Chuyên đề bồi dưỡng HSG THPT Đinh Việt

Chuyên đề này khá bổ ích đối với giáo viên luyện thi và học sinh có nhu cầu thi học sinh giỏi. Chuyên đề này giúp các bạn hiểu được các dạng toán cơ bản, nâng cao và phần sau cuối bài có hệ thống bài tập đa dạng phong phú.

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THPT PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ - HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐINH VĂN PHẠM VIỆT TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI PHƢƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI CHUYÊN ĐỀ I PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ TỔ DẠNG TỐN : DẠNG CƠ BẢN+ BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG PHƢƠNG PHÁP :  f ( x)   g ( x)   f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) Phạm Việt Tácgiả: Đinh Văn BÀI TẬP Câu Giải phƣơng trình x  x   x  Lời giải HƢỚNG TƢ DUY :áp dụng CT Ta có  f ( x)   g ( x)  f ( x)  g ( x)     f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  x3  x  3 x2  4x   x      x  x   x   x  3x    x  3  x  1     x  1    x  2   x  2   Câu Giải phƣơng trình 3x  x   x  Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : áp dụng CT  f ( x)   g ( x)  f ( x)  g ( x)     f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) 3   x2    x  (;  ]  [ ;  )  Ta có 3x  x   x    2 2 3x  x   x   x  2x   2 STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC 3   x  (;  ]  [ ;  )   x  (TM )    x  2 (TM ) Câu CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI  x4   x  2 Giải phƣơng trình 3x  24 x  22  x  Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : áp dụng CT  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x)  2 x   x   3x  24 x  22  x     2 3x  24 x  22  (2 x  1)  x  20 x  21   Ta có  x     x  21  x  1 hoac x  21 Câu Giải phƣơng trình x  x   3x  Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : áp dụng CT  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x)   3x   x  Ta có x  x   3x    4( x  x  2)  (3x  2) 5 x  16 x  12  2   x x      x  (TM )   x      x  (TM )  Câu Giải phƣơng trình 3x  11x  10  7 x  12 Lời giải HƢỚNG TƢ DUY :áp dụng CT  g ( x)  f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) Ta có 12   7 x  12  x   x  11x  10  7 x  12    2 16(3x  11x  10)  (7 x  12)  x  x  16  STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 12   x     x  x   ( KTM )    x   ( KTM )  PHƢƠNG PHÁP : Biến đổi tƣơng đƣơng đƣa phƣơng trình tích  Sử dụng đẳng thức u  v   uv   u  1 v  1  au  bv  ab  vu   u  b  v  a   A2  B Tác giả: Đinh Văn Phạm Việt BÀI TẬP Câu Giải phƣơng trình x   x    x  3x  Giải HƢỚNG TƢ DUY : x  3x    x  1 x   Ta có pt    x 1 1 Câu 2.Giải phƣơng trình : 3 x  x  1     x  1  x   x2  x  x2  x Giải + x  , nghiệm + x  , ta chia hai vế cho x:  x 1  x 1 3  x  1 x 1    1 x x   Câu 3.Giải phƣơng trình:   x    x  x   2x x   2x  x2  4x  Giải ĐK: x  1 pt   x   2x  Câu 4.Giải phƣơng trình :  x  1 tm  x 1 1     x   tm   x3 4x 4 x x3 Giải Đk: x  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI  4x 4x 4x  2  1  x  : 1    x  1(tm) x3 x3 x3   Chia hai vế cho Câu 5.Giải phƣơng trình sau : x   x2  x  Giải Đk: x  3 phƣơng trình tƣơng đƣơng : 1  3 x   x  1 tm   x    3x  9x     5  97  x    3x  tm   x  18 2 Câu 6.Giải phƣơng trình: x  12 x x   27  x  1 Giải Điều kiện: x    x  1 x  12 x x   27  x  1  x  2.2 x.3 x    x  1  36  x  1   2x  x 1   2x  x 1  x 1  2x  x 1   36  x  1    x  x   6 x   x  9 x   4 x   x  1 x3   x0    (thỏa mãn điều kiện)   x  81  97  x  81 x        1  x  Vậy phƣơng trình có nghiệm x  x  81  97 Câu 7.Giải phƣơng trình  x  3  x  x  x  x  x  Giải Điều kiện 1  x  Ta có  x  3  x  x  x  2x2  6x    x  3      x 1  x  x  3 x 1 x 1  x  x  3  x 1   x 1  2x2  6x  x  x  3  x  x  3  0, 1   1   ,  2   x   x 1 x  Giải 1 : x  x      tm  x  STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Giải   ta có CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 1 1      VP Vậy 1 x 1  x 1 1  2 vô nghiệm Vậy phƣơng trình cho có tập nghiệm S  0;3 Câu Giải phƣơng trình  x  1 x  x  25  23x  13 Giải Ta có  x  1 x  x  25  23x  13   x  1  x  x  25   x  3   x  18 x  16  1   TH1: 3  x  x  x  25   x  3    (PTVN)   x  x  25  2 x  TH2: x  x  25   x  3  1   x  1  2x  18 x  16  x  x  25   x  3  x  18 x  16    x 1   x  18 x  16    1   x  x  25   x  3   x  18 x  16  1  x 1  1   x  x  25   x  3   2 x 1 Giải 1 ta đƣợc  x  Giải    x  x  25  3 x  4  x    x  5  3x  30 x      Vậy tập nghiệm phƣơng trình cho S  1; 8;   STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI DẠNG TOÁN : DẠNG NÂNG LŨY THỪA PHƢƠNG PHÁP : +) Dạng 1:  f  x     f  x   g  x    g  x     f  x   g  x  +) Dạng 2:  g  x   f  x  g  x    f  x   g  x  +) Dạng 3: f  x  g  x  h  x  f  x   Điều kiện:  g  x    h  x   Với điều kiện trên, bình phƣơng hai vế PT cho ta đƣợc f  x   f  x  g  x   g  x   h  x  Đến ta đƣa phƣơng trình dạng +) Dạng 4: f  x   g  x   h  x   k  x   f  x   g  x  Điều kiện:  h  x   k x     Với điều kiện trên, bình phƣơng hai vế PT cho ta đƣợc f  x   f  x  g  x   g  x   h  x   h  x  k  x   k  x  2  f  x  g  x    h  x  k  x   h  x   k  x   f  x   g  x  Đến ta đƣa phƣơng trình dạng Tác giả: Đinh Văn Phạm Việt BÀI TẬP Câu Giải phƣơng trình : 15  x   x  Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Áp dụng phƣơng trình dạng 3: f  x  g  x  h  x Ta có  x  15  x   x     18  x  (15  x)(3  x)  36 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 9  x   9  x  x   x  1     36 x  36  (15  x )(3  x )   x (15  x )(3  x )   x        Vậy phƣơng trình cho có tập nghiệm S  1 Câu Giải phƣơng trình : x   x   12  x Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Áp dụng phƣơng trình dạng 3: f  x  g  x  h  x x   x   12  x  x   12  x  x  Ta có 1 x    Điều kiện:  x     x  12 * 12  x   Với điều kiện * phƣơng trình 1  x     x  12  x    x  12  x   x  x  44   x   x  x  44       x   2   x  19 x  84  x  x  16 x  84 x  352        x    x  Đối chiếu với điều kiện * ta đƣợc x  44 , x   44  Vậy phƣơng trình cho có tập nghiệm S   ;8 5  Câu Giải phƣơng trình : x   x  16  x   x  Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Áp dụng phƣơng trình dạng 4: f  x  2 x   2 x  16   Điều kiện:  x 2 x   2 x   g  x  h  x  k  x  * Với điều kiện * phƣơng trình x   x  16  x   x    x   x  16  2x     2x   2x    x  1 x  16   x  16  x    x   x    x  STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC  CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI  x  1 x  16     x   x   1 Ta thấy hai vế phƣơng trình 1 khơng âm nên ta bình phƣơng hai vế 1 ta đƣợc 1  x  34 x  20  4 x  34 x  16  x  26 x  36  x  34 x  16   x x   2 4 x  34 x  16  16  16 x  x x    x  Đối chiếu với điều kiện * ta đƣợc x  x  Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x  Câu Giải phƣơng trình : x   x  10  x   x  Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Áp dụng phƣơng trình dạng 4: f  x  g  x  h  x  k  x x    x  10   Điều kiện:   x  1 * x     x   Với điều kiện * phƣơng trình x   x  10  x   x   x  11   2  x  1 x  10   x    x   x  5  x  1 x  10   x  2 x  5  x  11x  14  x  11x  10  x  x  10  x  1  x  11x  10   x     x  1 thỏa mãn điều kiện *  x  1 Vậy phƣơng trình cho có nghiệm x  1 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI DẠNG TỐN : LOẠI 1: ĐẶT ẨN PHỤ HỒN TOÀN PHƢƠNG PHÁP : Đặt thức biểu thức chứa thức làm ẩn phụ quy tất biểu thức chứa ẩn khác phƣơng trình theo ẩn phụ Một số dạng đặt ẩn phụ quen thuộc: 1) Bài toán chứa f  x  f  x  đặt 2) Bài tốn chứa f  x  ; g  x  với tích f  x  g  x  số đặt 3) Bài tốn chứa f  x   g  x  ; f  x  g  x  đặt 4) Bài tốn chứa 5) Bài toán chứa 6) Bài toán chứa f  x  t f  x  t f  x  g  x  t    a  x đặt x  a sin t với t    ;   2 a    với t    ;  x  a đặt x  sin t  2    x  a đặt x  a tan t với t    ;   2 Tácgiả: Đinh Văn Phạm Việt BÀI TẬP Câu Giải phƣơng trình 18 x  18 x x  17 x  x   Lời giải HƢỚNG TƢ DUY :Phƣơng trình xuất thức phụ đƣa phƣơng trinh đại số theo ẩn phụ Đặt x nên dễ dàng tƣ đặt làm ẩn x  t ,  t   , ta có 18t  18t  17t  8t    (3t  4t  2)(6t  2t  1)   t  Vậy x  Câu 2  10 14  10 Giải phƣơng trình x  x2   x  x2   Lời giải HƢỚNG TƢ DUY :Phƣơng trình xuất thức x  x  x  x  có tích nên dễ dàng tƣ đặt thức làm ẩn phụ Câu 1 nên có phƣơng trình t    t  t t Đặt x  x2   t ,  t   , ta có Vậy  x  x  x2    x  x2    x2   x    2  x  x   x      x  x2   2 Giải phƣơng trình x   x   3x  x Lời giải STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI  Nếu  m   m  tập nghiệm BPT S  ;   m      m;1 Nếu   m    m  tập nghiệm BPT S  ;   m  Bài Tìm tất giá trị tham số m để bất phƣơng trình x m2 2mx m Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Nhận thấy bất phƣơng trình bậc hai có dạng ax a b2 4ac m2 m2 m2 1 m 0, x m2 m2 0 m2 c nên theo yêu cầu đề Vì a Bài bx m2 10 10 m 10; 2; 10 Tìm tham số m để bất phƣơng trình mx x 4x m có tập nghiệm Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Áp dụng bảng xét dấu tam thức bậc hai, ch ng ta biện luận dấu tam thức dƣới mẫu bất phƣơng trình đề kết hợp điều kiện Để bất phƣơng trình có tập nghiệm m (m m m Với m 4x m với x 3m m m : Khi ta có mx Bất phƣơng trình x mx 4x 4x m với x mx m 5x m 01 m Bất phƣơng trình có tập nghiệm 4m2 16 m 25 Với m m 41 x 41 41 : Khi ta có mx Bất phƣơng trình m Mà m không thỏa mãn) ta cần có mx mx 4x 4x m m với x mx STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! 5x m Trang 199 TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI m Bất phƣơng trình có tập nghiệm 4m2 16 m 25 2 m Mà m 4 m 41 4 m Bài 41 Kết luận 41 m 41 thỏa yêu cầu đề 41 Tìm tất giá trị tham số m để bất phƣơng trình nghiệm x x2 x có m x Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Ta ý x trình cho x Điều kiện x Đặt t Do x Chia hai vế bất phƣơng trình cho x , ta có bất phƣơng trình t x , suy t Đặt g t t2 2t Ta có x x m , xét 2t x x , ta có x x 24 x x , suy t , t m , g t Trƣờng hợp 2: , suy m , gọi t1 , t2 nghiệm g  t   , g t vơ nghiệm t2 Nhận xét t2 , suy g t có nghiệm thuộc 0;1 t1 m Suy m 0;1 , suy m t m m Trƣờng hợp 1: t1 Bài 10 x x Do đó, ch ng ta chia hai vế bất phƣơng x 1 m Tìm m để bất phƣơng trình x2 x m x2 2x 3 nghiệm đ ng x Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Xét dấu tam thức bậc hai dƣới mẫu biện luận đề Ta có x 2x x 2 0, x kết hợp với điều kiện nên: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 200 TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC x2 x m x2 x CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI x2 x x2 4x 4x m 3x 4x 6x m 3x 8x m 01 2x m 2x u cầu tốn trở thành tìm m để bất phƣơng trình , nghiệm đ ng với x Ta thấy: đ ng với x đ ng với x m 12 m 17 29 m 17 ; Vậy m Bài 11 42 m Cho bất phƣơng trình mx 2m điểm đồ thị hàm số y 2x m x Gọi A, B hai điểm phân biệt lần lƣợt giao m với hai trục tọa độ Oxy Tìm m nguyên dƣơng bé cho bất phƣơng trình thỏa mãn với x OAB lớn 12 diện tích Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Trƣớc tiên tìm điều kiện x cho bất phƣơng trình thỏa mãn với x 12 ác định tọa độ giao điểm A, B đồ thị hàm số y m x m với hai trục tọa độ Oxy Giải bất phƣơng trình mx Đặt f x m x 2m 2 m2 2x m2 6m Vậy m m 2m m x 0; x 12 Bất phƣơng trình đ ng với x m 81 m m m 12 m m m f 12 m 0 m 2m 12 4 bất phƣơng trình thỏa mãn với x 12 Với m  m  ét đồ thị hàm số y  1  m  x  m   d  Gọi A, B lần lƣợt giao điểm  d  với hai trục tọa độ Ox; Oy  1 m  ;0  ; B  0; m  1 Khi A   m 1  Nên ta có S OAB OA.OB 1 m m m m m STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 201 TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI m Theo đề ta có: m 5* bất phƣơng trình * vơ nghiệm Nếu m m m m 4 bất phƣơng trình * Nếu m m m m m Bài 12 13 13 thỏa yêu cầu đề Tìm giá trị tham số m để bất phƣơng trình x m2 12m m 5 Do m số nguyên dƣơng bé nên m Vậy m 0; mx  2m   nghiệm đ ng với x2  Lời giải x HƢỚNG TƢ DUY : Đặt t x nhằm đƣa bất phƣơng trình cho quy bất phƣơng trình bậc x Đặt t x Nếu x , bất phƣơng trình cho trở thành mt ta có x x x x2 , t Khi bất phƣơng trình cho nghiệm đ ng với x mt 2m Vậy với m Bài 13 2m 0; bất phƣơng trình  2 m     1  m   đ ng với t   0;       m  2  m  2m   m  2 bất phƣơng trình nghiệm đ ng với x 0; x  2m   Với giá trị tham số m bất phƣơng trình xm2 nghiệm đ ng với x 1;2 Cho bất phƣơng trình Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Áp dụng bảng xét dấu nhị thức bậc cho tử mẫu phân thức, biện luận kết hợp với điêì kiện đề STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 202 TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Xét bất phƣơng trình Ta có x 2m CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI x  2m   * xm2 x 2m 3, x m m 2 x m Ta có 2m   m   m  5 Nếu m * 2m x Do điều kiện toán đƣợc thỏa mãn 1; 2m 2m m 2 m m m 2m 3; m Vậy khơng có giá trị thảo mãn Nếu m * Do m x x 7 vô nghiệm không thỏa mãn Nếu m lúc 2m m nên bất phƣơng trình có tập nghiệm m Vậy bất phƣơng trình thỏa mãn với x m 2 2m 1;2 1;2 2;2 m m 2;2 m 3 m 2m 2 m Vậy với m ;3 bất phƣơng trình nghiệm đ ng với x STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! 1;2 Trang 203 TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI DẠNG TOÁN : GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ CHỨA THAM SỐ DÙNG PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ PHƢƠNG PHÁP : Đặt ẩn phụ uôn ch ý điều kiện cho ẩn phụ Tác giả: Phan Quyên FB: Quyen Phan Bài Tìm m để bất phƣơng trình sau nghiệm đ ng với x  2; 2      x  1 x  3  m x  x  (1) Lời giải Đặt t  x  x  ĐK: t  Khi bất phƣơng trình có dạng: f  t   t  mt   (2) Ta có x2  x    x  2   x  2; 2    t  1;2   Do (1) nghiệm đ ng với x  2; 2      nghiệm đ ng với t  1;2     f  t   có nghiệm thỏa mãn t1    t2 a f 1  m       m   m  a f       Vậy m  Bài Tìm a để bất phƣơng trình sau có nghiệm  x  x  a (1) Lời giải 1  x    x 1 ĐK:  x  u   x  Đặt  ,  u , v  Suy u  v   v  x Khi bất phƣơng trình chuyển thành hệ: u  v  Suy u  v    u  v   2uv   u  v   2uv   u  v  a Do vế trái (1) có GTNN uv  Vậy ycbt  a  Bài Giải biện luận bất phƣơng trình x  a   x  2ax  Lời giải Đặt t  x  a , t  Khi bất phƣơng trình có dạng STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 204 TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 2t  a  t   t  2t  a   (*) Ta có  '  a  ; + Nếu  '   a    a  Khi (*) vơ nghiệm + Nếu  '   a    a  Khi (*) có nghiệm 1  a   t  1  a  Do để (*) có nghiệm với t  điều kiện là: 1  a    a   a  Khi nghiệm (*) là:  t  1  a   x  a  1  a   a   a2 1  x  a   a2 1 Kết luận: Với a  bất phƣơng trình vơ nghiệm   Với a  bất phƣơng trình có nghiệm: a   a  1, a   a  Bài Tìm m để bất phƣơng trình sau có nghiệm:  x   m x 1  m  Lời giải Điều kiện : x  Đặt t  x 1  x   t  Khi bất phƣơng trình trở thành: t   m  t  m   t  t   m  t  1  m  t3  t  ,t  t 1  t  1  2t  5t  5 t3  t  Xét hàm số f  t   , t  có f '  t   t 1  t  1 f '  t    t    0;   Ta có bảng biến thiên sau: t f 't  f t      Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu toán  m  Bài Tìm m để bất phƣơng trình sau nghiệm đ ng với x   1;1 : STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 205 TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI m  x  12  x  16 x  3m  x  2m  15 Lời giải Điều kiện x   1;1 Bất phƣơng trình tƣơng đƣơng với :   m  x   x   16 x  15  12  x     m  x   x   9 1  x   1  x 1  x    x      Đặt t   x   x  t '  x     0, x   1;1 1 x 1 x  t  x   t  1   2; m ax t  x   t 1   x   1;1  t   2;3     1;1  1;1 Bất phƣơng trình trở thành: 2t  m  t  2   0, t   2;3     m  t    2t   m  Xét hàm f  t   f ' t   2t  , t    2;3  t2 2t  , t   2;3  có t2 2t  8t  t  2  f ' t    t  4     2;3  Ta có bảng biến thiên: Yêu cầu toán  m    2;3    Bài f t   62  93 14 Tìm m để bất phƣơng trình sau có nghiệm x  0;1   :   m   x  x    x   x   (*) Lời giải Đặt t  x  x  Ta có t '  x   x 1 x2  x  t ' x   x  Ta có bảng biến thiên: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 206 TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Từ bảng biến thiên ta có t  1; 2 , với  t  , ta có t  x2  x   t  x2  x   x   x    t Khi bất phƣơng trình trở thành: m  t  1  t   m  t2  (1) t 1 t  2t  t2   0, t   0; 2 Xét hàm số: f  t   ,1  t  Có f '  t   t 1  t  1 Suy f  t  đồng biến 1; 2 Ta xét bảng biến thiên: Do bất phƣơng trình (*) có nghiệm x  0;1   bất phƣơng trình (1) có   nghiệm t  1;2  Điều xảy m  max f  t   f    t1;2 Vậy m  Bài 7: Tìm m để bất phƣơng trình sau có nghiệm đ ng x  0;1   :   m   x  x    x   x   (*) Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Độc lập m Đặt t  x  x  Ta có t '  x   x 1 x  2x  2 t ' x   x  Ta có bảng biến thiên: STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 207 TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Từ bảng biến thiên ta có t  1; 2 , với  t  , ta có t  x2  x   t  x2  x   x   x    t t2  Khi bất phƣơng trình trở thành: m  t  1  t   m  (1) t 1 Xét hàm số: f  t   t  2t  t2   0, t   0; 2 ,1  t  Có f '  t   t 1  t  1 Suy f  t  đồng biến 1; 2 Ta xét bảng biến thiên: Do bất phƣơng trình (*) có nghiệm đ ng x  0;1   bất phƣơng trình (1)   có nghiệm đ ng t  1; 2 Điều xảy m  f  t   f 1  t1;2 Vậy m  Bài ác định m để bất phƣơng trình m.4 x   m  1 x  m   (1) nghiệm đ ng với x  Lời giải Đặt t  x Đk: t  Khi (1) có dạng: f  t   mt   m  1 t  m   (2) Vì x   t  Vậy (1) nghiệm đ ng x   (2) nghiệm đ ng với t   0;1  (*) TH1: Với m     2t    t  không thỏa mãn TH2: Với m  điều kiện (*) đƣợc thỏa mãn f  t   có hai nghiệm t1 , t2 thoả mãn t1    t2 Vậy STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 208 TỔ - STRONG TEAM TỐN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI m  m    m f     m    m    2m   m f 1  TH3: Với m  ,  f  2m  3m  Điều kiện (*) đƣợc thỏa mãn f  t   có hai nghiệm t1 , t2 thoả mãn t1  t2   t1  t2 Vậy m  m      m f      m    S  m    0      m Vô nghiệm     2m     m f 1      S  m     m        KL: m  Bài Tìm m để bất phƣơng trình sau nghiệm đ ng với x thỏa mãn x  92 x x   m  1 62 x x   m  1 42 x x 0 Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Chuyển bất phƣơng trình số lớn Đk: x  x2  x Chia hai vế bất phƣơng trình cho 3 Đặt t    2 x2  x Do x  9 Ta đƣợc:   4 x2  x 3   m  1   2 x2  x  m 1   2x2  x   t  Khi bất phƣơng trình trở thành: t   m  1 t  m    t  2t   1  2t  m   m  Xét hàm số f  t   t  2t  , t  1;   2t  2t  2t  t  2t  , t  1;    f '  t   2t   2t  1 f '  t    t   1;   Ta có bảng biến thiên: STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 209 TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Dựa vào bảng biến thiên, yêu cầu toán  m  Bài 10 Cho bất phƣơng trình m.9 x 3 x   x 3 x   16 1  m  x bất phƣơng trình thỏa mãn  x  2 3 x  (1) Tìm m để nghiệm Lời giải Ta có: m.9 x 3 x   m.9 x  6x 3 x  2 3 x   6x  16 1  m  x 3 x   1  m  x Chia hai BPT (*) cho 4x 9 m   4 x2 3 x2 3 Đặt t    2  3    2 2 3 x 0 3 x  3 x   (*) ta đƣợc: x2 3 x2   m  (2) x2 3 x2 ,t  3 Mặt khác  x   x  3x      2 x2 3 x2  30  Do ĐK t  t  Khi BPT (2) có dạng: f  t   mt  t   (3) t  f t      m t  m  Để nghiệm (1) thỏa mãn  x   f  t   mt  t   ,  t  + Với m  , (3)  t    t  , loại + Với m  , điều kiện là:  + Với m  (3)  t  1 m    m  m 1 m  t  m Do nghiệm (3) không thỏa mãn điều kiện  t  Vậy với  m  thỏa mãn điều kiện đầu STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 210 TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI DẠNG TỐN :GIẢI BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỨA THAM SỐ DÙNG PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ PHƢƠNG PHÁP : Tìm m để bất phƣơng trình f ( x; m)  f ( x; m)  có nghiệm x  D có nghiệm x  D -Tách tham số m khỏi biến số x đƣa dạng g  m   f  x  g  m   f  x  - Khảo sát biến thiên đánh giá hàm f  x  D - Dựa vào khảo sát đánh giá để tìm m Tác giả: Lê Cảnh Dương; Fb: Cảnh Dương ê Bài Tìm m để bất phƣơng trình mx x    x   x3  3x  (1) có nghiệm thực Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Đặt điều kiện sau phân tích để lập tham số m Điều kiện  x  Với x  khơng nghiệm bất phƣơng trình (1) Với  x  1,  x   nên 1  m  x3  3x  x4 x    x 1 (2) Ta có f  x  x3  3x  x x    x 1   x3  3x  1 x x 1 1 x     x3   3  x  x 1 1 x    1  x3 0   f  x   dấu xảy x  hay Với  x  1, ta có  x 0    x   f  x   f 1  Do bất phƣơng trình (2) có nghiệm  m  f 1   m   0;1  0;1 Vậy m  Bài Tìm m để bất phƣơng trình x3  3x   m  x  x 1  (1) có nghiệm thực Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : Đặt điều kiện sau phân tích để lập tham số m Điều kiện x  x3  3x   m   x  x    x3  3x  1   x  x   m (2) STRONG TEAM TỐN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV tốn! Trang 211 TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Xét hàm số f  x    x  3x  1  x  x 1   x3  3x   3, x   ta có  dấu xảy  x  x   1, x    đồng thời x  , suy f  x   f (1)  1;  Do đó, ycbt  m  f  x   m  1;  Vậy m  Bài Tìm m để bất phƣơng trình x   x   m x  x    (1) nghiệm đ ng với x  2;2   Lời giải HƢỚNG TƢ DUY : - Đặt ẩn phụ t  x  x  chuyển điều kiện x  2;2   theo t   - Chuyển bất phƣơng trình bậc hai theo t Đặt t  x2  x   (1)  m  Cô lập m để đánh giá hàm f  t   x  2 1 x  2;2    t  1;2   t2  t2  7  f  t  , t  1; 2 ycbt  m  max f  t  Xét hàm f  t    t  1;2   t t t 1; 2 có t  7 7 3  suy f  t   t      , t  1;2  max f  t   f     1;2 t t 2 Vậy m  max f t   m   1;2  STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 212 Tạm kết CÁC BẠN HỌC SINH THÂN MẾM! TRÊN TAY CÁC BẠN LÀ CUỐN SÁCH “ CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG THPT ” CUỐN SÁCH NÀY ĐƯỢC VIẾT RA NHẰM PHỤC VỤ ĐÔNG ĐẢO CÁC BẠN ĐỌC, ĐẶC BIẾT LÀ CÁC BẠN CHUẨN BỊ BƯỚC VÀO KÌ THI HSG, KÌ THI ĐẠI HỌC GIÚP CÁ BẠN ƠN TẬP, HỆ THỐNG HĨA ĐƯỢC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VỀ PHƯƠNG TRÌNH,BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ PHẦN BÀI TẬP GIÚP CÁC BẠN LUYỆN TẬP, NẮM VỮNG KIẾN THỨC, RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TRONG MỖI DẠNG BÀI CÒN BÀI TẬP TỔNG HỢP ĐƯỢC SẮP XẾP CUỐI MỖI DẠNG BÀI NHẰM GIÚP CÁC BẠN RÈN LUYỆN NĂNG LỰC TƯ DUY VỚI LỐI VIẾT KHOA HỌC, SINH ĐỘNG, VÀ CÁCH TRÌNH BÀY MỚI MẺ CUỐN SÁCH GIÚP CÁC BẠN TIẾP CẬN MƠN TỐN MỘT CÁCH NHẸ NHÀNG, TỰ NHIÊN, KHƠI NGUỒN CẢM HỨNG KHI TỰ HỌC ĐỂ SỬ DỤNG CUỐN SÁCH HIỆU QUẢ VÀ MANG LẠI KẾT QUẢ CAO NHẤT, CÁC BẠN CẦN KIÊN TRÌ TÌM HIỂU ĐỂ NẮM CHẮC LÝ THUYẾT, CHĂM CHỈ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM BÀI THƠNG QUA CAC VÍ DỤ, BÀI TẬP TRÌNH BÀY TRONG CUỐN SÁCH MẶC DÙ TÁC GIẢ DÃ DÀNH NHIỀU TÂM HUYẾT CHO CUỐN SÁCH, SONG SỰ SAI SÓT LÀ ĐIỀU KHÓ TRÁNH KHỎI CHÚNG TƠI RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ PHẢN BIỆN VÀ GĨP Ý QUÝ BÁU CỦA QUÝ ĐỘC GIẢ ĐỂ LÀM CHO CUỐN SÁCH HOÀN THIỆN HƠN CÁC TÁC GIẢ ...TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI PHƢƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI CHUYÊN ĐỀ I PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỶ TỔ DẠNG TỐN : DẠNG CƠ BẢN+ BIẾN... TEAM TOÁN VD VDC 3   x  (;  ]  [ ;  )   x  (TM )    x  2 (TM ) Câu CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI  x4   x  2 Giải phƣơng trình 3x  24 x  22  x  Lời giải HƢỚNG... STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang TỔ - STRONG TEAM TOÁN VD VDC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 12   x     x  x   ( KTM )    x   ( KTM )  PHƢƠNG