0310 rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho sinh viên trường đại học khối kỹ thuật thông qua học phần hình học họa hình luận văn tốt nghiệp

Tổngquanvấn đềnghiêncứu

Những côngtrình ởngoài nướcvềthuậttoánvàtư duythuậttoán

M o r t e n Misfeldt(2015) [68] cho rằng: Sự xuất hiện của Thuật toán gắn liền với sự rađời của Toán học Hơn một nghìn năm trước (năm 825), một nhà khoa học ởthành phố Khorezm Abdullah (hoặc Abu Jafar) tên là Muhammadbin Musaal-Khwarizmi, đã viết một cuốn sách về Toán học, trong đó ông mô tả làm thếnào để thực hiện các phép tính số học với số lượng nhiều giá trị Từ đó chữ“Al-Khwarizmi” (tiếng Latinh đọc là algorithm, có nghĩa là “thuật toán”) nổilênởchâu Âutrong cácbản dịch cuốn sách Toán họcnàysangtiếng Latinh.

[55] cho rằng: Thuật toán - mô tả của các chuỗi các hành động (kế hoạch),được thực hiện một cách nghiêm ngặt theo các chỉ dẫn để giải quyết vấn đềtrongmộtsốhữuhạncác bước.

Theo David A.Grossman và Ophir Frieder (2012) [53]: Hiện nay

"thuậttoán" thường được dùng để chỉ thuật toán giải quyết các vấn đề Tin học Hầuhết các thuật toán trong Tin học đều có thể viết thành cácchương trình máytínhmặc dù chúng thường có một vài hạn chế (vì khả năng của máy tính vàkhả năng củangười lập trình) Trong nhiều trường hợp, mộtchương trìnhkhithiếtkếbịthất bại làdolỗi ởcác thuật toánk h i n g ư ờ i l ậ p t r ì n h đ ư a v à o không chính xác, không đầy đủ, hay không ước định được trọn vẹn cách giảiquyết vấnđề.

*C ầ n p h â n b i ệ t k h á i n i ệ m “ t h u ậ t t o á n ” t h e o n g h ĩ a T i n h ọ c v ớ i q u a n niệm“thuậttoántrong cuộcsống hàng ngày”(algorithms in everydaylife).

Các công trình nghiên cứu về thuật toán và tư duy thuật toán ở nướcngoài đều dựa trên khái niệm “thuật toán” trong Khoa học máy tính và trongTin học Còn thuật ngữ “thuật toán” thông thường chỉ được nhắc tới thoángquamàkhông cómộtkếtquả nghiêncứu cụthể.

Theo Robert J Sternberg (2000) [73]: Trong cuộc sống hàng ngày,chúng ta đã từng được học một số thuật toán, chẳng hạn: cách buộc dây giày,cách mặc quần áo Nhiều khi chúng ta tạo ra những thuật toán để hướng dẫnngười kháclàm đượcmộtđiềugì đó.Có những thuật toán đượcv i ế t t h à n h văn bản hướng dẫn(hướngdẫn lắpráp,hướng dẫnláixe,v.v…).

Thông thường chúng ta thực hiện hành động theo thói quen một cáchmáy móc mà không cần suy nghĩ Ví dụ, làm thế nào để mở khóa cửa. Tuynhiên, để dạy cho đứa trẻ làm việc này, ta phải giải thích rõ ràng những hànhđộngvàthứtựthựchiệnchochúng,nhưlà:(i)Lấychìakhóatừtúira; (ii)Tra chìa khóa vào lỗ khóa; (iii) Xoay chìa trong lỗ khóa một lần cùng chiềukimđồnghồ;(iv) Lấykhóa ra.

Nếu để ý, chúng ta sẽ thấy thế giới của các “thuật toán” rất đa dạng vàchúng ta đang liên tục thực hiện một tập hợp các thuật toán Các thuật toánthường ngày đôi khi có thể không được rõ ràng bởi vì ngôn ngữ tự nhiên làkhông chínhxác 1

[ 5 5 ] : V i ệ c d ạ y h ọ c thuậtt o á n c ũ n g đ ã xu ất h i ệ n t ừ r ấ t sớ m , d ư ớ i d ạ n g n h ữ n g c â u đ ố h o ặ c b à i toánvui.

1 W e u s e a l g o r i t h m s d a i l y , a n d w e o f t e n c r e a t e t h e m a s w e i n s t r u c t o t h e r p e o p l e i n h o w t o d o something Everydayalgorithmscan besometimesbeunclearbecausenaturallanguageisimprecise có thể bắt đầu trong những năm đầu đi học của trẻ với các đối tượng gần gũivàđơngiản.Chẳnghạncâuđố:“Làmthếnàođểlấyđược7lítnướckhichỉcó hai chiếc can, một cái 3 lít, một cái 8 lít và các bình đựng nước?” Hoặc làbài toán: “Có một người đàn ông phải mang theo một con sói, một con dê vàmột bắp cải qua sông chỉ với một chiếc thuyền Ngoài chiếc bắp cải, mỗi lầnngười đó chỉ có thể mang được con sói hoặc con dê mà thôi Làm thế nào đểkhôngxảyratìnhtrạngsó i ănthịtdêhoặcdêănbắp cảikhi vắngngười?

”(Bàitoáncổ Nga).(Xemcác lờigiảitrongphụ lục9)

Một số khái niệm của khoa học máy tính đã được các nhà khoa họcnghiêncứuở góc độ giáo dục, ví dụ như Levitin Anany (2008) [64]đ ã đ i ề u trakháiniệmmáytínhđượcdạynhưthếnàotừbậctiểuhọcđếnbậc trunghọc Cuốn sách của Levitin Anany đã giới thiệu nhiều thuật toán và nhiều bàitậpvớicác câuđốlậptrìnhvàthuật toán.

Tomasz Müldner & Elhadi Shakshuki (2004) [69] đã đề xuấtmô hìnhgiảithíchthuậttoánđểdạyhọc thuậttoán.

Cuốn sách của Thomas H Cormen (2009) [74] đã giới thiệu về thuậttoán3E,được sửdụngởnhiềutrườngĐạihọctrênthếgiới.

Marasaeli,JacobPerrenet,WimM.G.Jochems,BertZwaneveld(2011)

[66] đã đề xuất bốncấp độ trừu tượng trong tư duy thuật toáncủa sinh viêntương ứng với bốncấp độ trừu tượng của thuật toánnhư sau: (1)Cấp độ thựchiện;(2)Cấpđộ chương trình;(3)Cấpđộđối tượng;và(4)Cấp độbài toán.

Cácn g h i ê n c ứ u v ề t ư d u y t h u ậ t t o á n ở n g ư ớ c n g o à i c ũ n g n h ấ t q u á n theo quan niệm Thuật toán trongT i n h ọ c T h e o James Walden(2013) [63]:Tư duy thuật toán là một hình thức của tư duy toán học Nó khác với các loạikhác của tư duy được thảo luận trong các tài liệu giáo dục (chẳng hạn như tưduyphêphán) bởitínhchặt chẽnghiêmngặtcủa nó.

Theo Knuth D (1985)[64, tr 170- 181]: Thuật ngữ“ t ư d u y t h u ậ t toán" đã được các nhà toán học quan tâm vào giữa những năm 1980.

Nó đãdẫn đến một loạt các cuộc thảo luận về cách giảng dạy trong Toán học vàtrong Khoa học máytính.

Futschek G (2006) [57, tr 159 - 168] cho rằng: Trong nhiều năm gầnđây vấn đề này đã trở thành một chủ đề nóng của cuộc thảo luận giữa các nhànghiên cứu.

Trong một bài báo được công bố bởi Hội đồng Nghiên cứu Quốc giaMỹ trong cuối những năm 90 của thế kỷ XX đã ghi: Tư duy thuật toán baogồm các chức năng: bác bỏ, sự lặp lại (đệ quy), tổ chức dữ liệu cơ bản có tínhcấu trúc (biên bản, mảng, danh sách), khái quát và tham số hóa Cũng lưu ýrằng một số loại tư duy thuật toán không nhất thiết đòi hỏi việc sử dụng hoặcsựhiểubiếtvềtoánhọc phức tạp 2

Theo Fluent (1999) [56]: Tư duy thuật toán là chìa khóa để hiểu nhiềukhía cạnh của công nghệ thông tin Cụ thể, nó là điều cần thiết để thấu hiểu hệthống công nghệ thông tin làm việc như thế nào và tại sao làm như thế Nógiúp khắc phục sự cố hoặc gỡ rối một vấn đề trong hệ thống công nghệ thôngtin,hayứngdụng.Nólàđiềucầnthiếtđểcómộtsốkỳvọngvềnhữnghành vi thích hợp nên được chấp nhận Tư duy thuật toán là chìa khóa để ứng dụngcôngnghệthôngtinvớicáctình huốngcóliênquan.

TheoCOMAP(ConsortiumforMathematicsandItsApplications)(1997) [52]: "Tư duy thuật toán" là một loại tư duy toán học Các biểu hiệncủatưduythuậttoánlà:

2 Algorithmic thinking, including functional decomposition, repetition (iteration and/or recursion),basic data organizations (record, array, list), generalization and parameterization, Note also that some typesofalgorithmicthinkingdonotnecessarilyrequirethe useorunderstandingofsophisticated mathematics.” dụng bút chì và giấy để thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia; sử dụngthuật toán Euclide để tìm ước số chung lớn nhất của hai số nguyên dương; sửdụng thước kẻ và compa chia đôi một góc, dựng một đường thẳng đi qua mộtđiểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước, là áp dụng các thuậttoán.

Ví dụ như sự phát triển của một thuật toán tìm bội số chung nhỏ nhất của haisố,thànhthuậttoántìmbội sốchungnhỏ nhấtcủanhiều số.

Các ví dụ bao gồm so sánh các thuật toán dự toán chính xác, phân tíchcác lỗi trong tính toán của máy tính số thập phân, mở rộng các con số hợp lý,thảo luận về hiệu quả của phép đo thuật toán sai sót về tính chính xác củalượng giác dựa vào chiều cao tính toán của các đối tượng, so sánh các thuậttoán ôm đồm so với thuật toán tìm kiếm đầy đủ cho việc tìm kiếm đường đingắnnhấttrongđồthịhữuhạn….

+G h i n h ậ n c á c v ấ n đ ề m à k h ô n g c ó g i ả i p h á p t h u ậ t t o á n Một ví dụlàkhông thể chiaba một gócbằngcompavàthướckẻ.

Các công trình nghiên cứu về phát triển tư duy thuật toán cho ngườihọc,chủ yếutậptrungtronglĩnh vực Khoa họcmáytính.

Theo Snyder (2000) [76]: Tư duy thuật toán là một thuật ngữ được sửdụng rất thường xuyên, một trong những năng lực quan trọng nhất có thể đạtđượctrongGiáodụcTinhọc.

Cáccôngtrìnhtrongnước

Về bản chất mỗi phép tính, mỗi quy tắc tính toán, mỗi quy tắc giải cácphươngtrình đềulànhữngthuậttoán.Chẳnghạnviệcgiảiphươngtrình:ax +b=0,(a,blàc á c sốt h ự c ),t r o n g t ậ p h ợ p c á c s ố t h ự c , c ó t h ể m ô t ả d ư ớ i

3 Learningalgorithmicthinkingcanstartinearlyyearsandmustbeorientedonthethinkingabilityofyoungchil drenwith tangible objectsand easy dạngthuật toán nhưsau:

Bước 1: Nhập hệ sốa, b;Bước2:Nếua=0và

Nếub= 0 thì kết luận “Phương trình có nghiệm là số thực bất kỳ”;Nếub≠0thìkếtluận “Phươngtrìnhvônghiệm”;

Nếua≠ 0 thì phương trình có duy nhất một nghiệm x = (c- b)/a;Bước3:Kếtthúc.

Trong Hình học cũng đã có những thuật toán như: Dựng một số hìnhbằng thước và compa, tính các khoảng cách và góc theo công thức, thuật toánvẽhìnhbằng các phần mềmnhư: Autocad,Geometrysketchpad. Ở Đại học ta cũng gặp các thuật toán: tính tích phân xác định, giảiphương trình bậc cao, tìm ma trận nghịch đảo, tính định thức… Có thể nóinhữngphéptínhtoánhọc đềulà những thuậttoán.

Ngay từ cấp Tiểu học ta đã có thể đặt ra yêu cầu tìm một thuật toán đểgiải các bàitoán,chẳnghạnnhưsau:

 Cho6đồngxugiốnghệtnhauvềhìnhdạng,trongđócómộtđồngxu không đồng chất với các đồng xu khác Hỏi làm thế nào để xác định đượcđồng xuđóvớisốlầncân ítnhất.

 Cho một bảng vuông gồm 25 ô, hãy điền các số từ 1 tới 25 (không sốnào trùng nhau) sao cho tổng các số hàng ngang bằng tổng các số hàng dọc vàbằngtổngcác sốtrênđườngchéo.

Trong dạy học thuật toán hoặc quy tắc tựa thuật toán có một số điềucần lưuý:

 Thứ nhất, nên cho người học biết nhiều hình thức thể hiện một quytắc, tạo điều kiện thuận lợi cho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tựthựchiệncác bước củaquy tắc đó.

 Thứ hai, cần trình bày rõ các bước trong những ví dụ cụ thể theo mộtsơđồnhấtquántrong mộtthờigianthíchđáng.

 Thứ ba, cần tập luyện cho người học thực hiện tốt những chỉ dẫn nêutrongthuậttoánhoặctrong quytắctựathuậttoán.

 Thứ tư, cần làm cho người học ý thức được và biết sử dụng các cấutrúcđ i ề u k h i ể n c ơ b ản đ ể q u y ế t đ ị n h t rì n h t ự c á c bước T ro ng ba c ấ u t rú c điều khiển cơ bản: tuần tự, phân nhánh, lặp thì ở trường phổ thông, cấu trúctuần tự được dùng một cách tự nhiên, cấu trúc lặp hiện nay mới được sử dụngtường minh khi lập trình cho máy tính, còn cấu trúc phân nhánh xuất hiện rõnétvàphổ biến.

 Thứnăm,thôngquadạyhọcnhữngthuậttoán(thuậtgiải)vàquytắc tựa thuật toán (quy tắc tựa thuật giải), cần có ý thức góp phần phát triển tưduythuậtgiảichongườihọc.

Như vậy có thể nhận thấy các tác giả trong nước đều có đồng quanđiểm và đưa ra khái niệm cũng như các đặc điểm nổi bật chung về thuật toánmột cáchkhátươngđồng.

Trong [19, 1992, tr 195] Nguyễn Bá Kim và Vũ Dương Thụy đã đưa raquan niệm về thuật toán như sau: “Thuật toán được hiểu như một quy tắc môtả những chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để người (hay máy) thực hiện một loạtcác thao tác nhằm đạtđược mục đích đề ra hay giảimộtlớp bài toánn h ấ t định Đây chưa phải một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểugiúp tahìnhdungkháiniệmthuậttoánmộtcáchtrực giác”.

Bùi Văn Nghị (1996) [26] đã sử dụng quan niệm về thuật toán của haitác giảtrên và bổsung thêm khái niệm “Quy trìnhcó tínhchất thuậtt o á n ” Tácgiảphân biệt quy trình thuật toán vớiquy trìnhc ó t í n h c h ấ t t h u ậ t t o á n nhưsau:

“Thuậttoánlàmộtquytrìnhđặcbiệt.Trongthuậttoáncácthaotác được chỉ dẫn rõ ràng và chính xác để dù là người hay máy thực hiện đều dẫnđến kết quả của bài toán[26, tr 28].Thuật toán có các đặc điểm: (a) Đó làmột dãy hữu hạn các bước sắp xếp theo một trình tự nhất định; (b) Mỗi bướclà một thao tác sơ cấp, trường hợp đặc biệt cũng có thể là một thuật toán đãbiết; (c) Giải được một dạng toán nào đó Về thuật toán người ta thường nêubậtb a t í n h c h ấ t đ ặ c t r ư n g : T í n h k ế t t h ú c ( s a u m ộ t s ố h ữ u h ạ n b ư ớ c t h ự c hiện), tính xác định (các bước rõ ràng, thao tác chính xác; trong cùng mộtđiều kiện hai bộ xử lí cùng thực hiện một thuật toán phải cho ra cùng một kếtquả),tínhphổdụng (giảiquyếtđượccácbàitoán cùng loại)[26,tr.29].

Còn về quy trình có tính chất thuật toán cũng có đặc điểm (a), (c) củathuật toán, nhưng thay đặc điểm (b) bằng đặc điểm: cób ư ớ c l à m ộ t t h a o t á c sơ cấp, có bước chỉ là gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc là hướng dẫn thực hiệnthao tác được lựa chọn trong một số ít trường hợp Từ đó tác giả đưa ra quanniệmquytrìnhcótínhchấtthuậttoánnhưsau:

Quy trình có tính chất thuật toán gồm một số hữu hạn các hoạt động cómục đích rõ ràng cụ thể, được sắp xếp theo một trình tự nhất định, nhằm điđếnk ế t q u ả l à g i ả i đ ư ợ c m ộ t l o ạ i c ô n g v i ệ c n à o đ ó t h e o đ ú n g y ê u c ầ u đ ã định.Mộtquytrình cótính chấtthuật toánphải cócácđặcđiểmsau: a) Đó là mộtdãyhữuhạn cácbướcsắp xếp theo một trình tựnhất định b) Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích cụ thể, có bước làmột thao tác sơ cấp, có bước chỉ là gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc là hướngdẫn thực hiện thaotác được lựachọntrong mộtsốíttrường hợp. c) Saukhithựchiệnxongtấtcảcácbướcthìđiđếnkếtquả.[26,tr.30-3]

Trong công trình [26] về các quy trình có tính chất thuật toán xác địnhhình của mình, tác giả cũng nêu rõ: Tính kết thúc: sau một số hữu hạn bướcthựch i ệ n ( t h e o đ ú n g n g h ĩ a l à t h ự c h i ệ n đ ư ợ c ) , h ọ c s i n h s ẽ x á c đ ị n h đ ư ợ c hình;Tínhphổdụng:giảiđượccácbàitoáncùngloạitrongsáchg iáokhoa thuộcchương trìnhTrunghọcphổthông.

Vương Dương Minh (1996) [21] đã nghiên cứu “Phát triển tư duy thuậtgiải của học sinh trong khi dạy học các hệ thống số ở trường phổ thông” Tácgiả đã đưa ra định nghĩa về thuật giải: “Thuật giải là một quy tắc chính xác vàđơn trị một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trênđối tượng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu được kết quảmongmuốn”.Tư tưởngchủ đạovề phát triển tư duy thuậtgiải trongm ô n Toán của tác giả bao gồm: (1) Rèn luyện cho học sinh các hoạt động tư duythuật giải trong khi và nhằm vào thực hiện những yêu cầu Toán học; (2)

(3)Truyềnthụcho học sinh những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải trong khi tổchức, điều khiển tập luyện các hoạt động tư duy thuật giải và (4) Phân bậc cáchoạtđộng.

Nguyễn Bá Kim (2011) [17] đã giới thiệu khái niệmthuật giải,các quitắc tựa thuật giải, và vềrèn luyện tư duy thuật giảitrong dạy học giải một sốbài toán Tác giả cho rằngThuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như mộtdãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau mộtsố hữu hạn bước và đem lại kết quảl à b i ế n đ ổ i t h ô n g t i n v à o ( I N P U T ) c ủ a một lớp bài toán thành thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toánđó”.

Quy tắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫnthựchiện đượctheo một trình tựxác địnhnhằm biến đổi thông tinvàoc ủ a một lớp bài toán thành thông tinra mô tả lời giải của lớp bài toánđó.

 Quy tắc không bảo đảm chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thìđemlạikếtquảlà lờigiải của lớpbàitoán.

Mặc dầu có một số hạn chế nói trên so với thuật giải, quy tắc tựa thuậtgiảicũngvẫnlànhữngtrithứcphươngphápcóíchchoquátrìnhhoạtđộ ngvàgiảitoán.[16,tr.376-384]

Sau này, trong sách tái bản lần thứ 7 năm 2015, NguyễnB á K i m đ ã thay thuật ngữ “thuật giải” bằng “thuật toán” trong tất cả các diễn đạt củamình[16,tr.296]

Vềs a u n à y , m ộ t s ố t á c g i ả c ũ n g đ ã đ ồ n g n h ấ t h a i k h á i n i ệ m “ t h u ậ t toán”và“thuậtgiải”,nhưcôngtrìnhcủaChuCẩmThơ(2015)

Quanniệmvềthuậttoánvàtư duythuậttoántrongluậnán

Quanniệmvềthuậttoán

Trongl u ậ n á n n à y , c h ú n g t ô i q u a n n i ệ m : T h u ậ t t o á n đ ư ợ c h i ể u n h ư mộtq ui tắcm ô t ản h ữ n g c h ỉ dẫnrõ r à n g v à c h í n h xácđ ể n g ư ờ i (hay m áy)thực hiện một loạt các thao tác nhằm đạt được mục đích đặt ra hay giải mộtlớp bàitoánnhấtđịnh.

Quan niệm này đã được đề xuất trong Giáo trình phương pháp dạy họcmôn Toáncủa NguyễnBáKim[17,tr.195].

Theoquanniệmnày,quytrình thựchiện dựngtamgiáckhi biếtbacạnhcủanó,haykhibiếtmộtcạnhvàhaigóckềnó….làmộtthuậttoán;Việcthựchi ệnmỗibiểuthứctoạđộ,mỗicôngthức(khoảngcách,diệntích )đềutheonhữngthuậttoán.

Như vậy, thuật toán là mộttập hợp hữu hạncủa các chỉ thị hay phươngcách được định nghĩa rõ ràng cho việc hoàn tất một số sự việc từ một trạngthái ban đầu cho trước; khi các chỉ thị này được áp dụng triệt để thì sẽ dẫn đếnkếtquảsaucùngnhưđã dựđoán.

Nói cách khác, thuật toán là một bộ các quy tắc hay quy trình cụ thểnhằm giải quyết một vấn đề trong một số bước hữu hạn, hoặc nhằm cung cấpmột kếtquảtừmột tậphợpcủa các dữkiệnđưavào.

Lưu ý là khi một thuật toán đã có thì ta không xét đến việc chứng minhthuậttoánđómàquantâmđếnviệcápdụngcácbướctheosựhướngdẫns ẽcó kết quả đúng Việc chứng minh tính đầy đủ và tính đúng của các thuật toánphảiđượctiếnhànhxongtrướckhicóthuậttoán.Nóirõhơn,thuậttoánc óthểchỉ l à việcá p d ụ n g c á c c ô n g t h ứ c h a y quytắc, q u y trìnhđ ãđ ư ợ c c ô n g nhậnlà đúnghayđã được chứngminhvềmặttoánhọc.

Trong ngànhkhoa học máy tính, thì thuật toán được thể hiện thông quamộtchươngtrìnhmáytính(haymộttậphợpcácchươngtrìnhmáytính)được thiết kếđểgiải quyết một số loạivấn đềmột cách cóhệthống.

Một thuật toán là một phương pháp có hệ thống để cho ra một kết quảcụ thể.

- Thuật toán nên xây dựng trên chức năng xác định trước và được biếtđến chongườisửdụng

- Vấn đề có thể được giải quyết bằng các thuật toán khác nhau theonhững cáchkhácnhau.

- Các thuật toán có thể được đưa ra ở mức độ chi tiết khác nhau tùythuộcvàokhảnăngthực hiện.

- Các thuật toán khác nhau có thể giải quyết cùng một vấn đề, và cácgiải pháp khác nhau có thể mất một lượng thời gian (hay không gian) khácnhau. Điềunàyphùhợpvớinămthuộc tínhthiếtyếucủa thuậttoán 4 :

(1) Thông tin vào rõ ràng (hữu hạn); (2) Thông tin ra rõ ràng; (3)Tínhxác định; (4) Tính hiệu quả; (5) Tính kết thúc Nghĩa là: Đầu vào và đầu rađược liệt kê rõ ràng; Mỗi hướng dẫn xác định chính xác; Hoạt động có hiệuquả, máy móc có thể làm được; Các thao tác hoạt động là hữu hạn,khôngđược lặplạivôthờihạn.

Quanniệmvề tưduythuật toán

Theo Từ điển tiếng Việt [31]: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trìnhnhận thức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằngnhữnghìnhthức nhưbiểutượng,khái niệm,phánđoánvà suylý.”

4 http://uweoconnect.extn.washington.edu/algoithmsdslfit7/FiveEssentialPropertiesofAlgorithms:

(i)Inputspecified(Finite);(ii)Outputspecified(Finiteornot?);

(iii)Definiteness;(iv)Effectiveness;(v)Finiteness

Theo Từ điển Triết học [25, tr 876]: "Người ta dựa vào tư duy để nhậnthức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những quyluậtđótronghoạtđộngthựctiễncủamình".

Theo Nguyễn Quang Uẩn (2010) [48, tr 79]: “Tư duy là một quá trìnhtâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bêntrong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan màtrướcđóta chưabiết”.

Theo Phạm Minh Hạc (1992) [11, tr 117]: "Tư duy là quá trình nhậnthức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luậtcủasựvậtvàhiệntượngtronghiệnthựckháchquan"

Chúng tôi quan niệm rằng: Tư duy làcáchsuy nghĩđể nhận thứcs ự vật, hiện tượng, các mối quan hệ trong tự nhiên, xã hội, con người, được thểhiệnquacáchìnhthức nhưkháiniệm,phánđoán,suyluận.

Cách quan niệm này không đi sâu vào bản chất tâm lý của quá trìnhnhậnthức,mà quanniệmmộtcách hình thức(trực giáchơn)vềtưduy.

Trong học tập môn Toán có các loại hình tư duy như: Tư duy logic, tưduy sáng tạo, tư duy phê phán, tư duy trừu tượng, tư duy thuật toán, tư duyhàm…

Theo chúng tôi: Tư duy thuật toán là một loại hình tư duy để nhận thứcsựvật, hiện tượng, cácmốiquan hệ trongtự nhiên, xã hội, con ngườit h e o một trình tự nhất định, được thể hiện qua các hình thức như khái niệm, phánđoán, suy luận; hoặc là cách suy nghĩ để giải quyết vấn đề Nói một cách vắntắt: Tư duy thuật toán là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề theo mộttrình tựnhấtđịnh(đượchiểumộtcách trựcgiác).

Như vậy chúng tôi quan niệm về tư duy thuật toán theo nghĩa của quytrình tựa thuật toán Quan niệm này mở rộng hơn so với quan niệm về tư duythuật toánnhưcác tácgiảnướcngoài. thuật

HọcphầnHìnhhọc Họahình trongtrườngĐạihọckhốikỹthuật

Sơ lượcvềlịchsửHìnhhọc Họahình

Pháp từ thế kỷ XVIII, do nhà Toán học Gaspard Monge (1746-1818) phátminh ra Quá trình hiện đại hóa giáo dục làm cho Hình học Họa hình được ápdụng nhiều hơn cho ngành cơ khí, xây dựng và kiến trúc, và đã được thôngqua ở Anh chỉ ở đầu thế kỷ XIX Từ đó đến nay, môn học được nghiên cứu vàgiảng dạytạihầu hếtcáctrườngkỹthuậtcũng nhưmỹthuậtcông nghiệp.

TạiViệtNam, từnhữngnăm60củ a thếkỷtrướckhicáctrườngĐại học đầu tiên được thành lập, môn Hình học Họa hình đã được đưa vào giảngdạy chính trong trường Đại học Bách khoa Hà Nội với những thế hệ cán bộđầu tiên như Đoàn Như Kim,Dương Tiến Thọ, Nguyễn Đình Điện, Đỗ MạnhMôn… Cùng với sự phát triển hệ thống giáo dục của đất nước, hiện nay mônhọclàmộtphầnkhôngthểthiếutrongchươngtrìnhđàotạocủacáctr ườngĐạihọc,Cao đẳngkhốikỹthuậtcũngnhưmỹthuật.

Sơ lượcvềhọcphầnHìnhhọcHọahình

Hình học Họa hình là học phần thuộc mảng kiến thức cơ bản trongkhung chương trình của các trường ĐH khối kỹ thuật Học phần này chiếm 2hoặc 3 tín chỉ trong tổng số 130 – 150 tín chỉ Cụ thể tại một số trường nhưsau:

- TrườngĐại họcMỏ-Địachất:2tc/135tc

Bên cạnh đó, Hình học Họa hình còn là môn thi cơ sở trong các môn thituyển sinh sau Đại học tại một số trường, chẳng hạn như trường Đại học Xâydựng,Đạihọckiếntrúc

Nội dung chính của học phần này được thống nhất trong các trường Đạihọc khốikỹthuật,t h ư ờ n g baogồmnhữngvấnđềsau:

(1) Biểudiễnđiểm–đường thẳng – mặt phẳng

Trong đócácnộidung(1),(2),(3),(4)là những nộidungcơbản.

Mục tiêu của học phần này được các trường Đại học khối kỹ thuật đề rakhá thống nhấtở n h ữ n g ý s a u : T r a n g b ị c h o S V n h ữ n g k i ế n t h ứ c c ơ b ả n v ề các nguyên tắc biểu diễn không gian hình học, các phép biến đổi, sự hìnhthành giaotuyếncácmặt( t h e o cáctàiliệu [8],[9], [12])

Hình học Họa hình là môn học nghiên cứu các hình không gian trên haimặt phẳng hình chiếu vuông góc với nhau Học phần này trang bị những kiếnthức và kỹ năng giúp người học đọc hiểu và thiết kế được những bản vẽ kỹthuật Những tri thức về Hình học Họa hình là một trong những tri thức cơbản,bắt buộc,tốithiểu đốivới một sinhviêncáctrườngthuộckhối kỹthuật.

Mặc dù các kiến thức trong học phần Hình học Họa hình dựa trên cáckiến thức của hình học Euclide, nhưng phương pháp nghiên cứu của hai loạihình học này khác nhau Hình học Euclide nghiên cứu các hình trong khônggian Vật lý ba chiều dựa trên hình biểu diễn của hình đó trên mặt phẳng chiếu(mặt phẳng tờ giấy, mặt bảng…) Các hình biểu diễn của hình học

Euclidephảithỏamãncáctínhchấtvềhìnhbiểudiễnđầyđủ(nếuchỉquant âmtới các tính chất Afin: liên thuộc, song song, tỉ lệ của các đoạn thẳng cùngphương…), các tính chất về hình biểu diễn định dạng (nếu quan tâm tới cáctínhchấtMetric:Độ dài,độlớn,quanhệvuônggóc…).

Theo Bùi Văn Nghị (1996) [26, tr 8 - 11]: Một hình biểu diễn được gọilà đầy đủ nếu bất kỳ một quan hệ liên thuộc nào của các phần tử (điểm, đườngthẳng, mặt phẳng) của hình gốc (hình được biểu diễn) đều được xác định mộtcách duy nhất trên hình biểu diễn đó Điều đó có nghĩa là: một quan hệ liênthuộctrênhìnhgốcđềucóthểvẽđượctrênhìnhbiểudiễn.Hìnhbiểud iễnđầy đủ chỉ giúp ta xác định mọi quan hệ liên thuộc của hình gốc, mà khônggiúp ta xác định được hình dạng của hình gốc Ta thường gặp các bài toántrong đó các đoạn như: “Cho một đường tròn tâm O”, ”Cho một hình vuôngABCD”, “Cho một tam giác đều ABC”… và khi làm toán ta không cần quantâm tới độ lớn của chúng Đó chính là các bài toán của Hình học đồng dạng,quant â m tớiđ i ề u k i ệ n đ ị n h d ạ n g c ủ a c h ú n g Đ i ề u k i ệ n đ ị n h d ạ n g c ủ a m ộ t hình là điều kiện mà nhờ đó các cách tạo ra hình đó chỉ sai khác một phépđồngdạng.Hìnhbiểudiễnđịnhdạngcủamộthình(phẳnghoặckhônggian )là một hình biểu diễn đầy đủ mà trên đó các điều kiện định dạng của hình đãđược xác định.

Theo Hoàng Văn Thân (1980) [38]: Có hai định lý cơ bản để thành lậphình biểudiễnhình khônggiantrên mặtphẳnglà: Định lý 1: Một tam giác bất kỳ có thể làm hình biểu diễn cho một tamgiác códạngtùyý. Định lý 2 (Định lý Pohlke-Swarchtz): Một tứ giác với các đường chéocủanócóthểdùng làmhìnhbiểudiễn chomộttứdiệncódạngtùyý.

TrongH ì n h h ọ c H ọ a h ì n h , m ỗ i đ i ể m A t r o n g k h ô n g g i a n đ ư ợ c b i ể u diễn bởi duy nhất một cặp hình chiếu (A1, A2) trên hai mặt phẳng hình chiếuvuônggócvớinhau.Vàngượclại,mỗicặphìnhchiếu(A1,A2)trênhaim ặt

A1 x A2 phẳng hình chiếu vuông góc với nhau xác định duy nhất một điểm A trongkhông gian Bởi vậy việc biểu diễn các hình không gian trên hai mặt phẳnghình chiếu vuông góc khi có hình biểu diễn của một hình không gian trên haimặtphẳnghìnhchiếuvuônggóc thì kíchthước và hình dạngc ủ a h ì n h đ ó hoàn toàn được xác định Bởi vậy tất cả các bài toán của Hình học Họa hìnhđều là bài toán về hình biểu diễn định dạng; mỗi bài toán của Hình học Họahình chỉ có một đáp số duy nhất Cũng chính vì điều này, ta có thể nghĩ đếnviệcthuậttoánhóamỗilời giải của cácbàitoán trong HìnhhọcHọahình.

Cũng cần lưu ý: Trong thực tiễn, các bản vẽ kỹ thuật thường là hìnhbiểu diễn của những chi tiết máy, những công trình xây dựng…được đặt ở vịtrí đặc biệt so với các mặt phẳng hình chiếu nên cần đặt trọng tâm vào các bàitoánliênquanđếnhìnhbiểudiễncủanhữnghìnhđượcđặt ởvịtríđặcbiệt.

CáckiếnthứccơbảntrongHình họcHọahình

* Lấy hai mặt phẳng vuông góc với nhau:Mặt phẳng(P1) thẳng đứng và mặt phẳng

Cho một điểm A trong không gian, gọi

A1là hìnhchiếucủaA trên(P1), gọiA2là hìnhchiếu của A trên (P2); sau đó xoay (P2) quanhtrục x để nửa phía trước của (P2) trùng với nửaphíadướicủa(P1).TađượcđồthứccủađiểmA trongphươngpháphaihìnhchiếuthẳnggóc.Ký Hình1. hiệu A (A1, A2) (P1) gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng, (P2) gọi là mặt phẳnghình chiếubằng.(Hình1)

* Xác định một điểm A nghĩa là xác định hình chiếu bằng A1và hìnhchiếu đứng A2của nó (trên hình biểu diễn trong phương pháp hai hình chiếuthẳng góc).

(Để cho gọn, từ đây trở đi cụm từ trong ngoặc ở dòng trên được coi làhiểnnhiên,chúngtôikhôngnhắc lạicụmtừnàytrongtoànluậnán).

* Cặp điểm(A1,A2)được gọi làđồthứccủa điểmA.

Mặt phẳng đồ thức là mặt phẳng chứa đồ thức của các điểm cũng nhưcủacác hìnhhìnhhọc.

Một điểm A được xem là cho trước khi đã biết hình chiếu bằng và hìnhchiếu đứng của nó, kí hiệu A (A1,A2) Độ cao của điểm A là khoảng cách từ Ađến mặt phẳng hình chiếu bằng (P2), bằng khoảng cách từ A1đến trục hìnhchiếu x Độ xa của điểm A là khoảng cách từ A đến mặt phẳng hình chiếuđứng (P1),bằngkhoảngcáchtừA2đếntrục x.

Ngoài hai hình chiếu A1, A2, trong một số trường hợp chúng ta còn sửdụng hình chiếu cạnh A3(tức là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng hìnhchiếu cạnh(P3))củađiểmA.(Hình2)

* Một đường thẳng a được xem là cho trước khi biết hình chiếu đứng a1vàhìnhchiếubằnga2củanó(kíhiệua(a1,a2))hoặcđãchotrướchaiđiểmcủa nó.

* Một mặt phẳng (P) được xem là cho trước khi đã biết vết đứng

A2 (P2) của nó hoặc đã cho trước các điều kiện xác định mặt phẳng (qua ba điểm phânbiệt không thẳng hàng, hoặc qua một điểm và một đường thẳng không quađiểm đó, hoặc qua hai đường thẳng cắt nhau, hoặc qua hai đường thẳng songsong).

* Đường thẳng thường là đường thẳng không vuông góc với trục x,đườngthẳng đặcbiệt(đườngthẳng cạnh)làđườngthẳng vuônggócvới x.

* Đường bằng b là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếubằng (P2) (Hình 3); đường mặt m là đường thẳngsong song với mặt phẳnghình chiếuđứng(P1).

* Đường thẳng chiếu đứng (chiếu bằng) là đường thẳng vuông góc vớimặtphẳnghìnhchiếuđứng(P1)

* Mặtphẳngchiếuđứng(chiếubằng)làmặtphẳngvuônggócvớimặtphẳn g hình chiếuđứng (P1)(mặt phẳnghình chiếu bằng (P2)).(Hình 5)

* Mặtphẳngbằng(Mặtphẳngmặt)làmặtphẳngsongsongvớimặt phẳng hình chiếubằng (P2)(mặt phẳnghình chiếu đứng (P1)).(Hình 6)

* Mặtp h ẳ n g c ạ n h l à m ặ t p h ẳ n g v u ô n g g ó c v ớ i t r ụ c x N h ư v ậ y m ặ t phẳng cạnhlà mặt phẳngvừachiếuđứng,vừachiếubằng.(Hình7) v1C

* Vết đứng (vết bằng) của một đường thẳng (mặt phẳng) là giao điểm(giaot u y ế n ) c ủ a đ ư ờ n g t h ẳ n g ( m ặ t p h ẳ n g ) v ớ i m ặ t p h ẳ n g h ì n h c h i ế u đ ứ n g (P1)(mặtphẳnghìnhchiếubằng(P2)).

* Nếu đường thẳng b là một đường thẳng bằng thì:b1//xvà góc (b,(P1)) =góc (b2,x)

* Nếu đường thẳng m là một đường thẳng mặt thì:m2//x vàgóc (m,(P2)) =góc (m1,x)

* Đường thẳng chiếu đứng (chiếu bằng) có hình chiếu đứng (chiếubằng)l àm ộ t đ i ể m , c ó h ì n h c h i ế u b ằ n g ( c h i ế u đ ứ n g ) là đư ờn g t h ẳ n g v u ô n g gócvớitrụcx.

- Điểm và đường thẳng thường: Cần và đủ để điểm A (A1, A2) thuộcđườngthẳngthườnga (a1,a2)là:A1ϵa1vàA2ϵa2(A1A2x).

- Điểm và đường thẳng đặc biệt: Điểm A (A1, A2) thuộc đường thẳngđặcbiệtBC= (B1C1,B2C2)khivà chỉkhi(B1C1,A1) =(B2C2,A2).

* Vịtrí tươngđối củahaiđườngthẳng phân biệt:

- Haiđườngthẳngthườngsongsongkhivàchỉkhicáccặphìnhchiếucùngt êntươngứngsong song (trongđó có một cặp hình chiếuphânbiệt)

- HaiđườngthẳngđặcbiệtAB=(A1B1,A2B2)vàCD=(C1D1,C2D2) song song vớinhaukhivàchỉkhi A 1 B

+ Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không thỏa mãn điềukiệnvềđồngphẳngnóitrên.

Hình 8 Một số(thuộctính) đặcđiểmcơ bản vềvếtmặtphẳng (Hình8):

- Nếuđườngthẳngdthuộcmặtphẳng(P)thìV1dthuộcV1PvàV2dth uộcV2P.

* Đườngthẳng d(d1,d2)vuônggócvớimặtphẳng(P)= (V1P, V2P) khivàchỉkhid1vuônggóc vớiV1Pvàd2vuônggóc vớiV2P.

* Đường dốc nhất của mặt phẳng là đường thẳng vuông góc với vếtbằng của mặtphẳngđó.

* Một góc vuông không thuộc mặt phẳng chiếu có hình chiếu đứng(chiếu bằng) là một góc vuông khi và chỉ khi góc vuông đó có một cạnh làđườngbằng(đườngmặt).

(P2),giữnguyênvịtrícủa(P2)vàđiểmA(Hình9a)thìhìnhchiếubằngA2và độ caocủa điểmA khôngthayđổi.

Việc thay mặt phẳng hình chiếu đứng (P1) thực hiện trên hình biểu diễnnhưsau(Hình9b):

- Thay trục x (là giao tuyến của (P1) và (P2)) bằng trục x’ (là giao tuyếncủa(P1’) và (P2)).

- ThayhìnhchiếuđứngA1củaAbằngA’1saochoA2A’1x’vàA1Ax

Nếu thay (P2) bằng (P2’)(P1), giữ nguyên vị trí của (P1) và điểm A thìhình chiếuđứngvàđộ xa củađiểmAkhôngthayđổi.(Hình10a)

- Thaytrục xbằngx’(là giao tuyến của (P1)và (P2 ’)).

- ThayhìnhchiếubằngA2củaAbằngA’2saochoA1A’2x’vàA2Ax

(P2)saochox’ởvịtrílựachọn,sauđó thay(P2)bằng(P2’)(P1’)saochox”ở A2 vịtrílựachọn Khi đóviệcxácđ ị n h hìnhbiểudiễncủaAtrong hệt h ố n g (P1’, P2) là (A’1, A2) và trong hệ thống(P1’, P2’) là (A’1, A’2) được thực hiệnnhưsau:

- Vẽ đường dóng qua A2(x’) vàđặttrên đóđoạn thẳng A’1A’x=A1Ax.

- Vẽđư ờn g dóngqua A’1(x ” ) vàđặttrên đóđoạnthẳngA’2Ax” A2Ax’.

Những biểu hiện, cấp độ của tư duy thuật toán của sinh viên và cơ hội pháttriển tư duy thuật toán trong dạy học Hình học Họa hình ở trường Đại học khối kỹthuật

à cơ hội phát triển tư duy thuật toán trong dạy học Hình học Họa hình ởtrường Đạihọckhốikỹthuật

1.3.4.1 Những biểu hiện, cấp độc ủ a t ư d u y t h u ậ t t o á n c ủ a s i n h v i ê n thểhiệnquahọcphầnHìnhhọc Họahình

Kế thừa những quan niệm, những công trình về TDTT của các tác giảtrong và ngoài nước, qua các tài liệu tham khảo [17], [51], [65] chúng tôi chorằng tư duy thuật toán của sinh viên Đại học khối kỹ thuật biểu hiện trong họcphầnHìnhhọcHọahìnhqua cáccấpđộ tăngdầnsauđây: i) Thựchiệnđúngnhữngthuậttoáncơbảnđãbiếttrongquátrìnhgiải toán; ii) Hìnhdungđược,biểudiễnđượctoànbộquátrìnhgiảibàitoán,giải quyếtv ấ n đ ề t h e o s ơ đ ồ k h ố i , h o ặ c n g ô n n g ữ p h ỏ n g t r ì n h , h o ặ c v i ế t t h à n h chươngtrìnhthuậttoán; iii) Biếtvận dụngnhữngthuật toánđãbiếttrong quátrìnhgiảitoán; iv) Có thểthamgiađềxuất,thiết kếđược thuật toán trongquátrìnhgiải toán; v) Cóthểlựachọnđượcthuậttoántốiưutrongnhiềuthuậttoáncùng giảiquyết mộtvấnđề.

1.3.4.2 Cơ hội phát triển tư duy thuật toán trong dạy học Hình họcHọahìnhởtrườngĐạihọc khối kỹthuật

- HầuhếtcácbàitoántronghọcphầnHìnhhọcHọahìnhđềucóthể quyvềnhữngthuậttoán,bàitoáncơbản.Bởivậysinhviêncónhiềucơhộiđể thực hiện lặp đi lặp lại nhiều lần cho đến mức thành thạo những thuật toán,bàitoáncơ bảnđó.

- Có thể sắp xếp, phân loại, phát triển các bài toán Hình học Họa hìnhtheocácmứcđộtừđơngiảntớiphứctạp;từdễđếnkhó;từnhữngthuậttoán, bài toán cơ bản đến thuật toán, bài toán phức tạp hơn để thuận tiện cho việcrèn luyệnvàpháttriểncácthuật toángiảitoán chosinhviên.

- Các bài toán trong học phần Hình học Họa hình đều cần phải giảiquyết vấn đề theo một trình tự logic và chuẩn xác Đó là những thành tố cơbản của tư duy thuật toán Chính vì vậy, việc giải các bài toán trong Hình họcHọahìnhsẽcủng cốnhữngthành tố cơbản đóchosinh viên.

- Có không ít các bài toán Hình học Họa hình có thể giải bằng nhiềucách, giải nhiều trường hợp Những bài toán dạng này là cơ hội để sinh viênthamgia đềxuấtnhiều thuậttoánkhácnhauđểgiảitoán.

- Ta có thể đưa ra nhiều chi tiết kỹ thuật, những bản vẽ dựa trên kiếnthức về Hình học Họa hình Điều này tạo nên sự đa dạng và phong phú củanhữngb à i t o á n H ì n h h ọ c H ọ a h ì n h v ậ n d ụ n g v à o t h ự c t i ễ n , đ ồ n g t h ờ i p h á t triển tư duy thuật toán cho sinh viên, giúp ích cho sinh viên trong quá trìnhhọctậphọcphần,vàgiúpíchnhiềuhơntrongnghềnghiệpsaunàycủahọ.

Một số thực tiễn dạy và học Hình học Họa hình tại một số trường Đại học khốikỹthuật

1.4.1 Một số thuận lợi và khó khăn của sinh viên khi học tập họcphầnHình học Họahình

- Những kiến thức cơ bản của học phần Hình học Họa hình được dựatrên kiến thức cơ sở của hình học Euclide mà sinh viên đã được học ở trườngTrung học phổ thông; Chẳng hạn như những tính chất được bảo toàn qua phépchiếu song song, phép chiếu vuông góc; quy trình xác định giao điểm của mộtđường thẳngvà mộtmặtphẳng…

- Trong các giáo trình lý thuyết và bài tập Hình học Họa hình, các tácgiả cũng đã có dụng ý trình bày từ những kiến thức cơ bản nhất đến nhữngkiếnthứcnângcao,mởrộng.Nhưvậymặcdùkhôngcótácgiảnàonóiđ ến

“thuật toán”, nhưng cách trình bày đó cũng thuận lợi cho việc xác định đâu lànhững thuật toán, bài toán cơ bản, đâu là những thao tác, những hoạt độngquan trọng nhất trong quá trình giải toán, để hình thành những thuật toán giảitoán.Từđónếusinhviêncóýthứcvậndụngtưduythuậttoánthìviệctiếpt hu kiếnthức và việcgiảitoán sẽtốthơn.

- Dos ự p h á t t r i ể n c ủ a c ô n g n g h ệ t h ô n g t i n , đ ặ c b i ệ t l à m ộ t s ố p h ầ n mềm vẽ hình như phần mềm AutoCad, phần mềm Cabri, phần mềm GSP…nên trong quá trình dạy và học Hình học Họa hình, cả giảng viên và sinh viênđều có thể sử dụng những phần mềm này hỗ trợ cho việc vẽ hình Hơn nữa,cũng có thể nghiên cứu, tìm hiểu một chương trình trong một phần mềm nàođó để thấy rõ hơn các bước, các thao tác trong chương trình, từ đó có thể hiểuvấn đềsâusắchơn.

- Hình học Họa hình là môn học nghiên cứu cách biểu diễn các yếu tốcủa không gian ba chiều lên mặt phẳng, nên học phần này đòi hỏi người họcphải có một trí tưởng tượng không gian ở một mức độ nhất định Trong khi đómột số sinh viên rất hạn chế về khả năng này; họ không thể hình dung đượcmột đường, một hình ở vị trí nào trong không gian khi biết các hình chiếu củanóvàngượclại.

- Nhưđãtrìnhbàyởtrên,kiếnthứcvềHìnhhọcHọahìnhliênquan mật thiết với kiến thức của hình học không gian, song có một số sinh viên bị“hổng kiến thức” về hình học không gian ở trường Trung học phổ thông.Trong các nguyên nhân dẫn đến tình trạng này có nguyên nhân thuộc về tâmlý,chorằng mônhình họckhônggian quákhó,dẫnđếnsợhọcmônhọc này.

- Theo phản ảnh của sinh viên, khi trình bày các vấn đề, các bài toántrong các giáo trình và sách bài tập Hình học Họa hình ở một số trường Đạihọckhốikỹthuật,cáctácgiảhìnhnhưkhôngquantâmđếntínhchấtth uật toán trong các lời giải, các vấn đề, các bài toán và cũng không quan tâm đếnviệc phân tích quá trình tìm ra lời giải bài toán Đây cũng là một khó khăn choviệc tự học của sinh viên Bởi vậy nếu trong quá trình giảng dạy, giảng viênquan tâm hơn đến việc phân tích quá trình tìm ra lời giải bài toán và các bướcthực hiện thì sinh viên sẽ hiểu bài, làm bài tốt hơn, thuận lợi hơn trong quátrìnhtựhọc.

- Có không ít sinh viên chưa có thói quen suy nghĩ để nhận thức và giảiquyết vấn đề theomột trình tự rõràng;đây chínhl à đ i ể m h ạ n c h ế t r o n g t ư duy Số sinh viên này hoặc chưa hình thành tư duy thuật toán, hoặc chưa vậndụng tư duy thuật toán để giải quyết các vấn đề đặt ra Chính vì lý do này,chúng tôi nghiên cứu việc đề xuất các biện pháp khắc phục khó khăn đó ởchươngsau.

1.4.2 Điều tra thực trạng dạy và học Hình học Họa hình ở trườngĐại học khốikỹthuật

Chúng tôi đã thiết kế và sử dụng Phiếu điều tra tình hình dạy và họcHình học Họa hình từ 250 sinh viên năm thứ hai khóa 57 và 58 tại hai cơ sởđào tạo Hà Nội và Vũng Tàu của trường Đại học Mỏ - Địa chất, trong cáctháng 9 (sinh viên học Hình học Họa hình được một tháng) năm 2014 và năm2015.(xemphụlục 1và phụ lục 2)

Khi tiếp xúc với môn học Hình học Họa hình, hầu hết sinh viên (80%)cho rằng đây là môn học khó, đặc biệt có 20% số sinh viên còn lại cho rằngđây là môn học rất khó Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến tình trạng đó, chúngtôi được sinh viên phản ảnh lại là có nhiều nguyên nhân Có khoảng 10% sốsinh viên được hỏi thấy khó vì môn học đòi hỏi phải nắm vững kiến thức phổthông; có 25% sinh viên cho rằng khó vì chưa có phương pháp học tập phùhợp;mộtphần(15%)cònvìphươngphápdạyhọccủathầy,mộtphần(10%) vì thời gian; có tới gần nửa (40%) số sinh viên cho rằng môn học này khó vìphải có trí tưởng tượng không gian tốt.T ừ đ ó d ẫ n đ ế n đ a p h ầ n

( 6 5 % ) s i n h viên không hứng thú, 20% sinh viên thấy bình thường, chỉ có khoảng 15%sinh viênthấyhứngthúhọctậpmônhọc này.

Về nguồn học liệu, các sinh viên chủ yếu chỉ có nguồn duy nhất là giáotrình của Trường (100%) và có một số (15%) số sinh viên có sử dụng nguồnhọc liệu từ các trang web trên internet; chưa thấy sinh viên nào đọc thêm cácsáchthamkhảo,các bàibáokhoa học.

Khi được hỏi về sự cần thiết của học phần Hình học Họa hình đối vớinghề nghiệp, các sinh viên đều nhận thức được là cần thiết (90%) và rất cầnthiết (10%) Tuy nhiên, kết quả học tập học phần này lại đáng ngại, vì qua bàigiảng của giảng viên, chỉ có 15% số sinh viên nắm được được khoảng 50% -70% các kiến thức cơ bản, đa phần (70%) chỉ nắm được từ 30% đến 50%,15%sốsinhviênnắmđược được dưới30%.

Tình trạng làm bài tập ở nhà có khá hơn một chút, nhưng không đángkể: 80% số sinh viên làm được từ 30 % đến 50 % bài tập ở nhà, vẫn có 10%làmđược dưới30%và 10%làmđược từ 50%đến70%.

Về phương pháp dạy học của giảng viên, hầu hết (90%) sinh viên chorằng giảng viênchủ yếuv ậ n d ụ n g p h ư ơ n g p h á p d ạ y h ọ c t h u y ế t t r ì n h , k h ô n g có hướng dẫn tự học Phương pháp dạy học của giảng viên cũng ít tạo điềukiện thuận lợi cho việc làm bài tập ở nhà (90% số sinh viên cho rằng khôngthuận lợi cho sinh viên làm bài tập, 10% cho rằng bình thường) Chỉ có 20%giảng viên có quan tâm tới việc hình thành và vận dụng những quy trình thuậttoántronggiải toánHìnhhọcHọahìnhchosinhviên.

Từ đó, đa số sinh viên kiến nghị là cần tăng thời lượng cho học phầnnày và giảng viên cũng cần đổi mới phương pháp dạy học sao cho sinh viênnắmđược bàivà làmđược bàinhiềuhơn.

TiểukếtChương 1

Trongn h i ề u t r ư ờ n g h ợ p , k ế t q u ả c ô n g v i ệ c c ủ a c o n n g ư ờ i p h ụ t h u ộ c vào mức độ nhận biết được quy trình tiến hành các hoạt động thực hiện côngviệc đó Nhờ kinh nghiệm có được, khi giải quyết một loại công việc người tabiết: cần phải có các hoạt động gì? Mỗi hoạt động có các thao tác gì? Thứ tựcácthaotácnhưthếnào?

Việc tìm ramộtdãy các hoạtđộng, các thao tác, theo đóg i ả i q u y ế t đượcvấnđề,cóthểxemnhưđãxâydựngđượcmộtthuậttoánnào đó,màviệc tuân theo nó một cách “máy móc” sẽ dẫn đến kết quả Bởi vậy việc pháttriển tư duy thuật toán cho người học nói chung, cho sinh viên các trường Đạihọc khối kỹ thuật nói riêng có thể nói là một trong những nhu cầu cấp thiết vàcầnđược quantâm.

Trong các trường Đại học khối kỹ thuật, học phần Hình học Họa hìnhnhằm cung cấp cho sinh viên những kiến thức cơ bản để đọc hiểu và thiết kếđượcc á c b ả n v ẽ k ỹ t h u ậ t , đ ồ n g t h ờ i g ó p p h ầ n p h á t t r i ể n t r í t ư ở n g t ư ợ n g không gian, tư duy thuật toán cho sinh viên Hình học Họa hình còn góp phầnrèn luyện tư duy sáng tạo cho các kỹ sư, kiến trúc sư, họa sĩ mỹ thuật côngnghiệptrongquátrìnhlàmviệc.

Việc rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho người học đóng vaitròv ô c ù n g q u a n t r ọ n g , g i ú p n g ư ờ i h ọ c h ì n h d u n g đ ư ợ c v i ệ c t ự đ ộ n g h o á trongn h ữ n g l ĩ n h v ự c h o ạ t đ ộ n g k h á c n h a u c ủ a c o n n g ư ờ i , g ó p p h ầ n k h ắ c phụcsựngăncáchgiữanhàtrườngvàxãhội.Tưduythuậttoáng iúpngười học lĩnh hội tri thức toán học và rèn luyện kỹ năng giải toán tốt hơn, đặc biệttrong học phần Hình học Họa hình Tư duy thuật toán cũng góp phần pháttriển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá,…và hình thành những phẩm chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỉluật,tínhphê phánvàthóiquentựkiểmtra v.v…

Kết quả khảo sát – điều tra thực tiễn từ 30 giảng viên và 250 sinh viênthuộc một số trường Đại học khối kỹ thuật cho thấy: Hầu hết giáo viên dạyhọc phần này chưa quan tâm thích đáng tới việc hình thành và phát triển cácquy trình mang tính thuật toán cho sinh viên, dẫn tới hiệu quả dạy học chưacao.

Bởi vậy, việc dạy học học phần Hình học Họa hình theo hướng rènluyện và phát triển tư duy thuật toán cho sinh viên các trường Đại học khối kỹthuật làđúngđắn.

Nhữngvấnđềlýluậnvàthựctiễnđãtrìnhbàytrênlàcơsởđểchúngtôi đề xuất các biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho sinhviênc á c t r ư ờ n g Đ ạ i h ọ c k h ố i k ỹ t h u ậ t t h ô n g q u a h ọ c p h ầ n H ì n h h ọ c H ọ a hình.

Chương2 BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY THUẬT

Định hướngxâydựngbiệnpháp

Định hướng 1 Trình tự của các biện pháp phải phù hợp với quy trìnhhình thànhvàpháttriển tưduythuậttoán chosinhviên.

Theo chúng tôi quy trình hình thành và phát triển tư duy thuật toán chosinh viêntrongdạyhọc Hìnhhọc Họahìnhnhưsau:

Bước1.Gi ản g v i ê n giớithiệu m ột số t h u ậ t toánc ơ bảnv àr è n luyệ ncho sinh viên thực hiện đúng các bước trong mỗi thuật toán cơ bản đó thôngquagiảicác bàitoáncơ bản.

Bước 2 Rèn luyện cho sinh viên một số hình thức biểu diễn thuật toánkhác nhau giúp họ dễ hiểu hơn và thấy được logic của toàn bộ quá trình giảiquyết vấnđề,từđó dễ dàngthựchiệnthuậttoánhơn.

Bước 3 Tập luyện cho sinh viên phát hiện và đề xuất những thuật toángiảinhữngbàitoánđơn giảnquyvềnhữngthuật toáncơ sở.

Bước4.T ậ p l u y ệ n c h o s i n h v i ê n v ậ n d ụ n g p h ố i k ế t h ợ p n h i ề u t h u ậ t toántrongHìnhhọc Họa hìnhvà vậndụngvàothực tiễn.

Như đã trình bày ở chương 1, một trong những nguyên nhân dẫn đếntình trạng sinh viên thấy khó khăn khi giải toán Hình học Họa hình là họ chưathấy hoặc chưa có tư duy thuật toán trong quá trình học tập học phần này, nênkhi đề ra biện pháp cần phải chú ý từ những hoạt động ban đầu cơ bản nhất đểhình thành, rèn luyện đến những biện pháp phát triển, nâng cao dần tư duythuật toán cho sinh viên Trước hết phải cho sinh viên làm quen với nhữngthuật toán cơ bản (nền tảng, cốt lõi) và được luyện tập đến mức thành thạonhững thuậttoánđóthôngqua nhữngbàitoáncơ bản(trongbiệnpháp1);rèn luyệnchohọmộtsốhìnhthứcbiểudiễnthuậttoán(trongbiệnpháp2);Sauđó họ có thể tham gia đề xuất những thuật toán theo ý kiến riêng ở mức đơngiản (trong biện pháp 3) Cuối cùng là biện pháp giúp họ vận dụng phối hợpnhiều thuậttoánvà vận dụngnângcao(trongbiệnpháp4). Định hướng 2 Các biện pháp đề ra phải phù hợp với đối tượng sinhviên vàquátrìnhnhậnthức củangười học.

Nhìn chung điểm chuẩn để tuyển sinh vào các trường Đại học khối kỹthuật là trên dưới 20 điểm trong tổng số 30 điểm; điểm chuẩn vào trường Đạihọc Mỏ - Địa chất khoảng 17 điểm Bởi vậy sinh viên học tại các trường nàychỉ thuộc diện “trung bình khá”, việc tiếp thu kiến thức học phần Hình họcHọa hình thực sự là một khó khăn Mặt khác, quá trình nhận thức của ngườihọc là từ cụ thể đến trừu tượng, từ “biết” đến “làm”, từ đơn giản đến phức tạp,nên cácbiệnphápđưa raphảiphùhợp.

Theođịnhhướngnày,chúngtôibắtđầutừbiệnpháp1(giớithiệuchosinhvi ênnhữngthuậttoáncơbảngiúphọ“biết”vàthựchiệnđúngcácbướctrongmỗithu ậttoáncơbảnđó-côngviệcđơngiản)đếnbiệnpháp2,biệnpháp3,biệnpháp

4 (dầndần sinhviêntựlàmđược nhữngviệcphứctạphơn). Chúng tôi đứng vào vị trí của người học để thấy được những khó khănmà họ gặp phải và nguyên nhân của những khó khăn đó để đề ra những biệnpháp thích hợp.Sinh viên thấy khó khăn khigiải các bài toán vềH ì n h h ọ c Họahìnhbởivìhọchưabiếtbắtđầutừđâu,cáigìlàthenchốt,làcơsởcholờ i giải các bài toán? Với kinh nghiệm có được từ thực tiễn chúng tôi cho rằngphải bắt đầu từ những thuật toán cơ bản (trong biện pháp 1) Sau khi sinh viênnắm được những thuật toán cơ sở rồi, họ sẽ thấy những bài toán (trong cácbiện pháp sau) cần quy về những thuật toán cơ bản như thế nào? Như vậy, cácbiện pháp sẽ từng bước giúp cho sinh viên hiểu bài, làm được bài, nâng caohiệuquả,chấtlượnghọctậphọcphần.Đồngthờiquađósinhviêncũngđược rèn luyệnvàpháttriểntưduythuậttoán. Định hướng 3 Các biện pháp góp phần đổi mới phương pháp dạy họchọcphần Hình học Họa hìnhởĐại học, góp phần phát triển chươngt r ì n h đào tạo vàpháttriểnnănglực ngườihọc.

Một đặc điểm nổi bật trong phương pháp học ở Đại học là sinh viênphải tự học, tự nghiêncứulàchính Bởi vậy, việc giúp cho sinhviên nắmvững những kiến thức cơ bản và thành thạo những kỹ năng cơ bản trở nên rấtquan trọng Nếu không họ sẽ ngày càng lún sâu vào đống kiến thức đầy ắp,ngổn ngang, khó có thể hiểu nổi mà thoát ra được Chúng tôi đề xuất biệnpháp 1 theo tinh thần này Khi thực hiện biện pháp 3 (tạo cơ hội cho sinh viêntham gia xây dựng và đề xuất thuật toán giải một số dạng toán trong Hình họcHọa hình) chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp học hợp tác, tạo cơ hội cho sinhviên biết hợp tác, chia sẻ những ý tưởng, những giải pháp với nhau, biết lắngnghe và đánh giá ý kiến của những người khác Qua đó mà hình thành và pháttriển năng lực giải quyết vấn đề cho sinh viên Với biện pháp 4, sinh viên sẽbiết vận dụng phối kết hợp nhiều thuật toán trong Hình học Họa hình và vậndụng vàothực tiễn.

Như vậy, các biện pháp sẽ góp phần đổi mới phương pháp dạy học họcphầnHìnhhọcHọahìnhởĐạihọcvàgópphầnpháttriểnnănglựcngườihọc.

Từ những định hướng trên chúng tôi đề xuất các biện pháp rèn luyện vàphát triển tư duy thuật toán cho sinh viên trong dạy học Hình học Họa hình sẽtrình bàyởmục 2.2.

Biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho sinh viên trong dạy họcHìnhhọcHọahình

Biện pháp 1: Chọn ra một số thuật toán cơ bản và rèn luyện cho sinh viên vậndụng thành thạo những thuật toán cơ bản đó vào những bài toán cơ bản trong HìnhhọcHọahình

TheoGerald Futschek (2006) [60]:T ư d u y t h u ậ t t o á n t r ư ớ c h ế t đ ư ợ c thể hiện bởi khả năng hiểu các thuật toán;K h ả n ă n g p h â n t í c h v ấ n đ ề đ ư ợ c đưara; Xácđịnh mộtvấnđề một cáchchínhxác.

Theo Nguyễn Bá Kim (2015) [16, tr 379 – 382]: Để rèn luyện thuậttoán, trước hết cần tập luyện cho người học thực hiện tốt những chỉ dẫn nêutrong thuật toán hoặc trong quy tắc tựa thuật toán, thực hiện những hoạt độngtheo mộttrình tựxácđịnh phùhợp vớimộtthuật toáncho trước.

+Căncứvàokhảnăng tưduythuậttoán củađối tượng người học:

Như đã trình bày về đối tượng sinh viên trong các trường Đại học khốikỹ thuật: Đa số sinh viên có học lực trung bình và hầu như chưa có tư duythuật toán nênphảibắt đầutừnhữngthuậttoán cơsở.

Các bài toán Hình học Họa hình đòi hỏi ở sinh viên phải nắm vữngnhững kiến thức, kỹ năng cơ bản ngay từ đầu; nếu không sẽ không thể hiểuđược, làm được những dạng toán tiếp theo Bởi vậy việc chỉ ra và rèn luyệncho sinh viên nắm vững những thuật toán cơ sở trong giải toán Hình học Họahìnhlà rất cầnthiết.

* Trước hết chúng ta phải lựa chọn được một số thuật toán cơ sở Đó lànhững thuật toán mà các bài toán trong Hình học Họa hình đều phải quy vềnhững thuật toán này Nếu rèn luyện cho sinh viên có kỹ năng thực hiện thànhthạo những thuật toán cơ sở thì họ sẽ có nhiều khả năng giải được các bài toánHình học Họahìnhởmức độ đơn giản.

- Xácđịnh một điểmthuộc một đường thẳng;

Thuậttoán cơbản1:Xácđịnh một điểmthuộcmộtđườngthẳng

TrongH ì n h h ọ c H ọ a h ì n h , t a t h ư ờ n g g ặ p c á c b à i t o á n s a u : X á c đ ị n h giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau, xác định một điểm thuộc một tamgiác hay một tứ diện cho trước, xác định một điểm thuộc một đường sinh củamột mặt trụ hay mặt nón. Các bài toán này đều quy về xác định một điểmthuộc một đường thẳng Từ đó chúng tôi chọn thuật toán xác định một điểmthuộcmộtđườngthẳnglà mộtthuậttoán cơbản.

Trường hợp 1 Đường thẳng d là đường thẳng thường (đường thẳngkhôngvuônggóc vớitrụcx),thuật toánxácđịnhđiểmA thuộcd nhưsau:

Trường hợp 2 Đường thẳng d là đường thẳng đặc biệt (đường thẳngvuông góc với trục x, còn gọi là đường thẳng cạnh) - xác định bởi hai điểm B(B1,B2)vàC(C1,C2),thuậttoánxácđịnhđiểmAthuộcđườngthẳngdnhưsau:

Bước 2: Xác định A2 B 2C2sao cho A1A2  x, tỉ số đơn của bộ bađiểmB1,C1,A1bằngtỉ sốđơncủabộbađiểmB2,C2,A2:

Từ thuật toán cơ bản này, ta có thể đề ra thuật toán giải các bài toán cơbản sau: Xác định một điểm thuộc một mặt phẳng (ABC), xác định một điểmthuộcmột tứdiệncho trước, xác địnhmột điểm thuộc mộtđ ư ờ n g s i n h c ủ a mộtmặttrụ haymặtnón.

Bài toán 1.1.Xácđịnhmột điểmthuộc mặt phẳng(ABC)(Hình12)

Nhận xét:Ta chỉ việc gắn điểm M vào một đường thẳng thuộc mặtphẳng (ABC)và sửdụngthuậttoáncơ sở 1.

Bước 2 Áp dụng thuật toán cơ bản1 đểxácđịnhI2;

Bước 3 Áp dụng thuật toán cơ bản1đểxácđịnhM2.

(NếuB1C1//A1M1,taxác địnhI1=A1C1∩B1M1và làmtươngtự)

Bàitoán1.2.Xácđịnhmộtđiểmthuộcm ộtmặt của tứdiện ABCD.

Nhận xét: Do vị trí của điểm M1nằm trong các miền tam giác A1C1D1và

A1B1D1nên điểm M chỉ thuộc thuộc mặt (ACD), hoặc thuộc mặt (ABD)củatứdiệnABCD.

Hình13 Bài toán 1.3 Cho tứ giác ABCD(P) = (V1P, V2P), biết hình chiếuđứng A1B1C1D1,xácđịnh hình chiếubằngA2B2C2D2?(Hình14)

Hình14 Người học cần chú ý tới các tính chất của phép chiếu song song: Phépchiếubảotồntínhliênthuộc,bảotồntỉsốđơncũngnhưtínhsongsong(của2 đường thẳng), đồng thời giáo viên chú ý cho người học vận dụng quy trìnhgắn điểm/ đường thẳng vào mặt phẳng đã được chỉ ra ở phần trên Áp dụngvào bài toán cụ thể, do giả thiết bài toán, ta gắn đường thẳng AD vào mặtphẳng (P) (khi đó ADV1P = 1, ADV2P = 2 Ở đây thực chất đã gắnđườnghaiđiểmAvà Dvàođườngthẳng1- 2củamặtphẳng(P))

Nhưvậybài toán cóthểgiảiquyết theotrìnhtựcácbước sau (Hình15):

Hình15 Bàit o á n 1 4 C h o m ặ t p h ẳ n g ( A B C ) , d ự n g đ ư ờ n g t h ẳ n g b c ủ a m ặ t phẳng,cóđộ caoxchotrước.(Hình 16)

Do yêu cầu bài toán đặt ra: đường thẳng cần dựng là đường bằng b,dovậy ta sử dụng tính chất của đường bằng: b1// x Bên cạnh đó ta gắn đườngbằng b vào mặt phẳng (ABC) Do vậy ta có lời giải cụ thể bài toán theo cácbướcsau (Hình 17):

Bước1:Dựngđườngthẳngb1// xthỏamãn:b1cáchxmộtkhoảngxchotrước.

Bước 3: Xác định I2A2B2; K2B2C2Khi đó:I2K2b2

Bàitoán1.5 Xácđịnh mộtđiểmmột mặt nóntròn xoay.

ChođiểmMthuộcmặtnóntrònxoayđỉnhScóđồthứcnhưhình18. Hãy xácđịnhhìnhchiếubằngM2khiđã biếthìnhchiếuđứngM1.

Nhận xét:Ta chỉ việc gắn điểm M vào một đường sinh thẳng của mặtnónvà sửdụngquytrìnhcơsở1.

Bước 1 Xác định11, 21là giao điểm của S1M1với hình chiếu đứng củađường trònchuẩn(trongbài toánnàytrùngvới x);

Bước2.Áp dụng thuật toán cơbản1 đểxácđịnh12,22;

Bước3.Áp dụngthuật toán cơbản1 đểxác định M2.

Thuật toán cơ bản 2:Xác định giao điểm của đường thẳng thường vàcácmặtphẳnghìnhchiếu(vết củađườngthẳng)

Cho đường thẳng a (a1, a2), xác định giaođiểm M của a với (P1) và giao điểm N của a với(P2) (Điểm M được gọi là vết đứng, điểm N đượcgọi là vết bằngcủađườngthẳng a)(Hình19)

Hình19 bằng M2thuộctrụcx,hình chiếu đứngM1trùngvới điểmM.

+ Nếu a không song song với các mặt phẳnghình chiếu thì quy trình xác định vết của a như sau(Hình 20):

+ Nếu a là đường mặt (a2// x) thì chỉ có giao điểm N của a và (P2) đượcxác định bởi Bước 1 và Bước 2 ở trên; Nếu a là đường bằng (a1// x) thì chỉ cógiaođiểmMcủa avà(P1) được xácđịnhbởi bước 3và bước4ở trên.

Vậndụngthuậttoán cơbản2tacóthểgiảiđược bàitoáncơ bảnvề xác định vết của một mặt phẳng trong các trường hợp: Mặt phẳng xác định bởi haiđườngthẳngcắt nhau;mặtphẳng xácđịnhbởihaiđường thẳngsongso ng; mặt phẳng xác định bởi 3 điểm phân biệt không thẳng hàng; mặt phẳng xácđịnh bởi một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó Thựcchất các trường hợp này đều quy về trường hợp mặt phẳng xác định bởi haiđường thẳngcắtnhau.

Bài toán 1.6 Cho mặt phẳng (P) xác định bởi hai đường thẳng thườngcắt nhau a (a1,a2), b (b1,b2), a và b không song song với trục x Xác định cácvếtcủa mặtphẳng(P).

- Việc xác định vết của mặtphẳng(P) được quy về xác định vếtc ủ a mỗi đường thẳng a, b (trừ trường hợp đặc biệt) Bởi vì nếu xác định được V1avàV1bt h ì V1Pl à đ ư ờ n g t h ẳ n g n ố i h a i đ i ể m

- Nếu a (hoặc b) song song với (P2) thìV2Psongsongvớiavàa2(hoặcbvàb2).Nếua

(hoặc b) song song với (P1) thì V1P songsong vớiavà a1(hoặc b vàb1).

Từđó tacó quytrìnhthuật toán giải bài toánnhưsau(Hình21) Hình21

+ Nếu a và b không song song với các mặt phẳng hình chiếu thì:Bước1.Ápdụngthuậttoáncơbản2xácđịnhV1avàV1b;Bước2.Nố ihaiđiểmV1a và V1btađượcV1P;

Bước3.Ápdụng thuậttoán cơbản2 xác địnhV2avà V2b;

+Nếua(hoặcb)songsongvới mặtphẳnghình chiếubằng thì:

Bước1.Ápdụng thuật toán cơbản2xácđịnhV1avàV1b;

Bước3.Áp dụng thuật toán cơbản2 xácđịnhV2b (hoặcV2a);

Bước4.XácđịnhV2PđiquaV2b(hoặcV2a)vàsongsongvớia2(hoặcb2).

Thuậttoáncơbản3:Xácđịnhmặtphẳngchiếuđứng(chiếubằng)(P) chứamột đườngthẳng a(a 1 ,a 2 )chotrước.

- Hai vết của mặt phẳng (P) cùng với trục x hoặc song song, hoặc đồngquy (tínhchất về giao tuyếncủa 3mặtphẳng phân biệt trong hìnhhọcEuclide) Ba đường này song song với nhau trong trường hợp mặt phẳng (P)và trục x song song (Hình 22a), và đồng quy trong trường hợp còn lại (Hình22b) a b

- Nếu (P) là mặt phẳng chiếu đứng (chiếu bằng) thì V2P (V1P) vuônggóc với trục x và mọi hình hình học thuộc (P) đều có hình chiếu đứng thuộcV1P(hìnhchiếubằngthuộc V2P).

- Nếu a là đường thẳng bằng (đường mặt) thì mặt phẳng (P) tương ứnglàm ặ t p h ẳ n g b ằ n g ( m ặ t p h ẳ n g m ặ t ) K h i đ ó m ặ t p h ẳ n g ( P ) c h ỉ c ò n l ạ i v ế t đứnghoặcvết bằng đều làcácđường thẳng song songvới x.

Thuật toán xác định mặt phẳng chiếu đứng (chiếu bằng) chứa mộtđường thẳngchotrước nhưsau:

Bước1 XácđịnhV1Plàa1(V2Ptrùng với a2)

Bước3 XácđinhV2P điqua N1và V2Pvuônggócvớix(V1PđiquaM2và

Hình23 Áp dụng thuật toán cơ bản 3 ta có thể giải được bài toán cơ bản về xácđịnh giao tuyến của một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứngvới một mặt phẳng bất kỳ xác định bởi hai đường thẳng song song; xác địnhbởi hai đường thẳng cắt nhau; hoặc xác định bởi ba điểm phân biệt khôngthẳng hàng; hoặc xác định bởi một đường thẳng và một điểm không thuộc nó;hoặc xác định bởi vết. Thực chất các bài toán này đều quy về hai bài toán cơbản sauđây:

Hình24 Bài toán 1.8 Xác định giao tuyến của mặt phẳng chiếu đứng (P)

Hình25 Thuậttoán cơbản 4:Xácđịnhđộlớn thậtcủa mộtđoạnthẳng

Phép chiếu thẳng góc bảo toàn các tínhchất về quan hệ liên thuộc, về tỉ số đơn cũngnhư quan hệ song song mà không bảo toànkhoảng cách giữa các điểm Bài toán đặt ra:Từ hai hìnhchiếu A1B1và A2B2của đoạnthẳng

AB,hãyxácđịnhđộlớnthật của đoạn thẳngđó? (Hình26) Hình 26

- Xét tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng độ dài của hìnhchiếu đứng, cạnh góc vuông còn lại bằng hiệu độ xa của hai điểm, ta có:Gócđối diện với hiệu độ xa chính bằng góc nghiêng giữa phương của đường thẳngvới mặt phẳng hình chiếu đứng (P1); độ lớn thật của đoạn thẳng bằng cạnhhuyền của tamgiácvuôngnày (Hình27)

- Xét tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng độ dài của hìnhchiếubằng,cạnh gócvuôngcòn lại bằng hiệuđộcao củahaiđiểm,tacó:

Góc đối diện với hiệu độ cao chính bằng góc nghiêng giữa phương củađường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng (P2); độ lớn thật của đoạn thẳngbằng cạnhhuyềncủatamgiác vuôngnày (Hình27)

Từ đó để xác định độ lớn thậtcủa đoạn thẳngA B , t a t h ự c h i ệ n t h e o trình tựcácbước sau(Hình28):

Bước1:Xácđịnh hiệuđộ xa Δycủa haiđiểmAvà B

Bước3:NốiB1với A*bởi hai nétliền mảnh songsong, ta xác địnhđược độlớnthậtcủađoạnAB.

Thuậttoán cơbản 5:Xácđịnhđường thẳng vuônggócvới mặtphẳng

Chomặtphẳng(P)đượcxácđịnhbởiV1PvàV2P(V1P,V2P,xđồngquy),xác địnhđườngthẳngdvuônggóc vớimặt phẳng(P).

Từcáckiếnthứccơsởđượcnêutrong2.2.2,đểxácđịnhđườngthẳngdvu ông gócvới mặtphẳng (P),tathựchiện theo cácbướcsau (Hình 29):

Trong đó mlàđườngmặt vàblàđườngbằng củamặt phẳng(P).

Hình29 Mộtsốbài toánáp dụngthuậttoán cơbản5:

(P) trong mỗi trường hợp sau (Hình

Bước1:xácđịnhđườngthẳngdquađiểmAv àvuônggóc vớimặt phẳng(P);

Bước 2: Xác định giao điểm H của đườngthẳng d với mặt phẳng (P); H chính là hình chiếucủaAtrênmp(P);

Từ đó thuật toán giải bài toán này trong Hình học Họa hình như sau(Hình 32):

Bước1.Xácđịnhd1quađiểmA1vàd1⊥V1P;Bước

3.Xác định giao điểm H của d và

(P);Bước4.Xác địnhđộlớn thật củaAH.

Biệnpháp2 : Tậpluyệncho sinhv i ê n m ộ t sốphươngpháp biểudiễnthu ậttoántrongdạyhọcgiảitoánHìnhhọcHọa hình

(i) Biểudiễnthực:Biểu diễnbằng cácđối tượngcóthực;

(iii) Biểu diễnbằngngôn ngữ(lờinóihoặcviết);

(iv) Biểudiễn bằnghình ảnh(tranh,ảnh,sơđồ,đồthị,biểu đồ);

Biểu diễn Toán học có những vai trò cực kì quan trọng trong giáo dụctoán học Biểu diễn Toán học là một dạng của ngôn ngữ Toán học, ngôn ngữToán học là hình thức biểu hiện của tư duy Theo Trần Vui (2009) [49]: Biểudiễn như là một phương pháp tư duy - tư duy thông qua những gì được biểudiễn; biểu diễn như là một phương pháp ghi nhớ - ghi nhớ những gì được tưduy thông qua các biểu diễn; biểu diễn là một phương pháp quan trọng để traođổi thôngtin.

Một sơđồkhối(flowcharts)làm ộ t l o ạ i s ơ đ ồ t h ể h i ệ n m ộ t t h u ậ t toán, một quy trình làm bằng cách kết nối chúng với mũi tên Sơ đồ này minhhọa một mô hình giải pháp cho một vấn đề Sơ đồ khối được sử dụng trongviệc phân tích, thiết kế hay quản lý một quá trình hoặc chương trình trong cáclĩnhvực khác nhau(B.Sterneckert,2003)[51].

Giốngn h ư c á c k i ể u b i ể u đ ồ , s ơ đ ồ k h ố i g i ú p t a h ì n h d u n g n h ữ n g g ì đangxảyravàquađógiúphiểuquytrình,vàcólẽcũngtìmthấysaisót,sự tắc nghẽn hay các tính năng ít rõ ràng khác bên trong nó Dùng sơ đồ khối đểbiểu diễn thuật toán là một cách mô tả một thuật toán Nó giúp ta dễ hiểu vàthấy được logic của toàn bộ quá trình giải quyết vấn đề, từ đó dễ dàng thựchiện thuật toán hơn Hơn nữa, dựa vào sơ đồ khối, ta có thể dễ dàng chia nhỏmột quá trình thành nhiều công đoạn để phân công nhiệm vụ cho từng nhómngười, mỗi nhóm thực hiện một phân đoạn, sau đó kết hợp lại trong mộtchươngtrìnhchung;Mộtmôhìnhhệthốngcóthểđượcchiathànhbộph ậnchi tiết để nghiên cứu và phân tích sâu hơn Sau khi quan sát một sơ đồ ngườihọc có thể dễ dàng viết được một sơ đồ tương tự Nhìn vào sơ đồ người tacũng dề dàng phát hiện và loai bỏ những sai lầm, những thiếu sót của của mộtthuật toán(MarkA.Fryman,2002)[67]

Mộtnhược điểmcũngdễ thấylàviếtmộ t sơđồkhốisẽ tốnkhôngí tt hờigianvà khôngthíchhợpvới mộtthuậttoánphứctạp.

Theo Nguyễn Bá Kim (2004): Trong dạy học thuật giải, tựa thuật giảicầnch úýc h o họcsinhbiết n h i ề u hìnhthức t h ể h i ệ n m ộ t q u y tắc,tạođ i ề u kiện thuân lợi cho họ nắm vững nội dung từng bước và trình tự thực hiện cácbước của quy tắc đó, dù cho chúng được thể hiện dưới bất kì hình thức nào.[15,tr.379 -382]

+ Trong quá trình dạy học Hình học Họa hình, giảng viên cần kết hợpgiữa phân tích để giải quyết vấn đề với cách biểu diễn thuật toán Tuy rằngchúng ta không chủ trương dạy học về thuật toán cho sinh viên, nhưng sự kếthợp này sẽ làm cho sự phân tích được rõ ràng hơn, đồng thời sinh viên cũngbiết về cách biểu diễn thuật toán Gỉảng viên có thể chọn ra một số tình huốngvà hoạt động làm mẫu, sau đó yêu cầu sinh viên thực hành một số tình huốngtươngtự.

Ví dụ 1 Khi dạy học về thuật toán cơ sở thứ nhất (xác định một điểmthuộcmộtđườngthẳng),bêncạnhviệcmôtảbằnglờithuậttoánnàynhưđãtrìnhbà ytrongbiệnpháp1,tacóthểbiểudiễnthuậttoánbằngsơđồkhốinhưsau:

Bắt đầu Nếu a1 // x thì a ∩ P2 = ϕ, a ∩ P1 = M, với M2 = x ∩ a2, M1M2x;

Còn nếu a1x thì xét a2 nếu a2 // x thì a ∩ P1 = ϕ, a ∩ P2 = N có N1 = x ∩ a1, N1N2x nếu a2x thì a ∩ P1 = M có M2 = x ∩ a2, N1= a1

Vídụ2.Khidạyhọcvềthuậttoáncơsởthứhai(xácđịnhgiaođiểmcủa đường thẳng thường a (a1, a2) và các mặt phẳng hình chiếu (P1), (P2), bêncạnh việc mô tả bằng lời thuật toán này như đã trình bày trong biện pháp 1, tacó thểbiểudiễnthuậttoánbằngngônngữphỏngtrìnhnhưsau:

Hình38 +Hướngdẫn sinh viên thựchành một sốtìnhhuốngtươngtự.

Ví dụ 4 Biểu diễn bằng ngôn ngữ phỏng trình thuật toán xác định vị trítương đối của hai đường thẳng thường a (a1, a2), b (b1, b2) phân biệt Vẽ đồthức minhhọa.

Xác định a1, a2, b1, b2Nếua1//x thìa∩(P2) =ϕ,a ∩(P1)=M,vớiM2= x∩a2,M1M2 x;

Còn nếua1 xthìxéta2nếu a2//x thìa∩(P 1)=ϕ,a∩( P 2)=NcóN1=x∩a1,N1N2 xnếua2 x thìa∩P1=McóM2=x∩a2,N1=a1 x,M1M2 x,N1N2 xKết thúc.

Biệnpháp3:Tạocơhộichosinhviênthamgiaxâ ydựngvàđề xuấtthuậtt oángiải mộtsốdạngtoántrongHìnhhọcHọahình

- Khả năng xây dựng một thuật toán chính xác để giải quyết một vấn đềnhấtđịnhbằng cáchsửdụngnhữnghànhđộng cơbản;

- Khả năng để suy nghĩ về tất cả các trường hợp; có thể đặc biệt và bìnhthường của mộtvấnđề;…

+ Căn cứ vào quy trình rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán (đã nêutrong địnhhướng1).

Sau khi sinh viên đãlàm chủ được những thuật toáncơs ở n h ờ v à o biệnpháp1,bướctiếptheo chúngtacầntạocơhộichosinhviêntha mgiaxây dựng và đề xuất những thuật toán giải một số dạng toán trong Hình họcHọa hình Những dạng toán trong Hình học Họa hình được đưa ra trong biệnpháp này gồm những bài toán tương tự những bài toán cơ bản đã nêu trongbiệnpháp1hoặcnhữngbàitoánchỉsaumộthoặchaibướcđơngiảnsẽqu yvềnhữngthuậttoáncơ sở.

Theo Jean Piaget (1896-1980): Nhận thức của con người là quá trìnhthích ứng với môi trường qua hai hoạt động đồng hoá và điều tiết; tri thứckhông phải truyền thụ từ người biết tới người không biết, mà tri thức đượcchính chủ thể xây dựng, thông qua hoạt động (Dẫn theo Bùi Văn Nghị

Nguyễn Bá Kim (2015) [16, tr 383] cho rằng: Tư duy nói chung và tưduy thuật giải nói riêng chỉ có thể hình thành và phát triển trong và bằng hoạtđộng.

Theo báo cáo của Ủy ban tham mưu cho Hội đồng Giáo dục Australia(1992) [50]: Trong các năng lực cốt lõi cần cho những người trẻ tuổi có nănglực giao tiếp ý tưởng và thông tin, năng lực giải quyết vấn đề và năng lực làmviệc với những người khác và làm việc theo nhóm 5 Những năng lực này đềuđược các nước Úc, Vương quốc Anh, Hoa Kỳ và New Zealand đề cập tới(trong bảng so sánh các năng lực cốt lõi của các quốc gia này – tài liệu đã dẫn[50]) Chuẩn giao tiếp của Hội đồng Quốc Gia Giáo viên Toán (Hoa Kỳ) chorằng học sinh nên có khả năng “trao đổi suy nghĩ toán học rõ ràng và chínhxác, phân tích và đánh giá những suy nghĩ và lời giải của các học sinh khác vàsử dụng ngôn ngữ toán học để diễn đạt những ý tưởng toán học một cáchchính xác” Người giáo viên toán cần phải “tạo ra một môi trường học tập tintưởng và tôn trọng lẫn nhau trong đó học sinh có thể bình luận/ thảo luậnnhữngý t ư ở n g t o á n h ọ c c h ứ k h ô n g c ó n h ữ n g c h ỉ t r í c h m a n g t í n h c á n h â n dànhc h o c ác b ạ n k há c” ( P u g a l e e , 2001) T r o n g h ọ c t ậ p , m ỗ i c á nh ân p h ấ n đấu đạt được một kết quả có lợi nhất cho mình, đồng thời có lợi cho nhóm củamình, các cá nhân nhận thấy họ có thể đạt đến mục tiêu của mình khi và chikhi các thành viên khác cũng đạt được điều đó (Deutsch, 1962) Các năng lựcnày cũng được đề cập tới trong dự thảo chương trình giáo dục Phổ thông tổngthể (trong chương trình giáo dục phổ thông mới) của Bộ Giáo dục và Đào tạoViệtNam,tháng8năm2015[1].Việctạoracáccơhộichosinhviêntham gia xây dựng và đề xuất những thuật toán giải các bài toán trongH ì n h h ọ c Họa hình thông qua trao đổi, thảo luận và học hợp tác để cùng nhau giải quyếtvấn đềsẽgópphần tạonênnhữngnănglựcnói trên chosinhviên.

+Căn cứvàohiệuquảghi nhớ. Đểhìnhthànhvàpháttriểntưduythuậttoánchongườihọc,chúngta

5 Communicating ideas andinformation; Solvingproblems; Workingwith othersandin teams không chỉ dừng lại ở việc trang bị cho họ những thuật toán đã có, mà quantrọng hơn làchính họcũng biếttạo ra những thuật toán để giải quyếtc ô n g việc cho mình Bởi lẽ: “trăm hay không bằng một thấy, trăm thấy không bằngmôt làm”, như người Việt Nam ta thường nói Hay, theo E. Dale (1969) [54]:Sau hai tuần, người ta thường nhớ được 10% những gì họ đã đọc, 20% nhữnggì họ đã nghe, 30% những gì họ đã nhìn thấy, 50% những gì họ đã nhìn vànghe thấy, 70% những gì họ nói và viết, 90% những gì họ đã làm (xem sơ đồhình nóndướiđây).(Hình40)

Bởivậy,nếugiảng v i ê n tạocơhộichosinhviênthựchành,đềxuất cácthuậttoán theo suy nghĩ của họ, họ sẽhiểusâu, nhớ lâu cácthuậtt o á n hơn. Không bài học kinh nghiệm nào được nhớ lâu hơn bài học kinh nghiệmcủa chính mình Chúng ta cần chỉ ra các bước xây dựng thuật toán và nhấnmạnhviệctìmnhiềuthuậttoáncho một bàitoán (LêKhắcThành,2009)[36]:

Trong giáo trình Hình học Họa hình có một số dạng toán có nhiềutrường hợp hoặc có nhiều cách giải, nên giảng viên có nhiều cơ hội để tổ chứccho ngườihọctraođổi,thảo luận,đề xuấtcác thuậttoán.

(1) Lựa chọn dạng toán, bài toán có nhiều trường hợp và tổ chức chongười học hợp tác, trao đổi, thảo luận, đề xuất các thuật toán giải toán trongmỗi trườnghợp.

Ví dụ 5.Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệtCho hai đường thẳng phân biệt Có ba trường hợp xảy ra:Trườnghợp1.Haiđườngthẳngthường;

2.M ộ t đườngthẳngthườngvàmộtđườngthẳngđặcbiệt;Trườnghợp3.H a i đ ườngthẳng đặc biệt.

Vớih a i đ ư ờ n g t h ẳ n g t h ư ờ n g , c ó b a k h ả n ă n g x ả y r a đ ố i v ớ i h a i c ặ p hình chiếu cùng tên: cắt nhau từng đôi, song song từng đôi, một cặp cắt nhauvàmộtcăpsongsong.

Khi hai cặp hình chiếu cùng tên cắt nhau từng đôi lại xảy ra: hai giaođiểmcó cùngthuộcmộtđườnggiónghaykhông.

Với cáctrườnghợpkhác cũngxảyranhững khảnăng tươngtự.

Từ đó ta có thể tổ chức cho sinh viên thảo luận vấn đề: Vị trí tương đốicủahaiđườngthẳngtrong mỗiđồ thức saulà gì?(Hình41) x a2 b2 a1 b1 x a2 b2 x a2 b2 a1 b1 a1  b1

Vídụ6.Vềgiaotuyến củahai mặt phẳng

Tacóthểtổchứcchotừngnhómsinhviênnghiêncứu từngtrườnghợpvàtrìnhbàytrướclớpthuậttoángiải cácbài toán trongtừng trườnghợp.

Trườnghợp1.Haimặt phẳngđềucó hai vết:

Trườnghợp1a.Hai vết củamỗimặt phẳngđồngquyvớix: (Hình42a)

Bước 1 Xác định I V1PV1Q;Bước 2 Xác định K V2PV2Q;Bước3.Xác địnhg =IK.

Chúý:Nếuhaivếtcùngtêncủahaimătphẳng(P)và(Q)cắtnhautại điểmởngoàimặtphẳngđồthức,ta phảidùngmặtphụtrợ(làmặtphẳngbằnghoặcmặtphẳngmặt) đểtìmcác điểmchungcủa (P)và (Q).(Hình42b)

Bước 1 Xác định vết cạnh V3P và V3Q của (P) và

(Q);Bước 2 Xác định giao điểm J3= V3PV3Q ≡ g3;Bước3.Xác địnhg =(g1,g2).

Hình43Trườnghợp1c.Haivếtcủamặtphẳngnàyđồngquyvớix,haivếtcủamặt phẳngkia songsongvớix(Hình44).

Hình44 Trườnghợp2.Hai mặt phẳngđều chỉ cómột vết(Hình45):

Hình45 Trườnghợp3.Mặtphẳngnàycóhaivết,mặtphẳngkiachỉcómộtvết(Hình 46).

Ví dụ 7: Tìm giao điểm của đường thẳng chiếu với mặt phẳng trong haitrường hợp (mặt phẳng cho bởi 2 đường thẳng cắt nhau, mặt phẳng cho bởivết)(Hình47).

Hình47 Kết luận: Đối với dạng toán này, một hình chiếu của giao điểm đã biết,tac h ỉ c ầ n v ậ n d ụ n g q u y t r ì n h c ơ s ở 1 t r o n g b i ệ n p h á p 1 đ ể x á c đ ị n h h ì n h chiếu cònlại.

Ví dụ 8.Xác định giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trongtrườnghợptổngquát Đây là dạng toán quen thuộc trong hình học không gian, sinh viên tự đềxuấtvà phát biểutrình thuậttoángiảibàitoán(Hình48)

Bước2.Xác định giao tuyếnphụg =(R)∩(P);

Bàitoánvậndụng:XácđịnhgiaođiểmIcủađườngthẳngd(d1,d2)vàmặt phẳng(P)trongmỗi trườnghợpsau:

(iii) (P)= (V1P,V2P) a b cHình 49 Giảng viên tổ chức cho sinh viên thảo luận, tự đề xuất thuật toán cũngnhư minh họa trên đồ thức Sau đó giảng viên đưa ra kết luận từ những ý kiếnđềxuất củasinhviên.Thuật toán giảicác trườnghợp nhưsau:

Bước 1 Xác định mặtphẳng chiếu đứng (R) chứađường thẳngd(TTCB2)cóg1trùngd1;

Bước2.Xácđịnhcácgiaođiểm1,2củaa,bvới(R)có11=d1∩a1,21

Nêu chú ýcho ngườihọcgiữa haitrườnghợp trên.

Từ kinh nghiệm giảng dạy thực tế, một trong những khó khăn thườnggặp của người học đối với dạng toán này là: Khi gắn đường thẳng d vào mặtphẳng phụ trợ chiếu (R), lúc này một hình chiếu của giao tuyến phụ đã biết,nhưngtớiđâyngườihọclúngtúngkhôngbiếtcáchxácđịnhhìnhchiếucònlại.

Với trường hợp mặt phẳng được xác định bởi hai đường thẳng a và b,nếu điểm 11thuộc a1, để xác định điểm 12,ta phải dóng từ 11xuống đường a2(tươngtựđốivớiviệcxác địnhđiểm22).

Với trường hợp mặt phẳng được xác định bởi hai vết V1P và V2P, nếuđiểm 11thuộc V1P, để xác định điểm 12, thay vì dóng xuống trục x (vì x làhình chiếu bằng của V1P) thì thường người học lại dóng xuống V2P Đây làmột sai lầm phổ biến của người học mà giáo viên cần chú ý khắc phục chongười học.

Ví dụ 9.Quy trình tìm giao tuyến của hai mặt phẳngXácđịnhgiaotuyến gcủahaimặt phẳng(P)và(Q). Để vận dụng quy trình thuật toán đã phát biểu trong bài toán 3, bài toánxác định giao tuyến g của hai mặt phẳng (P) và (Q) được thực hiện theo cácbướcsau:

Bước1:Chọn trên mặtphẳng (Q)2 đườngthẳngphân biệt a,b;

Bước 2:Vận dụng quy trình thuật toán đã phát biểu trong bài toán 3 đểxácđịnhI =a(P) và K=b(P);

Giảng viên đề nghị sinh viên tìm ra thuật toán khác để xác định giaotuyến của hai mặt phẳng Dưới sự hướng dẫn của giảng viên cùng phươngpháp làm việc theo nhóm, sinh viên đề xuất thuật toán như sau: để xác địnhgiao tuyến g của hai mặt phẳng (P) và (Q), có thể thực hiện giải theo các bướcsau (Hình51):

Bước1.Dùng mặtphẳng phụtrợ(α) -) -chọn làmặtphẳng chiếu.

Bước2.Vận dụngBước1vớimặt phẳngphụtrợ(β))

(2) Lựachọncácbàitoántiềmẩnnhiềucáchgiảikhácnhau,tổchứcthảo luậntrênlớp các thuậttoángiải khácnhau.

Vídụ10.XácđịnhkhoảngcáchtừđiểmA(A1,A2)đếnmặtphẳng(P) songsong vớitrụcx(V1P// V2P//x).(Hình 52a)

Từ đồ thức đã cho, ta nhận ra (P) là mặt phẳng chiếu cạnh, do vậyđường thẳng qua A và vuông góc với mặt phẳng (P) phải là đường thẳng đặcbiệt Điều đó gợi cho ta nghĩ tới việc sử dụng hình chiếu cạnh để xác địnhđường vuông góc thật cũng như xác định khoảng cách từ điểm A tới mặtphẳng(P).

Ví dụ 11.Cho điểm A (A1, A2) và hình chiếu đứng B1của điểm B. Xácđịnh điểmB2biếtgócnghiêngcủa AB với(P1) là.

- Theocácnhậnxéttrong2.2.1,góc nghiêng giữa AB với (P1) chính bằnggóc đối diện hiệu độ xa trong tam giácvuông xác định độ lớn thật của AB Nhưvậy nếu như ta xác địnhđ ư ợ c t a m g i á c đó,đ ồ n g n g h ĩ a v ớ i v i ệ c đ ộ l ớ n t h ậ t c ủ a

AvàB.KhiđóthaotáctìmđiểmB2trởnênđơngiản.Vậymấuchốtcủabài toánchínhlàviệcxácđịnhđộlớnthậtcủađoạnthẳngAB,dođócóthểđềxuất quytrìnhgiảiquyếtbàitoánnhưsau:

Bước1:DựngtamgiácvuôngA1B1B0có1cạnhgócvuôngA1B1củaAB và góc nhọnkềvớicạnhnàylà.

Bước2:Xácđịnhhiệuđộxaycủa2điểmA,BchínhlàđoạnthẳngB1B0

- Ngườigiáo viên có thểđặt câuhỏi:

Biện pháp4: Vậndụng kếthợpmộtsốthuậttoán trongHình họcHọahìnhvàvậndụngvàothực tiễn

+ Căn cứ vào mục tiêu học phần Hình học Họa hình của các trường Đạihọc khối kỹ thuật (ĐH Mỏ - Địa chất, ĐH Bách khoa Hà Nội, ĐH Bách khoaTPHồ ChíMinh,ĐHXâydựngHà Nội,ĐHHàngHải…):

- Mục tiêu cơ bản của học phần Hình học Họa hình của các trường Đạihọc có giảng dạy học phần này là: Trang bị cho sinh viên những hiểu biết cơbản về phương pháp biểu diễn các hình, khối không gian; sinh viên biết cáchtrình bày, đọc và phân tích các bản vẽ kỹ thuật theo tiêu chuẩn Việt Nam hayISO; biết cách sử dụng phần mềm đồ họa kỹ thuật chuyên ngành, chẳng hạnnhưAutoCAD.

- Mục tiêu nâng cao của học phần Hình học Họa hình của các trườngĐạih ọ c k h ố i k ỹ t h u ậ t l à : B i ế t x á c đ ị n h g i a o c ủ a h a i m ặ t v à b ư ớ c đ ầ u v ậ n dụng vàothực tiễnnghềnghiệp. Để đạt được muc tiêu trên, sinh viên cần phải biết vận dụng phối kếthợp nhiều thuật toán trong Hình học Họa hình trong giải các bài toán về giaocủahaimặt.

+Căncứvàođịnh hướng phát triển năng lựcngười học

- Vận dụng Toán học vào giải quyết vấn đề, đặc biệt là những vấn đềnảy sinh từ thực tiễn là một trong những năng lực của người học được nhiềunước trên thế giới đặt ra trong thế kỷ XXI Theo William Lauden

(1992) [71],bảynăng lực cơbảncủa ngườilaođộngthếkỉ XXI cầncónhưsau:

(1) Năng lựcthuthập,phân tíchvàtổ chứcthôngtin;

Ta có thể thấy học phần Hình học Họa hình có liên quan trực tiếp tớicác năng lực (5), (6) (7): Học phần này góp phần phát triển các năng lực sửdụng tư duy thuật toán, năng lực sử dụng phần mềm AutoCAD, năng lực vậndụng toán học vào thiết kế, sáng tạo các chi tiết kĩ thuật, các mặt không giantrong thực tiễn.

Cách 1:Tập luyện cho sinh viên xác định giao của hai mặt theo ba mứcđộ khó tăng dần: Giao của hai đa diện; giao của một đa diện và một mặtcong;giaocủahaimặtcong;giaocủabamặt. Để xác định được giao của hai mặt, ta phải phối kết hợp một vài lần cácthuật toánxác địnhsauđây:

- Thuật toán xácđịnhgiao điểmcủađườngthẳng vàmặtphẳng.

Hơn nữa, ta cần sử dụng các mặt phẳng phụ trợ và xác định các giaođiểm của hai mặt trên từng mặt phẳng phụ trợ đó Bài toán quy về xác địnhgiao điểm của các đường trong mặt phẳng phụ trợ Phải tùy theo từng trườnghợp mà chọnmặtphẳngphụtrợ(R)thích hợp.Chẳng hạn:

- Tìm giao của hai mặt trụ thì (R) song song với các đường sinh của haimặt trụ;

- Tìm giao của mặt nón và mặt trụ thì (R) qua đình nón và song songvới cácđườngsinhcủa mặttrụ;

- Tìm giao của hai mặt nón thì (R) chứa đường thẳng nối hai đỉnh củahaihìnhnón;…

Dạng1:Xácđịnh giaocủahaiđadiệnGiaoc ủ a h a i đ a d i ệ n l à t ậ p h ợ p c á c đ i ể m chung của hai đa diện Mỗi mặt của đa diện nàycắt mỗi mặt của đa diện kia cho ta một đoạn thẳngcủa giao; mỗi cạnh của đa diện này cắt mỗi mặtcủađ a d i ệ n k i a c h o t a m ộ t đ ỉ n h c ủ a g i a o

G i a o củahaiđadiệnlàmộthaynhiềuđườnggấpkh úc khépkín củacácđoạn giao đó.(Hình69) Hình69

Vídụ19.Xácđịnhgiaocủalăngtrụxiêncóđáylà∆DEFvàhìnhchópS.ABCtrênđ ồ thức tronghình70a.

Các bước xác định giao của hai mặt này có thể như sau:Kết quảta cóđồthức nhưtronghình70b.

- Xácđịnhmặtcắtphụtrợ,δ,…chiếuđứngđểtìmgiaođiểmcủacác cạnh d, e,fcủa lăng trụ với chóp,ta đượccác đỉnh 1,2,3,4.

- Xác định mặt cắt phụ trợ,…chiếu bằng để tìm giao điểm các cạnhchópvớilăngtrụ,ta cócácđỉnh5, 6. a b

Dạng2: Xácđịnhgiao tuyến củamột đadiện vàmộtmặt cong

Giao tuyến của đa diện và mặt cong là tập hợp các giao tuyến giữa từngmặt của đa diện và mặt cong Giao tuyến này là một đường khép kín của cáccung cong hoặc đoạn thẳng Để xác định giao tuyến của đa diện và mặt cong,ta lần lượt xác định giao tuyến của từng mặt đa diện với mặt cong (Hình 71)Chú ý:Để tìm các đầu mút và các điểm của từng cung, ta chọn mặt phẳng cắtphụtrợcắtmặtcong theogiao tuyếnđặc biệt.

Ví dụ 20.Xác định giao của lăng trụ ABC.A’B’C’ và mặt trụ trên đồthứctronghình72a.

Hình72a Cácbướcxácđịnhgiao của lăngtrụvà mặt trụ nàycóthểnhưsau:

- Xác định mặt cắt phụ trợ= (k, l), trong đó k song song với đườngsinh trụ,lsongsongvớicạnhlăngtrụ.

- Xácđịnh cácgiao tuyến củavới mặt trụ vàmặt bên lăng trụ;

- Xácđịnhcácgiaođiểmcủacácgiaotuyếnnóitrên.Đâycũngchínhlà cácgiaođiểmcủa lăng trụ và mặttrụ.

Chúý:K h i m ặ t p h ụ t r ợl ầ n l ư ợ t c h ứ a c á c c ạ n h A A ’ , B B ’ , C C ’ t a được các điểm là đầu mút của các cung giao Kết quả ta có đồ thức như tronghình72b.

Dạng3: Xácđịnhgiao củahai mặt cong

- Xácđịnhcácgiaođiểm1,2,3,4củacácđườngsinhSA,SB,TM, TN

- ChođườngthẳngquaIthayđổi,cácđiểm1,2,3,4 tạo nên giaotuyến cầntìm.

(Chú ýtớicác vịtrí đặc biệtkhiđường thẳngqua I làtiếp tuyếncủacácđường trònchuẩncủahaiđáynón)

(2) XácđịnhgiaocủamộtmặtnónđỉnhSvàmộtmặttrụcómặtphẳ ng đáy(P)trùngnhau(Hình74).

- Xác định đường thẳngqua I và thuộc (P) Đường thẳngcắt đườngtrònđáytrụ tạiA,B vàcắtđườngtrònđáynóntại C,D;

- Xácđịnhcácgiao điểm 1, 2, 3, 4của cácđường sinhq u a A , B c ủ a mặttrụvàcácđườngsinh quaC,Dcủamặtnón.Cácgiaođiểmnàythu ộc giao củahai mặt đãcho.

- ChoquayxungquanhItrongmặtphẳng(P),cácđiểm1,2,3,4tạonên giaocủahaimặtđã cho.

(Chúýtớicácvịtríđặcbiệtkhilà tiếptuyếncủa đườngtrònđáy nónhoặclà tiếptuyếncủa đườngtròn đáytrụ)

Hình75 (4)Xá c địnhgiao c ủ a h ai m ặ t n ó n khôngcùngmặtp h ẳ n g đáy(Hình 76).

- Xácđịnhmặtphẳngphụtrợ(R)quahaiđỉnhS,Tcủahainónvàmột điểmI thuộcg;

- IM, IN cắt các đường chuẩn đáy của hai nón tại các điểm A, B, C, D.Các đường sinh SA, SB, TC, TD cắt nhau cho ta các giao điểm 1, 2, 3, 4 củagiaotuyếncầntìm.

- Cho I di chuyển trên g, các điểm 1, 2, 3, 4 tạo nên giao tuyến cần tìm. (Chúýt ới cá c vịtrí đặcbiệt k h i I M, INlàt iế pt uy ến củ a cácđường tròn chuẩn củahai đáynón)

Ví dụ 22 Xác định giao của hai mặt nón có đáy nón trên đồ thức tronghình 77a.

(4) Xácđịnhgiao củahai mặt trụcó mặt phẳngđáytrùngnhau(Hình

- Từ điểm O bất kỳ, xác định hai đường m, n tương ứng song song vớihai đường sinh của hai hình trụ) và xác định giao tuyến g của mặt phẳng (m,n)và mặtphẳngđáy(P) củahaihìnhtrụ;

- Xétmặt phẳngφ songsong với mặt phẳng(m,n)cắtmặtphẳng đáy

(P)theogiaotuyến d//g và cắthai hình trụcáctheo các đường sinh.Giao của cácđườngsinh chotacác điểm1, 2,3, 4thuộc giaotuyến.

-Chomặtphẳngφ dichuyển,các điểm1,2,3,4tạonêngiao tuyến cần tìm.

(Chúý tớicác vịtríđặc biệtkhimặtphẳngφcắt(P) theocáctiếptuyến củacácđườngtrònchuẩn củahaihìnhtrụ)

(5) Xácđịnhgiaocủa mộtmặt nónvàmột mặt cầu

(6) Xác định giao của một mặt trụ và một mặt cầuTacó đồ thức nhưhình79.7

Cách 2:Kếthợp liênmôngiữa Hình họcHoạhình vàVẽkĩ thuật.

Ngay từ cấp THPT, qua môn Công nghệ Công nghiệp (lớp 11), họcsinhđãđược biết sơ lược về“Vẽkỹ thuật”, baogồm:T i ê u c h u ẩ n t r ì n h b à y bản vẽ kỹ thuật, phương pháp hình chiếu vuông góc, mặt cắt, hình cắt, hìnhchiếu trục đo và biểu diễn vật thể Một bản vẽ kỹ thuật bao gồm các hình biểudiễn(hìnhchiếu,hìnhcắt…)cùngvớicácsốliệughikíchthước,cácyêucầu kỹ thuật ; được vẽ theo một quy tắc thống nhất (ISO) nhằm thể hiện hìnhdạng, kết cấu, độ lớn của vật thể Bản vẽ kỹ thuật là phương tiện giao tiếp(thiết kế,thicông,sửdụngsảnphẩm) trongkỹthuật. Ở các trường Đại học khối kỹ thuật, học phần “Vẽ kỹ thuật” là họcphần nối tiếp của học phần Hình học Họa hình; “Vẽ kỹ thuật” được xem làứngdụngtrựctiếpnhữngkiến thức củahọcphần Hình học Họa hình.

Trong học phần “Vẽ kỹ thuật” sinh viên cần đạt được yêu cầu: Từ mộtbản vẽ, phải hình dung ra vật thể và biểu diễn được vật thể đó trên hình chiếutrục đo Chính học phần Hình học Họa hình sẽ giúp ta khắc phục khó khăntrong việc hình dung ra vật thể, giúp ta biết giao của hai mặt trong không giansẽ là hình gì, từ bản vẽ đã cho Bởi vậy, ngay trong học phần Hình học Họahình, giảng viên cần phải rèn luyện cho sinh viên quen dần với các bản vẽ,hiểuđược cácýtưởngthiếtkếtrong các bảnvẽđó.

Trongvậtthểởhình80acógiaocủahaimặtphẳng,giaocủahaimặttrụtr ònxoaycó các trụcvuônggóc vớinhau…

Trongv ậ t t h ể ở h ì n h 8 0 b c ó g i a o c ủ a h a i m ặ t p h ẳ n g , g i a o c ủ a m ặ t phẳngvớimặtnónvà mặttrụ, giaocủamặtnónvớimặttrụđồng trục…

Trongv ậ t t h ể ở h ì n h 8 0 c c ó g i a o c ủ a h a i m ặ t p h ẳ n g , g i a o c ủ a m ặ t phẳng với mặt trụ … Đồthứctươngứngvớimỗi vậtthể đãchonhưtronghình81,82,83

Cách3 : G i a o c h o t ừ n g n h ó m s i n h v i ê n l à m b à i t ậ p l ớ n : N g h i ê n c ứ u một công trình kiến trúc dựa trên giao của hai mặt hoặc sáng tạo một dạngkiến trúc dựatrêngiaocủahai mặt.

Ví dụ 24.Xác định giao của của hai mặt trụ tròn xoay có hai trục vuônggócvàcóđườngkínhđườngtrònchuẩn bằngnhau;Đềxuấtmộtứng dụngcủabàitoánnàytrongthực tiễn.

+ Hình biểu diễn (đồ thức) giao của hai mặt trụ tròn xoay có hai trụcvuônggócvà cóđườngkính đường trònchuẩnbằngnhaunhưhình 91.

+ Đề xuất một ứng dụng của bài toán trên: Vẽ hình biểu diễn khớp nốicủahaiốngnước mặttrụtrònxoaytobằngnhauvà cóhaitrụcvuônggóc.

Ví dụ 25.Xác định giao của một mặt trụ tròn xoay và một mặt cầu; Đềxuất một ứngdụngcủa bàitoánnàytrongthực tiễn.

+ Hình biểu diễn (đồ thức) giao của một mặt trụ tròn xoay và một mặtcầunhưtrênhình79.

+ Đề xuất một ứng dụng của bài toán trên: Vẽ hình biểu diễn của mộtchiếc xà ngang hình trụ tròn xoay tựa hai đầu trong hai khối cầu có bán kínhbằng đường kính đáy trụđặttrên haichiếccột hình trụ tròn xoay tob ằ n g chiếcxà ngangđó.

Ví dụ 26.Hãy thiết kế một cái nút chai “vạn năng” có thể đậy khít bakiểu miệngchaisau:

Một miệng chai hình tròn có đường kính bằnga;Một miệng chaihình vuông cócạnh bằnga;

Một miệng chai hình tam giác cân có cạnh đáy bằngavà đường caothuộccạnhđóbằnga.(Hình84)

Nútchaicần tìm phảilà phầnchungcủa ba khốitrụ thẳngđ ứ n g v ớ i thiết diện thẳng lần lượt là hình dạng của ba loại miệng chai nói trên Bài toánquyvềxác địnhgiaocủaba măt trụ (ba bềmặtcủa ba khối trụnày).

Ta đặt ba mặt vào hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu thẳng góc sao cho:Mặtt r ụ t r ò n x o a y c ó t r ụ c l à đ ư ờ n g t h ẳ n g c h i ế u b ằ n g , l ă n g t r ụ t a m g i á c c ó cạnh bên là đường thẳng chiếu đứng và lăng trụ có đáy vuông là có cạnh bênlàđườngthẳngchiếucạnh.

Thuật toánxác định giao tuyến của ba mặt bậc hai nói trên như sau(Hình 86):

Bước1: Xácđịnh giao củalăng trụ vàmặt trụtrònxoay(hình86a).

Bước 2: Xác định giao của lăng trụ tam giác với giao tìm được ở bước1 (hình86b,86d).

Tiểukếtchương2

Từ kết quả khảo sát thực tiễn ở chương 1: đa số sinh viên cho rằng họcphần Hình học Họa hình là học phần khó trong chương trình đào tạo của cáctrườngĐạihọckhốikỹthuật,giảiphápcủachúngtôilàcầnchútrọngvi ệcrèn luyện thuật toán trong giải toán Hình học Học hình cho sinh viên Giảipháp này vừa giúp sinh viên học tập học phần này tốt hơn, hiệu quả hơn, vừapháttriểntưduythuật toánchohọ.

Quan điểm của chúng tôi là cần phải chú ý từ những hoạt động ban đầucơ bản nhất để hình thành, rèn luyện đến những biện pháp phát triển, nâng caodầntưduythuậttoánchosinhviên.Trướchếtphảichosinhviênlàmque nvớin h ữ n g t h u ậ t t o á n c ơ s ở ( n ề n t ả n g , c ố t l õ i ) v à đ ư ợ c l u y ệ n t ậ p đ ế n m ứ c thành thạo những thuật toán đó thông qua những bài toán cơ bản (trong biệnpháp 1);rènluyệncho họsử dụngmộtsố hìnhthức biểu diễnthuậtt o á n (trongbiệnpháp2);Sauđóhọcóthểthamgiađềxuấtnhữngthuật toántheoý kiến riêng ở mức đơn giản (trong biện pháp 3) Cuối cùng là biện pháp giúphọvậndụngphốihợpnhiềuthuậttoánvàvậndụngnângcao(trongbiệnpháp4).

Cácbiện pháp đượcchúng tôiđềxuất trong chương nàylà:

Biệnp h á p 1 : C h ọ n r a m ộ t s ố t h u ậ t t o á n c ơ s ở v à r è n l u y ệ n c h o si n h viênvậndụngthànhthạonhữngthuậttoáncơsởđóvàonhữngbàitoáncơ bả n trongHìnhhọc Họa hình.

Biện pháp 2:Tập luyệncho sinh viênsử dụngm ộ t s ố p h ư ơ n g p h á p biểudiễnthuậttoán trongdạyhọcgiảitoánHìnhhọc Họa hình

Biện pháp 3: Tạo cơ hội cho sinh viên tham gia xây dựng và đề xuấtthuật toángiải mộtsốdạngtoán trongHình họcHọahình

Biện pháp 4:R è n l u y ệ n c h o s i n h v i ê n v ậ n d ụ n g p h ố i k ế t h ợ p n h i ề u thuật toántrong HìnhhọcHọa hìnhvàvậndụngvàothực tiễn.

Mỗi biện pháp đều được trình bày dựa trên những căn cứ xác đáng,chỉrõ cáchthức thựchiệnvànhữngví dụ minhhọa.

Mụcđích,phương phápvàtổchức thựcnghiệmsư phạm

Mụcđíchthựcnghiệmsưphạm

Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của cácbiện pháp rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho sinh viên các trườngĐạih ọ c k h ố i k ỹ t h u ậ t t h ô n g q u a h ọ c p h ầ n H ì n h h ọ c H ọ a h ì n h đ ã đ ề x u ấ t trong luậnán.

Giảthuyếtthực nghiệm sư phạm là:Nếu dạy học theogiáoánđ ư ợ c thiếtkếdựatrênnhữngbiệnpháprèn luyệnvàpháttriể ntưduythuậttoáncho sinh viên như đã đề xuất trong chương 2 luận án thì sinh viên vừa đượcpháttriểntưduythuậttoán,vừa hiểubài,nắmbàitốthơn.

Tổchức thựcnghiệmsư phạm

Thựcnghiệmsưphạmđượctiến hành haiđợt, mỗi đợt2bài: Đợt 1: Bài 1 dạy trong tuần từ ngày 9 đến ngày 14 tháng 9 năm 2013,bài 2 dạy trong tuần từ ngày 23 đến ngày 28 tháng 9 năm 2014, tại cơ sở HàNội của trường ĐH Mỏ - Địa chất Lớp dạy thực nghiệm sư phạm là lớp LọcHóa dầu K58 (có 60 sinh viên) do giảng viên Hoàng Văn Tài giảng dạy theohai giáo án trình bày ở mục 3.2 của Luận án; lớp đối chứng là lớp Địa chấtcông trình K58 (có 60 sinh viên) do giảng viên Lê Thị Thanh Hằng giảng dạytheo giáo án tự soạn Bài 1 -Luyện tập “Xác định vết của mặt phẳng” (Dạngtoán về vị trí, gồm 2 tiết); Bài 2 - Luyện tập về “Khoảng cách” (Dạng toán vềlượng,gồm2 tiết). Đợt 2: Bài 1 dạy trong tuần từ ngày 8 đến ngày 13 tháng 9 năm 2013,bài2 d ạ y t r o n g t u ầ n t ừ n g à y 2 2 đ ế n n g à y 2 7 t h á n g 9 n ă m 2 0 1 4 , t ạ i c ơ s ở VũngTầucủatrườngĐHMỏ- Địachất.LớpdạythựcnghiệmsưphạmlàlớpK h o a n k h a i t h á c K 5 9 ( c ó

5 3 s i n h v i ê n ) d o g i ả n g v i ê n H o à n g V ă n T à i giảng dạy theo hai giáo ántrình bày ở mục 3.2 của Luận án; lớp đối chứng làlớp Trắc địa công trình K59 (có 51 sinh viên) do giảng viên Vũ Hữu Tuyêngiảngdạytheogiáoántựsoạn.Haibàidạygiốngnhưđợt1.

Các giảng viên dạy lớp thực nghiệm sư phạm và lớp đối chứng tươngứng thuộc cùng Bộ môn, xấp xỉ nhau về tuổi đời, tuổi nghề và năng lực sưphạm(theonhậnđịnhcủa Bộ môn).

Cácbướctrongthực nghiệmsưphạm

Bước 1:Soạn giáo án thực nghiệm sư phạm và phiếu xin ý kiến cácgiảng viên dự giờ, phiếu xin ý kiến sinh viên về các tiết dạy thực nghiệm sưphạm.

Bước 2:Trao đổi và thống nhất trong Bộ môn về mục đích, tổ chức, nộidung phương pháp thực nghiệm sư phạm, đánh giá kết quả thực nghiệm sưphạm, vềbàikiểmtra(đềbài,dụngý sưphạm,thangđiểm,đáp án).

Bước 3:Dạy thực nghiệm sư phạm có các giảng viên thuộc Bộ môn dựgiờ,xinýkiếncácgiảngviêndựgiờvà ýkiếnsinhviênqua phiếuhỏi.

Bước 4:Kiểm tra 45 phút sau mỗi bài thực nghiệm sư phạm cho cả lớpthựcn g h i ệ m s ư p h ạ m v à l ớ p đ ố i c h ứ n g : c ù n g đ ề , c ù n g đ á p á n , c ù n g t h ờ i điểm.

Nộidungthựcnghiệmsư phạm

Bài 1 -Luyện tập “Xác định vết của mặt phẳng”(Dạngtoánvềvịtrí,gồm2tiết) Mụctiêu: Quabàihọcsinh viêncầnđạt đượcnhững mụctiêu sau:

- Ôn lại các khái niệm và các tính chất cơ bản của các đường thẳng, mặtphẳng đặc biệt.

- Ônlại cáctínhchấtvềvết củađườngthẳng,mặt phẳng.

- Nắmđượcc á c h x á c đ ị n h đ ịn hv ết c ủ a mặtp h ẳ n g tr on g m ỗ i tr ườ ng hợpcụthể

- Vận dụng thành thạo hai quytrìnhthuật toán cơsở(1và2).

- Tìm được thuật toán giải một số bài toán xác định vết của mặt phẳngkhi biếtmộtsố yếu tốcủa nótrênđồthức.

Từng bước sinh viên được rèn luyện và phát triển tư duy thuật toántheohaimức độ sau:

Mức 2: Đề xuất được thuật toán giải toán trong các bài luyện tập.Phân phốithờigian:2 tiết

Phương pháp: Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyếtvấn đề, kết hợp với phương pháp dạy học hợp tác nhóm và kiểm tra đánh giábằngtrắcnghiệmkháchquantrongquá trìnhdạyhọc.

Hoạt động 1 (20 phút) - Kiểm tra đánh giá kiến thức và kỹ năng ở mứcđộ nhận biết và thông hiểu hai thuật toán cơ sở (đã dạy trong 2 tiết lý thuyết)của sinh viên thông qua câu hỏi trắc nghiệm khách quan, tạo tiền đề cho bàiluyện tập:

Giảng viên thiết kế phiếu kiểm tra đánh giá như trình bày dưới đây vàgiao cho mỗi nhóm sinh viên thực hiện trong 15 phút Các câu hỏi kiểm trađánh giá nhằm phát hiện xem sinh viên đã nắm được nhữngkhái niệm,cáctính chất cơ bản của các đường thẳng, mặt phẳng đặc biệt và các tính chất vềvết của đường thẳng, mặt phẳng ở mức độ nào? Đồng thời kiểm tra đánh giánhằmxemsinhviênđãbiếtvậndụnghaiquytrìnhthuậttoáncơsở(1và2) haychưa?

Sau đó giảng viên cho các nhóm đánh giá chéo, dựa vào đó giảng viênnhậnxétbàilàmcủa từngnhómvà thôngbáokếtquảtrước lớp(5 phút).

Câu 1: Mỗi hình sau có là đồ thức của một đường thẳng nào đó haykhông?Nếucóthìđườngthẳngđó cóđặcđiểmgì?

Trong bảng 1, khoanh tròn vào phương án thích hợp trong các phươngánsau.

Câu 2: Cho đường thẳng a (a1, a2) có đồ thức như hình 9, hình10 Hãyxác định vết của đường thẳng a trên mỗi đồ thức và viết thuật toán xác địnhtrong mỗitrườnghơp.

Thuậttoán xácđịnhvết củađườngthẳng atrên hình9:

Bước1: Bước2: Bước3: Bước4: Câu 3: Vết của một mặt phẳng là gì? Mỗi hình sau có là đồ thức về vếtcủamặt phẳnghaykhông? Nếu cóthì mặt phẳngđó cógì đặcbiệtkhông?

Trong bảng 2, khoanh tròn vào phương án thích hợp trong các phươngánsau.

Câu 4: Cho mặt phẳng (P) = (a x b) như hình 19 Chọn đúng thứ tự cácbước xác định vết của mặt phẳng (P) trong các quy trình sau và thể hiện thuậttoánđótrênđồ thức.

* Ngoài thuật toán nói trên, có thể chỉ ra một thuật toán khác để giải bàitoánnàyhaykhông?Nếucó,hãyviếtrõthuậttoánđó.

Hoạt động 2 (30 phút) – Luyện tập cho sinh viên phát hiện những thuậttoán giải toán Hình học Họa hình thông qua một số bài toán bằng phươngphápđàmthoạipháthiện:

Bài1: Xácđịnhvết củamặt phẳng (P)trongmỗi trường hợpsau: a) (P)=(H; m)–Hình 20 b) (P)=(m;b) –Hình21

Giảngviên:Hãynhận xétvềđặcđiểmcủamặt phẳng(P)?Giảithích? Sinh viên:(P) là mặt phẳng chiếu đứng vì mặt phẳng (P) chứa đườngthẳng m(P1)

Giảng viên:Khi mặt phẳng (P) chiếu đứng, hãy nhận xét về đặc điểmV1P,V2P?

Sinh viên:-Xácđịnh V1Pqua m1vàH1; Xác định I= V1P∩x;

-Xác định V2P qua Ivà V2Px.(Hình22)

Giảng viên:Mặt phẳngđã chođượcxácđịnhnhưthếnào?

Sinhviên:Mặtphẳngđượcxácđịnhbởihai đườngthẳng cắt nhau.

Giảng viên:Có thể xác định được vết của từng đường thẳng trong haiđường thẳng xác định mặt phẳng đó hay không? Có thuật toán để thực hiệnviệc đóhaychưa?

Sinh viên:Đã có thuật toán xác định vết của đường thẳng vừa đượcnhắclại trongcâu4của bàikiểmtra đầugiờ.

Giảng viên:Có thể áp dụng thuật toán vừa nói đến để giải câu này đượchaykhông?Vìsao?

Sinh viên:Không áp dụng được vì hai đường thẳng đã cho là hai đườngthẳng đặc biệt (m là đường mặt nên không tồn tại vết đứng, b là đường bằngnên khôngtồntạivếtbằng).

Giảngviên: Có thểkhắcphụckhó khăn nêutrênbằng cáchnào?

Giảng viên:Đó là khó khăn Nhưng ngược lại mặt phẳng chứa đườngbằnghayđườngmặtlạicóthuậnlợigìkhixácđịnhvếtcủa nó?

Sinh viên:Thuận lợi là phương của hai vết của mặt phẳng đã được xácđịnh.Chỉ cầnxácđịnhthêmmộtđiểmthuộc vết.

Sinh viên:Điểmnàychínhlàvết của từngđườngđã xác địnhởtrên.

Giảng viên:Vấn đề đã được giải quyết Hãy thực hiện trên đồ thức vàviết rõthuậttoángiảibàitoán.

Bước 4:Xác định V1P qua I và V1P // m1.Đồthức minhhọatrênhình23.

Bài 2:XácđịnhV2P biếtV1Pvà điểmA(A1,A2)(P) (Hình24)

Giảngviên: N h ậ nxétvề vịtrítươngđối củamặtphẳng(P) tronghệthống haimặtphẳnghìnhchiếu?

Sinhviên:GiaođiểmcủaV1Pvàxlàmộtđiểm thuộcvàoV2P(vìtrong bàitoánnày,V1P,V2Pvà xđồng quy)

Giảng viên:Như vậy để xác định V2P, cần biết thêm một điểm nữa củanó.Hãykhaithácdữkiện:A(P)

Sinhviên:Cầnxácđịnh một đường thẳngcủamặt phẳng (P)

Giảng viên:Đường thẳng đó được xác định như thế nào? Sau khi xácđịnh đượcđươngthẳngcủamặtphẳng (P),bướctiếptheosẽlàmgì?

Sinhviên: ĐãcóđiểmAthuộcmặtphẳng (P),đãchotrướcV1P,chỉc ần lấy điểm B thuộc V1P thì đường thẳng AB cũng sẽ thuộc mặt phẳng (P).Bước tiếp theo đi xác định vết bằng của đường thẳng AB, đó là điểm thuộcV2P.

Bước1:Xácđịnhmột điểmbất kỳBV1P cóB1V1P,B2x;

Bước 3:Xác định M2 V2AB;Bước 4:Xác định I = V1P

∩ x;Bước 5:Xác định V2P IM2.Đồthứcminhhọatrên hình25

Giảngviên:Trongthuậttoántrên,đường thẳng AB là đường thẳng bằng thì cóliênhệgìvớibài1akhông?

Bước1:Xácđịnh một đườngbằng ABcủamặtphẳng (P)(B1V1Pvà

Bước3:Xác định V 2P: Quagiaođiểmgiữa V1Pvới xvàsongsong

Hình26Hoạt động 3(30 phút)–Luyệntập mộtsốbài toán, nhằmrènluyệnchosinh viênvậndụngtươngđốithành thạohaithuậttoáncơsở.

Bàitoán3:Chođườngthẳnga(a1,a2)vàvếtđứngV1Pcủamặtphẳng(P).Xác địnhvếtbằng V2P biếtrằng(P)//a (Hình27)

Bước1:X á cđịnhmộtđườngthẳnga’bấtkỳcủamặtphẳng(P)saoc hoa’//a;

Giảngviên:Từcácbàitoántrên,cóthểdẫntớiquytrìnhgiảibàitoánđãnêu nhưthếnào?Dựa vàothuộc tínhnàovềvếtđểpháthiệnquytrìnhđó?

Bài toán 4: Cho V2P,xácđịnh V1Pbiết A(P) (Hình 29)

Hình29 Để xác định V1P, ta có thể thực hiện theo hai thuật toán sau:Thuật toán1(cóđồthức nhưhình30):

Bước3:Vậndụng quytrình cơsở2 xácđịnh V1AB;

Bước 1:Xác định hình chiếu cạnh A3của điểm

A;Bước 2:Xác định vết cạnh V3P của mặt phẳng

Hoạt động4(20phút)–kiểmtra đánh giánhanh kếtquảluyện tập: Đề bài (ghi trong phiếu): Qua đường thẳng AB (Hình 32), hãy xác địnhCâu1(5điểm):Mặtphẳngchiếubằng (P)

Phươngpháp:Giảngviênphátphiếubàikiểmtrac h o t ừ n g s i n h v i ê n , s i n h v i ê n l à m bàit r o n g 1 0 phút; sau đó giảng viên cho sinh viên đánh giá chéotừngđôi;giảngviêntổnghợpkếtquảvàthôngbáokết quảtrướclớp(10phút).

Đánhgiákếtquảthực nghiệmsư phạm

Căn cứđểđánhgiá

Hình32 Đểđánh giásự phát triển tư duy thuật toáncủasinh viêncáct r ư ờ n g Đại học khối kỹ thuật thông qua học phần Hình học Họa hình, chúng tôi dựavào những biểu hiện, cấp độ tăng dần của tư duy thuật toán của sinh viên đãđượct r ì n h b à y trongchương 1 , m ụ c1 3 4 1 c ủ al u ậ n á n , x i n đ ượ cn h ắ c lạinhưsau:

Cấp độ 1 Thực hiện đúng những thuật toán cơ bản đã biết trong quátrình giảitoán;

Cấp độ 2.Hình dung được, biểu diễn được toàn bộ quá trình giải bàitoán, giải quyết vấn đề theo sơ đồ khối, hoặc ngôn ngữ phỏng trình, hoặc viếtthành chươngtrìnhthuậttoán;

Cấp độ 5.Có thể lựa chọn được thuật toán tối ưu trong nhiều thuật toáncùnggiảiquyếtmộtvấnđề.

Cácmứcđộpháttriểncủatưduythuậttoánvàmứcđộhiểubài,làmbài của sinh viên sẽ được đánh giá thông qua kết quả bài kiểm tra và phiếuđiềutra.

Đềbàikiểmtravàdụngýsư phạm

Bài kiểmtra lần1 (50phút) Đềbài:

Câu 1 Cho đường thẳng a (a1, a2), xác định mặt phẳng chiếu đứng (P)chứađườngthẳnga.(Hình1)

Câu 2 Cho đường thẳng a (a1, a2) thuộc mặt phẳng (P) có vết bằng V2P. (Hình 2) a) Hãy trình bày một (một vài) thuật toánxác định vết đứng V1P bằngnhững cáchbiểudiễnđã biết. b) Thựchiện thuậttoán đótrênđồ thức.

Câu3.Cho mặt phẳng (P)xácđịnhbởi haiđườngthẳngsong song avà b.Biếtcáchìnhchiếu( a1,a2) của avà( b 1,b2) củab,hãyxác địnhV1P,V2P.

- Câu1(2đ)nhằmđánhgiákhả năngthực hiệnmộtquytrìnhcơbản đãbiết của sinhviên(cấpđộ 1).

- Câu2(4đ)Đánhgiánănglựcbiểudiễnthuậttoánvàkhảnăngthực hiệnthuậttoán của sinhviên (cấpđộ2 vàcấpđộ3):

+Thêm0,5đchomỗicáchbiểudiễnthuậttoánhoặcmỗikếtquảthựchiệnt huậttoántrênđồ thức từcách thứhaitrởlên.

TH1.Hai đườngthẳng cùngsongsong vớitrụcx;

+H a i đ ư ờ n g t h ẳ n g k h ô n g l à đ ư ờ n g b ằ n g , v à k h ô n g l à đ ư ờ n g m ặ t (chúng có thểcó haihìnhchiếu đứnghoặchaihình chiếu bằng trùngnhau)

Câu 1 (3 điểm) Xác định khoảng cách từ điểm A (A1, A2) tới mặtphẳng (P)= (V1P,V2P).(Hình1)

Câu 2 (3 điểm) Xác định khoảng cách từ điểm A (A1, A2) tới đườngthẳng d = (d1,d2).(Hình2)

Câu 3 (4 điểm) Cho mặt phẳng (P) = (a // b), xác định khoảng cách từđiểmAtớimặtphẳng(P).(Hình3)

Bài kiểm tra là cơ sở để đánh giá khả năng thực hiện và vận dụng thànhthạoc á c t h u ậ t t o á n đ ã b i ế t c ủ a s i n h v i ê n , đ ồ n g t h ờ i đ á n h g i á đ ư ợ c s ự p h á t triểntưduythuậttoán(theobacấpđộ) củasinhviên

Câu 1(3đ): Đánh giá khả năng thực hiện đúng các thuật toán cơ sở vàcấpđộ1của tưduythuậttoán-vậndụngđúngcácthuậttoánđã biết.

Câu 2(3đ): Đánh giá khả năng vận dụng thành thạo các thuật toán vàcấpđộ2 củathuậttoán-đềxuấtđượcthuậttoángiải cácbàitoáncơbản)

Câu 3(4đ): Đánh giá khả năng vận dụng nâng cao và cấp độ ba của tưduy thuật toán – vận dụng phối hợp một số thuật toán giải các bài toán nângcaovậndụngvàothực tiễn

3.3.1.2 Đánh giá kết quả các bài kiểm tra lần

Từbảng1chothấylàcácbàikiểmtraở2lớpđốichứngvàlớpthựcnghiệmđều chấmtheothang điểm10vàđượcphânloạithành4cộtnhư:

- Cộtdướitrungbình(yếu– kém):gồmcácđiểm1 –4. Điểmt r u n g b ì n h b à i k i ể m t r a s ố 1 c ủ a l ớ p t h ự c n g h i ệ m s ư p h ạ m l à :

X T N =5,166; Điểm trung bình bài kiểm tra số 1, của lớp đối chứng là: X ĐC = 4,283Vậyđiểmtrungbìnhcủalớpthựcnghiệmsưphạmcaohơnlớpđốichứng.

Bảng2:Thốngkêtỉlệphầntrăm,yếu–kém,trungbình,khá,giỏibàikiểmtra số 1lần1.

Biểuđồ1:Sosánhkếtquảbàikiểmtrasố1,lần1sauthựcnghiệmởhailớpth ực nghiệmvà lớpđốichứng:

SV Điểm(1-4) Điểm(5-6) Điểm(7-8) Điểm(9-10)

- Điểm dưới trung bình (yếu – kém) của lớp thực nghiệm là 25% thấphơn sovớilớpđốichứnglà 46,67%.

- Điểm số trung bình của lớp thực nghiệm là 61,66% cao hơn so với lớpđối chứnglà48,33%.

- Điểm số khá của lớp thực nghiệm là 11,66% cao hơn so với lớp đốichứng là 5,00%. Đặc biệt trong lớp thực nghiệm đã có một sinh viên đạt điểm số giỏi,trong khilớp đốichứngkhôngcóai đạtđiểmgiỏi.

Tỉ lệ điểm số trung bình, khá ở lớp thực nghiệm luôn cao hơn lớp đốichứng, điều này thể hiện phần nào độ bền vững kiến thức của lớp thực nghiệmhơnlớpđốichứng.

Bảng 3:Thốngkê kếtquảbàikiểmtra số2lần1.

Lớp Sĩ số Điểmbàikiểmtra Điểm

Từ bảng 3 cho thấy là các bài kiểm tra ở 2 lớp đối chứng và lớp thựcnghiệmđềuchấmtheothang điểm10vàđược phânloạithành4cộtnhư:

- Cộtdướitrungbình(yếu– kém):gồmcácđiểm1 –4. Điểmt r u n g b ì n h b à i k i ể m t r a s ố 2 l ầ n 1 , c ủ a l ớ p t h ự c n g h i ệ m l à :

Bảng4:Thốngkêtỉlệphầntrăm,yếu–kém,trungbình,khá,giỏibàikiểmtra số 2lần1.

SV Điểm(1-4) Điểm(5-6) Điểm(7-8) Điểm(9-10)

Biểuđồ2:Sosánhkếtquảbàikiểmtrasố2,lần1sauthựcnghiệmởhailớpth ực nghiệmvà lớpđốichứng.

- Điểmdướitrungbình(yếu– kém)củalớpthựcnghiệmlà20,754%thấphơnsovới lớpđối chứnglà

- Điểmk h á c ủ a l ớ p t h ự c n g h i ệ m l à 1 5 , 0 9 4 % c a o h ơ n s o v ớ i l ớ p đ ố i chứng là 7,692%. Đặcbiệthailớpthựcnghiệmvà lớpđốichứngkhôngđạtđiểmgiỏi.

Tỉ lệ điểm trung bình, khá ở lớp thực nghiệm luôn cao hơn lớp đốichứng, điều này thể hiện độ bền vững kiến thức của lớp thực nghiệm hơn lớpđối chứng.

GiảthuyếtH0:Điểmtrungbìnhkiểmtracủalớpthựcnghiệmsưphạmvàlớp đốichứngkhôngkhác nhautrên tổngthể. Đốit h u y ế t H1:Đ i ể m t r u n g b ì n h k i ể m t r a c ủ a l ớ p t h ự c n g h i ệ m s ư phạmvà lớpđốichứngkhácnhautrêntổngthể.

0 ,45 Trab ản gcácgiá t 2 trịLaplaceta cógiá trị giớihạn Z t  1,65.

SosánhZ ≈ 1 , 6 7 0và Z t  1,65,tacó:Z>Zt.nênsựkhácnhaugiữa điểmsốtrungbìnhcủahailớpcóýnghĩathốngkê,dẫnđếnbácbỏgiảthuyết

Biểu đồ 3: So sánh kết quả tổng hợp cả 2 bài kiểm tra lần 1 sau thựcnghiệmởcác lớpthực nghiệmvà các lớpđốichứng.

Đánhgiá định tính qua phiếu hỏi sinh viên và phiếuxin ýkiếngiảng viên.1433.4.Tiểukếtchương3

+ Tỉ lệ phần trăm (%) sinh viên yếu – kém (từ 1 – 4 điểm) của các lớpthựcnghiệmsưphạmluônluônthấp hơncác lớpđốichứng;

+ Tỉ lệ phần trăm (%) sinh viên đạt điểm trung bình trở lên và khá, giỏicáclớpthựcnghiệmsưphạmcaohơncáclớpđốichứng;

+Đ i ể m t r u n g b ì n h c ộ n g c ủ a s i n h v i ê n l ớ p t h ự c n g h i ệ m s ư p h ạ m d ầ n dần đượcnângcaovàbaogiờcũng caohơn sinhviên lớpđối chứng;

+ Lớp thực nghiệm sư phạm đạt điểm yếu – kém ít hơn lớp đối chứng,vàđạtđiểmtrungbình,khá,giỏinhiềuhơnlớpđốichứng.

+ Phương pháp dạy học ở lớp thực nghiệm sư phạm thực sự tốt hơn ởlớp đốichứng,mà không phảingẫunhiên.

3.3.2 Đánh giá định tính qua phiếu hỏi sinh viên và phiếu xin ý kiếngiảng viên

Sau mỗi bài thực nghiệm sư phạm, chúng tôi thiết kế và sử dụng phiếuhỏi về tính khả thi và hiệu quả của giáo án, của giờ dạy đối với giảng viên dựgiờ thực nghiệm sư phạm (xem phụ lục 3) và phiếu hỏi đối với sinh viên lớpthựcnghiệmsưphạm(xemphụ lục4).

Chúng tôi thu được 20 phiếu xin ý kiến từ giảng viên và 113 phiếu hỏitừ sinh viên; Thống kê kết quả (xem phụ lục 5, 6) và ứng dụng phần mềmthốngkê SPSSvà Questđểxửlýkếtquả.(xemphụ lục7)

Phân tích kết quả bằng mô hình Rasch từ phiếu hỏi 113 sinh viên chothấy độ tin cậy tính toán khá cao (đạt 0.95), Không có sinh viên nào bỏ trốngkhông đánh giá các ý kiến ghi trên phiếu; không có giảng viên và sinh viênnào không đồng ý với tính khả thi và hiêu quả của bài dạy thực nghiệm sưphạm.

Về mức độ phù hợp của các nhận định trong phiếu xin ý kiến giảngviên, chương trình QUEST cho các kết quả nằm trong khoảng đồng bộ chophép [-0.6 đến 1.3].Điều đó cho thấy tất cả các nhận định đã đều đạt yêu cầuvàcóđộgiá trịcao.

Thựcnghiệm sưphạmđượctriểnkhaihaiđợt,mỗiđợ t tạim ột tron ghai cơ sở đào tạo hệ chính quy của trường Đại học Mỏ - Địa chất (Hà Nội vàVũng Tàu), mỗi đợt có hai lớp được dạy thực nghiệm sư phạm và có hai lớpđối chứng tương ứng Đối tượng tham gia thực nghiệm sư phạm là sinh viênnăm thứ hai của Trường, học môn Hình học Họa hình (theo phân phối chươngtrình đào tạo) vào học kỳ 1 của mỗi năm học Kết quả thực nghiệm sư phạmđượcđánhgiáthôngquacácbàikiểmtravớikhoảng240sinhviên(cả hailần)và20lượtgiảngviên.

Tuy rằng mẫu thực nghiệm sư phạm chưa lớn, nhưng kết quả thựcnghiệmsưphạmđã chothấy: quả;

- Cácgiờdạythựcnghiệmsưphạmđạtđượcmụctiêukép:Vừagiúp cho sinh viên hiểu bài, nắm được nội dung bài học tốt hơn, vừa góp phần rènluyện vàpháttriểnđược tưduythuật toánchosinhviên;

- Sinh viên các lớp thực nghiệm sư phạm có sự hứng thú trong học tậphơn và tích cực tham gia vào quá trình kiến tạo tri thức hơn so với sinh viêncáclớpđốichứng.

Nền kinh tế tri thức hiện nay đòi hỏi nhiều ở mỗi người phải nắm bắtđược những quy luật của tự nhiên và xã hội Để có được điều đó, trong giáodục cần phải coi trọng việc phát triển tư duy, dạy cách học, cách suy nghĩ giảiquyết vấn đề cho người học Nhiệm vụ dạy học các học phần khoa học cơ bảnnói chung, học phần Hình học Họa hình ở trường Đại học khối kỹ thuật nóiriêng, không chỉ là trang bị những tri thức khoa học, rèn luyện các kỹ năngthực hành nghề nghiệp cho người học, mà quan trọng hơn là phát triển tư duycho người học Do vậy việc vừa trang bị tri thức, vừa phát triển tư duy chosinh viênlà cầnthiết.

Hình học Họa hình trong các trường Đại học khối kỹ thuật là học phầnquan trọng, liên quan trực tiếp đến các ngành nghề kỹ thuật Học phần nàycungc ấ p c h o s i n h v i ê n n h ữ n g k i ế n t h ứ c c ầ n t h i ế t đ ể b i ể u d i ễ n c á c v ậ t t h ể trong không gian lên mặt phẳng đồ thức, làm cơ sở cho việc đọc hiểu và thiếtkế các bản vẽ kỹ thuật, phục vụ cho nghề nghiệp sau này của sinh viên Tuynhiên, đây cũng làmột học phầnmàh ầ u h ế t n h ữ n g n g ư ờ i đ ã đ ư ợ c h ọ c x ế p vàoloạikhó,vìnóđòihỏingườihọctìmrathuậttoánđểgiảitoán.

Trongk h i đ ó , k ế t q u ả đ i ề u t r a t h ự c t i ễ n d ạ y h ọ c h ọ c p h ầ n H ì n h h ọ c Họa hình cho thấy: Kết quả dạy và học môn Hình học Họa hình chưa đượccao, mặc dù những nội dung của học phần là hết sức cần thiết Một trongnhữngnguyênnhânlàdocáchdạyvàcáchhọc,trongđómộtnguyên nhânsâu xa là người học chưa tìm và hiểu được thuật toán trong mỗi lời giải Nếucó biện pháp thích hợp tác động vào điểm yếu này sẽ nâng cao được hiệu quảdạy và học Để hiểu và giải được các bài toán Hình học Họa hình, ngoài yêucầu ở sinh viên có trí tưởng tượng không gian tốt, nó còn đòi hỏi ở sinh viênbiếtg i ả i q u y ế t v ấ n đ ề t h e o m ộ t t r ì n h t ự l ô g i c , c h u ẩ n x á c , b i ế t s ử d ụ n g t ố t những quy trình, những bài toán cơ bản và quy các bài toán khác về các quytrình, bài toán cơ bản đó Đồng thời các bài toán Hình học Họa hình có thể cónhững cáchgiảikhácnhau, bởinhững thuật toán khác nhau Tấtc ả n h ữ n g điềuđótạonênmộtloạihìnhtưduylàtưduythuậttoán.Loạihình tưduynày chẳng những cần thiết cho môn học Hình học Họa hình, mà còn cần thiếttrong cuộcsống.

Xuất phát từ đối tượng người học và mục tiêu cần đạt, chúng tôiđề xuấtmột số biện pháp rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho sinh viên trongdạyhọc Hìnhhọc Họa hìnhnhưsau:

Biệnp h á p 1 : C h ọ n r a m ộ t s ố t h u ậ t t o á n c ơ s ở v à r è n l u y ệ n c h o si n h viênvậndụngthànhthạonhữngthuậttoáncơsởđóvàonhữngbàitoáncơ bả n trongHìnhhọc Họa hình.

Biện pháp 2: Tập luyện cho sinh viên một số phương pháp biểu diễnthuật toántrongdạyhọc giảitoánHình học Họa hình.

Biện pháp 3: Tạo cơ hội cho sinh viên tham gia xây dựng và đề xuấtthuật toángiải mộtsốdạngtoán trongHình học Họahình.

Biện pháp 4: Vận dụng kết hợp một số thuật toán trong Hình học Họahình vàvậndụngvàothực tiễn.

Những biện pháp trên được đề xuất dựa trên những căn cứ lý luận vàthực tiễn, phù hợp với quy trình rèn luyện và phát triển tư duy thuật toán,những biểu hiện,cáccấp độtăng dầncủatư duy thuậttoáncủas i n h v i ê n tronghọcphầnHìnhhọcHọa hìnhvà đãđược kiểm nghiệm bằngt h ự c nghiệm sư phạm tại hai cơ sở đào tạo hệ chính quy của trường Đại học Mỏ -Địachất(Hà NộivàVũngTàu)

Về lý luận: Tổng quan về những công trình nghiên cứu ở trong và ngoàinước;hệthốnghóanhững vấn đềlýluận vềthuậttoán, tưduythuật toán, phát triển tư duy thuật toán trong dạy học môn Toán; Phản ảnh một số thực trạngrèn luyện và phát triển tư duy thuật toán cho sinh viên trong dạy và học họcphần Hình học Họa hình ở trường Đại học khối kỹ thuật; Đề xuất được một sốbiện pháp có tính khả thi và hiệu quả cho việc rèn luyện và phát triển tư duythuật toán cho sinh viên trường Đại học khối kỹ thuật trong dạy học học phầnHình học Họahình.

Về thực tiễn: Kết quả luận án góp phần đổi mới và nâng cao chất lượngdạyv à h ọ c h ọ c p h ầ n H ì n h h ọ c H ọ a h ì n h ở t r ư ờ n g Đ ạ i h ọ c k h ố i k ỹ t h u ậ t ; Luận án là một tài liệu tham khảo bổ ích cho đồng nghiệp và sinh viên cáctrườngĐạihọc khốikỹthuật.

Những kết quả có được về lý luận và thực tiễn cho phép kết luận: Mụcđíchn g h i ê n c ứ u c ủ a l u ậ n á n đ ã đ ạ t đ ư ợ c , g i ả t h u y ế t k h o a h ọ c c ủ a l u ậ n á n chấp nhậnđược.

Trongmột vài năm gần đây, sốtín chỉ dànhchoh ọ c p h ầ n H ì n h h ọ c Họa hình ở trường Đại học khối kỹ thuật có xu hướng bị cắt giảm, dẫu biếtrằng học phần này rất thiết thực đối với các ngành nghề kỹ thuật Thiết nghĩ,cần phải có ít nhất 4 tín chỉ cho học phần này mới có thể giảm bớt được đượckhó khăn trong dạy và học học phần này cho cả thầy và trò Với số tín chỉ quáít, khó có thể tạo điều kiện cho sinh viên hiểu rõ bản chất thuật toán trong cácbài toán Hình học Họa hình, càng không thể tạo điều kiện cho sinh viên thựchành, tìm được nhiều thuật toán để giải toán Hơn nữa, theo định hướng pháttriển chương trình đào tạo, hướng vào năng lực người học, rất cần có thời gianđể sinh viên vận dụng những kiến thức đã học vào thực tiễn nghề nghiệp, giảiquyết các vấn đề nảy sinh từ thực tiễn Bởi vậy việc tăng thời lượng học phần,tăng thời gian và tăng cường những hoạt động thực hành nghề nghiệp là vấnđềquantrọngvà cầnthiết.

CÁC CÔNG TRÌNH LIÊN QUAN TỚI LUẬN ÁNCỦATÁCGIẢĐÃĐƯỢCCÔNGBỐ

1 Hoàng Văn Tài – Vũ Hữu Tuyên (2012),Thiết kế tình huống dạy họcquy trình xác định hình chiếu của điểm thông qua “Bài toán về lượng” trongHình học Họa hình,Tạp chí Khoa học Giáo dục, ISN 0868 – 3662, số

2 Hoàng Văn Tài (2014),Phát triển tư duy thuật toán cho sinh viênthông qua dạy học Hình học Họa hình,Tạp chí Khoa học, ISN 0868 –