Tích các ánh xạ và sự bào tồn các không gian qua các ánh xạ có tính chất phủ

MỤC LỤC Trang MỤC LỤC - LỜI NÓI ĐẦU - CHƯƠNG KHÔNG GIAN sn-ĐỐI XỨNG CAUCHY VÀ CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ 1.1 Các kiến thức chuẩn bị - 1.2 Không gian sn-đối xứng Cauchy ánh xạ có tính chất phủ CHƯƠNG TÍCH CỦA CÁC ÁNH XẠ SỰ BẢO TỒN CÁC KHƠNG GIAN QUA CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ - 15 2.1 Tích ánh xạ 15 2.2 Sự bảo tồn không gian qua ánh xạ có tính chất phủ 21 LỜI KẾT 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO - 28 ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN Trang LỜI NĨI ĐẦU Bài tốn bảo tồn không gian loại phủ qua ánh xạ có tính chất phủ vấn đề thời nhiều nhà nghiên cứu tôpô giới quan tâm Chuan Liu, Shou Lin, Ying Ge, Zhaowen Li, Yoshio Tanaka… Trong [2], C.Liu chứng minh không gian có sở -đếm địa phương bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy khơng gian với sở yếu đếm địa phương bảo tồn qua ánh xạ đóng bất khả quy phủ-dãy Trong [4], tác giả chứng minh rằng, không gian với sở yếu đếm địa phương bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy, đặt tốn mở: Không gian với sở yếu -đếm địa phương có bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy hay khơng? Bài tốn nhiều nhà nghiên cứu tơpơ đại cương quan tâm, đến chưa có lời giải xác cho tốn Tuy nhiên gần đây, số nhà nghiên cứu quan tâm đến tích ánh xạ bảo tồn khơng gian qua ánh xạ có tính chất phủ [3] Với lý trên, chọn đề tài: “ Tích ánh xạ bào tồn khơng gian qua ánh xạ có tính chất phủ “ làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Khóa luận trình bày chương : CHƯƠNG KHƠNG GIAN sn-ĐỐI XỨNG CAUCHY VÀ CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ Trong phần này, chúng tơi trình bày kiến thức cần thiết cho phần sau như: không gian tôpô, sở khơng gian tơpơ, lân cận, ánh xạ mở, đóng … Tiếp chúng tơi trình bày khái niệm tính chất của khơng gian, phủ ánh xạ có tính chất phủ CHƯƠNG TÍCH CỦA CÁC ÁNH XẠ SỰ BẢO TỒN CÁC KHƠNG GIAN QUA CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ Trong chương này, ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN Trang chúng tơi trình bày số tính chất tích ánh xạ ánh xạ có tính chất phủ ánh xạ đóng, ánh xạ compact, ánh xạ phủ dãy, ánh xạ lindelof đóng… Tiếp sau đó, chúng tơi trình bày bảo tồn không gian số phủ qua ánh xạ có tính chất phủ Luận văn thực Trường Đại học sư phạm Đà nẵng giúp đỡ tận tình giáo viên hướng dẫn – Thầy Lương Quốc Tuyển, em xin bày tỏ long biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, em xin cảm ơn thầy Ban chủ nhiệm khoa tốn cố cho em nhiều kiến thức tảng giúp em hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng nhiều chắn luận văn nhiều thiếu sót, hạn chế Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn khoa để luận văn hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn Đà nẵng, ngày 25 tháng 04 năm 2013 ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN Trang CHƯƠNG KHƠNG GIAN sn-ĐỐI XỨNG CAUCHY VÀ CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ 1.1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.1 Định nghĩa Không gian tôpô cặp ( X,  họ tập X thỏa mản điều kiện sau: (i) ∅ ∈  (ii) Nếu X ∈ ∈ iI  ∈  Các phần tử X gọi điểm không gian tôpô (X,  ), phần tử ∈  : i ∈ }là họ tập X gọi tập mở không gian X 1.1.2 Định nghĩa Cho ( X, V∈ ∈  ,với i ∈ I Ui    ∈ (iii) Nếu {  ), X tập hợp  cho A  ), A V X Khi đó, ta nói U lân cận A U i) Nếu A = {x} ta nói U lân cận x ii) Nếu U - mở ta nói U lân cận mở A 1.1.3 Định nghĩa Cho không gian tôpô ( X, khơng gian tơpơ ( X,  ) Khi  )và họ tập mở gọi sở không gian tôpô ( X,  ) ( hay gọi sở tôpô  ), tập mở X hợp họ tập hợp thuộc 1.1.4 Định nghĩa Cho không gian tôpô ( X, x ∈ X ta đặt  ) (x) = { U : U lân cận x } ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN Trang Khi đó, họ  ( x) V ∈  ( x) cho V (x) sở lân cận x U ∈ (x) suy U 1.1.5 Tập đóng - Bao đóng - Phần a.Định nghĩa Gọi họ tất tập đóng khơng gian tơpơ ( X,  ) Khi đó, (i) ∅ ∈ X ∈ (ii) Nếu , (iii) Nếu ∈ ∈ ∈ với i ∈ I iI Fi∈ Vậy tập A gọi đóng X \ A tập mở b Định nghĩa Cho A X Khi giao tất tập đóng chứa A gọi bao đóng A ký hiệu A c Nhận xét Cho ( X,  ) khơng gian tơpơ A, B X Khi đó, (i) A- đóng A = A (ii) A tập đóng tập đóng lớn nhỏ chứa A (iii) Nếu A B A d Mệnh đề Cho ( X, B  ) không gian tôpô A, B X Khi đó, (i) (A) = A (ii) A  B = A  B (iii) A  B A B e Định nghĩa Cho A tập hợp khơng giân tơpơ X Khi hợp tất tập mở chứa A gọi phần tập A, ký hiệu o intA hay A f Nhận xét Cho ( X,  ) khơng gian tơ pơ (i) A- mở intA = A ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN Trang (ii) intA tập mở tập mở lớn chứa A B intA (iii) Nếu A g Mệnh đề Cho ( X, intB  ) không gian tôpô A, B X Khi (i) int A = X \ ( X \ A ) (ii) int ( A  B ) = int A  int B (iii) int (int A) = int A 1.1.6 Định nghĩa Cho ( X , X ) ( Y , Y ) khơng gian tơpơ Khi f : ( X , X ) lân cận f ( ( Y , Y ) gọi liên tục tồn lân cận : Với cho f ( ) Hàm f gọi liên tục ( X , X ) liên tục điểm ∈ X 1.1.7 Mệnh đề Cho f : ( X , X ) U ∈ Y ( Y , Y ) liên tục f 1(U ) ∈  X Chứng minh: Giả sử f liên tục U ∈  Y ta chứng minh f 1(U ) ∈  X Thật vậy, Lấy x ∈ f 1(U ) , suy f (x) ∈ U ∈  Y , U lân cận f (x) Do f - liên tục nên suy f (x) ∈ f (V) U x ∈ f 1( f (V )) Giả sử V lân cận x cho f 1(U ) suy f 1(U ) ∈  X - mở U ∈  Y ta có f 1(U ) ∈  X Cần chứng minh f - liên tục Thật vậy, lấy x ∈ X U lân cận f (x) Tồn W- mở cho f (x) ∈ W ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN U Vậy suy W ∈  Y Trang Mặt khác, theo giả thiết ta có : f 1(W) ∈  X Đặt V = f 1(W) suy x ∈ f 1(W) = V ∈  X Vậy V lân cận x f (V) = f ( f 1(W) ) = W U x ∈ X Suy f - liên tục Vậy f liên tục x, 1.1.8 Định nghĩa Cho f : ( X , X ) ( Y , Y ) Khi đó, i) f gọi ánh xạ mở U tập mở X f (U ) tập mở Y ii) f gọi ánh xạ đóng U tập đóng X f (U ) tập đóng Y 1.1.9 Định nghĩa Cho không gian tôpô ( X , X ) A, B B B X Khi ta nói A trù mật A 1.1.10 Định nghĩa Cho không gian tơpơ ( X , X ) Khi X gọi không gian khả li tồn tập I đếm trù mật X 1.1.11 Định nghĩa Cho không gian tôpô ( X , X ) Khi X gọi - khơng gian với x, y ∈ X (x # y), tồn lân cận U x x (hoặc lân cận V y y) cho y Ux (hoặc x V y ) 1.1.12 Định nghĩa Cho không gian tôpô ( X , X ) Khi X gọi không gian với x, y ∈ X (x # y), tồn lân cận Vy y cho y Ux x U x x lân cận V y 1.1.13 Định nghĩa Cho không gian tơpơ ( X , X ) Khi X gọi không gian với x, y ∈ X (x # y), tồn lân cận Vy - - U x x lân cận y cho U x  V y , X cịn gọi khơng gian Hausdorff ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN Trang 1.1.14 Nhận xét Cho khơng gian tơpơ ( X , X ) Khi i) X - khơng gian X - khơng gian ii) X - khơng gian X - không gian 1.1.15 Định nghĩa Cho không gian tơpơ ( X , X ) Khi X gọi không gian compact phủ mở X tồn phủ hữu hạn, nghĩa là: {U : U } với  phủ X X Khi đó, tồn n ∈  cho X , Ui 1.2 KHÔNG GIAN sn - ĐỐI XỨNG CAUCHY VÀ CÁC LOẠI ÁNH XẠ CÓ TÍNH CHẤT PHỦ Trong tồn phần trở sau, nói đến khơng gian X, Y… ta hiểu khơng gian tơpơ quy ước tất không gian Hausdorff, tất ánh xạ liên tục toàn ánh Ngồi chúng tơi cịn dùng thêm ký hiệu sau : Cho f : ( X , X ) ( Y , Y ) ánh xạ giả sử họ tập X Khi ⋃ st(x, ∈ =⋃ )=⋃ f ( )={ f ∈ : } : x ∈ ∈ } } 1.2.1 Định nghĩa Cho ( X , X ) khơng gian tơpơ Giả sử X Khi đó, họ tập gọi họ đếm theo điểm, điểm X thuộc nhiều đếm phần tử ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN Trang 1.2.2 Định nghĩa Cho ( X , X ) không gian tơpơ Giả sử X Khi đó, họ tập gọi họ hữu hạn địa phương (đếm địa phương), x ∈ X, tồn lân cận V x cho V giao nhiều với hữu hạn (tương ứng, đếm được) phần tử 1.2.3 Định nghĩa Cho ( X , X ) không gian tôpô Giả sử X Khi đó, gọi họ compact-hữu hạn, tập compact X giao nhiều với hữu hạn phần tử 1.2.4 Định nghĩa Cho ( X , X ) khơng gian tơpơ Giả sử X Khi đó, =⋃ có tính chất (P) 1.2.5 Định nghĩa Cho ( X , X ) không gian tôpô Giả sử X Khi đó, gọi lưới x X, x ∈ với lân cận U x, tồn P ∈ cho x ∈ P 1.2.6 Định nghĩa Cho ( X , X ) không gian tôpô Giả sử X Khi đó, trong, tồn P ∈ họ tập với P ∈ U họ tập gọi lưới X với x ∈ U với U mở cho x ∈ P U 1.2.7 Định nghĩa Cho ( X , X ) khơng gian tơpơ Giả sử X Khi đó, họ tập gọi họ có tính chất - (P) cỏ thể biểu diễn , ∈ họ tập họ tập gọi cs*-lưới , với x ∈ U với U mở ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN Trang X dãy { } hội tụ đến x, tồn dãy { } { } P ∈ cho {x} ∈ { } P U 1.2.8 Định nghĩa Cho ( X , X ) không gian tôpô Giả sử X Khi đó, x dãy { họ tập gọi cs-lưới, với x ∈ U với U lân cận } hội tụ đến x, tồn m ∈ {x} { P ∈ } cho U P 1.2.9 Định nghĩa Cho ( X , X ) không gian tôpô Giả sử họ tập X Khi đó, U với K-compact gọi -lưới, với K U mở X, tồn họ hữu hạn 1.2.10 Định nghĩa Cho ( X , X ) không gian tôpô Giả sử X Khi đó, { P ∈ {x} cho { } P 1.2.11 Định nghĩa Cho ( X , X ) không gian tôpô Giả sử P với  1.2.12 Định nghĩa : Giả sử x ∈ X, = { P :  ∈ họ HCP { A :   J} = với J họ tập gọi cs-phủ X, với x ∈ X dãy } hội tụ đến x, tồn m ∈ Khi đó, ta nói U cho K = xX { A :   J} ∈ J phủ không gian X với thỏa hai điều kiện (a) (b) sau : ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN Trang 10 1.2.29 Định nghĩa Giả sử f : ( X , X ) gọi -ánh xạ, tồn sở ( Y , Y ) ánh xạ Khi đó, f X cho f ( ) họ -hữu hạn địa phương Y 1.2.30 Định nghĩa Giả sử f : ( X , X ) gọi ánh xạ compact, tập compact X với y ∈ Y 1.2.31 Định nghĩa Giả sử f : ( X , X ) gọi ánh xạ Lindelof, ( Y , Y ) ánh xạ Khi đó, f ( Y , Y ) ánh xạ Khi đó, f tập Lindelof X với y ∈ Y 1.2.32 Định nghĩa Giả sử f : ( X , X ) ( Y , Y ) ánh xạ Khi đó, f gọi -ánh xạ, X không gian sn- đối xứng với y ∈ U với U mở Y ta có d( ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN (U )) > Trang 14 CHƯƠNG TÍCH CỦA CÁC ÁNH XẠ VÀ SỰ BẢO TỒN CÁC KHƠNG GIAN QUA CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ 2.1 TÍCH CỦA CÁC ÁNH XẠ 2.1.1.Định lý Giả sử f : ( X , X ) ( Y , Y ) ( Z , Z ) ánh xạ đóng g : ( Y , Y ) Khi đó, h  fog ánh xạ đóng Chứng minh : Nếu f Thật vậy, g ánh xạ đóng, h  fog ánh xạ đóng U tập đóng X, f ánh xạ đóng nên suy f (U) tập đóng Y Mặt khác g : ( Y , Y ) tập đóng Y ( Z , Z ) ánh xạ đóng nên suy f (U) g ( f (U)) tập đóng Z Vậy h  fog ánh xạ đóng 2.1.2.Định lý Giả sử f : ( X , X ) g : ( Y , Y ) ( Y , Y ) ( Z , Z ) ánh xạ phủ-dãy Khi đó, h  fog ánh xạ phủ-dãy Chứng minh : Nếu f g ánh xạ phủ-dãy, h  fog ánh xạ phủ- dãy Thật vậy, lấy dãy { }hội tụ Z, tồn { } dãy hội tụ Y (với ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN g( )= g ánh xạ phủ-dãy nên suy ∈ ) Trang 15 Ta lại có f ánh xạ phủ-dãy, nên = f( ) ∈ ) hay = g(f ( dãy hội tụ X (với ∈ )) Vậy h  fog ánh xạ phủ dãy 2.1.3.Định lý Giả sử f : ( X , X ) ( Y , Y ) ( Z , Z ) ánh xạ phủ-compact g : ( Y , Y ) Khi đó, h  fog ánh xạ phủ-compact Chứng minh : Nếu f g ánh xạ phủ-compact, h ánh xạ phủ- compact Thật vậy, với H tập compact Z, g là ánh xạ phủcompact nên suy tập compact K Y cho g (K) = H Mặc khác, f ánh xạ phủ-compact nên X cho f (L) = K (hay H = g(f tập compact L (L))) Vậy h  fog ánh xạ phủ-compact 2.1.4.Định lý Giả sử f : ( X , X ) ( Y , Y ) ( Z , Z ) ánh xạ compact đóng g : ( Y , Y ) Khi đó, h  fog -ánh xạ -ánh xạ Chứng minh : Nếu f -ánh xạ g ánh xạ compact đóng, h - ánh xạ Thật vậy, giả sử H tập compact Z Khi g ánh xạ compact đóng nên g 1 (H)- tập compact Y Mặt khác, f : ( X , X ) ( Y , Y ) ánh xạ không gian không gian tích  X i , -ánh xạ nên X là không gian metric i ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN Trang 16 Y, ta có cho với tập compact L p(f 1 ( L)) tập compact i Hơn nữa, nên p (h p (h ( H ))) p ( f (g ( H )) = i 1 1 1 i 1 ( H )) tập compact i Vậy h  fog g 1 (H) tập compact Y -ánh xạ 2.1.5.Định lý Giả sử f : ( X , X ) ( Y , Y ) ( Z , Z ) ánh xạ compact đóng g : ( Y , Y ) Khi đó, h  fog - ánh xạ -ánh xạ Chứng minh : Nếu f - ánh xạ g ánh xạ compact đóng, h - ánh xạ Thật vậy, lấy z ∈ Z Khi đó, f : ( X , X ) ( Y , Y ) xạ nên X khơng gian khơng gian tích  X i , -ánh khơng i ∈ , tồn dãy lân cận mở {U i( y) : gian metric cho cho 1 p i( f (U )) tập compact i Mặt khác tập compact g 1 g 1 (z) cho ∈ g 1 (z) ∈ yF , nên với ∈ ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN ∈ ∈ g 1 } phủ mở , tồn tập hữu hạn U i( y) g ánh xạ đóng , nên với } y ánh xạ compact {U i( y) : (z) với Hơn nữa, g ∈ U i( y) yF , tồn lân cận mở lân cận mở g 1 (z) với z cho Trang 17 g 1 ( ) yF U i( y) Do với 1 ∈ , ta có 1 1 p i( f ( g (V i))) p i(h (V i)) pi [ f = p i [( 1 ( yF U i ( y ))] 1 yF f (U i( y )))] 1 yF 1 = yF Bởi yF i 1 F tập hữu hạn nên i p [ f (U i( y))] i compact p [ f (U i( y))] p [ f (U i( y))] tập compact 1 ta suy p i [ f (U i( y))] tập compact Do đó, 1 p i(h (V i)) tập Vậy h  fog -ánh xạ 2.1.6.Định lý Giả sử f : ( X , X ) ( Y , Y ) ( Z , Z ) ánh xạ Lindelof đóng g : ( Y , Y ) Khi đó, h  fog -ánh xạ -ánh xạ Chứng minh : Nếu f -ánh xạ g ánh xạ đóng, h -ánh xạ Thật vậy, lấy z ∈ Z Khi đó, f : ( X , X ) ( Y , Y ) xạ nên X không gian khơng gian tích  X i , i gian metric cho cho ∈ , tồn dãy lân cận mở {U i( y) : 1 p i( f (U )) tập khả li i ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN ∈ -ánh khơng } y Trang 18 Mặt khác g ánh xạ g 1 yF (z) với ∈ , tồn tập đếm ∈ g g 1 1 } phủ mở (z) cho g 1 (z) U i( y) g ánh xạ đóng Hơn nữa, {U i( y) : ∈ ( ∈ nên suy với yF , tồn lân cận mở ∈ U i( y) Do vậy, với 1 = p i [( yF 1 ( yF g 1 U i ( y ))] 1 yF f (U i( y)))] p [ f (U i( y))] i 1 i 1 p [ f (U i( y))] tập khả li i ánh xạ mở và F tập đếm nên 1 h (V ) i tập mở nên ta suy 1 p i(h1(V )) tập mở tập khả li i Do đó, z cho , ta có p [ f (U i( y))] tập khả li Hơn nữa, (z) với 1 = yF 1 1 1 pi [ f Bởi g p i( f ( g (V i))) p i(h (V i)) ta suy yF lân cận mở U i( y) yF p [ f (U i( y))] i 1 p i(h (V i)) tập khả li Vậy h  fog -ánh xạ 2.1.7.Định lý Giả sử f : ( X , X ) g : ( Y , Y ) ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN ( Y , Y ) ánh xạ compact đóng ( Z , Z ) ánh xạ compact Trang 19 Khi đó, h  fog ánh xạ compact Chứng minh : Nếu f ánh xạ compact đóng g ánh xạ compact, h ánh xạ compact Giả sử z điểm Z Khi đó, g ánh xạ compact nên tập compact Y Bây ta chứng minh g 1 (z), tồn phủ hữu hạn lân cận mở g 1 phủ y Y cho }là phủ mở tập compact g F 1 g (z) cho 1 (z) yF ⋃ ) g 1 1 ( yF V ) y 1 f (V y ) ( phủ ) yF ( ) Khi đó, F tập hữu hạn nên yF (z) Do ∈ Hơn nữa, họ { y yF = (y) nên tồn (z) nên tồn tập hữu hạn = Đặt ∈ V Do ( g (z)) (z) = (z) Khi đó, với lân cận mở ( (z) (y) ánh xạ đóng ⋃ Mặt khác, 1 (z) tập compact phủ mở Thật vậy, giả sử g  phủ hữu hạn (z) tập compact X Vậy h  fog ánh xạ compact 2.1.8.Định lý Giả sử f : ( X , X ) g : ( Y , Y ) Khi đó, h  fog ( Y , Y ) -ánh xạ ( Z , Z ) ánh xạ compact đóng -ánh xạ ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN Trang 20 Chứng minh : Nếu f -ánh xạ g ánh xạ compact đóng, h  fog ánh xạ -ánh xạ Thật vậy, Do f -ánh xạ nên tồn sở X cho f ( ) họ - hữu hạn địa phương Mặt khác, g ánh xạ compact đóng bảo tồn họ hữu hạn địa phương nên ta suy h( ) = g ( f ( )) họ - hữu hạn địa phương Vậy h  fog -ánh xạ 2.2.SỰ BẢO TỒN CỦA CÁC KHƠNG GIAN QUA CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ 2.2.1.Hệ Khơng gian bảo tồn qua ánh xạ đóng Chứng minh : Giả sử f : ( X , X ) ( Y , Y ) ánh xạ đóng X khơng gian Khi đó, X ảnh đóng khơng gian metric M, suy tồn ánh xạ đóng g : M X, M khơng gian metric Đặt h  fog Khi đó, theo định lý (Nếu f g ánh xạ đóng, h ánh xạ đóng), suy h ánh xạ đóng Do đó, Y khơng gian 2.2.2.Hệ Không gian Fréchét với - lưới -HCP bảo tồn qua ánh xạ đóng Chứng minh : Suy trực tiếp từ định lý 1[2] hệ 2.2.1 2.2.3.Hệ Không gian cs*-lưới (tương ứng, cs-lưới) -compact-hữu hạn bảo tồn qua ánh xạ compact đóng (tương ứng, compact đóng phủ-dãy) Chứng minh : Giả sử f : ( X , X ) -compact-đếm ( Y , Y ) ánh xạ Khi đó,nếu X có lưới ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN Trang 21 Khi đó, nhờ định lý 2.2[4], tồn -ánh xạ X, M g: M không gian metric Hơn theo định lý 2.1[2] , h  fog là cs*-lưới Vì (i) Giả sử g ánh xạ compact đóng nên nói ánh xạ phủ-compact Do theo định lý 5.1[3], g ánh xạ thương dãy Do vậy, Y theo ánh xạ thương dãy, kéo -ảnh thương-dãy không gian metric Nhờ định lý 5.1[3] ta suy Y có cs*-lưới (ii) Nếu -ánh xạ -compact-hữu hạn cs-lưới, nhờ định lý 4.1[3], g ánh xạ phủ dãy Do vậy, Theo định lý suy -ánh xạ phủ dãy Suy Y -ảnh phủ-dãy không gian metric Theo định lý 4.1[3], ta suy Y có cs-lưới -compact-hữu hạn 2.2.4.Hệ Khơng gian g -khả metric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy Chứng minh : Giả sử g : ( X , X ) ( Y , Y ) ánh xạ đóng phủ-dãy sở yếu -hữu hạn địa phương X Khi nhờ cách chứng minh có định lý 3.8[4], ta suy Y gf -đếm ta tìm tập đóng g g ánh xạ compact đóng thế, nhờ định lý 4.3 [2], tồn cho có sở yếu -hữu hạn địa phương Vì -ánh xạ thương phủ-dãy f : M M khơng gian metric Theo định lý 2.1 [3], h  g of M , - ánh xạ thương Mặt khác, theo chứng minh định lý [3], tồn sở họ M cho - hữu hạn địa phương Hơn nữa, cs*-lưới bảo tồn qua ánh xạ thương nên f ( ) cs*-lưới -hữu hạn địa phương ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN Trang 22 Từ kéo theo X khơng gian có cs-lưới -hữu hạn địa phương Cuối cùng, Bổ đề [2] ta suy điều phải chứng minh Vậy Không gian g - khả metric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ-dãy 2.2.5.Hệ cs-lưới -đếm địa phương bảo tồn qua ánh xạ Lindelof đóng phủ dãy Chứng minh : Giả sử g : ( X , X ) ( Y , Y ) ánh xạ Lindelof đóng phủ-dãy X khơng gian có cs-lưới -đếm địa phương Khi đó, theo định lý 5.1 [1] suy tồn -ánh xạ phủ-dãy f : M Mặt khác theo định lý h  , M không gian metric g of -ánh xạ phủ-dãy Vì nên ta suy cs-lưới -đếm địa phương bảo tồn qua ánh xạ Lindelof đóng phủ dãy 2.2.6.Hệ Cơ sở yếu -đếm địa phương bảo tồn qua ánh xạ Lindelof đóng phủ dãy Chứng minh : Giả sử g : ( X , X ) khơng gian có sở yếu ( Y , Y ) ánh xạ Lindelof đóng phủ-dãy X - đếm địa phương Khi đó, sở yếu cs-lưới nên theo Hệ 2.2.5 , X khơng gian có cs-lưới -đếm địa phương Mặt khác, họ -đếm địa phương họ đếm theo điểm, theo Bổ đề 3.1[2], Y không gian gf -đếm Hơn nữa, theo Bổ đề 7[3] ta suy Y có sở yếu -đếm địa phương Vậy Cơ sở yếu -đếm địa phương bảo tồn qua ánh xạ Lindelof đóng phủ dãy 2.2.7.Định lý Khơng gian sn-đối xứng Cauchy bảo tồn qua - ánh xạ phủ-dãy ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN Trang 23 Chứng minh : Giả sử f : ( Y - ánh xạ phủ-dãy ( ) ) không gian sn- đối xứng Cauchy ∈ Với , ta đặt ={P∈ : (P) < } ; ∈ ⋃ = Khi đó, (i) Theo chứng minh có bổ đề 2.2[2], ta suy lưới – mạnh bao gồm cs-phủ ): ∈ (ii) { f ( lân cận } Khi đó, f ,X\ Khi tồn P ∈ ) với ∈ nên ta có : ( ) Điều dẫn đến mâu thuẩn với giả thiết cho ) cs-phủ Thật vậy, giả sử cho ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN ∈ ∈ Thật ∈ { } dãy Y hội tụ đến Khi đó, f ánh xạ phủ-dãy nên tồn dãy { ∈ nên (P) < z ∈ X ) ∈ với cho z ∈ P Vì P ∈ ( tụ đến > vậy, giả sử ngược lại tức tồn z ∈ (iii) Mỗi f ( ∈ - ánh xạ nên tồn Bây ta chứng minh st(x, Mặt khác, ∈ –lưới mạnh Y Thật vậy, giả sử với }trong X hội ∈ Trang 24 Mặt khác, cs-phủ nên tồn P Suy { }⋃ Vì vậy, f ( ∈ P ∈ cho {x}⋃ f (P) ) cs-phủ X Từ chứng minh ta suy Y cớ lưới -mạnh bao gồm cs-phủ Do đó, theo bổ đề 2.2[2] ta suy Y không gian sn-đối xứng Cauchy 2.2.8.Hệ Không gian đối xứng Cauchy bảo tồn qua -ánh xạ thương phủdãy Chứng minh : Do ánh xạ thương bảo tồn qua không gian dãy nên theo Định lý 2.2.7 Hệ chứng minh 2.2.9.Hệ Không gian với lưới -hữuhạn địa phương mạnh ( -đếm đượcđịa phương mạnh ; -compact-hữu hạn mạnh) bao gồm cs-phủ bảo tồn qua ánh xạ compact đóng phủ-dãy Chứng minh : Giả sử g : ( X , X ) ( Y , Y ) ánh xạ compact đóng phủ-dãy X khơng gian có lưới -hữuhạn địa phương mạnh (tương ứng -đếm đượcđịa phương mạnh; -compact-hữu hạn mạnh) bao gồm cs-phủ Khi đó, Theo bổ đề 2.2[2], ta suy X không gian sn-đối xứng Cauchy Do đó, theo định lý 2.2.7 ta suy Y không gian sn-đối xứng Cauchy Mặt khác, Theo định lý 3.4 [3] (tương ứng định lý 4.2[3] ; định lý 6.1[3] ta suy tồn -ánh xạ (tương ứng ; -ánh xạ ; -ánh xạ) phủ-dãy :M , M khơng gian metric Hơn theo định lý ta suy ánh xạ h  fog -ánh xạ ; -ánh xạ (tương ứng, -ánh xạ) phủ-dãy Do đó, ta suy Y khơng gian có cs- ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN Trang 25 lưới -hữuhạn địa phương (tương ứng -đếm đượcđịa phương ; -compact-hữu hạn) Cuối cùng, định lý 2.3[1] ta suy Y khơng gian có cs-lưới -hữuhạn địa phương mạnh (tương ứng -đếm đượcđịa phương mạnh; -compact-hữu hạn mạnh) 2.2.10.Hệ Không gian -trải mạnh bảo tồn qua ánh xạ compact đóng phủ-dãy Chứng minh : Hệ suy trực tiếp từ Hệ 2.2.9, Hệ 2.5[1] nhận xét sau: i) Không gian đối xứng không gian dãy sn- đối xứng ii) Không gian đối xứng Cauchy không gian dãy sn- đối xứng Cauchy ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN Trang 26 LỜI KẾT Tóm lại, Luận văn giải vấn đề sau : Hệ thống lại kiến thức tôpô đại cương sở không gian tôpô, sở lân cận, tập đóng, tập mở, ánh xạ liên tục, ánh xạ đóng, mở vv…vv tính chất chúng tơpơ đại cương Trình bày chứng minh chi tiết vấn đề ánh xạ có tính chất phủ ánh xạ phủ dãy, ánh xạ phủ-compact,ánh xạ thương, ánh xạ thương dãy, mssc- ánh xạ, msk- ánh xạ, msss-ánh xạ vv…vv không gian không gian dãy, không gian Fréchet,không gian Lasnev, không gian g- khả metric, gf- đếm được, không gian đối xứng Cauchy, không gian sn- đối xứng Cauchy … Trình bày chứng minh chi tiết vấn đề tích ánh xạ có tính chất phủ nêu lên bảo tồn không gian phủ qua ánh xạ có tính chất phủ Hệ 2.2.1, Hệ 2.2.3, Hệ 2.2.4, Định lý 2.2.7 ĐỀ TÀI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HOÀNG SƠN Trang 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tran Van An and Luong Quoc Tuyen, Cauchysn-symmetric spaces with a csnetwork(cs*-nework) having property -(P), Submit to Ukrainian Math.J., (2010) [2] Chuan Liu, On weak bases, Topology and its Applications, 150 (2005), 91-99 [3] Xun Ge, Mappings on weak Cauchy sn-symmetric spaces, Lobachevskii J.Math., 30 (2) (2010), 132-137 [4] Luong Quoc Tuyen, Nguyen Duy Nam, ss-images 1-sequence-covering of locally metric spaces, Journal of Science Vinh University (2008) ĐỀ TÀI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP SVTH : TRỊNH HỒNG SƠN Trang 28 ... số tính chất tích ánh xạ ánh xạ có tính chất phủ ánh xạ đóng, ánh xạ compact, ánh xạ phủ dãy, ánh xạ lindelof đóng… Tiếp sau đó, chúng tơi trình bày bảo tồn không gian số phủ qua ánh xạ có tính. .. nghiên cứu quan tâm đến tích ánh xạ bảo tồn không gian qua ánh xạ có tính chất phủ [3] Với lý trên, chúng tơi chọn đề tài: “ Tích ánh xạ bào tồn không gian qua ánh xạ có tính chất phủ “ làm đề... chúng tơi trình bày khái niệm tính chất của không gian, phủ ánh xạ có tính chất phủ CHƯƠNG TÍCH CỦA CÁC ÁNH XẠ SỰ BẢO TỒN CÁC KHÔNG GIAN QUA CÁC ÁNH XẠ CĨ TÍNH CHẤT PHỦ Trong chương này, ĐỀ TÀI