nam-tron-chuyen-de-ham-so

TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2021 NẮM TRỌN CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ (Dùng cho học sinh 11,12 luyện thi Đại học năm 2021) ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ THÁNG 10/2020 LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh, quý thầy cô bạn đọc thân mến ! Kỳ thi THPT Quốc Gia kỳ thi quan trọng Để tham dự đạt kết cao việc trang bị đầy đủ kiến thức kĩ cần thiết điều vô quan trọng Thấu hiểu điều đó, chúng tơi cúng tiến hành biên soạn sách “ Nắm trọn chun đề mơn Tốn 2021 ” giúp em học sinh ơn luyện hồn thiện kiến thức trọng tâm phục vụ kỳ thi, làm tài liệu giảng dạy tham khảo cho quý thầy cô trước thay đổi phương pháp dạy học kiểm tra Bộ Giáo dục Đào tạo Bộ sách biên soạn gồm quyển: • Quyển 1: Nắm chọn chuyên đề Hàm số • Quyển 2: Nắm trọn chuyên đề Mũ – Logarit Tích phân • Quyển 3: Hình học khơng gian • Quyển 4: Hình học Oxyz Số phức Trong sách, chúng tơi trình bày cách rõ ràng khoa học – tạo thuận lợi cho em học tập tham khảo Đầu tiên tóm tắt tồn lý thuyết phương pháp giải dạng toán Tiếp theo hệ thống ví dụ minh họa đa dạng, tiếp cận xu hướng đề kỳ thi THPT Quốc Gia năm gần bao gồm mức độ: Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng Vận dụng cao Cuối phần tập rèn luyện từ đến nâng cao để em hoàn thiện kiến thức, rèn tư rèn luyện tốc độ làm Tất tập sách tiến hành giải chi tiết 100% để em tiện lợi cho việc so sánh đáp án tra cứu thơng tin Để biên soạn đầy đủ hồn thiện sách này, nhóm tác giả có sưu tầm, tham khảo số tốn trích từ đề thi Sở, trường Chuyên nước số tốn thầy/cơ tồn quốc Chân thành cảm ơn q thầy sáng tạo toán hay phương pháp giải tốn hiệu Mặc dù nhóm tác giả tiến hành biên soạn phản biện kĩ lưỡng khơng tránh khỏi sai sót Chúng mong nhận ý kiến phản hồi đóng góp từ q thầy cơ, em học sinh bạn đọc để sách trở nên hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp, quý vị vui lịng gửi địa chỉ: • Gmail: Blearningtuduytoanhoc4.0@gmail.com • Fanpage: 2003 – ƠN THI THPT QUỐC GIA Cuối cùng, nhóm tác giả xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thầy cô, em học sinh quý bạn đọc Chúc quý vị khai thác hiệu kiến thức cầm tay sách ! Trân trọng./ NHÓM TÁC GIẢ MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Trang Dạng 1: Tính đơn điệu hàm số khoảng, đoạn……………………………… Dạng 2: Tính đơn điệu dựa vào đồ thị, bảng biến thiên………………………… 25 Dạng 3: Tính đơn điệu hàm hợp……………………………………………………………… 72 Dạng 4: Tính đơn điệu hàm số chứa giá trị tuyệt đối……………………………………… 116 CHỦ ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ…………………………………………………… 153 Dạng 1: Cực trị cho công thức………………………………………………………………… 158 Dạng 2: Cực trị cho đồ thị, bảng biến thiên………………………………………………… 173 Dạng 3: Cực trị điểm cho trước………………………………………………………… 209 Dạng 4: Cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước…………………………………………………… 224 Dạng 5: Cực trị hàm số chứa giá trị tuyệt đối………………………………………………… 252 CHỦ ĐỀ 3: GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ…………………… 275 Dạng 1: Giá trị lớn giá trị nhỏ khoảng………………………………….… 284 Dạng 2: Giá trị lớn giá trị nhỏ đoạn…………………………………….… 294 Dạng 3: Giá trị lớn giá trị nhỏ chứa giá trị tuyệt đối…………………………… 322 Dạng 4: Ứng dụng…………………………………………………………………………………… 357 CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ………………… ……….……… 388 Dạng 1: Tiệm cận chứa tham số………………………………………………….………………… 393 Dạng 2: Tiệm cận không chứa tham số……………………………………….………….……… 417 Dạng 3: Các dạng toán tổng hợp……………………………………………………….……….… 459 CHỦ ĐỀ 5: ĐỒ THỊ HÀM SỐ……………………………………… 476 Dạng 1: Đọc biến đổi đồ thị……………………………………………………… 479 CHỦ ĐỀ 6: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ………………… … 497 Dạng 1: Bài tập tương giao…………………………………………………….……….…… 506 Dạng 2: Biện luận số nghiệm phương trình……………………………….………….… 550 CHỦ ĐỀ 7: ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ……….……………… 598 Dạng 1: Bài tập điểm đặc biệt đồ thị hàm số…………………….………… 599 CHỦ ĐỀ 8: TIẾP TUYẾN – SỰ TIẾP XÚC…………………………………….…… 616 Dạng 1: Bài tập tiếp tuyến tiếp xúc…………………………………………… ……… 617 CHỦ ĐỀ 9: TOÀN TẬP VỀ GHÉP TRỤC………………………………… ……… 653 Một số ví dụ phương pháp ghép trục………………………………………………… …… 659 CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LÝ THUYẾT ❖ Điều kiện để hàm số đơn điệu khoảng K • Định nghĩa Giả sử K khoảng, đoạn nửa khoảng y = f ( x ) hàm số xác định K, ta nói: Hàm số y = f ( x ) gọi đồng biến (tăng) K x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) gọi nghịch biến (giảm) K x1 , x2  K , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số đồng biến nghịch biến K gọi chung đơn điệu K ❖ Nhận xét • Nhận xét ▪ Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) D hàm số f ( x ) + g ( x ) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất không hiệu f ( x ) − g ( x ) • Nhận xét ▪ Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (nghịch biến) D Tính chất khơng hàm số f ( x ) , g ( x ) không hàm số dương D • Nhận xét ▪ Cho hàm số u = u ( x ) , xác định với x  ( a; b ) u ( x )  ( c; d ) Hàm số f u ( x )  xác định với x  ( a; b ) Ta có nhận xét sau: ▪ Giả sử hàm số u = u ( x ) đồng biến với x  ( a; b ) Khi đó, hàm số f u ( x )  đồng biến với x  ( a; b )  f ( u ) đồng biến với u  ( c; d ) Giả sử hàm số u = u ( x ) nghịch biến với x  ( a; b ) Khi đó, hàm số f u ( x )  nghịch biến với x  ( a; b )  f ( u ) nghịch biến với u  ( c; d ) ❖ Định lí • Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: ▪ Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ' ( x )  0, x  K Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f ' ( x )  0, x  K ❖ Định lí • Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu f ' ( x )  0, x  K hàm số f đồng biến K Nếu f ' ( x )  0, x  K hàm số f nghịch biến K Nếu f ' ( x ) = 0, x  K hàm số f không đổi K Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ❖ Định lý điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: • Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Khi đó: Nếu f  ( x )  , x  K f  ( x ) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f đồng biến K Nếu f  ( x )  , x  K f  ( x ) = hữu hạn điểm thuộc K hàm số f nghịch biến K Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y = f ( x ; m ) đơn điệu khoảng ( ;  ) • Bước 1: Ghi điều kiện để y = f ( x ; m ) đơn điệu ( ;  ) Chẳng hạn: ▪ Đề yêu cầu y = f ( x ; m ) đồng biến ( ;  )  y = f  ( x ; m )  ▪ Đề yêu cầu y = f ( x ; m ) nghịch biến ( ;  )  y = f  ( x ; m )  • Bước 2: Độc lập m khỏi biến số đặt vế lại g ( x ) , có hai trường hợp thường gặp : ▪ m  g ( x ) , x  ( ;  )  m  max g ( x ) ▪ m  g ( x ) , x  ( ;  )  m  g ( x ) • Bước 3: Khảo sát tính đơn điệu hàm số g ( x ) D (hoặc sử dụng Cauchy) để tìm giá trị ( ;  ) ( ;  ) lớn giá trị nhỏ Từ suy m Bài tốn Tìm tham số m để hàm số y = ax + b đơn điệu khoảng ( ;  ) cx + d d Tính đạo hàm y  c • Tìm tập xác định, chẳng hạn x  − • Hàm số đồng biến  y  (hàm số nghịch biến  y  ) Giải tìm m (1) • Vì x  − • Lấy giao (1) ( ) giá trị m cần tìm d d có x  ( ;  ) nên −  ( ;  ) Giải tìm m ( ) c c ➢ Cần nhớ: “Nếu hàm số f ( t ) đơn điệu chiều miền D (luôn đồng biến ln nghịch biến) phương trình f ( t ) = có tối đa nghiệm u , v  D f ( u ) = f ( v )  u = v Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÍ DỤ MINH HỌA ( ) VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x − )( x − ) Khi hàm số y = f x 2 nghịch biến khoảng đây? B ( −3; ) A ( 3; + ) C ( − ; −3 ) D ( −2 ; ) Lời giải Chọn C 2  Ta có y =  f x  = x  x x − x − = x ( x − )( x + )( x − ) ( x + )   Cho y =  x = −3 x = −2 x = x = x = ( ) ( ) ( )( ) Ta có bảng xét dấu y  ( ) Dựa vào bảng xét dấu, hàm số y = f x nghịch biến ( − ; −3 ) ( ; ) có đồ thị hàm f  ( x ) hình vẽ bên Hỏi VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ( ) hàm số y = f x − nghịch biến khoảng sau đây? B ( 0;1) A ( −1; ) C ( −; ) D ( 0; + ) Lời giải Chọn B ( ) Ta có y = x f  x − x = x = x =  x =    y =  x f  x − =   x − = −2   x = −1    x = x =  x2 − =  x2 =  x = −1   ( ) Ta có bảng biến thiên Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Nhìn bảng biến thiên hàm số y = f ( x − 1) nghịch biến khoảng ( 0;1) ( ) VÍ DỤ 3.Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = x ( x + ) x + mx + với x  ( Số giá trị ) nguyên âm m để hàm số g ( x ) = f x + x − đồng biến khoảng ( 1; + ) B A D C Lời giải Chọn B ( ) Ta có g ' ( x ) = ( x + 1) f ' x + x − Để hàm số g ( x ) đồng biến khoảng ( 1; + ) ( )  g ' ( x )  x  ( 1; + )  f ' x + x −  x  (1; + ) ( ) (x ( )  x2 + x − 2 +x ( ) (( x ) ( ) ) + x − + m x + x − +  x  (1; + ) )  x2 + x − + m x2 + x − +  (1) x  ( 1; + ) Đặt t = x2 + x − , x  ( 1; + )  t  Khi ( 1) trở thành t + mt +  t  ( 0; + )  t +  −m t (2) t  ( 0; + ) Để ( 1) nghiệm với x  ( 1; + )  ( ) nghiệm với t  ( 0; + ) Ta có h ( t ) = t + 5  với t  ( 0; + ) Dấu xảy t =  t = t t Suy Min ( h ( t ) ) =  ( ) nghiệm t  ( 0; + )  −m   m  −2 t( 0; + ) Vậy số giá trị nguyên âm m VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm sau Bất phương trình f ( x )  e x + m với x  ( −1;1) A m  f ( ) − B m  f ( −1) − e C m  f ( ) − D m  f ( −1) − e Lời giải Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Chọn C Có f ( x )  e x + m , x  ( −1;1)  m  g ( x ) = f ( x ) − e x , x  ( −1;1) (1) 2  g ( x )  0, x  ( −1;0 ) Ta có g ( x ) = f  ( x ) − x.e x có nghiệm x =  ( −1;1)   g ( x )  0, x  ( 0;1) Bảng biến thiên: Do max g ( x ) = g ( ) = f ( ) − Ta ( 1)  m  f ( ) − ( −1;1) VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) Hàm số y = f  ( x ) có bảng biến thiên sau: Bất phương trình f ( x)  3e x + + m có nghiệm x  ( −2; ) khi: A m  f ( −2 ) − B m  f ( ) − 3e C m  f ( ) − 3e D m  f ( −2 ) − Lời giải Chọn B Ta có: f ( x)  3e x + + m  f ( x) − 3e x +  m Đặt h ( x ) = f ( x) − 3e x +  h ( x ) = f  ( x ) − 3e x + ( Vì x  ( −2; ) , f  ( x )  x  ( −2; )  x +  ( 0; )  3e x +  3; 3e ) Nên h ( x ) = f  ( x ) − 3e x +  0, x  ( −2; )  f (2) − 3e  h ( x )  f ( −2) − Vậy bất phương trình f ( x)  3e x + + m có nghiệm x  ( −2; ) m  f ( ) − 3e VÍ DỤ Tổng giá trị nguyên tham số m khoảng ( −2020; 2020 ) để hàm số y = sin x − sin x − m   đồng biến khoảng  0;   4 A −2039187 B 2022 C 2093193 D 2021 Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: sin x  m Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Ta có y = cos x ( sin x − m ) − ( sin x − 3) cos x cos x ( − m ) sin x −  y = = 2 sin x − m ( sin x − m ) ( sin x − m )  2   Vì x   0;  nên cos x  0; sin x   0;    4     Suy hàm số đồng biến khoảng  0;   4 Vì m  3 − m  m   m      m3     m   m  −2019; −2018; ; −1; 0  1; 2 Vậy tổng giá trị tham số m là: S = −2019 + 2020 + + = −2039187 VÍ DỤ Cho hàm số f ( x ) Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị hình bên Hàm số g ( x ) = f (1 − x ) + x − x nghịch biến khoảng ? y –2 O x –2  3 A 1;   2  1 B  0;   2 C ( −2; −1) D ( 2;3) Lời giải Chọn A Cách 1: Ta có: g ( x ) = f (1 − x ) + x − x  g  ( x ) = −2 f  (1 − x ) + x − 1− 2x t Xét tương giao đồ thị hàm số y = f  ( t ) y = − Hàm số nghịch biến  g  ( x )   f  (1 − x )  −  −2  t  t Dựa vào đồ thị ta có: f  ( t )  −   t  1 x   −2  − x   2 Khi đó: g ' ( x )    − x   x  −  Cách 2: Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”