đường trịn (O) có đường kính BC cắt AB, AC D, E Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh AI ⊥ BC ‘ Chứng minh I‘ AE = IDE [ = 60◦ , chứng minh DOE tam giác Cho BAC  VÍ DỤ 5: Cho AB, BC, CA ba dây đường trịn (O) Từ điểm M cung AB vẽ dây MN song song với dây BC Gọi giao điểm MN AC S Chứng minh SM = SC SN = SA  VÍ DỤ 6: Cho đường tròn (O) (O0 ) nhau, cắt A B Qua B vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) (O0 ) C D Chứng minh AC = AD Tìm quỹ tích trung điểm M CD cát tuyến CBD quay quanh B  VÍ DỤ 7: Cho đường tròn (O) điểm M cố định khơng nằm đường trịn Qua M vẽ cát tuyến cắt đường tròn A B Chứng minh tích MA · MB khơng phụ thuộc vào vị trí cát tuyến  LỚP TỐN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ô 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MÔN TOÁN - TẬP / Trang 83 Bài tập tự luyện  BÀI 1: Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB C điểm bên ngồi đường trịn Nối CA, CB gặp đường trịn theo thứ tự M, N Gọi H giao điểm BM AN Chứng minh AH ⊥ AB [ = 60◦ , chứng minh 4OMN tam giác Cho ACB  BÀI 2: Cho hai đường tròn (O) (O0 ) cắt A B Vẽ đường thẳng qua A cắt (O) M (O0 ) N (A nằm M N) Hỏi MBN tam giác gì? Tại sao?  BÀI 3: Hai đường trịn (O; R) (O0 ; r ) cắt A B Từ A vẽ đường kính AOC AO0 D Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng AB vng góc với CD Biết R ≥ r CD = a, tính BC BD  BÀI 4: Cho ABC Hai đường tròn đường kính AB AC cắt điểm thứ hai D Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng Đường thẳng AC cắt đường trịn đường kính AB E, đường thẳng AB cắt đường trịn đường kính AC F Chứng minh ba đường thẳng AD, BE, CF qua điểm  BÀI 5: Cho đường tròn (O) hai dây AB, CD cắt M (điểm C nằm cung nhỏ AB, điểm B nằm cung nhỏ (CD )) Chứng minh AC = DB Chứng minh MAC = MDB Tứ giác ACBD hình gì? Chứng minh  BÀI 6: Cho nửa đường trịn đường kính AB Gọi O điểm nửa đường trịn M điểm nửa đường trịn Tia AM cắt đường tròn (O; OA) điểm thứ hai N Chứng minh MN = MB  BÀI 7: Cho đường tròn (O) hai dây MA, MB vng góc với Gọi I K điểm cung nhỏ MA MB Gọi P giao điểm AK BI Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng Chứng minh P tâm đường tròn nội tiếp MAB Giả sử MA = 12 cm, MB = 16 cm, tính bán kính đường tròn nội tiếp MAB  BÀI 8: Cho đường trịn tâm O đường kính AB điểm C chạy nửa đường tròn Vẽ đường tròn ( I ) tiếp xúc với đường tròn (O) C tiếp xúc với đường kính AB D, đường tròn cắt CA CB điểm thứ hai M N Chứng minh rằng: Ba điểm M, I, N thẳng hàng ID ⊥ MN Đường thẳng CD qua điểm cố định Nếu cách dựng đường trịn ( I ) nói  BÀI 9: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH Kẻ đường kính AE  LỚP TỐN THẦY DŨNG - 04 QCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP / Trang 84 [ Tính ACE [ = OAC [ Chứng minh BAH Gọi K giao điểm AH với đường tròn (O) Tứ giác BCEK hình gì?  BÀI 10: Cho ABC nội tiếp đường trịn (O) Tia phân giác góc A cắt đường tròn M Chứng minh BMC tam giác cân [ = ABC [ + ACB [ Chứng minh BMC Gọi D giao điểm AM BC Chứng minh AB · AC = AD · AM  BÀI 11: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) M điểm cung BC Trên tia AM lấy điểm D cho MD = MB MBD hình gì? So sánh hai tam giác BDA BMC Chứng minh MA = MB + MC  BÀI 12: Cho nửa đường tròn đường kính AB, K điểm cung AB Vẽ bán kính OC [ = 60◦ cho BOC Gọi M giao điểm AC OK Chứng minh MO = MC Cho AB = 2R, tính MC theo R D GĨC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG I TĨM TẮT LÍ THUYẾT Định lí 1: Trong đường trịn, số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung qua tiếp điểm nửa số đo cung bị chắn Ta có minh họa: [ BAx = sđ ˜ AB B M O A x Nhận xét: Như vậy, góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung nhau, cụ thể [ BAx = \ AMB II CÁC DẠNG TOÁN  DẠNG Giải tốn định tính  VÍ DỤ 1: Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O) ta kẻ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB đường trịn Chứng minh MT = MA · MB  VÍ DỤ 2: Cho đường trịn (O) điểm M nằm bên ngồi đường trịn Tia Mx quay quanh M cắt đường tròn hai điểm A B Gọi I điểm thuộc tia Mx cho  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP / Trang 85 MI = MA.MB Tìm quỹ tích điểm I  VÍ DỤ 3: Cho A, B, C ba điểm nằm đường tròn At tiếp tuyến đường tròn A Đường thẳng song song với At cắt AB M cắt AC N Chứng minh AB · AM = AC · AN  VÍ DỤ 4: Cho hai đường tròn (O) (O0 ) cắt A B Từ A vẽ hai tiếp tuyến với hai đường tròn Hai tiếp tuyến gặp đường tròn O C đường tròn (O0 ) D Chứng minh [ = ABD [ ABC  VÍ DỤ 5: Cho đường trịn tâm (O), đường kính AB Lấy điểm P khác A B đường [ = tròn Gọi T giao điểm AP với tiếp tuyến B đường tròn Chứng minh APO ‘ PBT  DẠNG Giải toán định lượng  VÍ DỤ 1: Cho đường trịn (O; R) dây cung BC = R Hai tiếp tuyến đường tròn (O) [ BAC [ B C cắt A Tính số đo góc ABC,  VÍ DỤ 2: Cho đường trịn (O) đường kính AB Một tiếp tuyến đường tròn P cắt ‘ + 2TPB ‘ đường thẳng AB T (điểm B nằm O T) Tính BTP  VÍ DỤ 3: Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Trên tia đối tia AB lấy điểm M Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn Gọi H hình chiếu C AB \ Chứng minh CA tia phân giác góc MCH Giả sử MA = a, MC = 2a, tính AB CH III BÀI TẬP TỰ LUYỆN  BÀI 1: Từ điểm M nằm bên ngồi đường trịn (O) ta vẽ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB Vẽ đường tròn (O0 ) ngoại tiếp MAT Từ M vẽ tiếp tuyến xy đường tròn (O0 ) Chứng minh MT = MA · MB BT ∥ xy  BÀI 2: Cho hai đường tròn (O) (O0 ) cắt A B Trên đường thẳng AB lấy điểm M (điểm M không thuộc đoạn thẳng AB) Vẽ tiếp tuyến MT đường tròn (O) cát tuyến MCD đường tròn (O0 ) Chứng minh MT = MC · MD  BÀI 3: Cho hai đường tròn (O) (O0 ) cắt A B Vẽ dây BC đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (O0 ) Vẽ dây BD đường tròn (O0 ) tiếp xúc với đường tròn (O) Chứng minh  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP / Trang 86 AB2 = AC · AD … BC AC = BD AD  BÀI 4: Cho ABC ngoại tiếp đường tròn (O) Gọi D, E, F tiếp điểm đường tròn cạnh AB, BC, CA Gọi M, N, P giao điểm đường tròn (O) với tia OA, OB, OC Chứng minh điểm M, N, P tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADF, BDE, 4CEF  BÀI 5: Cho hai đường tròn (O) (O0 ) cắt A B Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) C tiếp xúc với đường tròn (O0 ) D Vẽ đường tròn ( I ) qua ba điểm A, C, D cắt đường thẳng AB điểm thứ hai E Chứng minh [ + CBD [ = 180◦ CAD Tứ giác BCED hình bình hành  BÀI 6: Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường tròn (AB < AC) Tiếp tuyến A cắt đường thẳng BC I Kẻ AH ⊥ BC Chứng minh AB tia phân giác I[ AH I A2 = IB · IC  BÀI 7: Cho nửa đường trịn (O) đường kính BC Điểm A thuộc nửa đường tròn (AB < AC) Gọi E điểm đối xứng với B qua A BCE tam giác gì? Gọi D giao điểm CE với nửa đường tròn Kẻ tiếp tuyến Bx với nủa đường tròn ( Bx A [ phía với BC) Chứng minh BA tia phân giác góc DBx CA cắt BD, Bx theo thứ tự I, K Tứ giác BKEI hình gì?  BÀI 8: Cho hai đường trịn (O) (O0 ) cắt A B Tiếp tuyến A đường tròn (O0 ) cắt đường tròn (O) điểm thứ P Tia PB cắt đường tròn (O0 ) Q Chứng minh AQ song song với tiếp tuyến P đường tròn (O)  BÀI 9: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường trịn tâm I có đường kính BH, cắt AB M Vẽ đường trịn tâm K có đường kính CH, cắt AC N Tứ giác AMHN hình gì? Chứng minh MN tiếp tuyến chung hai đường tròn ( I ) (K ) Vẽ tiếp tuyết Ax đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh Ax song song với MN E GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN, GĨC CĨ ĐỈNH Ở BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Góc có đỉnh bên đường trịn Định lí 1: Góc có đỉnh bên đường trịn có số đo nửa tổng số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc tia đối hai cạnh  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP / Trang 87 Ta có minh họa A D ˜ ˜ [ = BED [ = sđ AC + sđ BD AEC E ˜ + sđ BC ˆ sđ AD [ =[ AED BEC = C B Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn Định lí 2: Góc có đỉnh bên ngồi đường trịn có số đo nửa hiệu số đo hai cung bị chắn hai cạnh góc Ta có minh họa ˘ ¯ [ = sđ AmD − sđ BnC AED A B E n m O C D II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  VÍ DỤ 1: Một đường trịn (O) hai đáy AB, AC Gọi M, N điểm cung AB AC Đường thẳng MN cắt dây AB E cắt dây AC H Chứng minh AEH tam giác cân  VÍ DỤ 2: Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD AD = DC = CB nội tiếp đường tròn ‘ với I giao điểm AC BD đường kính AB Tính số đo góc AIB Nhận xét Cách làm lời giải ví dụ hiểu “Để chứng minh tam giác tam giác ta chứng minh có tam giác cân có góc 60◦ ”  VÍ DỤ 3: Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O) kẻ hai tiếp tuyến MB, MC Vẽ đường kính BOD Hai đường thẳng CD MB cắt A Chứng minh M trung điểm AB Nhận xét Trong ví dụ trên, ta phải chứng minh MA = MB MB = MC (tính chất hai tiếp tuyến) nên ta cần chứng minh MA = MC, tức ta phải chứng minh MAC cân ˘ cung BnD ¯ có số đo Nói chung phải tính Khi tính số đo góc A ta thay cung BmD tổng (hay hiệu) số đo hai cung đó, ta thường dùng phương pháp thay cung cung khác để hai cung liền (nếu tỉnh tổng) hai cung có phần chung (nếu tính hiệu)  VÍ DỤ 4: Cho đường tròn (O) hai dây cung AB, AC Trên cung nhỏ AC lấy ‘ =\ điểm M Gọi I giao điểm AM BC Chứng minh AIC ACM Nhận xét Ta có hai trường hợp đặc biệt góc có đỉnh bên ngồi đường trịn, cụ thể:  LỚP TỐN THẦY DŨNG - 04 QCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP / Trang 88 Trường hợp 1: Với MT tiếp tuyến AB đường kính Khi đó: Ä ä ˆ [ = sđ˜ TMB AB − sđTA ä ó ỵÄ ˆ − sđTA ˆ = 180◦ − sđTA ˆ = 90◦ − sđTA äó 1ỵ ˆ Ä ˆ = sđTB ˆ − 90◦ sđTB − 180◦ − sđTB = Trường hợp 2: Với MT, MT hai tiếp tuyến ˘0 \0 = 180◦ − sđTmT TMT ˘0 − 180◦ = sđTnT T M A B O m T M T0 O n ˜=  VÍ DỤ 5: Trên đường tròn, lấy liên tiếp ba cung AC, CD, DB cho sđ˜ AC = sđCD sđ˜ DB = 60◦ Hai đường thẳng AC BD cắt E Hai tiếp tuyến đường tròn B C cắt T Chứng minh rằng: [=[ AEB BTC CD tia phân giác [ BCT III BÀI TẬP LUYỆN TẬP  BÀI 1: Cho AB CD hai đường kính vng góc đường tròn (O) Trên cung nhỏ BD lấy điểm M Tiếp tuyến M cắt tia AB E, đoạn thẳng CM cắt AB S Chứng minh ES = EM  BÀI 2: Từ điểm M bên ngồi đường trịn (O) ta vẽ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB qua [ tâm (A nằm M B) Giả sử số đo cung nhỏ AT 60◦ Tính số đo góc TMB  BÀI 3: Qua điểm A nằm đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC AMN cho hai đường “ − BSM [ = thẳng BN CM cắt diểm S nằm bên đường tròn Chứng minh A \ 2CMN  BÀI 4: Cho đường tròn (O) dây AB Vẽ đường kính CD vng góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB) Trên cung nhỏ BC lấy điểm N Các đường thẳng CN DN cắt đường thẳng AB E F Tiếp tuyến đường tròn N cắt đường thẳng AI I Chứng minh rằng: Các tam giác I NE I NF tam giác cân AI = ( AE + AF )  BÀI 5: Cho đường trịn √ (O, R) hai đường kính AB, CD vng góc với Trên tia AB lấy điểm M cho AM = R Vẽ dây CN qua điểm M Từ N vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn Chứng minh rằng: xy ∥ AC [ CN tia phân giác góc BCD  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QUÁCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540 p TÀI LIỆU HỌC TẬP MƠN TỐN - TẬP / Trang 89  BÀI 6: Từ điểm A bên ngồi đường trịn (O) ta vẽ tiếp tuyến AB cát tuyến ACD Vẽ dây [ dây cắt CD E Chứng minh rằng: BM vng góc với tia phân giác góc BAC, [ BM tia phân giác góc CBD MD2 = ME · MB b cắt b C  BÀI 7: Cho ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Đường phân giác hai góc B E cắt đường tròn F D Chứng minh tứ giác EDAF hình thoi  BÀI 8: Cho ABC nội tiếp đường tròn P, Q, R theo thứ tự điểm cung bị chắn BC, CA, AB góc A, B, C Chứng minh AP ⊥ QR AP cắt CR I Chứng minh 4CPI tam giác cân  BÀI 9: Cho ABC nhọn AB < AC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D, E, F điểm cung nhỏ AB, BC, CA Tiếp tuyến A đường tròn cắt đường thẳng BC DF M N Gọi P Q giao điểm đường thẳng BC với đường thẳng DF AE Chứng minh AE ⊥ DF Chứng minh MA = MQ, MN = MP  BÀI 10: Cho đường tròn (O) đường kính AB, cung CD = 80◦ nằm phía AB (D thuộc [ [ cung BC) Gọi E giao điểm AC BD, F giao điểm AD BC Tính AEB, AFB  BÀI 11: Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm M thuộc tia đối tia BC Gọi I giao điểm MA với đường tròn Chứng minh rằng: ‘ \ AMC = ACI AI · AM = AC2  BÀI 12: Cho đường trịn (O), đường kính AB vng góc với dây CD Qua điểm M thuộc cung AD, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt CD I Gọi E giao điểm BM CD Chứng minh I M = IE [=\ Gọi F giao điểm AM CD Chứng minh AFC ABM  LỚP TOÁN THẦY DŨNG - 04 QCH VĂN TUẤN, P12, TÂN BÌNH Ơ 0906 804 540