Thông tin tài liệu
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Phan Nhật Linh CHỦ ĐỀ A Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TĨM TẮT LÝ THUYẾT Hàm số đơn điệu: Cho hàm số f xác định K , K khoảng, đoạn nửa khoảng • f đồng biến K với x1 , x2 K , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) • f nghịch biến K với x1 , x2 K , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I Khi đó: • Nếu hàm số f đồng biến I f ( x ) với x I • Nếu hàm số f nghịch biến I f ( x ) với x I Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I • Nếu f ( x ) , x I f ( x ) = hữu hạn điểm I hàm số đồng biến I • Nếu f ( x ) , x I f ( x ) = hữu hạn điểm I hàm số nghịch biến I • Nếu f ( x ) = , x I hàm số f không đổi I Giả sử hàm số f liên tục nửa khoảng [a; b) có đạo hàm khoảng ( a; b) • Nếu f ( x ) (hoặc f ( x ) ( với x ( a; b) hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) nửa khoảng [a; b) • Nếu f ( x ) = với x ( a; b) hàm số f khơng đổi nửa khoảng [a; b) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 01: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS B Câu 1: VÍ DỤ MINH HỌA Cho hàm số y = x − 3x Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A ( −1;1) B ( −; −1) C (1; + ) D ( −; + ) Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 2: 2x −1 , mệnh đề đây, mệnh đề đúng: x −1 A Hàm số nghịch biến B Hàm số đồng biến khoảng ( −;1) (1; + ) Cho hàm số y = C Hàm số đồng biến D Hàm số nghịch biến khoảng ( −;1) (1; + ) Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 3: Hàm số sau đồng biến A y = x − 3x ? C y = B y = x + 3x x −1 x +1 D y = x − x + Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 4: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến ? x A y = x + B y = C y = tan x x +1 Lời giải D y = x + x + x ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia Câu 5: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến tập xác định nó? 2x + A y = − x + 3x + B y = x + x + C y = D y = x + x − x −1 Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 6: 1 Cho hàm số y = − x3 + x + x − Khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến khoảng ( −2;3) B Hàm số đồng biến khoảng ( 3; + ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −; ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −2;3) Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 7: Hàm số sau đồng biến ? x −1 A y = x + x B y = C y = − x − x + x +1 Lời giải D y = x + x + ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 8: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f '( x) = − x + với x Mệnh đề sau đúng? A Hàm số cho nghịch biến B Hàm số cho đồng biến khoảng (1; + ) C Hàm số cho đồng biến khoảng ( −;1) D Hàm số cho nghịch biến khoảng ( −; −1) Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 01: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS x−2 Câu 9: Hàm số y = đồng biến khoảng đây? x +1 A ( −; −1) ( −1; + ) B ( −;1) C ( −; −1) ( −1; + ) D \ −1 Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục biến khoảng A ( 2;3) có f ( x ) = x ( x + )(1 − x ) Hàm số cho nghịch B ( −1;1) C ( 0; ) D ( −;1) Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 11: Hàm số y = x3 + 3x − 12 x + 2021 nghịch biến khoảng sau đây? A ( −2;1) B (1; + ) C ( −; ) D ( −; −2 ) Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 12: Khoảng đồng biến hàm số y = x + x − x + A (0; 2) C − ;1 B (1; +) D ( −3;1) Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | Phan Nhật Linh C Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dạng 1: Mở đầu tính đơn điệu hàm số Dựa vào kiến thức nêu phần lý thuyết Câu 1: x +1 Mệnh đề sau đúng? x −1 A Hàm số cho nghịch biến khoảng ( −;1) Cho hàm số y = B Hàm số cho đồng biến khoảng ( 0;+ ) C Hàm số cho đồng biến khoảng ( −;1) khoảng (1;+ ) D Hàm số cho nghịch biến tập Câu 2: Trong hàm số sau, hàm số đồng biến A y = x + x Câu 3: \ 1 B y = x3 + x ? C y = x + x D y = x +1 x+3 x +1 Mệnh đề đúng? −x +1 A Hàm số đồng biến khoảng ( −;1) (1; + ) Cho hàm số y = B Hàm số nghịch biến khoảng ( −;1) (1; + ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −;1) (1; + ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −;1) (1; + ) Câu 4: Cho hàm số y = x + 2022 Khẳng định sau đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng (0; + ) B Hàm số nghịch biến ( −;1) C Hàm số đồng biến khoảng (2022; +) D Hàm số đồng biến Câu 5: Câu 6: Hàm số nghịch biến ? 3x + A y = B y = −3x − x + 1 x−2 C y = x − x + Cho hàm số y = x + x + ; y = x3 + x + x + ; y = x −1 ; y = x + x + Trong hàm x+2 số cho, có hàm số đồng biến ? A B C Câu 7: Câu 8: D y = − x − x + 1 Hàm số sau nghịch biến khoảng xác định nó? x−2 −x + x−2 A y = B y = C y = x+2 x+2 −x + D D y = x+2 −x + Cho hàm số y = x + x + Mệnh đề đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −; + ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −; −1) nghịch biến khoảng ( −1; + ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −; −1) đồng biến khoảng ( −1; + ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 01: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS D Hàm số đồng biến khoảng ( −; + ) Câu 9: Trong hàm số sau, hàm số nghịch biến ? A y = x + B y = − x + 3x − x + C y = − x − x D y = x −1 x+2 Câu 10: Hàm số y = −2 x3 + 3x + đồng biến khoảng khỏng đây? A ( −1;1) B ( −;0 ) (1; + ) C ( 0;1) D ( 0; ) Câu 11: Hàm số sau nghịch biến khoảng ( −; + ) ? x +1 x −1 B y = C y = − x3 + 3x − x D y = − x + x + x+3 x−2 Câu 12: Cho hàm số y = x − 3x Mệnh đề đúng? A y = A Hàm số nghịch biến khoảng ( −;0 ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( 2; + ) D Hàm số đồng biến khoảng ( 0; ) Câu 13: Hàm số đồng biến khoảng ( − ; + ) ? A y = x + x − B y = x3 − x + 12 D y = C y = x + x x −3 x+2 x +1 Mệnh đề sau đúng? x −1 A Hàm số cho nghịch biến khoảng ( −;1) Câu 14: Cho hàm số y = B Hàm số cho đồng biến khoảng (0; +) C Hàm số cho đồng biến khoảng ( −;1) khoảng (1; + ) D Hàm số cho nghịch biến tập \{1} Câu 15: Hàm số y = − x + x đồng biến khoảng đây? A ( 0; ) B ( −;0 ) Câu 16: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm C ( 2;+ ) biến khoảng đây? A ( −2;1) B ( −2; ) Câu 17: Hàm số sau nghịch biến ? A y = B y = x − x + x −1 Câu 18: Hàm số nghịch biến ? A y = − x − x B y = − x − x C (1; ) D ( 0; + ) C y = −2022 x + D y = − x + C y = − x + x D y = Câu 19: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) = x ( x − ) , với x khoảng đây? A ( −2; ) B ( 2; + ) D ( 0;2 ) f ( x ) = ( − x ) ( x + ) (1 − x ) Hàm số f ( x ) đồng C ( 0;1) x+2 x −1 Hàm số cho nghịch biến D ( −; ) TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia Câu 20: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) = ( x + 1)( − x ) , x Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A ( − ;3) B ( −1;3) C ( −1; + ) D ( − ; − 1) Câu 21: Hàm số y = x − x − nghịch biến khoảng sau đây? B ( −1;0 ) A ( −3;0 ) C ( 0;+ ) D ( 0;1) Câu 22: Hàm số y = x3 − 3x + x + nghịch biến khoảng đây? A (1;5 ) B (1; + ) C ( 5; + ) D ( −;1) ( ) Câu 23: Hàm số y = ( x − ) x + nghịch biến khoảng đây? A ( −; ) 1 B ;1 3 C (1;3) D ( 2;3) Câu 24: Hàm số y = x + x − đồng biến khoảng đây? A ( −1;0 ) (1; + ) B ( 0; + ) C ( − ; − 1) ( 0;1) D ( − ;0 ) Câu 25: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ( x ) = ( x − )( x + 5)( x + 1) Hỏi hàm số f ( x ) đồng biến khoảng đây? A ( 2; + ) B ( −2;0 ) C ( 0;1) D ( −6; − 1) Câu 26: Cho hàm số y = x − x + 2019 Mệnh đề sau sai? A Hàm số nghịch biến khoảng ( − ; −2 ) B Hàm số nghịch biến khoảng ( 0; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( 2; + ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( − ; ) Câu 27: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đạo hàm f ( x ) = ( x + 1) ( x − 1) ( − x ) Hàm số g ( x ) = −2 f ( x ) nghịch biến khoảng đây? A (1; ) B ( −; −1) C ( −1;1) D ( 2; + ) Câu 28: Hàm số y = x3 − x + x + nghịch biến khoảng đây? 1 A − ; 3 B (1; + ) C − ;1 Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ( x ) = x ( x + 1) , x khoảng đây? A ( 0;+ ) B ( −1; + ) C ( −; −1) 1 D ;1 3 Hàm số y = f ( x ) nghịch biến D ( −1;0 ) Câu 30: Hàm số y = x − x đồng biến khoảng đây? A ( − ; + ) B ( 3; + ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 C ( −1; + ) D ( − ; ) Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia Dạng 2: Tính đơn điệu hàm số có chứa tham số Tính đơn điệu hàm liên tục khoảng - đoạn Nếu hàm số f ( x ) liên tục đoạn a; b , phát biểu sau tương đương: • Hàm số f ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a; b ) • Hàm số f ( x ) đồng biến (nghịch biến) đoạn a; b • Hàm số f ( x ) đồng biến (nghich biến) a; b ) • Hàm số f ( x ) đồng biến (nghịch biên) ( a; b Bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) Cho số không âm a, b, c , ta có: • a + b ab ; dấu xảy chi a = b • a + b + c 3 abc ; dấu xảy chi a = b = c Tổng quát: Với n số không âm a1 , a2 ,, an , ta ln có trung bình cộng n số lớn trung bình nhân n số Cụ thể: a1 + a2 + + an n a1a2 an n Dấu xảy khi: a1 = a2 = = an Vấn đề hàm số biến thành hàm hằng: Ta biết hàm số f ( x ) có đạo hàm K , f ( x ) đồng biến K f ( x ) 0, x f ( x ) điểm rời rạc Đa số trường hơp f ( x ) ), hàm số x +m vô hạn điểm liên tục Tuy nhiên có số trường hợp cần phải điểm rời rạc (ví dụ y = x + mx; y = x3 + mx + 2mx + 1; y = x + xét trường họp̣ m để cảnh giác vấn đề f ( x ) suy biến thành hàm Chú ý ví dụ sau: • Ví dụ 1: f ( x ) = mx + mx + Có f ( x ) = 3mx + 2mx Nếu m = f ( x ) = 0, x nên f ( x ) hàm m = f ( x ) khơng đồng biến khơng nghịch biến • Ví dụ 2: f ( x ) = x−m 1+ m x −1 Nếu m = −1 f ( x ) = 0, x −1 có f ( x ) = x +1 ( x + 1) nên f ( x ) suy biến thành hàm nghịch biến | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 \ −1 nên f ( x ) không đồng biến không CHƯƠNG 01: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS Ví dụ minh họa Câu 1: x + m2 − Gọi S tập tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = đồng biến x−m khoảng ( −; −2 ) Tổng phần tử S A −2 B C D Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 2: Tìm tất giá trị tham số m cho hàm số y = x3 − x + mx + đồng biến B m A m C m D m −3 Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 3: Cho hàm số f ( x ) = ( x + 2a )( x + 2b − a )( ax + 1) Có cặp ( a; b ) để hàm số f ( x ) đồng biến A ? B D vô số C Lời giải ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… Câu 4: Có tất giá trị nguyên m y = x3 − 2mx + (3m + 5) x + 2021 đồng biến ? A B C Lời giải tham số m để hàm số D ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… ………………………………………………………………… …………………………………………………………… TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia trị tham số m độ dài AB ngắn nhất? A m ( −3; −2 ) B m ( −2; −1) C m (1; ) D m ( −1;1) Lời giải Chọn D Đồ thị ( C ) cắt trục tung điểm ( 0; m ) f ( ) = Vậy tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm ( 0; m ) có phương trình y = x + m Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = là: 2x + đường thẳng y = x + m x −1 x 2x + = 2x + m x −1 2 x + ( m − ) x − − m = () Đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x + hai điểm phân biệt ( ) có hai x −1 m2 + 48 0, m nghiệm phân biệt khác 2.1 + ( m − ) − − m Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình ( ) suy A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x2 ; x2 + m ) ( x2 − x1 ) Ta có AB = + ( x2 − x1 ) ( m − )2 + ( m + 4) = ( x2 + x1 ) − x1 x2 = m + 48 = 5 15 Dấu " = " xảy m = 2x +1 Tiếp tuyến đồ thị ( C ) x −1 điểm M cắt đường tiệm cận ngang ( C ) điểm A Hỏi có điểm M thỏa Câu 25: Xét điểm M có hồnh độ số ngun thuộc đồ thị ( C ) : y = điều kiện A cách gốc tọa độ khoảng cách nhỏ 10 ? A B C Lời giải Chọn B , x Ta có y = − ( x − 1) 2a + với a , a a −1 Tiếp tuyến với ( C ) điểm M có phương trình Giả sử M ( a; b ) ( C ) Khi b = : y = − ( x − a ) + 2a + a −1 ( a − 1) Đồ thị ( C ) có TCN đường thẳng Ta có d = A ( 2a − 1; ) d : y = Theo ta có OA 10 ( 2a − 1) + 40 7 4a − 4a − 35 a − ; 2 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 D CHƯƠNG 01: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS Do a , a a −2; −1;0; 2;3 Vậy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán Câu 26: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( P ) hình bên đường thẳng : y = x − tiếp tuyến ( P ) điểm A Xét hàm số g ( x ) = A g ' ( ) = B g ' ( ) = f ( x) Tính g ' ( ) x C g ' ( ) = − Lời giải D g ' ( ) = − Chọn A Đặt y = f ( x ) = ax + bx + c, với a, b, c số thực a Vì ( P ) qua điểm A ( 2; ) , B ( 0; ) nên ta có hệ phương trình 2 = 4a + 2b + c 2a + b = , (1) 2 = c c = Vì đường thẳng : y = x − tiếp tuyến ( P ) điểm A nên ta có f ' ( ) = 4a + b = 2, ( ) a = Từ (1) ( ) suy b = −2 c = f ( x ) x2 − x + 2 = = x−2+ Ta có y = f ( x ) = x − x + suy g ( x ) = x x x Ta có g ' ( x ) = − Câu 27: 2 g ' ( 2) = − = x ( 3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , giả sử đồ thị ( G ) hàm số y = ln x cắt trục tung điểm A tiếp tuyến ( G ) A cắt trục hồnh điểm B Tính diện tích tam giác OAB ( kết làm trịn đến hang phần nghìn) A 0, 603 B 0, 414 C 0,829 D 1, 207 Lời giải Chọn C Cho x = y = = log e Khi A ( 0;log e ) ln ( 3) Ta có y = ln x ln = ( 3) x TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 14 Phan Nhật Linh Tiếp tuyến ( G ) A có phương trình dạng: y = y ( )( x − ) + y ( ) = Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia x + log e Tiếp tuyến ( G ) A cắt trục hoành điểm B nên B ( −2 log e;0 ) Diện tích tam giác OAB là: 1 S = OA.OB = log e −2 log e 0,829 (đvdt) 2 Câu 28: Cho hàm số y = f ( x ) = x − 3x có đồ thị ( C ) hàm số y = g ( x ) = x có đồ thị ( P ) Hỏi hai đồ thị ( C ) ( P ) có tất tiếp tuyến chung? A B D C Lời giải Chọn D Gọi A ( a ; a ) thuộc đồ thị ( P ) Phương trình tiếp tuyến A có dạng y = g ( a )( x − a ) + a Hay y = 2a ( x − a ) + a = 2ax − a ( d ) Để ( d ) tiếp tuyến ( C ) ( d ) ( C ) phải tiếp xúc với x3 − 3x = 2ax − a (1) Ta có điều kiện tiếp xúc: ( 2) 3x − = 2a 3x − x − 18 x + 3 Thế ( ) vào (1) ta x − 3x = ( 3x − 3) x − x − x = x − x − x 1,82 x − x3 − 18 x + = x 0, 68 Vậy hai đồ thị ( C ) ( P ) có tất hai tiếp tuyến chung x +1 có đồ thị (C ) đường thẳng d : y = −2 x + m − ( m tham số thực) Gọi x+2 k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến (C ) giao điểm d (C ) Tính tích k1.k2 Câu 29: Cho hàm số y = A k1.k2 = B k1.k2 = C k1.k2 = D k1.k2 = Lời giải Chọn C Xét phương trình x +1 = −2 x + m − x + (6 − m) x + − 2m = ( x −2) (1) x+2 Đặt f ( x) = x + (6 − m) x + − 2m Ta có f (−2) = −1 = m + 4m + 12 0, m Vậy phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt x1 , x2 Theo Viet ta có m−6 x1 + x2 = x x = − 2m 1 x +1 Từ y = ta có y = Do ta có k1 = ; k2 = 2 x+2 ( x1 + 2) ( x2 + 2) ( x + 2) 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 01: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS 1 k1.k2 = = = 2 ( x1 + 2) ( x2 + 2) x1.x2 + 2( x1 + x2 ) + 4 − 2m 2m − 12 Mà x1.x + 2( x1 + x2 ) + 4 = + + 4 = Vậy k1 k2 = 2 x − 3x + Câu 30: Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = ( P ) Parabol có phương trình x −1 y = ax + bx − Biết từ điểm A ( 4;1) kẻ hai tiếp tuyến với ( C ) Gọi k1 ; k2 hệ số góc hai tiếp tuyến gọi I đỉnh ( P ) Khi ( P ) qua M ( k1 ;0 ) , N ( k2 ;0 ) , tính bán kính R đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN 47 12 A R = B R = C R = 100 25 Lời giải Chọn D Ta có: y = D R = 161 36 x − 3x + 2 = x−2+ y = − x −1 x −1 ( x − 1) Gọi Q ( x0 ; y0 ) , y0 = x0 − + x0 − Giả sử phương trình tiếp tuyến ( C ) Q có dạng y = f ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Vì tiếp tuyến qua A ( 4;1) nên: = f ( x0 ) ( − x0 ) + y0 2 = 1 − − x0 ) + x0 − + 2 ( x0 − ( x0 − 1) x02 − x0 + = ( x02 − x0 − 1) ( − x0 ) + ( x02 − x0 + ) ( x0 − 1) x02 − x0 + = − x03 + x02 − x0 − + x03 − x02 + x0 − x02 + x0 − = − 10 x0 = −1 + 10 k1 = − 10 + 10 M ;0 , N ;0 9 + 10 x0 = −1 − 10 k1 = − 10 + 10 ;0 , N ;0 nên Vì ( P ) qua M 9 − 10 2 − 10 a + b − = 9 a = 18 b = −8 + 10 + 10 + b − = a 9 Do Parabol cần tìm y = 18 x − x − −80 Tọa độ đỉnh I ; 9 Phương trình đường thẳng MN : y = TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 16 Phan Nhật Linh d ( I , MN ) = Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 80 10 664 664 , MI = ; MN = , NI = 9 9 1 10 80 160 10 S IMN = MN d ( I , MN ) = = 2 9 81 MN MI NI 161 R= = S IMN 36 Câu 31: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục hai đường thẳng 1 : y = h ( x ) : y = g ( x ) có đồ thị hình vẽ Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = a (với a ; b b A (15; 25 ) k= f ( x ) h ( x ) g ( x) điểm có hồnh độ x = có dạng a tối giản) Khi a + b thuộc khoảng sau đây? b B ( −20;10 ) C ( 60;80 ) D ( −30; −21) Lời giải Chọn A Ta có ( C ) : y = f ( x ) h ( x ) g ( x) f ( x ) h ( x ) + f ( x ) h ( x ) g ( x ) − f ( x ) h ( x ) g ( x ) y = g ( x ) f ( ) = 2; g ( ) = 7; h ( ) = Dựa vào đồ thị ta có g ( x ) = x + , h ( x ) = − x + f ( ) = 0; g ( ) = 2; h ( ) = −1 Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = h ( x ) g ( x ) f ( x) điểm có hồnh độ x = f ( ) h ( ) + f ( ) h ( ) g ( ) − f ( ) h ( ) g ( ) −30 k = y ( ) = = 49 g ( ) −30 a a = −30 = a + b = 19 Như k = 49 b b = 49 Câu 32: Gọi S tập tất giá trị tham số m để đường thẳng y = x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 + Tổng tất phần tử S 17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 01: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS A B C −1 Lời giải Chọn B D x + = 3x + m Để đường thẳng y = x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x3 + 3x = (1) có nghiệm m = x3 − 3x + x + = x + m m = −1 Giải hệ ( 1) x = 3x = m = x = −1 Vậy tổng giá trị m là: −1 + = Câu 33: Cho f ( x) hàm đa thức có đồ thị hình vẽ bên Gọi S = f ( a ) , f ( b ) , f ( c ) , f ( d ) , f ( ) Phần tử lớn tập hợp S là: A f ( a ) C f ( ) B f ( b ) D f ( d ) Lời giải Gọi , góc tạo tiếp tuyến c, d f ( c ) = tan f ( d ) = tan f ( c ) f ( d ) Vậy phần tử lớn tập hợp S là: f ( d ) Câu 34: Cho biết tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ x = y = x − ( ) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f x − điểm có hồnh độ x = A y = x − B y = x − C y = x − D y = x − Lời giải Chọn C Theo đề, ta có f (1) = tiếp tuyến điểm có hồnh độ x =1 y = ( x − 1) + f (1) = x + f (1) − , suy f (1) = ( ) ( ) Xét hàm số y = f x − Ta có y = xf x − Suy y (1) = f (1) = Từ ta loại ba đáp án A, B, D Câu 35: Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Tiếp tuyến ( C ) A cắt ( C ) B ( x2 ; y2 ) với B khác A thỏa y2 − y1 = −24 ( x2 − x1 ) Số điểm A thỏa mãn A B C D TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 18 Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia Lời giải Chọn A Tiếp tuyến ( C ) A có phương trình y − y1 = y ( x1 ) ( x − x1 ) Do B thuộc tiếp tuyến ( C ) A nên y2 − y1 = y ( x1 )( x2 − x1 ) y ( x1 ) = y2 − y1 = −24 x2 − x1 Do x1 nghiệm phương trình x − x = −24 x − x + = x = −2 Từ suy có điểm A thỏa mãn tốn x+2 có đồ thị ( C ) điểm A ( 0; a ) Có tất giá trị nguyên a x −1 đoạn −2018; 2018 để từ A kẻ hai tiếp tuyến đến ( C ) cho hai tiếp điểm nằm Câu 36: Cho hàm số y = hai phía trục hồnh A 2019 B 2020 C 2017 Lời giải D 2018 Chọn D Ta có y = − ( x − 1) Tiếp tuyến với đồ thị ( C ) qua A ( 0; a ) ( Δ ) : y = kx + a x+2 x − = kx + a ( Δ ) tiếp xúc với ( C ) hệ phương trình − =k ( x − 1) Từ hệ (*) ta có ( *) có nghiệm x+2 3x =− + a ( a − 1) x − ( + a ) x + + a = (**) x −1 ( x − 1) Yêu cầu tốn tìm a để phương trình (**) có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x1 + x2 + x1 − x2 − 2+a S = x1 + x2 = a − Ta có P = x x = ( + a ) a −1 a a a a 3a + a −2 Yêu cầu toán tương đương a − P + 2S + 9a + 0 a − P − S +1 −3 Do m nguyên thuộc đoạn −2018; 2018 nên m 0; 2;3; 4;; 2018 Vậy có 2018 giá trị thỏa yêu cầu toán 19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 01: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS Câu 37: Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Tiếp tuyến ( C ) A cắt ( C ) B ( x2 ; y2 ) với B khác A thỏa y2 − y1 = −24 ( x2 − x1 ) Số điểm A thỏa mãn A B C Lời giải D Chọn A Tiếp tuyến ( C ) A có phương trình y − y1 = y ( x1 ) ( x − x1 ) Do B thuộc tiếp tuyến ( C ) A nên y2 − y1 = y ( x1 )( x2 − x1 ) y ( x1 ) = y2 − y1 = −24 x2 − x1 Do x1 nghiệm phương trình x − x = −24 x − x + = x = −2 Từ suy có điểm A thỏa mãn tốn Câu 38: Tìm điểm M có hoành độ âm đồ thị ( C ) : y = x3 − x + cho tiếp tuyến M vng 3 góc với đường thẳng d : y = − x + 3 4 4 A M ( −2; −4 ) B M −1; C M ( −2;0 ) D M 2; − 3 3 Lời giải Chọn C Đường thẳng d : y = − x + có hệ số góc − tiếp tuyến có hệ số góc 3 Gọi tọa độ M M ( x0 ; y0 ) hệ số góc tiếp tuyến M y ' ( x0 ) = x0 − x0 = Từ ta có x02 − = x = − Theo giả thiết, điểm M có hồnh độ âm nên x0 = −2 Vậy tọa độ M ( −2;0 ) Câu 39: Cho đa thức f ( x ) với hệ số thực thỏa mãn điều kiện f ( x ) + f (1 − x ) = x , x Biết tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = đồ thị hàm số y = f ( x ) tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác đó? A B C D Lời giải Chọn A Ta có: f ( x ) + f (1 − x ) = x , x (1) Đặt t = − x f (1 − t ) + f ( t ) = (1 − t ) , t f (1 − t ) + f ( x ) = (1 − x ) , t ( 2) 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x f ( x) = ( x + x − 1) Từ (1) (2) ta có: 2 f (1 − x ) + f ( x ) = (1 − x ) Suy ra: f (1) = ; f '(1) = 3 TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 20 Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia Suy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ x = là: y= 4 ( x − 1) + y = x − 3 3 2 1 Tiếp tuyến cắt trục hoành A ; cắt trục tung B 0; − 3 2 Suy diện tích tam giác OAB là: S = 1 OA.OB = − = 2 Câu 40: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e ( a ) có đồ thị ( C ) Biết ( C ) cắt trục hoành điểm phân biệt A ( x1;0 ) , B ( x2 ;0 ) , C ( x3 ;0 ) , D ( x4 ;0 ) ; với x1 , x2 , x3 , x4 theo thứ tự lập thành cấp số cộng hai tiếp tuyến ( C ) A, B vng góc với Khi đó, giá trị biểu thức P = f ' ( x3 ) + f ' ( x4 ) 1011 4 A 3 4 B 3 2022 2022 1011 4a D 4a + Lời giải 2022 Chọn A Ta có: x1 , x2 , x3 , x4 bốn nghiệm phân biệt phương trình f ( x ) = f ( x ) = a ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) Gọi m công sai cấp số cộng f ' ( x ) = a ( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) + ( x − x1 ) a ( x − x2 ) ( x − x3 ) ( x − x4 ) ' f ' ( x1 ) = a ( x1 − x2 ) ( x1 − x3 ) ( x1 − x4 ) = a ( x1 − x1 − m )( x1 − x1 − 2m )( x1 − x1 − 3m ) = −6am3 Tương tự: f ' ( x2 ) = 2am3 ; f ' ( x3 ) = −2am3 ; f ' ( x4 ) = 6am3 Tiếp tuyến ( C ) A, B vng góc với f ' ( x1 ) f ' ( x2 ) = −1 a m6 = Do đó: P = f ' ( x3 ) + f ' ( x4 ) 2022 ( = −2am + 6am 3 ) 2022 ( = 4am ) 2022 ( 12 = 16a m ) 1011 1011 4 = 3 y = f ( x ) ; y = f ( f ( x ) ) ; y = f ( x + x − 1) có đồ thị Câu 41: Cho hàm số ( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 ) Đường thẳng x = cắt ( C1 ) ; ( C2 ) ; ( C3 ) A, B, C Biết phương trình tiếp tuyến ( C1 ) A ( C2 ) B y = x + y = x + Phương trình tiếp tuyến ( C3 ) C A y = x − C y = 24 x − 27 B y = 12 x + D y = x + Lời giải Chọn C ( ) Ta có A ( 2; f ( ) ) ; B 2; f ( f ( ) ) ; C ( 2; f ( ) ) Khi phương trình tiếp tuyến ( C1 ) A y = f ( )( x − ) + f ( ) = x + nên f ( ) = f ( ) = Phương trình tiếp tuyến ( C2 ) B y = f ( ) f ( f ( ) ) ( x − ) + f ( f ( ) ) = x + nên f ( ) = f ( ) = 21 21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 01: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS Vậy phương trình tiếp tuyến ( C3 ) C y = f ( )( x − ) + f ( ) = 24 x − 27 Câu 42: Cho hàm số y = x + 3x + x + m có đồ thị ( C ) , A ( 3; ) , B ( −3;1) Điểm M thuộc trục hồnh thỏa mãn MA + MB nhỏ Có giá trị m để tiếp tuyến ( C ) qua điểm M tạo với Ox góc 45 A B C Lời giải D Chọn B Gọi M ( a ; ) thuộc trục hoành Lấy điểm A ( 3; − ) điểm đối xứng A qua Ox Vì MA + MB = MA + MB AB nên MA + MB nhỏ M giao điểm AB Ox Ta có AB = ( 6; − 3) = ( 2; − 1) nAB = (1; ) Suy phương trình AB ( x + 3) + ( y − 1) = x + y + = Do M ( −1;0 ) Gọi phương trình tiếp tuyến qua M có dạng y = k ( x + 1) có đồ thị ( d ) k = Theo ( d ) tạo với Ox góc 45 , suy k = tan 45 = k = −1 x3 + 3x + x + m = k ( x + 1) Điều kiện tiếp xúc ( d ) ( C ) 3x + x + = k m = ( 3x + x + ) ( x + 1) − ( x3 + 3x + x ) = x3 + x + x + (1) Trường hợp 1: Khi k = x + x + = x = −1 , thay vào (1) ta m = Trường hợp 2: Khi k = −1 3x + x + = −1 x + x + = , phương trình vơ nghiệm Vậy có giá trị m thỏa mãn điều kiện toán Câu 43: Gọi ( P ) đồ thị hàm số y = x + x + điểm M di chuyển ( P ) Gọi ( d1 ) , ( d ) đường thẳng qua M cho ( d1 ) song song với trục tung ( d1 ) , ( d ) đối xứng qua tiếp tuyến ( P ) M Biết M di chuyển ( P ) ( d ) qua điểm cố định I ( a; b ) Đẳng thức sau đúng? A 3a + 2b = B a + b = C an = −1 Lời giải D 5a + 4b = Chọn D Ta có y = x + x + y ' = x + ( ) Gọi M m; m + 2m + , phương trình tiếp tuyến M có dạng: : y = ( 2m + )( x − m ) + m + 2m + = ( 2m + ) x − m + Ta có d1 : x = m cos ( d1 ; ) = Gọi 2m + ( 2m + ) + k ( 2m + ) + d : y = kx + n cos ( d ; ) = ( 2m + ) + a + k ( 2m + ) + = 2m + a + TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 22 Phan Nhật Linh k= Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 4m2 + 8m + 4m2 + 13m + n= ( 2m + ) 4m + 4m2 + 8m + 4m2 + 13m + x+ 4m + 4m + 5m + 5 Với x = −1 y = = d qua điểm 4m + 4 d2 : y = Câu 44: Cho hàm số f ( x) = x + 5 I −1; cố định 4 Cho điểm M ( a; b) cho có hai tiếp tuyến đồ thị hàm x số y = f ( x ) qua M, đồng thời hai tiếp tuyến vng góc với Biết điểm M ln thuộc đường trịn cố định, bán kính đường trịn B A C Lời giải D Chọn A t2 +1 Giả sử điểm A t ; , (t 0) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x ) t x2 −1 Ta có f ( x) = x + f '( x) = x x2 Phương trình tiếp tuyến A đồ thị hàm số y = f ( x ) là: t −1 t2 +1 y = (x − t) + t t Mà tiếp tuyến qua điểm M nên ta có: t −1 t2 +1 ( a − t ) + (a − b)t + 2t − a = (1) t t Qua M kẻ hai tiếp tuyến tới đồ thị hàm số y = f ( x ) , đồng thời hai tiếp tuyến vng góc b= với nên phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 thỏa mãn a b a f '(t1 ) f '(t2 ) = −1 hay ' = + a(a − b) t −1 t −1 2 = −1 t2 t1 t1 + t2 = b − a Theo định lý Vi-et, ta có t t = a b − a nên t12 − t22 − = −1 2t12t22 − (t12 + t22 ) + = 2t12t22 − (t1 + t2 ) + 2t1t2 + = t1 t2 2 a a 2 + = a + b = − +2 b−a b−a b−a 23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 01: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS a + b = Do a nên từ a + b = suy b , a + a ab ab Suy a b a Như vậy, tập hợp tất điểm M ( a; b) thỏa mãn yêu cầu đề đường trịn tâm O, bán kính 2, bỏ điểm B(0; 2), C (0; 2), D ( ) ( ) 2; , E − 2; − Câu 45: Cho hàm số y = f ( x ) = x − x3 + x có đồ thị ( C ) Gọi S tập chứa tất giá trị thực tham số a để có tiếp tuyến kẻ từ A = ( a;0 ) đến ( C ) Số phần tử S A B C Lời giải D Vô số Chọn B Gọi đường thẳng qua A ( a; ) có hệ số góc k , phương trình đường thẳng y = k ( x − a ) x − x + x = k ( x − a ) (1) Do tiếp tuyến ( C ) , xét hệ phương trình ( I ) : (2) x − x + x = k Thế ( ) vào (1) , ta có: x − x3 + x = ( x3 − x + x ) ( x − a ) x ( x − 1) 3x − ( 4a + 1) x + 2a = x = x = 3x − ( 4a + 1) x + 2a = ( 3) x = x = k = , ta xét k = x3 − x + x = x = Do x = x = x = Khi , ta thu phương trình tiếp tuyến : y = x = 1 x= phương trình tiếp tuyến : y = , tiếp tuyến không qua A ( a; ) Khi 16 x= không thỏa mãn hệ ( I ) ( 3) ) (Nói cách khác Bài tốn trở thành tìm a để ( 3) có nghiệm phân biệt có nghiệm thuộc 0;1 ( 3) có nghiệm kép khác 0; 1; TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 24 Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia Trường hợp 1: ( 3) có nghiệm phân biệt có nghiệm thuộc 0;1 = − ( 4a + 1) − 4.3.2a a = 2a = a = 3 − ( 4a + 1) + 2a = Trường hợp 2: Phương trình ( 3) có nghiệm kép khác 0; 1; = 16a − 16a + = 2+ a a = 3 − ( a + 1) + 2a 2− a = − ( 4a + 1) + 2a − + ; Vậy đáp án toán S = 0;1; 4 Câu 46: Cho hàm số y = f ( x ) = x − x3 + x có đồ thị ( C ) Gọi S tập chứa tất giá trị thực tham số a để có tiếp tuyến kẻ từ A ( a;0 ) đến ( C ) Số phần tử S B A D vô số C Lời giải Chọn B Ta có y = f ( x ) = x − x3 + x , suy y = f ( x ) = x − x + x Đường thẳng d qua A ( a;0 ) với hệ số góc k có phương trình y = k ( x − a ) Đường thẳng d tiếp tuyến ( C ) hệ phương trình sau có nghiệm x − x + x = k ( x − a ) 4 x − x + x = k (1) ( 2) Thay ( ) vào (1) ta x − x3 + x = ( x − x + x ) ( x − a ) 3x − ( 4a + ) x + ( 6a + 1) x − 2ax = x = x ( x − 1) 3x − ( 4a + 1) x + 2a = x = g ( x ) = 3x − ( 4a + 1) x + 2a = ( 3) x = k = Nhận xét: phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = , x = x = k = có dạng y = Khi để có tiếp tuyến kẻ từ A ( a;0 ) đến ( C ) xảy trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình ( 3) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm hoặc 16a − 16a + 16a − 16a + a = g ( ) = 2a = a = a = g = 3.12 − 4a + 1 + 2a = a = ( ) ( ) 25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716 CHƯƠNG 01: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐTHS Trường hợp 2: Phương trình ( 3) có nghiệm kép khơng thuộc tập hợp 0;1 2+ = 16a − 16a + = a= g ( ) a − a = a g (1) + − Do S = 0;1; ; 4 Vậy tập S có phần tử x + 2mx + 2m2 − cắt trục hoành hai điểm x −1 hai điểm vng góc với Khi ta có : Câu 47: Gọi m giá trị để đồ thị ( Cm ) hàm số y = phân biệt tiếp tuyến với ( Cm ) A m (1; ) B m ( −2; −1) C m ( 0;1) D m ( −1;0 ) Lời giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm ( Cm ) với trục hoành : f ( x ) = x + 2mx + 2m − = ( x 1)(1) −m2 + −1 m ( Cm ) cắt trục hoành hai điểm phân biệt f (1) 2m + 2m m x1 + x2 = −2m Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (1) , theo vi et ta có : x1 x2 = 2m − x − x − 2m − 2m + Ta có : y = ( x − 1) Tiếp tuyến hai giao điểm vng góc với y ( x1 ) y ( x2 ) = −1 ( x12 − x1 − 2m − 2m + 1)( x22 − x2 − 2m − 2m + 1) + ( x1 − 1) ( x2 − 1) = ( ) ( x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1) − ( 2m + 2m ) ( x1 + x2 ) − x1 x2 − ( x1 + x2 ) + + ( 2m + 2m ) = 2 ( 2m2 + 2m ) − ( 2m2 + 2m )( 4m − 4m + + 4m + ) + ( 2m2 + 2m ) = 2 m = −1 ( l ) 2m + 2m − 4m − = 6m + 2m − = Vậy m = m = ( tm ) ( ) Câu 48: Trên đường thẳng d : y = x + có điểm kẻ đến đồ thị ( C ) : y = tiếp tuyến A B C Lời giải x+3 x −1 D Vô số Chọn B Gọi M d M ( a; 2a + 1) Gọi A ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến d1 kẻ từ M với ( C ) TÀI LIỆU TOÁN 12 THPT | 26 Phan Nhật Linh Nắm trọn chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia x +3 −4 Phương trình tiếp tuyến d1 : y = y ( x0 )( x − x0 ) + y0 y = x − x0 ) + ( x0 − ( x0 − 1) Vì M d1 nên 2a + = −4 ( x0 − 1) ( a − x0 ) + x0 + x0 − ( 2a + 1)( x0 − 1) = −4 ( a − x0 ) + ( x0 + 3)( x0 − 1) , ( x0 1) a.x02 − ( a + ) x0 + 3a + = (1) Từ M kẻ đến ( C ) tiếp tuyến (1) có nghiệm x0 TH1: a = Suy a = thỏa mãn TH2: a , PT (1) có nghiệm kép x0 (1) x0 = a = −1 = ( a + )2 − a ( 3a + ) = a = −1 a=2 ( a + 2) a = 1 a + −1 − 2a a TH3: a , PT (1) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm = −2a + 2a + a.1 − ( a + ) + 3a + = −1 a a = a = Kết hợp trường hợp suy có điểm M thỏa mãn yêu cầu toán 27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh - SĐT: 0817.098.716
Ngày đăng: 31/08/2023, 19:10
Xem thêm:
