| BO GIAO DUC VA DAO TAO L TRUONG DAI HOC SU PHAM TP.HCM KHOA TOAN LUAR VAN TOT NOMEP PE TAI: ANH XA CO Aha
KO mon GAL TICH
GV hướng dẫn ; TS LE HOAN HOA
Trang 2
LOI NOI DAU
Việc giải quyết một số bài tốn đơi khi trở nên đơn giản
hơn, ngắn gọn hơn, Nếu ta biết chọn lọc phương pháp, kỷ
năng tính tốn,
Trong luận văn này chúng tơi xin trình bày một số ứng dụng của ánh xạ cĩ vào : Phương trình vị phân, Phương
trình tích phân, khơng gian metric, khơng gian lơi theo
metric, khong gian Hilbert
Thơng qua nguyên lý ánh xa co (dinh ly 1.1) Ta chứng mình một số định lý quan trọng khác làm nên tăng cho
việc giải quyết một số bài tốn trên
Trang 3Luận Văn Tất Nghiệp GVHD ; TS 1é Hoan Hoa
Mure luc
Lời nĩi đầu
Nguyên lý anh xa co Banach
¡ Nguyên lý ánh X9 CO oy essssseessssssseseennersssnennsenuneananseanscacenanenennaanentersts Trang |
2, Định lý Carisli ú e‹-ccc 26622605052-.nnnistenilsuaessasrarenereenenerrrre0940402010 10
Một số áp dụng của ánh xạ co
1, Nghiệm địa phương -. -:-:-+st+tstnhenhhhtttttttttrdtrrrrrdrrtrrtdtrrtrittrrrtr I2
2 Nghiệm tồn cục . ‹ .‹ccseeeerreeirrerdierenrirrrtrrirrrltntttrtrtrfttrrttnri 13
3 Phung trinh tich pam .ccccsesscsnesnsensesersevesesesntnnenneanannennnnestsnnnananasssenen 14
4 Phương trình vi phân đối số lệch . -. -:-+-:-:+rrtrttertrtetrtrrtttrtrtrtrerrrrre 18
5 Metric HaudorfT . - s9 *tttheeehhshnn he 40000470000) 2I
Trang 4Luận Văn Tơt Nghiệp GVHD; 78 Lé Hoan Húa NGUYEN LY ANILXA CO BANACH I Nguyén ly dinh xa co : Định nghĩa : Cho (X, d) 1a khong gian metric va T: X >3 X, Ta cĩ các định nghĩa sau :
*'T là ánh xạ co nếu với x # y, d(Tx, Ty) < d(x,y)
* T là ánh xạ lipsit nếu tốn tại hầng số K >1 sao cho với mọi x, y eX: d(Tx, Ty) < Kd(x, y) (1.1)
+ SO K (T) bé nhat thoa (1.1) dược gọi là hệ số lipsit ik T;
+ Nêu K (T) < I1, ta nĩi 'f là ánh xu co hệ số K = KCT) hay ánh xạ K = cĩ * Điểm xạ eX là điểm bất đơng của T Nếu Txụ = Xa
Tính chất :
(a) Nếu S, T : X > X là cade anh xa lipsit thi: K (TpS) < K (T) K(S) Đặc biệt : K(T?) < [K(T)]", vai moi n € IN,
(b) Điểm bất động của ánh xạ cĩ nếu cĩ sẽ duy nhất
(c) Nếu T là ánh xạ lipsit từ X vào X thì T liên tục đều trên X
Định lý 1,1 : (Nguyên lý ánh xạ cĩ)
Trang 5Luận Văn Tốt Nghiệp (VHH : 1S Lê Hồn Hĩa
[3o K < |, bất đẳng thức trên chứng tỏ (x„)„ hay (T"x), la day ed bản, nên hội
tụ
Datx,= lim T°x — Do liên tục nên : TXxạ= lim T CTˆx) = lim r(x) = Xy
Theo tính chất (h), T cĩ điểm bất động duy nhất ghi là xạ
Mặt khác từ (|.2) cho p ® ø ta cĩ :
d( Xa, Tˆx) < ak d(x, Tx), voi moi x € X Định lý được chifng minh
Dinh ly 1.2:
Cho (X, d) là khơng gian metric diy di Ts X * X là ánh xạ lipsit Giả sử tồn tại p N sao cho K (TP) < 1 Khi đĩ T cĩ điểm hất động duy nhất, ghỉ là xạ, và
lim T”x = Xụ, với mọi x € X
Chứng mình : Đặt K = K(T?) < I
pi
Vdix,yeX, ditp(x,yy= ho d (Tx, Ty), wong dé T’ = 1 1a doh xa ding
nhất
Khi đĩ p là metric trên X, p và d là hai metric tương dương
Thật vậy : với mọi x, y e X: pt dix, y)< p(x,y)<[5) K(T)| d(x, y) =a, d(x, y) Trong d6:a= 5 K(T), K(T”) = I Vậy d, p là hai mectric tưởng đương Hơn nữa, ta cĩ : với moi $, Vy 6 X | p (Tx, Ty) = = d(T’x, T'y) + d(T*x, T’y) sel = p(x, y) + d(T*x, T’y) -— d(x, y) <p (x, y)- (1 — K) d(x, y) <(l = TC Ê 1b, y) = Kạ px, y) a Ta thấy Ko =(1 - TS 1 a
Vay T: (X, p) > (X, p) 1a dnh xa Ky — co Theo định lí 1.1, T cĩ điểm bất dOng duy nhat x», và lim T°x = Xo rong (X, p), voi moi x e X
Trang 6Luận Văn Tơt Nghiệp GVHD: TS Lé Hoan Hoa
KAT) = lim [KCT”) `” =in ƒ |KCEF2|'”,ne INÌ
Chứng nụnh :
Đậta =inE | [KC's ae IN}
Với  > 0 tựy Đ, tn taip € IN sae cho: K(T) < (ate)
Với n > p, ta viel: n=py tt, vii fheor< pe j
Taco:
a<{K (T= [ROTE yy"
<IK (Typ pKOTe) <|K (roy (ate <|K ry (a +6) |- sâu | <r< p~ l, cho n 3 z: là cĩ a<lim|{K(T)| "<ate Doe thy ¥ nén: a= lim [K(T")|'" = inf ([K(T?)|'", 0 € IN} Định lý 1, 3: ‹
Cho (X, d) là khơng gian metric day đủ, T: X S3 X là ánh xạ lipsiL
Giá sử K„CT) < ! Chứng mính tốn tại metric p tương đương với metric d sáo cho :
T:(X.p) >(X 6) là ánh xa K„ - cĩ Goi xạ là điểm bất động của T
Khi đĩ : lim 'T”x = xo trong (X, d) , voi moi x € X,
Chứng mình :
Áp dung ménh dé 1.1 , t6n tai p 6 EN sao cho : K (T?®) < l,
Lại ấp dụng định lý 1.2 Định ly !.3 được chứng mình
Ménh dé 1.2:
Cho (X, d) là khơng gian metric, T: (X, d) 9 (X, d) 1a doh xa lipsit cho p la metric tương đương với metric d Chứng mình :
lim |Ka (T’)|'" = lim [Ky Ti"
Trong đĩ Ka CT), K¿ CT) là hệ số lipsit của :
T:(X,d) >(X,d) và T :(X,p) > CX, p) thee thi tu
Chifng minh :
Dod, p la hai metric tương đương nên tổn tai a, b > 0 sao cho : với mọi Xx,Vy€eX, ap(k.Y)<(x,y) <h Ðp(X,Y) Khi đĩ : với mọi n € IN
Trang 7
Luận Vin Tơt Nghiệp GVHD: TS 14 Hoan Hoa ` Ky CT") d(x, y) a h yu <S — Ky } B(X Y} a p (Tx, Ty) < ˆ d(1®x, Ty) < a Suy ra: KT) < (2) Ky (T) a Tung ut: Ky (T") < ¢ : )K, CT") a Vay vain e IN lace: = Ky (T") < K,(T) < KT") , a au / ‘ s “+! iv
=> (SM [Ky (TI < Ky (TIM <9" [Ry CY
Suy ta: lim [K,, (T*))" = lim | Ky Ts
Sau day ta xét mOt truding hdp cua anh xa Ts X > Xsaocho(l—T) là phep
đồng phơi (Trong đĩ E là ánh xạ đồng nhât)
Định lý 1.4:
Cho (X, [.[) là khơng gian Banach, T : X >3 X là ánh xạ lipsiL Với y e X đại
Ty : X >3 X định bởi T,(x) = Tx + y Giả sử K„(T,) < l, với mọi y e X
Khi đĩ (I - T) là song ánh và (I - T) ` liên tục
5 inh :
+ Ta chứng minh (1 — T) là song ánh : Theo định lý 1.3, T
duy nhất gọi là @ (y) va lim T", (x) = @ (y), mọi x e X, y cĩ điểm bất động Ta thấy mỗi y ứng với duy nhất @ (y)
Nên qui tắc y + + (y) là một ánh xạ
Mà : Ty [@ (y)] =T | (y)| + y =@(y)
Hay : (— T) | @ (y)| = y
Dé dang thay (1 - T) là song ánh và =(1- T)Ì
+ Ta chứng mính : @ = (I — T)Ì liên tục trên X
Theo mệnh để I.| tổn tại p € IN sao cho :
T là ánh xạ K — co, nén voi e > 0, ton Wi < A < &
sao cho; vdix, x’ e X:ix-—x'l <e46) UN!) f®(xj—†?Q(x)Í<ẽ (3)
Trang 8Lunds v2 Tot Nghiép GVHD: TS Lé Hoan Uda
Vay ton tai 6 i= 0,1, p= 1
Oo s He ane sie mal see
sio cho ổ,,¡< S val x— xi] < 8.1 thil Tx — 1x7 5 (1.4)
Hãy giới ta chưng mình :
Với y` 6X val y- vì| < Op thi| p(y) -Í “Iae(y)| Í <nea vein Ee INGLS)
That vậy, bằng qui nạp, với n = Í
[Do Tý: (X) = Tx + y` và @y) = T|@(y)]| + y Nên : Í[ @(y) = Ty! Je@(yÍ = ty = y`L< ổ, ¿
a
Suy ra :|'F [@(y)|— MT: lity) pl < = (do 1.4)
Lẫn đến - | @(y) — TP: lety)Í <Í'Tp(y)— TC, IetyHÍ#|y - y Í <ẩ,› n Vậy :| 'T [erty] - TEM): lacy tl < ¬ - Tưởng tự ta cĩ : | @(y) - TỶ: le@(y)JIÍ <Í'Te(y0I— TCTỶ toga +l y - vÌ ổ, Tiếp tục đến p ta được :
| py) — T*, lot yt | < by < Got & dung
Giả sử (1.5) ding voi n, nghia 1a :
ly — y'Ì < ä„¡ hil pty) -— T’) Joy] <6 + ä, Mặt khác, đặt z = TP”: |@(y)| ta chứng mình : IT*\(z) - T’ (2) | < 8a Thật vậy, ta cĩ : | Ty (2) — Ty (2Í =Íy - < ð, ¡ on, Suy ra :Ì'T (Ty (2) — TIT, 42) | < ` Nhu vay: lt’, (4) - Ty @l <b TOT, (a) - "TET, any aly - y'l < & ” Ph) ' Suy ra :|'T (TŒ)- TT (2) 1 < + tw Tương tự ta cĩ : |TÌ ) - TÌ:(z)| «| TT, )) - TT”: (2)0Ì +Í y - yÍ < ð, ¡ Tiếp tực đến p ta được : IT", (7) - T*,- (z)1 <&
Từ giải thiết qui nạp va (1.3) ta co :
| ø@(y) = TP (9y: I@(y)DÐÍ=Í TP lety)= 1 CÉ”, J@tyHDÏ < s
Suy tí :
| p(y) = P9 Foyt <b = TCR" Loo | +
+|1", CT) [pay - PP, CT") fet) | <a + bo
Vậy (1.5) đúng với mọi n e [N,
Trang 9
Luận Văn Tất Nghiệp (V1) : ES Lê Hồn Hĩa
Do: lim T?”,:@(y)| = py")
Nén tif (1.5) cho n > ø thì tạ dược - Í @(y) - my’) | < & +6 < 2k Vậy @ liên tục trên X Định lý dưdc chưng mình
Định lý 1.5 :
Cho (X, d) là khơng gian metric đầy đủ, @ - (0; + z2) > ER, lién tue sao cho | (Ì < @({f) < r với mọi r > 0 cho [ : X >3 X thỏa mãn
đ(F(x), Í(y)) < @ (d(x y)) nêu x # v
Chứng mình f cĩ điểm bất động duy nhất xạ và lim Í”(X) = x¿ Với mọi x6 X Chứng mình :
Ta cĩ : d (Í(x), Í(y)) < t0(d(x, y)) < d(x,y), với x # y, Nên Í là ánh xạ co
Dodd, voix © X dat: x,y = tix) x,., = 10%) vin € IN va ay = dix, x)
khi do (x,), 1a day gidm va bị chân dưới, nên a = lim ity ta cin ching minh a = 0
Gia sia > O, dat p{r) = wr) 6 € jap a, | thi p lien ue vi pir) < 1,
r
ee
Vay : 0< <K< 1, vi moin € IN, a
RO ràng mâu thuẫn vì lima, =a>0
Mat khac ; Voie > 0, du 0 < » (e) < e và @ liên tục nên tổn tại Ú < ỗ < £ suo cho : max { t (r),r£€ |; z + dl} <£ (1.6) Do lima, = 0, nén t6n tai no sao cho: vi moi n > np thhO< a, <6 now Nên với n > np, ta cd : Bast £ ((Xz+¿¡ v Xe¿‡) = đ (X2), Í(Xz„¡) < 8, = d(X„, X„„¡) < ổ đ (Xu, Xu¿‡) < (Xu, Xa¿y) # d(X»¿i, Xe¿‡) = đụ # 8ạ¿¡ < E + Ổ SuY ra : d(X„¿t, X„¿y) = đ(Í(X,), Í(X„„‡) < @ (d(X„, X¿¿>)) < E Vậy : đ (X¿, Xu¿v) < đ(X,, X„ ) # d(X„¿¡, X„.v) SỔ 3+ £
Tiệp tục quá trình trên ta được :
d (Xu, Xes¿p) <ð +£< 2£, - với mọi p œ ÍN [3u đĩ (X„)„ là dãy cơ bản, nên :
lim X, = lim Í(x) = x¿, với moi x 6 X
Vì f là ánh xạ co nên x„ là điểm bất động duy nhật của [
Định lý được chứng mình
Định lý 1.6 :
Trang 10
Luan Van lot inghtep CrVitl) ) 1d Le toan toa
Cho (X,Í |) là khơng gian Banach,
pp: (0; ©) Ầ IR liên tục sao cho Ú < tp (F) < f, với mọi r > 0, Cho f: X 3 X thỏa mãn : |f(x) — f(y)Ì<@(x- ), HẺU X # Y Chiing minh (1 — ƒ) là đồng phơi (I : ánh xạ đồng nhất trên X) Chứng mình : Ánh xạ f,: X >3 X dịnh bở : f, (x) = Í(x)+z , z&X Do do ta co:
| f,(x) — f(y) | =l f(x) - fy) | <p dx-yl) néux dy
Nên [,, fla ánh xạ co,
Theo định lý l5, F, cĩ điểm bật động duy nhật ghi là (2)
Và lim {", (x) = ‘V(z) , voi moi x © X, er Do đĩ ; (2) = f, [()| = E ['P(2)| + z Suy ra : (Í = f) ['(z)| = z De dang thay (1 — f 1a song anh va ‘VY = (1-1) , + Ta chứng mình W liên tục trêu X [, là ánh xa co nên :
Với g > Ú, tốn tại ỗạ > Ú và õ„ < £ sao chủ :
Với x,x' e X.Íx— x'Ì< e+ & thìÌ f,{x) - f„{x')Ì < e và f là ánh xạ co nên: ,Tổn tại õ, < - sao cho :Ìx = x'Ì < 5; thi} l(X) — f(x`)Ì <
ý
.Tén tai 8; < si sav cho =| x — x'l < 5, thil f(x) — I(x')Í < =
Tiếp tục hữu hạn lầu :
y
Tén tai 6 , i= 0, 1, p— 1 sao cho: 6) < svà
lx - x'| < Gist, thi | [(x) — I(x`) | < oe
Trang 11Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: TS Lé Hoan Hoa
Cho (X, d) là khơng gian metric đẩy đủ, [: X => X thỏa min: vai mote > 0, ton tai 6 > Ú sao cho :
c< đ(x,Y)<£e+ ơ thì d(I(x), I(y))< £
(Khi đĩ ta nĩi Í là (cổ) — co)
Chứng mình f cĩ điểm bất động duy nhật xạ và lim [”(Xx) = Xo, VỚI mọi x6 X
Ching minh :
Voix & X, dat xX; = I(x)
x, =("(x), vi moin € IN
Data, = dix,, x,,)) > 0, vdin € IN
Ta thay (a,), la day gidm
Thật vậy: -Né€ua,=0 thia,,, = 0, với moik
- Nếu a„ >0, khi đĩ tỏn tại e > Ú và ỗ >> Ú sâu chủ 6 < 8y < 2+ 6
=> ftuại SE
Đặt a £ lim a„, thì a 3» 0
Giả sử a > Ư, do F là (e_ &) -cĩ
Lấy a = g > U, tỔn tại ỗ > Ú sao cho : đ < a„< 8 + ỗ
=> toe <a (')
Ta chứng mình (x„)„ là dãy cơ bản với mọi e > 0, do lima, = 0 nên :
vai 0 < & < 6, tỔn tại nạ sao cho với mọi n > nạ thì a„< ư dẫn đến
d(x„, Xye2) Ss d(x, Xust) + ú( Naas Xue2) < O+E Suy ra : d(X„¿,¡, Xs¿>) < E
Nên :d(X;, Xs¿‡) < d(X,, Xu¿i) # d(Xa¿i, X;¿2) Tiếp tục quá trình trên, bằng qui nại) ta cĩ :
d(X„, Xa¿p) < ồ +£ < 2£, với mọi p € IN Vậy (x„)„ là dãy cơ bản
Nên đặt xụ = lim Xuạ= lim [ 4x), với mọi x e X
Do fla Anh xa (E_ỗ) cĩ, nên xụ là điểm bất dộng duy nhật của Í
) 1.2:
Cho (X, d) la khong gian metric compac va Ts X > X thoa man:
di tx, Ty) < d(x,y) néu x 4 y (1.8)
Trang 12Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: TS Lé Hoan Héa Deo (1.8) nn (a,), a day gidm, nen a = lim th, Ta chứng mình a = Ú, giả sử a >: Do X 1a khong gian metric compac nén ton tai diy con (x, hoi tu, datz = lim x, , re Do T lién tuc nén Tz = lim Tx, | Do dé ta ce: lim Ủ(X¿, +1 Xu, ) = lim d(X¿, ÏX„,)= lim a, =a=d(z, Tz) a py mel pte
Mãi I=im 22 om Bao = fim A OT) Ta) deen d(/ A9 (x), r" (x)) đ(z, Iz)
Mâu thuẫn ! ,Vậy lima,=0 hay z= Tz
Do T là ánh xa cĩ nên TT cĩ duy nhật điểm bất động tà phí là xe Vậy mọi dãy CON (Xe) của dãy (xạ), cĩ cùng giới hạn là xạ Mãit khác do X là khơng gian
compac metric nên lim x, = lim T(x) = Xo
nor ae
Với n œ IN đặt í„ X > IR dinh bai £00) = d(x¿, T”(x))
Do (1.8), (1,), 1a day giảm và theo kết quả trên lim Í,(x) = Ú, với mọi x e X
Đo X là khơng gian metric comjpäc, ấp dụng định lý Dini, ta cĩ : lim f,(X) = () đều trên X
Vậy lim T"(x) = xo đều trên X Định lý được chitng minh
Định lý l.8 :
Cho T: IR"> IR" théa man
ltx- Ty <lx-y néux,ye IR" x # y
Chifng minh (1 — T) dun ánh và nêu 1D 1a tip mo thi anh (1 = T) (ID) là tập mở Chứng mính ;
+l~— T đưn ánh
Giả sử (1 — T) (x) = (1 - T) (y) cần chứng mình x = y (với mọi x, y € IR")
Ngược lại giả sử x # y Khi đĩ ta cĩ :
Í(—T) (&)~ —T) (y)Ï =Ï (x~ y)— (Tx~ Ty) Í
>Íx - y -Ì'Tx - Tyl
>0() + D mở thi (I = TT) (ID) là mở
Do 2 mở nên với mọi z € Ú), tốn tại r > Ơ sao cho B`(2, r) e D
Đặt rọ = max { |Tx— Tyl X€h'z.r) } _ thing<r
Trang 13
Luận Văn Tơt Nghiệp GVHD: TS Lé Hoan Hoa
Với y 6 H (u, ð) trong do th = / = ÍZ vụ õ=t ~ t„ >t đại l(x)= [x+y,xe£eH' (7,1)
Khi đĩ ta cĩ - Í f(x) - f(x')Í =Í fx - TxÌ <Ìx - xÍ,xzx
Và | I(x) - <ÏÍ'Tx - Tải + | Tz - z + =[ 'Tx - Tzi +ÏÍ y - uỈ < rạ+ ỗ =t
Vayf (Biz 3 H'(, r) do H2, r) là comippac nên Í cĩ điểm bất đồng duy
nhất phí là w va we B’ (7,1)
[3o Í(Ww) = w = Tw + y
Suy ra (Í - TT) (Ww) = y nghĩa là H (u,ð) 6 CÍ - T)(H) Vậy (1 = 'F) (1Ð) là ip md trong IR" Định lý 1,9: Cho Ù) là tập mở trong khơng gian Banach (X,| J ) T2 X là ánh xa k -co (k < l) ( hứng mình (Í = 'T) (12) là tập mở Nếu l2 = X, chứng mính (l — T) song ánh và (l - T) Ì liên tục Chứng minh : +([ = T) (1) là tập mở Tương tự nh định lý 1.8
Với z e l? chụn r > Ơ sao cho : H' (z, r) e l} Với y e H (u, ð) (trong đĩ u = z = 'F¿, ð = (l-k).r) đặt Í(x) = 'Tx + y,x e H' (z,t) Khi đĩ ta cĩ : | f(x) - zl <Í'Tx ~ Tal +Í Tz — z + <k.r+ỗ=t Vậy [ : H' (z, tr) ® H' (z, r), do H' (2, r) là tập lớp compac trong X nén day đủ Do đĩ f cĩ điểm bất động duy nhất ghí là w e H* (z, r) và w = Í(w) = TW + y hay (I - T) (w) = y
Suy ra B(u, 6) œ (I— T) (1) Vậy (I — T) (1D) là tập mở trong X
+(I = T) là song ánh, (I - T)Ì liên tục trên X,
Trang 14Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD : 1S Lê Hồn Húa
Hàm + : X > LR được goi là nửa liên tục dưới nếu với mọi đãy (X„)„ trong X, lim X„ = X thi lim ink p(x,) > p(x)
om
Ménh dé 2.1 :
Cho X là tập hựp cĩ thứ tự
Với x € X, dal S(x)= { ye X:y>k}
Cho yw: X > IR thỏa mãn
(a) X < y và x # y thi w(x) < yy) ‘
(b) VGi moi diy ting (x,), Wong X sao cho : w(x,) < c với mọi n e IN thì lồn tai y € X sao cho x, < y, VGi moi n
(c) Với mọi x e X, w (S(x)) bị chặn trên,
Khi đĩ với mọi x e X, tổn tại x`e S(x) là phần tử tốt đại, tức là { x' = S(x`)
Chứng mình :
Do yw: X > IR va w (S(x) bi chặn trên nên với a e X
đặt ø(a) = sup { w(b), b € S(a)}
Bằng phản chứng, giả sử kết luận khơng dúng với một x e X
Ta định nghĩa dãy (x„)„ bằng qui nạp như sau : X; =X; X„¿¡ 6 S(X,) thỏa mãn
Đ(X;) < \J(X;¿¡) + + với mọi 6 ÍN H
Vì tự (Xu¿¡) < p (X) < ø, tổn tại y e X sao cho x„ < y, với mọi ú e IN
Mặt khác do giả thiết phản chứng, y khơng là phần tử tối đại của S(x) nên tơn
tại n € X sao cho Y < u, y #u
Nhu vay w(y) < w(u)
Do x, <u, wu) < p(x,), vGi moi n € IN va X44) < y nen: W(X) < wy)
Nhu vay : w(u) < p(x,) < w (Xaa) + ` „ VỚI mọi n n
Suy ra : ⁄{u) < tự (y) (l)
Định lý Caristi :
Cho (X, d) là khơng gian metric đầy đủ
@: X >2 Ik là hàm nữa liên tục dưới và bị chặn dưới Giả sử ánh xạ T : X ©
X thỏa mãn ;
d(x, Tx) < @(x) - @(Tx), xeX (1.9)
Khi đĩ T cĩ điểm bất động
Chứng mình : Áp dụng mệnh để 2 I
Đặt tp =- và dịnh nghĩa quan hệ thứ tự trên X như sau : Với x, y e X la nĩi :
x<y nếu d(x, y) < @(x) - @(y)
Trang 15
Lués /in Tét Nghiép GVHD ; TS, Lé Hoan Hoa —_ Khi do tir (1.9) suy ra x < Tx, vi moi x € X.Kiém tra các điều kiện của mệnh dé 2.1 + (a) dung + (b) Néu (x,,), 1 day tăng trong X thì (@ (x„))„ là dãy giảm và bị chặn dưới trong IR Nên đặt r = lim q@(Xa) Do d(x, ° Xuap ) < tX„) : MH Xnsp)
Nén (x,), la day co ban trong X, vay hoi tu daty = lim X?
Do (ọ nử a liên tục dưới nên : d(x, ,Y) < @(X„) — £ < (0(X,) - t0(y) Vậy Xạ < y, Với mọi
Vay (b) dung
+(c) ding do » bi chặn dưới
Ap dung ménh dé 2.1, vai méi x € X, t6n tai xp > x (X» phu thudc x) sao cho : Xo = Txo.Khi đĩ ta cũng thấy lim T”ĨU = xụ
(Do T"(x) œe S(x), với mọi n e IN) Định lý đã được chứng mình
MỘT SỐ ÁP ĐỤNG CỦA ÁNHXA CO
1 Nghiệm địa phương :
Cho (E, Ì Í) là khơng gian banach và xạ e E Cho a, r > 0 và f : (0; r) x B
(xo, r) > EB, liên tục và thỏa mãn điều kiện lipsit theo biến x nghĩa |à : t6n tai L > 0
sao cho :
| f(t,x) - f(Ly) Í< Ux- yl , le {Ú; a|; X, ý € B'(Xo, r) (1.10)
Khi đĩ bài tốn giá trị đầu cho phương trình vị phân :
x'() =Í(tx(U ,t>0
(1.1)
xÙ) = Xp
Cĩ nghiệm duy nhất x¿ trên [0; b] vai b>O va thoa: bL < 1;Mb<r
với M = sup { | f(t, x(t) | „te |0, ad{| , x(U e H`(xụ, r)} Chifng minh :
Dat X = C ([0; b], BE) là khơng gian Banach của các hàm liên tục trên [0; b]
cĩ giá trị trong E, với chuẩn |lx|| = max { Íx(0Ì,te |0: b|}
Định nghĩa : T : X > X bdi
Trang 16
Luận Văn Tơ! Nghiệp GVHD: TS Lé Hoan Hoa 'Ix(U = Xp + Í(s, x(s)} ds, te |U; bị 0 Điểm hất động của T thỏa mãn : X(t) =Xo +f f(s, x(s))ds te |0; | o Chính là nghiệm của (l l) trên |U: bị Với 1 œ | Ú; bị La cĩ : | Tx() = Ty()| < ƒ ÍŒ, xs)) = f(s, y (s))Ï ds < | L| x(s) — y(s) | ws (du 1.10) < bL]y - ÿ| Suy ra : |ïx - 7» < bLx - | với x, y e X Va: ITx()- xd =| f f(s, x(s).dd < [ Mads <b.M.<r Vậy T là ánh xạ k — co, do k = b.L.< l và T': B`(xø, r) B' (Xẹ f)
Nền ấp dụng nguyên lý ánh xạ co, “T cĩ điểm bất động duy nhất x,, là nghiệm
của (I.1) trên {0; bị
2 Nghiệm tồn cục :
Cho (E, | | ) là khơng gian Banach và xạ e E Cho F: |0; a| x E >3 E liên tục
thỏa (I I0)
Khi đĩ hài tốn giá trị đầu cho phương trình ví phân : x(t) = f(t.x(0) te [0O,a] (1.2) x() #= Xo Cĩ nghiêm duy nhất x¿ trên |0; a| Chứng minh :
Đặt X = € (|0; bỊ; E) là khơng gian Banach với chuẩn |x| = max { lx()l,te |;a|}
Trang 17
Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: TS 1é Hoan Hoa Định nghĩa : T : X > X bởi Fx(U = Xo + f [(s, x(s)) ds, be JO; al Điểm bất động của T thỏa mãn ; x(t) = Xo + ƒ Í(s, x(s)) ds, te [O; af 2 Bằng qui nạp ta chứng mình : |'T°x(0 — T"y()Í < “ Ix-y] te |0,al (1.11) ! That vay,n= 1 Với te |0; a{ ta cĩ : | Tx(t) - Ty() | < | Í(s, x(s)) = Í(s, (s)) | ls < i LI x(s) - y(s)| ds <Lifx-y] đúng
Giả sử (I.11) đúng với n Khi đĩ ta cĩ : với t e |Ơ; a|
Trang 18Luận ⁄5- Tốt Nghiệp OVHD : TS Lé Hoan Húa
(a) f liên tục thỏa (1.0)
(b) g liên tục đều đối với x e l:
Xét phương trình : x(L) = | Í(s.x(x)) ds + g(t,Xx(U.Lec [o,a[ (I3)
Đặt X = C({o, a|, E) với chuẩn I] =max | Ixipl.te [0; al} Xem ánh xạ 'T, G : X > X định hởi :
Tx(U = ƒ [(s,x(s)) ds va Gx() = g(t, x(Q), be Jo, al Khi đĩ hấi động x, của T + G là nghiệm của (1.3) Với z œe X, đặt T,(x) = Fx +z khi dĩ K„(T,) = Ư
Thật vậy, bằng qui nạp ta chứng minh :
|T,"x(0 -T*y(0l < €2 Ir-j |, tel10,a| (1.12) ni Với n = Ì, ta cĩ : | 'T;x( — T,y(0 Ì <Í | f(s,x(s)) — f{s, y(s)) | ds, te Jo af; < LÍ | x{s) - y(s)) | ,da <(LU |t-„|| telo,al Giả sử (1.12) đúng với n, ta cĩ :
| 7°x(U - 7?“y(0Ì =Í T7 *x)(U - T?*y)(0Ì, telo,a|
< f | f(s, I" x (s)) — Is, 1" y(s)) | ds 0 sLf | 7" x(s) — 1" y(s)) lds <LÍ ST |v yds LŨ ee" - es Gan’ ¿
Vậy (1.12) đúng với mọi n € IN
Trang 19Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: TS Lé Hoan Hoa
bark =(1-T) 2G Đo G liên tục nền 1? Hiến tục khi do điểm bất động x, (nếu
cĩ) của T + G chính là điểm bat ding etia Fs x, = F (x)
điểm bất động của tốn tử compắc (Định lý Shouder)
man:
* Xét trường hợp nghiệm trên khoảng [Ú; z}
Ghi chú 1 : Vấn để tổn tại điểm bất động của F cĩ liên quan đến định lý
Tức là : Cho (E, Ì Ì ) là khơng gian Banach va cho [,g : [0; ©) x E > E thoa
(a') Với mỗi n € IN tén tai L, > 0 sao cho: | ft, x)— f,y)Ì <L„Íx-w t«|0;n| (b`)g liên tục đều đối với x e Ï: t Xét phương trình : x(L) = Í I(s.x(s)jds + g(t, x()), be |o: œ®) ; 0 Dat Xy = ([0; ©); BE) là khơng giản các hàm lién tue Wl Jo; #5) vào l¿ với họ nữa chuẩn : pa(x) = súp { Íx()Ï,te |0; n|Ì ,n eIN Va metric — ll p,(x-y) d = › ————— -, 1 i xX m Y) nel 2" l+ p„(x- #) mee - › , Xét ánh xạ T, G : Xạ >3 X¿ định bởi : f Tx(U = J [(s,x(s))ds » Gxit) = g(t, x()), t © Jo; ) 0
Ta thấy kết luận của bài tốn vẫn khơng thay đổi Thật vậy chỉ cần chứng minh (1 — T) 1a một phép đồng phơi trên X¿,
Để chứng minh điều này, ta đi xét bổ để sau :
Bổ để 3.1 :
Cho (X„)„ c Xa Khi đĩ
Trang 20Luận Văn Tơt Nghiệp (GVHD ; 1S Lê Hồn Hĩa
+ Điều kiên dủ :
Giả sử lim P(X, —X) =O, voi moi k € IN Ta chifng minh : lim d(x, —x) = 0 That vay : lo Ti hội tụ Nên : với mọi c > 0 cho trước, tồn tại N sao cho: — | £ “z2! `2
Và do lim py(x„ =x) = 0 „ VỚI mork € IN
Nénténtai ny sao cho : véimoi n > ny ta cĩ p(x, -— x) < : „ Với mọi k e [N Mát khác với mọi n = a La CĨ : aw Pea - sẵn 2Í De (X„ = X) t2 b+ pele = ~ i ~ € = 2.31 2 £ = Ì < — (do — # Ì 2 aaa Như vậy : với mọi e > 0 cho trước, tổn tại nạ sao cho với mọi n là Ng, ta co: ° P(X, —%) d(X„; X) 7` “5 I + p(x, - - ä St đhÙ,- + Dor | p(t, ~%) eee 2’ pylx, — x) +1 1 pls c¬ | < sca Gan baileisÀ-4E >«unddnhine —— >2 i+ ppt, =x) 4S Vodiz € Xp, dat Tx) = Tx #2.x € Xy
Ta chứng mỉnh T, c6 diém bất động duy nhất Thật vậy : với t e |o; nỊ, n © IN,
theo kết quả trên ta chứng mình được k„(T,) = 0 Theo định lý 1.3 /T, cĩ điểm bất
động duy nhất x„ trong khơng gian Hanach C({o; nỊ, E), với mọi n € IN,
Do tinh duy nhất nên x„(U = X„j„(Ú, L6 [o; nn,p © IN
Dat x(t) = x,(0), t € |o, nỊ, với mọi n e IN
Trang 21
Ludn Va Tét Nghiép CVHD:; TS, Lé Hoan Hoa
khi dĩ x là điểm bất động duy nhất của Tý trên Xu Vậy với z e Xa, ta cĩ : z + Íx = Tx =
Suy ra : (l - T) (x) =2
Dat (7) = x (Vi mdi z ta dude mot x)
Dé dang suy ra (1 — TT) song ánh và +@ =(— TỶ ` ạ =(l - T) ` liên trên tục Xụ : Trên X„, ta lấy đầy (Z„)„ sao cho lim d(Z,, 2) = 0 He chifng minh — lién tue ta cin cling minh lim d(tp(2„), t4Z)) = tì
Ma ta da biết (p = (I — T) Ì liên tục trên X = C (0; kị; E2} với mọi ke EN
Như vậy nều ta lấy (z„)„ X› sao cho :
lim Ðạ (Z4 - Z) =), với mọi k € IN
thì lim pạ(@(Z„), (7 )= 0 voi moi k € IN
Mà điều này tương dudng diéu cin chitng minh
4 Phương trình vi phân đối số lệch :
Cho (E, | |) là khơng giản Hanach, đặt C li khơng giản Hanach các hàm Hến tục, bị chặn từ
IR_ = (-ø; 0| vào E với chuẩn pe} = sup{ Íx(0)J,0 <0 { và X là khơng giản
các hàm bị chân từ IR và E với x e X, đất x, e C định bởi x, (Ú) = x(t + 8), 9 < 0
Đình lý 1.10:
Cho f: IRxExC > E liên tục thỏa tính chat:
Với mọi ơ € IR, n e IN,n> ø, tốn tại a„, b„ > 0 sao cho
[(t, u, se) = Eít, v, g){ < a„|u - vf +b, Jø - yf, voi moi te [a, nỊ IHỢI U, V € E và (p, , CC Khi đĩ bài tốn đầu cho phương trình vị phân đối số lệch x(t) = MUX), x) too (1.4) Xo =pvdigeC Cĩ nghiệm duy nhất trên [øơ, +) Chứng mình :
Đặt X¿ = C(|ø,, ø)), E) là khơng gian Erechét các hàm liên tục từ |ø, 2) vào
E với họ nữa chuẩn : p„ (x) = sup { | x(UÌ,tLe [ø,n| } vdin e IN.n>ø
Trang 22
Luận Văn Tốt Nghiệp (ŒVHMI) : 1S Lê Hồn Hĩa Va metric I pAe-y) : vải rye Xu le pidr py) d(x, y= Với x e X¿, đặt š : [R >3 E định bởi X(S) + p(Ú) - X(Ø) n€ẻU s > đ ¥(s)= t0(s - Ø) neus<a Thi ¥lién uc én IR va fe, || > [z(s){, với IHỌI š > Œ Định nghĩa T, : Xo > Xo bởi : Tu) = | Í(s, X(s), ế,) ds+0(UÚ), t>ơ 0 Khi đĩ điểm bất động của 'T chính là nghiệm của (1 4) trên khoảng |ø, 2) Với z e X¿, đãt T,(x) = Tx+ z va L, =a, +b,
Bang qui nap ta chifng minh: vdin>o,z € Xo, va <t<n
| Ti x(t) - rix(t)| es; Eon p, (x = Y), với mọi ¡ 6 IN (1.15) i ¥(s+0)- ÿ(s+)= x (s +0) - y(s +0) ~ (x(Ø)= y(Ø)),s+ơ>ø That vay: vdis € ah „0<, la cĩ : 0 s#+o<a Suy ra: | F(s +0) - p(s +O) < lx (s+0)-y(s+O)l +Ì x (ø) - y (ø)| <S 2 Po (x r y)
nén fx, - ¥,| < 2p (x — y), với mọi s e |ơ, n) Như vậy với ¡ = l, ta cĩ |T„x(0 = Ty()Í < ƒ Íf(, £(s), z.)= f(S, ÿ(s), Folds <ƒ (mj #(s) -7(s)| + bạ|£ - #,|| )ds 1¬ "——ìpD- Ss j Lube, - y|.ds < 2|(L- ø) L„| p„(x— Y) ,! € |ơ, n| Giả sử cơng thức đúng với i, ta cĩ :
Trang 23Ludn Van Tét Nghiép GVHD: TS Lé Hoan Héa
L„Í kư v), - Ù, 7y) |ds
Viis € lo, no <U, lace:
(75x), (0) - (77 y), (0) = [7 xts + O)- Ti y(s + 0) -(7 xa) - 7 y(o)), s+ 0>6 () ,s+0<ơ Do 7 x(a) = 7) y(a) voi moi x, y 6 Xa và ie ÍN, nên — =— s+0- Se | (7) x), (O)- ( ry), (Ol <| I x(s + 0) - I ys + 0) < nho nh PulX-¥) ti Ti 2{(x+/-z)/,J Vậy: [f2 s9, =0,99/| << ey) Suy ra : ‘ ? : set | /;''x(0- f;”w0Ì<1x 1Í 2{(s dis I ds|p, (x- -Yy)= 2|u-¿M.Ƒ— ƒ„ (X-Y) i! (¢ + 1)!
Vậy cơng thức đúng với mọi n
Từ (1.15), ta cĩ p„(?}/x - 7y) < BIN = OMe) -Y) (1.16) |
Đặc biệt, với z = 0, lace: 2|(n- ø)!,]
i!
p,(T"x - T'y) < J„(X - Y}, với mọi ¡ e€ IN
Do lim Zino =O, nénton aik € IN sao cho: tow i - 2|0'-ø)!.Ƒ ki Kh đĩ : áp dụng định lý I.2, TT cĩ điểm hãt động duy nhất trong khơng gian Banach Ci[o, nj, E) Dicu nay cĩ nghĩa bài tốn X'(U = l(,Xx(U),x),œ<f<n Xe = pec
Cĩ nghiệm duy nhất, ghi là x„ trên đoạn [ơ, n| Đo tính duy nhất của nghiệm nên -
Xs„„(t) = X„(L) với ! e [ơ, n| và n,p 6N
Đặt x(U = x„(L), nêu L6 |ơ, nịỊ,n © IN
Trang 24luận “ã: Tơt Nghiép GVHD: TS Lé Hoan Hoa T,x() = Í Í(s, f(s), f,) ds ++p0(U),đø < tL< n Và I„ là ánh xa đồng nhất trên C{(|ø, nỊ, E) Theo định lý I.4 và (1.16) thì (1„ = 'E„ déng phơi trên C' ({ơ, nỊ, lý) với mọi neIN Như vậy với I là ánh xạ đồng nhất trên X Thì (1 — T) là đồng phơi trên X¿, theo phan i, 5 Metric Hausdorff :
Định nghĩa : Cho (M, d) là khong gian metric
Gọi 22 là tập hợp các tập con bị chân, đĩng trong M và 2 là tập hợp các tắp
con comjpắc trong M
Với A,HB 6, A,H khá rùng, đặt : dist (a, B = inf { d(a,b): be B}
p(A, B)=sup { dist(a, B): ae A}
p(A,H) =sup { — dist(b, Ay: be BS
D(A, B) = max ( p(A, B), p(s, A) }
Khi d6 D 1a mewic trên wv va 7, |?) được gọi là metric Hausdorff,
Ménh dé 5.1 : Cho (M, d) 1a khong gian metric ddy du, khi dé (9, D), (vt, D)
là khơng gian metric đây đủ, Chứng mình :
)) là ian metic dé
Cho (A,), la day cd ban trong (47, D), dat A = U A,
'Ta chứng mình 4 là tập compắc
Với e > 0 cho trước, tổn tại nạ 6 IN : với mọi n > nạ, p e ÍN,
thì D(A„, Assp) <5 , đặc biệt : D(A, Ay) <= n> Ny
Đặt X = { RE Mdist(x, Ay, )< = thi 1) cX
Do A, 1a tap compae nén ton tai a), ag, a € Ay,
Sav cho: Ay, © U Bla, “), tw thấy : X É⁄B(a, e)
Thật vậy; với x € X do dist (x, Ay, )<
Trang 25
Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD : TS Lé Hoan Húa nên tổn taia eB (a, % ) Khida: d(x, a) < d(x, a) + d(a, a) < ; =>xeB(a, ,£) Vay: Xe Ủ Ba, t)
Do AC A¿U U A,, ỦX và A¿, Á¿, , Á,,— là tập compắc nên A phủ dược
bởi một số hữu hạn quả cầu mở bán kính e Vậy 4 là tập compắc
Dat B= O( WA, ) thì B là tập compắc khác rộng nên 3 e Z
Ta chứng mình lim D (A,, B) =U
Với g > Ú tổn tại nạ e IN sao chủ với n > nạ và p œe IN thì DA, Aa¿p) S „ VỚI moi x € B, Hay p(B, A,) < =
Ngồi ra, với a e A, thi dist (a, Ags.) < DCA, Anip) < ~ ’ *
Nên tơn tại xX, € Aga, sao cho : J( it, Xp) <
tw]
®
tJ
|
Day (X,), long U/ Ayo A compae, ton tai day con (x, )š hội tụ,
đãit x = lim X„„ thìx e B và d(a, X) < >
Suy ra: dist (a, B) < : , VGi moi a € A,
Hay — p(A,, B) <
Vay D(A,, B) a Suy ra lim IXA,, B)=0
Vậy (#, D) 1a khơng gian metric day đủ
(22, L3) là khơng gian diy du :
Cho (A,), la day cơ bản trong (2, D) Ta lập dãy (x¿)¿ như sau :
Tổn tại nị e IN sao cho : với mọi n > n, thi: D(A,, Âu,)< : Chon x; € A,, thi dist (x), A,) < = vi muin> pn,
Trang 26
Luận Văn Tất Nghiệp GVHD; TS Lé Hoan Hoa
=e lon tains œ ÍN, nạ > nụ sao cho với mọi n > n› thì DỊ Au, Âu) < = ’ | Chon x) € Au, ry BOX, | ) do dist (xX) An, }< ` thi:
dist (x2, A.) < * vdi moi n> Hạ
Ti€p tuc : vGi k > 2, ta cd 1 A,» An) < si VỚI HỘI H > Dị va x € Ay B (Xx) a7) thi dist (xy, Ay) < ni vain > mh
Ton tai: ny) > my: DIA „¡+ Ẩ) < TH, VỚI HIOI H1 > Mya, | :
a
Do dist (x4, A teas) sĩ nen ton tar: Lone eke te?
\ | : :
Xess € Any BH (Xựụ, 7 ) Uni dist (xy), Ay) < PTE VOL MOL > Bị.)
Vậy ta thiết lập due day (x,) sao cho : vdi moik € IN
X, € Ag, dist (x4, A,) < =i , Voi moi n> my vi d(Xy, X41) < ahs 3i Suy ra: aep | U( Xk, Xap) < > ape IN eck Do S 2 hội tụ nên (xy), là dãy cơ bản trong M 0 Vay x= lim x Đặt : B= 2 (G An) thì l đĩng, bị chặn
Do nụ > k, Xap € cĩ Án, với mọi k e IN và pc [N Nên : x e ° án, với mọi k Vậy x e B và H e we
Chứng minh lim D(A,, BH) = tương tự như trên
Mệnh đề được chứng mình
Định lý 1.11 :
Cho (M, d) là khơng gian metric đây đủ và †,: MẦM ¡=1/2 ,n là các
ánh xạ co, hệ số kị < Ì Khi coduy nhật tập coinpiắc khác rộng A cM sao chủ Á =
OT, (A) tou tas
Chine minh :
Trang 27
Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD: 18 Lê Hồn Hĩa
Đặt 2 là tập hợp các tập con compiắc khác cơng trong M Theo mệnh đẻ Š 1,
(2, |)} là KhOng gian metric dây Ju Dinh nghia dul xa bas D> 2, bởi : với A € 94, F(A) = OT) (A),
Khi do F la ánh xạ co, hệ số k = max [ky i= 1 8]
Vậy E cĩ điểm bất động duy nhat A e 2
Sao cho; A = OT, (A)
6 Khơng gian lơi theo metric :
Định nghia : Khong gian metric (X, d) duve gyi [a loi theo metric néu vGix,y © X,x#y,téntaiz e X, x#z# y sao cho :
d(x, z) + d(z, y) = d (x y)
Khi đĩ điểm z được gọi là nầm giữa x, y và ký hiệu (x,z, y) ˆ
Ta cĩ : (pdqØ0) va (prs) (pqs) va (yrs) Dinh ly 1.12 (Menger) :
Cho (X, đ) là khơng gian meturic đây đủ và lỏi theo metric, Khi đĩ hai điểm
bất kỳ x, y e X được nối bởi một đoạn theo metric, nghĩa là tổn tại một đẳng cư tqp{0, d (x, y)] >Xsao cho : MO) =X và + (d(x, Y)) = Y Ta cân các bổ để : Bổ để 6,1 : Cho (X, d) là khơng gian metric đây đủ, lơi theo metric, Với x, y © X, x # y, giả sử Ú < À < d(x, y) Đặt HB (x, Y) = |z eX : (xzy) | S=S(x,y, ^À) = (2 € B(x, y) : d(x, z) <A} U Lx} Khi do ton tại z¿ e X sao cho ; 8}Z¿ € Š (X, Y, À) b)u œ H (x, y) và (x Z¿u) thì d(x, u) > À Chứng mình :
Trường hựp I : Tổn tại z` e S với d(x, z') < À
Sao cho (x Z' u) =>u £ S : Khi dú đặt z¿ = Z`
Trường hợp 2 : Với mỗi z e S ma d(x, 7) <2
Trang 28
Luận Văn Tốt Nghiệp (VHI : TS Lê Hồn Hĩa tổn tại y„ sao cho (X, ¥, ¥,) Định nghĩa : G : S >3 S bởi G (z) = y, néu d(x, z) <A G (z) =# chỗ khác Xác định qp ; S >3 1” bởi (z) =2 - d(x, z) >9 Khi đĩ ‹p liền tục và với z œe S d(z,G(2)) =d(x, ©(2)) = d(x, z) =A- d(x, 7) — (A- d(x, Ci) = 40(Z) - t(C(2)) Do S là tập đĩng nên S đây đủ, áp dụng định lý Carist, tồn tai z`e S để G(z') =z' Suy ra d(x, Z`) = À và như vậy Z` = Z¿ BG dé 6.2 Cho (X, d) là khơng gian metric day dd va loi theo metric, Cho x, y e X, x #y và << d(x, y) Khi đĩ tốn tại z € X sav cho: (xz y) va d(x, 2°) =A Chứng mình : Do bộ để 6,1, tỔn tại z; € X sao cho: (a) 2 € S (x,y, A) (b) u & B(x, y) va (x 2, u) thì d(x, u) > À Đặt À` = d(x, y) - À và lại áp dung bé dé 6.1
tổn tại yạ: X thỏa :
(a) yy €S(y, ma, A’)
(b') u € B (x, 2) va (yy, u) thi d(y, u) > A’ Trutng hyp |: 2) = yạ- Khi đĩ, do
d(x, y) = d(x 2) + d(Z, y)
Suy ra d(x, mJ) =A
Trường hợp 2 : z; # yạ:
Do X lỗi theo metric, tổn tại w € X sao cho (7; W y;-)
Trang 29Luận Văn Tốt Nghiệp GVHD : TS Lé Hoan Hoa
Chứng mình di AZ
Với xụ, xị 6 X, Xọ # Xị, chụn À = 2 (Xe Xj)
Theo bổ dé 6.2, ton tai Xi € X sao cho:
U(Xo, X12) = : (Xp, Xi) = d(Xa Xị)
(Ta cĩ thể gọi xự¿; là “trung diém™ cia cdp (Xo, X1)
Hat § = d(x, X;) va dinh nghia anh xa
F;10, | 2 X bởi l(0) = xo, HS) = Xx, F(S) = Xy
Lại áp dụng bổ để 6.2, t6n tai X44 Xaa, theo thif We la “trung điểm” của cặp
(Xo Xai (Xz, Xị) và đặt RO) = Xia, sy = Xa
Bằng qui nap, taduge day (ry, PS ps 2"-1
vn pe
trong X sao cho F(—) = x,,„ là đẳng cự
vì (CC _ thì mặt trong | 0: õ| và X dầy đủ nên mở rồng EF trên |0, ồ| vàu X đẳng cự và : ({0, 8}) là một doan trong X nGi xq va x;
Định lý dược chứng mình
7 Ánh xạ khơng dãn :
Định nghĩa ; Cho H là khơng gian Hilbert wen trường sở thực với tích vơ hướng < > và Ì) c H
- Anh xa f: D >3 H được gọi là khơng dãn nen Ì(x) - f(y)|< |x- y|,với moix,yeéD
- Anh xa A: D> H due goi 1a dun dién ncu :
<A, — Ay, X— y> > 0, vdi moi x,y € D
Tinh chat :
Néuf: DCH? H1a anh xạ khơng đãn thì (1 = Ð) là ánh xạ đơn điện
Chứng mình :
Với x, y e D, ta cĩ :
<(1 — f) (x) — (I- D (y),x— y>=< X~ Yy~ (I(x) = Hy), X — Y>
= |x- vÌ?- <Í(%) - Í(y),X - y>> |x- y[?- |f{x)- f(y) |x- y|
>0)
Trang 30
Luận Văn Tốt Nghiệp (VHH : 1S Lê Hồn Hĩa
86 dé 7.1 (Minty)
Cho D) lỗi và A : 1) 3 H đơn điện, liên tục trên các khơng gian con hữu han
chiều của HH Với u e D và z € Hed dinh thì các điều sau đây tưởng đương
(i) < Au =z,v=u>>(U, với mọi v e l) (ii) < Av—z,v—u>>0U, với mọi v e |?
Chứng minh :
(i) => (H) I1) Á đơn điện nên với mọi v e l)
Tạ cĩ ¡ < AV — Z, V— uU> - <ÂU — 2, v~— >#= <Äv ~ Âu, v - >>) Suy ra : <ÁV ~ Z, V = U> > <ÁU ~ Z2, V ~ tUl> > Ú)
(ii) => (i) Do D Idi nên với w œ l), đặt v = tư +(Í — 0 w,tc{ 0; lỊ thì ve Í)
và v—u=(l=t)(w~=u)
[Do (0) với Ø <t< |, tạ cĩ :
Ú<<Áv~z2,v~uI>=(Ì ~=1)< Äv-zZ,W~ tu» Suy ra <Av = 2, w= u, >0
Chot > |, thiv > u, do A liên tục trên đường nơi u, w nen Av > Au Suy ra
<Au — Z7, W~ t> >(, với mọi W e Ì) Định lý 1.13: Cho H là khơng gian Hilbeft H lơi đĩng, bị chặn trong H và f : B * B là ánh xạ khơng dãn.J3 là tập lơi đĩng, khác rồng, 3 kh Áo dap we điểm bat đệng aio J thony Chứng minh :
Bang cach dat D = B — xạ với xạ € B va gs D> D due định
bởi g(X) = Í(Xo + X) = Xa
Nếu g{x;) = x¿ thì Í(Xe + XỊ) = Xụ # x¿ Do đĩ cĩ thể giả sử 0 e B Khi đĩ với 2
e [0; 1] thi Af: B > B 1a ánh xạ ^ - co Vậy tổn tại duy nhất điểm bất động, ghỉ là
Xạ
Tức là ÀÍ(xạ) = Xạ, xạ€ H
đặt Á = l - Í, A; = [ - Athi A va A; đưn điện, lien tue tren Bova Ay OQ) = tì,
voi Ae (0; 1]
Xem day (A,), O< A, <1, lim dA, = Í
Tương ứng ta cĩ đây con hội tụ yêu về u e H
Ta cĩ thể giả sử chính đãy (x;„)„ hơi tụ yếu vẻ u nga là :
lim <x), , V> = <u, v>, với mọi v e H
r
Trang 31
Luận Văn Tât Nghiệp (71H11) : 1S Lê Hồn Hĩa ~—- ee ~—-_—~ — Voi morv 6 H, do Á;„ dơa điệu, t1củi : < Á1„V, V- Xa >>⁄< Á¡„(X;„) V - X;„> HO Ta cĩ : < A¿„(V), V - X;:u.>-< ÁV, v - 0> =< Á;„(V)— ÁV,V- X;„>- <SÁY, X;„ — U> li A;„— A =(T- Àa) Í nén
lim (A, - Ay) =)
[lo H bi chan, tn tai M > 0 sau cho /x/ <M, vidi moi x eB
Nên : | < Ậ¡„(V}T— ÁV, v- 4x; <(A» = AJ)(v)l lv - XJ < 2MI(A,,, ~ A)(¥)| Suy ra : lim< Ä;„(V)}T— ẤV, V - X;„> = [Ì
[3o (x;„) hỏi tủ yêu về n nên lun <Av, x), - u>=0
Vậy lim < Á;„(V), V - Xi„> = <ÁYV, v - > > 0 với mới v 6 H Áp dụng bổ đẻ 7.l, với z = Ú, ta được
<Au, v¥ = u> > 0, vdi moi v € BK
Nghia la: <u — ((u), v- u> > 0, vai moive B
Lay v = I(u) ta duue :
<u = Í(u), Í(u) - u> >0 hay | ú = f(u) Ì Ÿ < 0
Vậy u = Í(u)
Đặt N là tập các điểm bất động của f trong H thì N = (1 — 1) (0), nén N đĩng
và khác rồng
Ta chứng mình N là tập lơi :
'Ta đã cĩ : Âu = 0 €* < Av, v - u> = LÍ với moi v 6 H
Vii uy, ty e@ N, Au, = Au;› = Ú và ú = tị #(Í — 1} 0›,E 6 {U, HỊ
Ta cĩ : v =u =(Í = (V = Uạ) + l(v = uy) Suy ra : <ÁV, v ~ tr> =(Í =)< Av,Vv~y>
+t<Av,v~—u,>=U (Do Ay = 0 & <Áv, v — u> =0, với mọi ve H)
Vậy A, = UÚ hay u = Í(u) =>u e N
Vậy N là tập lơi, Định lý được chứng minh