31 CÂU BẤT ĐẲNG THỨC HAY VÀ KHÓ CHO HSG THPT

Trên bài là 31 câu bất đẳng thức hay và khó do tôi sưu tầm và biên soạn. Chúng có thể giúp các bạn tăng khả năng làm bất đẳng thức , tạo thêm nhiều hướng tư duy mới lạ. Bài phù hợp với giáo viên dạy HSG và học sinh thi HSG.

CHUN ĐỀ: BẤT ĐẲNG THỨC Biên soan: Thầy Đồn Cơng Hoàng Câu 1: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức ( )( )( P = a − ab + b2 b2 − bc + c c − ac + a ) Lời giải a ( a − b )  a − ab + b  b  + Giả sử  a  b  c  Khi  2 a ( a − c )  c − ca + a  c ( ) 2 2 2 + Cho nên P  b c b − bc + c = b c ( b + c ) − 3bc    + Mà b + c  a + b + c = nên P  b2 c ( − 3bc ) = −3 ( bc + 1)( bc − ) + 12  12 + Vậy max P = 12  a, b, c hoán vị ( 0;1;2 ) Câu 2: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab = + c ( a + b ) Tìm giá trị lớn biểu thức P= a b c2 + + + a + b2 + c Lời giải      + Đặt a = tan x, b = tan y, c = − tan z với x, y   0;  z   − ;0   2   + Khi x + y + z =  P = ( sin x + sin y ) + sin z 2 + Ta có P = sin ( x + y ) cos ( x − y ) + sin z = − cos z + cos z cos ( x − y ) +  cos ( x − y )  cos ( x − y ) = −  cos z − +1  + 4   + Vậy max P =  a = b = + 3; c = Câu 3: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x3 + y + z = + Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + x y z Lời giải + Áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có x3 1 + + +  ; 3x 3x 3x z z z y2 +  ; + + +  y 9 z + Cộng bất đẳng thức theo vế ta có  x3 y z   1  12 + 10 + + + +   + 3  x y z   1 1  12 + 10  x3 y z  +  P= + + 3 − + +  z  3 x y  + Vậy P = 9+4  x = 1; y = 3; z = Câu 4: Cho số thực a, b, c thỏa mãn a + b2 + c = 3abc Tìm giá trị lớn biểu thức P = a 8a + + b 8b + + c 8c + Lời giải + Để tồn biểu thức P ta thấy a, b, c  Xét hai trường hợp sau: + Trường hợp 1: Có số Giả sử a = giả thiết trở thành b2 + c =  b = c = Giá trị biểu thức P = + Trường hợp 2: a, b, c  Áp dụng bất đẳng thức cơ-si ta có a + b2 + c  ab + bc + ca  3abc  ab + bc + ca  1 + + 3 a b c b c   a + + Áp dụng bất đẳng thức bunhia ta có P     8a + 8b + 8c +  Ta có a 8a + 1  2 a + a + a + 2a  a  a  +  +   3a a + 2a  8a + 27a a + 2a + Nên 8a + a a a    +  2 3a + 3a + 2a +  3a 2a +  = = Mà (1) ( 2) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh b 8b + c 8c +  + 27b b + ( 3)  + 27c c + ( 4) Từ (1) , ( ) , ( 3) , ( ) ta có P  Mặt khác ta lại có Vậy P  21 1 1 1  + +  + + +    a b c 3 a + b + c + 2 1 11 1  + +   + + + 6 a+2 b+2 c+2 9a b c  21 1 1 1   + + +  + + + 6  P   P   a b c  27  a b c  + Đáp số max P =  a = b = c = Câu 5: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x( y + z) y ( z + x) z ( x + y) + +  xyz − yz − zx − xy Lời giải + Bất đẳng thức cần chứng  P = + Ta có y+z z+x x+ y + + 2 yz ( − yz ) zx ( − zx ) xy ( − xy ) y+z 2   yz ( − yz )  yz − yz  + yz + yz   ( )( )   1 18 + + + Suy P      + xy + yz + zx  + xy + yz + zx + Mặt khác theo bunhia ( xy + yz + zx )  ( x + y + z )( x + y + z ) =  xy + yz + zx  + Nên P  18 =  đpcm Dấu “=” xảy x = y = z = 6+3 Câu 6: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P= + + b+3 c+3 a+3 Lời giải + Áp dụng bất đẳng thức cô-si a3 a3 b+3 + +  33 b+3 b+3 a3 a3 b + 2a b + 3a  +  b+3 b+3 b+3 + Hoàn toàn tương tự ta có 2b3 c + 3b +  c+3 ( 2) 2c3 a + 3c +  a+3 ( 3) (1) + Cộng bất đẳng thức (1) , ( ) ( ) ta 2P + a+b+c+9  ( a + b2 + c )  2P + a+b+c+9  (a + b + c)  2P + 3+9   P  2 + Vậy P =  a = b = c =1 Câu 7: Cho x, y, z  Chứng minh  x y z  x3 + y + y + z + z + x3 +  + +   12 z x  y ( ) ( ) ( ) Lời giải ( ) 3 + Chứng minh x + y  ( x + y ) phương pháp biến đổi tương đương + Khi ( x3 + y ) + ( y + z ) + ( z + x3 )  ( x + y + z )  xyz  x y z  + Mặt khác  + +   z x  y + Nên 3 xyz  x y z  x3 + y + y + z + z + x +  + +   xyz + z x  y ( ) ( ) ( ) + Dấu “=” xảy  x = y = z = Câu 8: Cho số thực dương x, y, z Chứng minh + x2 + + y + 3z + + y2 + + z + 3x Lời giải + + z2  + + x + 3y  12 xyz + Đặt P = + x2 + + y + 3z + + y2 + + z + 3x + + z2 + + x3 + y + x2 = a, + y = b, + z = c với a, b, c  + Ta có + y = + Theo cô-si + Suy (1 + y ) (1 − y + y ) (1 + y ) (1 − y + y + x2 + + y + 3z  ) + y2 + y2   1+ y  2 + x2 a = 2 (1 + y ) + (1 + z ) 2b + 3c + Hoàn toàn tương tự ta có + y2 + + z + 3x + z2 + + x3 + y  + y2 b = 2 (1 + z ) + (1 + x ) 2c + 3a ( 2)  + z2 c = 2 (1 + x ) + (1 + y ) 2a + 3b ( 3) + Cộng bất đẳng thức (1) , ( ) , ( 3) theo vế ta P a b c + + 2b + 3c 2c + 3a 2a + 3b a2 b2 c2 P + + 2ab + 3ca 2bc + 3ab 2ca + 3bc (a + b + c) P ( ab + bc + ca ) P ( ab + bc + ca ) =  đpcm ( ab + bc + ca ) + Dấu “=” xảy x = y = z = (1) Câu 9: Cho x, y, z  Tìm giá trị lớn biểu thức P= x2 y2 z2 + + x3 + yz + y + 3zx + z + 3xy + Lời giải + Nếu số x, y, z P = + Nếu hai số x, y, z 0, chẳng hạn x  0; y = z = P= x2  4x + + Nếu số x, y, z 0, chẳng hạn x, y  0; z = P= x2 y2 +  3 4x + y + + Nếu x, y, z  P x2 y2 z2 + + x + yz y + 3zx z + 3xy Đặt a = yz zx xy 1 1  + + , b = , c = với a, b, c  abc = P    3 + a + b + c  x y z  12 + 4(a + b + c) + ab + bc + ca  =   + 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca)  Ta có + 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca)  12 + 4(a + b + c) + ab + bc + ca ab + bc + ca  Vậy P  ; Dấu “=” xảy  a = b = c =  x = y = z = x = y = z =  x = y = 1, z = + Kết hợp trường hợp ta có: maxP =    y = z = 1, x =   x = z = 1, y = Câu 10: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x ( y + z) y ( z + x) z ( x + y) + +  xyz − yz − zx − xy Lời giải + Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x+ y y+z z+x + + 2 xy ( − xy ) yz ( − yz ) zx ( − zx ) + Đặt P = x+ y y+z z+x + + xy ( − xy ) yz ( − yz ) zx ( − zx ) + Ta chứng minh  + , t  ( 0;3) t ( − t ) 9t + Thật vậy, t  ( 0; 3) nên − t   +   ( + t )( − t )  t − 2t +  t ( − t ) 9t + Khi x+ y 21 1   +  + ( x + y) xy ( − xy )  x y  y+z 21 1   +  + ( y + z) yz ( − yz )  y z  z+x 21 1   +  + ( z + x) zx ( − zx )  z x  + Suy P  41 1  + +  + (x + y + z) 9x y z P 41 1  + + + 9x y z P xyz + Mặt khác = x + y + z  3 xyz  xyz  + Vậy  P  4  + = 3 xyz 3 + Dấu “=” sảy x = y = z = Câu 11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức P= a 1+ a + b 1+ b + 2c + c2 Lời giải + Ta có + a = ab + bc + ac + a = ( a + b )( c + a ) + b = ab + bc + ac + b = ( a + b )( b + c ) + c = ab + bc + ac + c = ( c + b )( c + a ) a + Suy P = ( a + b )( c + a ) + 2a P= ( a + b )( c + a ) b ( a + b )( b + c ) + + 2c ( c + a )( b + c ) 2b ( a + b )( b + c ) + 4c ( c + a )( b + c )   1  1     P  a + + +  +b  + c  a+b c+a  ( a + b) c + a   (a + b) b + c  P a b a c b c + + + + + ( a + b) ( a + b) a + c a + c b + c b + c P +1+1 = 4 + Vậy max P = a=b= ,c = 15 15 Câu 12: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + = z Tìm giá trị lớn biểu thức P= x3 y ( x + yz )( y + zx )( z + xy ) Lời giải + Ta có x + yz = yz + z − y − = ( y + 1)( z − 1) = ( y + 1)( x + y ) y + zx = zx + z − x − = ( x + 1)( z − 1) = ( x + 1)( x + y ) z + xy = xy + x + y + z = ( x + 1)( y + 1) + Nên P = x3 y ( x + 1) ( y + 1) ( x + y ) 2 + Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có x x 27 x ( x + 1) =  + + 1  2  3 y y 27 y ( y + 1) =  + + 1  2  ( x + y) + Nên P   xy x3 y = 2 27 x 27 y 729 xy 4 + Vậy max P =  x = y = 2, z = 729 Câu 13: Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx − xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y 2 y2 + z2 z + x2 + + xy yz zx = + Vậy P = ( ) 1 3a3 − 12a + 12a + 16 = a ( a − 2) +  32 32 2  x = 0, y = z  Câu 15: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 2abc Chứng minh a ( 2a − 1) + b ( 2b − 1) + c ( 2c − 1)  Lời giải + Đặt x = 1 , y = , z = ta có x,y,z số dương thỏa mãn x + y + z = a b c ( y + z) x3 y3 z3 12  + + + Ta có a(2a – 1)2 =  − 1 = Từ P = x x  x3 ( y + z ) ( z + x) ( x + y ) 2 x3 y+z y+z x3 3 + +  = x (1) + Áp dụng bất đẳng thức Cô si 8 64 ( y + z) y3 z+x z+x + +  y + Tương tự: 8 ( z + x) (2) z3 x+ y x+ y + +  z (3) 8 ( x + y) + Cộng vế (1), (2), (3) ước lược được: P  1 (x + y + z) = + Đẳng thức xảy  x = y = z = 2/3  a = b = c = 3/2 Câu 16: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x + xy + y 3x + 10 xy + y + y + yz + z y + 10 yz + z Lời giải + z + zx + x 3z + 10 zx + x + Với số thực dương a, b ta có ( a − b )   + Áp dụng bất đẳng thức ta     x + xy + y 3x + 10 xy + y 2 x + xy + y 3x + 10 xy + y 2 x + xy + y 3x + 10 xy + y x + xy + y 3x + 10 xy + y x + xy + y 3x + 10 xy + y = (7x + xy + y ) 3x + 10 xy + y  ( x + xy + y ) − ( 3x + 10 xy + y )  11x + xy + y  ( 2x + y ) − ( x − y ) 2 a2  2a − b b  ( 2x + y ) (1) + Hồn tồn tương tự ta có y + yz + z y + 10 yz + z z + zx + x 3z + 10 zx + x  (2y + z) ( 2)  ( 2z + x) ( 3) + Cộng bất đẳng thức (1) , ( ) ( ) theo vế ta P  ( x + y + z )  2.3 ( xy + yz + zx ) = + Vậy P =  x = y = z = Câu 17: Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = xyz x  1, y  1, z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x −1 y −1 z −1 + + y2 z x Lời giải + Ta có P = x −1+ y −1 y −1+ z −1 z −1+ x −1  1   1  + + − + + + + +  2 y z x y z  x y z x   1  1  1 1  1 1  = ( x − 1)  +  + ( y − 1)  +  + ( z − 1)  +  −  + +  +  + +  y  z  x  x y z x y z  z x y  ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1)  1   1 1 + + − + + + + +  xy yz zx y z  x y z x =  1 1 1 1  + + + + + − 2 + +  x y z x y z  xy yz zx  + Từ giả thiết ta suy 1 + + =1 xy yz zx 1 1  1 1 1 1 1 + + =  + +    + + =3 + Mặt khác + +  x y z xy yz zx x y z  xy yz zx  + Nên P  − + Vậy P = −  x = y = z = Câu 18: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn biểu thức P = 1 + + = Tìm giá trị nhỏ a+b b+c c+a a + b2 + c2 + + + 4b 4c 4a Lời giải + Ta có P  1 a b c   + + 2 2b c a  P 1 a b c 1 11 1 + −  + +   + + + +  b2 a c b a c   a b c  P 1 11 1 + + −  + +  b c a 2a b c P 11 1  + +  2a b c P 11 1 1 1  + + + + +  4a b b c c a P 1 + + = a+b b+c c+a + Vậy P =  a = b = c = Câu 19: Cho a, b, c số thực thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức P = 33 c − 3a a + b + c − ab − bc − ca −2 Lời giải  b2 2a +  2ab   c2  2ca  5a + 2b + c  ( ab + bc + ca ) Ta có 3a +   3b 2c +  2bc   2 2 + Suy −3a  2a + 2b + c − ( ab + bc + ca )  c − 3a  2a + 2b2 + 2c − ( ab + bc + ca ) + Do P  3 + Đặt a + b + c − ab − bc − ca a + b + c − ab − bc − ca −2 3 a + b + c − ab − bc − ca = t với t  P  3t − 2t  P  3t − 2t − +  P  − ( 2t + 1)( t − 1) +  a + b + c − ab − bc − ca =   + Vậy max P =  4a = b 9a = c   a = 1; b = 2; c =  a = −1; b = −2; c = −3  Câu 20: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh ( a − b ) + (b − c ) + (c − a ) 2a 2b 2c + +  3+ b+c c+a a+b (a + b + c) 2 Lời giải + Ta có 2a 2b 2c + + −3 b+c c+a a+b = a −b+a −c b−c+b−a c−b+c−a + + b+c c+a a+b       = (a − b) − − −  + (b − c )   + (c − a)  b+c c+a c+a a+b a+b b+c ( a − b ) + (b − c ) + (c − a ) = ( b + c )( c + a ) ( c + a )( a + b ) ( a + b )( b + c ) 2 (a − b)  (a − b) + Dùng biến đổi tương đương ta chứng minh ( b + c )( c + a ) ( a + b + c )2 2 ( a − b ) + (b − c ) + ( c − a )  2a 2b 2c + + −3 + Nên đpcm b+c c+a a+b (a + b + c) 2 + Dấu “=” xảy a = b = c Câu 21: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c  3abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = bc ca ab + + a ( b + 2c ) b ( c + 2a ) c ( a + 2b ) Lời giải + Đặt x = x3 y3 z3 1 + + , y = , z = với x, y, z  xy + yz + zx  P = y + z 2z + x 2x + y a b c x2 + y + z ) ( xy + yz + zx ) ( x4 y4 z4 + +   + Ta có P = xy + zx yz + xy zx + yz ( xy + yz + zx ) ( xy + yz + zx ) P ( xy + yz + zx )  + Vậy P =  a = b = c = Câu 22: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 3xyz  x + y + z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy + yz + zx − 3x + + y + + 3z + Lời giải + Ta có 3xyz  x + y + z  3xyz  xy + z  3z  xy  + 3z +  3z xy  + 3z + 3z + Mặt khác xy  ( yz + zx )  + 3y2 + ( zx + xy ) ) − xy + z  (1) ( 2) ( *)  + 3z + + Tương tự ta chứng minh ( xy + yz ) xy ( yz + zx ) x+ y  3z xy  2 + Từ (1) ( ) suy (  + 3x + (***) + Cộng bất đẳng thức (*) , (**) (***) ta ( xy + yz + zx )  + 3x + + y + + 3z +  ( xy + yz + zx − 1)  3x + + y + + 3z + (**)  xy + yz + zx − 3x + + y + + 3z + + Vậy P =   x = y = z = Câu 23: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh a b c 3 + +  2 b +c +2 c +a +2 a +b +2 Lời giải + Đặt P = P= P= P= a b c + + 2 b + c + c + a + a + b2 + 2 a b c + + 2 b + c + ( ab + bc + ca ) c + a + ( ab + bc + ca ) a + b + ( ab + bc + ca ) 2 a (a + b + c) −a + a2 a ( a + b + c ) − a3 b (a + b + c) + −b + c (a + b + c) b2 + b ( a + b + c ) − b3 (a + b + c) P ( a + b + c ) − ( a + b3 + c ) + Suy (a + b + c) P ( a + b + c ) − ( a + b + c ) ( a + b3 + c ) + Mặt khác theo bunhia ( a + b2 + c ) = ( a a + b b3 + c c )  ( a + b + c )  ( a + b + c ) ( a + b3 + c ) 2  ( a + b + c ) −   ( a + b + c ) ( a + b + c )   2 − c2 c2 c ( a + b + c ) − c3 (a + b + c) P ( a + b + c ) − ( a + b + c ) − 2 + Suy (a + b + c) P (a + b + c) − + Ngoài ( a + b + c )  ( ab + bc + ca ) nên a + b + c  (a + b + c)  3 (a + b + c) − + Tiếp theo ta chứng minh với a + b + c  (a + b + c)  3 (a + b + c) − + Thật vậy, với a + b + c   (a + b + c) − 3 (a + b + c) + 3  ( )(  2a + 2b + 2c + a + b + c − )  , với a + b + c  + Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” sảy a = b = c = 2 Câu 24: Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z + xyz = ( xy + yz + zx ) Tìm giá trị lớn biểu thức P = x (1 − y )(1 − z ) Lời giải  y + z)  (   P  x  − ( y + z )  + Ta có P  x 1 − ( y + z ) +   2 + Từ giả thiết ta có x + y + yz + z + xyz = x ( y + z ) + yz  x + ( y + z ) − x ( y + z ) = (1 − x ) yz + Nhận thấy x + ( y + z ) − x ( y + z ) = ( x − y − z )  nên x  2 + Vì x + ( y + z ) − x ( y + z ) = (1 − x ) yz  x + ( y + z ) − x ( y + z )  (1 − x )( y + z ) 2  x2 − 2x ( y + z )  − x ( y + z )  x − 2( y + z)  − ( y + z) 2  x  ( y + z )  − ( y + z )  + Suy P  ( y + z )  − ( y + z )  3 Đặt − ( y + z ) = t ta có P = ( − t ) t  4P = ( − t ) t − ( 4t  4P = − 27 27 + 16 16 + 4t + 3) ( 2t − 3) 16 + 27 27 P 16 64 Câu 25: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh  b+c a+c a+b a b c  + + 2 + +  a b c a+c a+b   b+c Lời giải + Với x, y   + Do 1 +  x y x+ y x+ y  ( x+ y ) b+c a+c a+b a b b c c a + + = + + + + + a b c c c a a b b   a b  b c  c a + + +  +  +   2 c c 2 a a 2 b b  a 1  b 1  c 1  + + +  +  +   2 b c 2 a c 2 a b  2a 2b 2c + + b+ c a+ c a+ b  2a 2b 2c + + 2(b + c) 2(a + c) 2(a + b)  a b c    + +  a+c a + b   b+c + Dấu xảy  a = b = c Câu 26: Cho a, b, c ba số thực không âm thỏa mãn a + b  0, a + c  0, b + c  Chứng minh a b c ab + bc + ca + + +  b+c c+a a+b a+b+c Lời giải + Đặt P = a b c ab + bc + ca + + + b+c c+a a+b a+b+c + Từ giả thiết tốn ta thấy có hai trường hợp: Có số hai số lại lớn 0; Cả ba số lớn + Trường hợp 1: Có số hai số lại lớn Chẳng hạn a, b  c = Khi P = a b ab a + b ab + + = + 6 b a a+b ab a + b Dấu “=” sảy a + b ab =  a − 7ab + b = a+b ab + Trường hợp 2: Cả ba số lớn Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c  Bằng cách biến đổi tương đương ta chứng minh ab b2 ca c2   c+a b+c a+b b+c Suy ab ca b2 c2 +  + c+a a+b b+c b+c  ab ca +  b+c c+a a+b  b c b+c +  c+a a+b a Vì P  P a b + c ab + bc + ca + + b+c a a+b+c a+b+c a (b + c )  P  64 + ab + bc + ca a+b+c ab + bc + ca P6 ab + ca + Vậy P  Dấu “=” sảy có số hai số lại thỏa mãn phương trình x − xy + y = Câu 27: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn P= 1 + + = Tìm giá trị lớn x y xy 3 3 − 2− + − 2− y y y ( x + 1) x x x ( y + 1) Lời giải + Đặt a = 1 , b = với a, b  x y ( ) + Khi a + b + ab = P = ( a + b ) − a + b − + Ta có P = ( a + b ) − ( a + b ) + 2ab − 3ab a+b ab + a + b + − ( 2ab − ) + 25 = − ( ab ) + ab = 4 16 3ab 3ab − a +1 b +1 + Mặt khác (a + b) ab  ( − ab ) =   ab  nên −5  2ab −  −3   ( 2ab − )  25  −25  − ( 2ab − )  −9   − ( 2ab − ) + 25 16 1 + Vậy max P =  x = y = Câu 28: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b2 + c = Chứng minh 1 + +  2−a 2−b 2−c Lời giải + Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2 + + 6 2−a 2−b 2−c  2 −1+ −1+ −1  2−a 2−b 2−c  a b c + + 3 2−a 2−b 2−c  a2 b2 c2 + + 3 2a − a 2b − b 2c − c (a + b + c) a2 b2 c2 + +  + Theo bunhia ta có 2 2a − a 2b − b 2c − c ( a + b + c ) − ( a + b2 + c ) (a + b + c) a2 b2 c2  + +  2 2a − a 2b − b 2c − c (a + b + c) −  ( a + b + c ) = 2 a + b + c − + + 6 + Mặt khác )  ( (a + b + c) −  (a + b + c) −  + Mà theo côsi ta có (a + b + c) − + 6 (a + b + c) − (a + b + c)  +  (a + b + c)  ( ) (a + b + c) − (a + b + c) − + Vì a2 b2 c2  + +  (đpcm) 2a − a 2b − b 2c − c + Dấu “=” xảy a = b = c = Câu 29: Cho số thực x, y, z thỏa mãn xyz = 2 Chứng minh x8 + y y8 + z z + x8 + + 8 x4 + y + x2 y y + z + y z z + x4 + z x2 Lời giải + Đặt a = x , b = y , c = z + Bài toán trở thành “ Cho số thực a, b, c  thỏa mãn abc = Chứng minh a + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + 8” a + b + ab b + c + bc c + a + ac + Ta có a + b4  a + b + ab (a + b2 ) 2 a + b2 a +b + 2  a + b4  a + b2 2 a + b + ab ( b4 + c  b2 + c + Tương tự ta có 2 b + c + bc ) ( 2) c4 + a4  c2 + a2 2 c + a + ac ) ( 3) ( ( ) + Cộng bất đẳng thức (1) , ( ) ( ) ta có a + b4 b4 + c4 c4 + a4 + +  a + b + c  a 2b c = 2 2 2 a + b + ab b + c + bc c + a + ac ( ) (1) + Vậy x8 + y y8 + z z + x8 + +  x4 + y + x2 y y + z + y z z + x4 + z x2 + Dấu “=” xảy  x = y = z = Câu 30: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 3xyz  x + y + z Tìm giá trị nhỏ xy + yz + zx − biểu thức P = 3x + + y + + 3z + Lời giải + Ta có 3xyz  x + y + z  3xyz  xy + z  3z  xy  + 3z +  3z xy  + 3z + 3z + Mặt khác xy  ( yz + zx ) ( zx + xy )  + 3x + ( xy + yz + zx )  + 3x + + y + + 3z +  ( xy + yz + zx − 1)  3x + + y + + 3z + xy + yz + zx − 3x + + y + + 3z + 2  − xy + z  ( *) + Cộng bất đẳng thức (*) , (**) (***) ta  ( 2) (***)  + 3y2 + ) (1)  + 3z + + Tương tự ta chứng minh ( xy + yz ) xy ( yz + zx ) x+ y  3z xy  2 + Từ (1) ( ) suy ( (**) + Vậy P =  x = y = z = Câu 31: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x3 + y + z = + Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + x y z Lời giải + Áp dụng bất đẳng thức cơ-si ta có x3 1 + + +  ; 3x 3x 3x z z z y2 +  ; + + +  y 9 z + Cộng bất đẳng thức theo vế ta có  x3 y z   1  12 + 10 + + + +   + 3  x y z   1 1  12 + 10  x3 y z  +  P= + + 3 − + +  z  3 x y  + Vậy P = 9+4  x = 1; y = 3; z = ... Giá trị biểu thức P = + Trường hợp 2: a, b, c  Áp dụng bất đẳng thức cơ-si ta có a + b2 + c  ab + bc + ca  3abc  ab + bc + ca  1 + + 3 a b c b c   a + + Áp dụng bất đẳng thức bunhia ta... + Vậy max P =  a = b = + 3; c = Câu 3: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x3 + y + z = + Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 1 + + x y z Lời giải + Áp dụng bất đẳng thức cơ-si ta có x3 1 + + +  ;... Dấu “=” xảy x = y = z = 6+3 Câu 6: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a3 b3 c3 P= + + b+3 c+3 a+3 Lời giải + Áp dụng bất đẳng thức cô-si a3 a3 b+3 + + 