ÁNH XẠ (I J )PHỦDÃY.

ĐẠIH Ọ C Đ À N Ẵ N G TRƯỜNGĐ Ạ I H Ọ C S Ư P H Ạ M ——————————– TRƯƠNGPHƯỚCHẢI ÁNHXẠ(I,J)-PHỦ-DÃY KHÓALUẬNTỐTNGHIỆP ĐàNẵng-2021 TRƯƠNGPHƯỚCHẢI ÁNHXẠ(I,J)-PHỦ-DÃY KHÓALUẬNTỐTNGHIỆP Giảngviênhướngdẫn: TS.LươngQuốcTuyển ĐàNẵng-2021 LỜICẢMƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn với thầygiáo TS Lương Quốc Tuyển, người dìu dắt em từ kiến thức cơbản giảng đường đến người hướng dẫn khoa học khóa luận này.Trong q trình nghiên cứu, em gặp khơng khó khăn thiếusótv ề m ặ t k i ế n t h ứ c v k ĩ n ă n g n h n g k h ô n g q u ả n đ i ề u đ ó , t h ầ y đ ã h ỗ trợ hướng dẫn tận tìnhvàcặn kẽ Thầy tấmgương mẫu mực vềhọctập, nghiên cứu điểm tựa vững chắc, động lực để em thựchiện tốt khơng phạm vi khóa luận mà cịn chặng đường họctậpsaunày Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến q thầy khoa TốnĐHSP Đà Nẵng Những kiến thức mà em học từ quý thầy cô trêngiảng đường cách thầm lặng giúp em có tảng vững đểcóthểhồnthànhkhóaluậnnày Emxinchânthànhcảmơn! TrươngPhướcHải MỤCLỤC MỞĐẦU CHƯƠNG1 Cơs l ý t h u y ế t 1.1 Khơnggiantopo,tậphợpmởvàlâncậncủamộttậphợp 1.2 Tậphợpđóngvàbaođóngcủamộttậphợp 1.3 Mộtsốtiênđềtách 11 1.4 Tậphợpcompactvàánhxạliêntục 12 1.5 Khônggiancon 13 CHƯƠNG2.Ánhxạ(I,J)-phủ-dãy .15 2.1 TínhchấtcủadãyI-hộitụ 15 2.2 Ánhxạ(I,J)-phủ-dãy 25 KẾTLUẬN .36 TÀILIỆUTHAMKHẢO 37 MỞĐẦU Lýdo ch ọn đề tà i Khái niệm giới hạn dãy số hay hội tụ dãy số vốn có từrấtlâuvàlànềntảngcơbản,vơcùngquantrọngđốivớigiảitíchcổđiểnnói chung nhưgiảitíchhiệnđạinóiriêng.Trảiquaqtrìnhpháttriểnvớirấtnhiềucơngtrìnhnghiêncứu,sựhộitụcủadãy sốđãđượcmở rộng thành khái niệm hội tụ thống kê H Fast đưa vàonăm 1951 (xem[3]).Trong thời gian gần đây, người ta quan tâm nhiềuđếnsựmởrộngkháiniệmhộitụthốngkêtrênmộtkhơnggiantopotheonhiều khía cạnh khác Một hướng mở rộng đượccáctácgiảtrênthếgiớiquantâmnhiềulàkháiniệmIhộitụtrênkhônggiantopovớiIlàmộtidealtrêntậpsốtựnhiênN Cùngvớisựnghiêncứucáckháiniệmvềsựhộitụ,trong50nămtrởlạiđây, lý thuyết ảnhcủacáckhơnggianmetricquấnhxạcũnglàmảnhđất “màu mỡ” cho nhà khoa học nghiên cứu với nhiều nhữngbài báo giới thiệu Một cơng trình kể đến làcủaSiwiecgiớithiệuvàonăm1971(xem[5]),tác giả đưa khái niệmvềánhxạphủdãyvàthuđược nhiềukếtquả thúvị.Hướngnghiên cứuvề đặc trưng ảnh khônggianmetricquacácánhxạphủ-dãyvàmốiquan hệ ánh xạ phủ-dãy với ánh xạ khác trở thành hướngnghiên cứu điển hình phát triển lý thuyếtk-mạng, góp phầnlàm phong phú cho tiến phát triển lĩnh vực nghiên cứu Lýthuyếtvềtopođạicương Năm 2019, cách khái quái quát hóa khái niệm ánh xạ phủdãytrên sở nhờ vào khái niệm dãyI-hội tụ, tác giả S.K Pal, N.Adhikary,U.Samantađãgiớithiệukháiniệmánhxạ(I,J)-phủ-dãy,nhờ đócáctácgiảđãthuđượcmộtsốtínhchấtquantrọngcủakháiniệmnày Với mong muốn tìm hiểu kỹ tính chất dãyI-hội tụ, mốiquanhệcủadãyIhộitụvớihộitụthơngthườngvàtínhchấtcủấnhxạ(I,J)-phủdãycũngnhưánhxạ(I,J)-1-phủdãy,dướisựhướngdẫncủathầygiáoTS.LươngQuốcTuyển,chúngtơiquyếtđịnh chọnđềtài:“Ánhxạ(I,J)-phủ-dãy”làmđềtàikhóaluậntốtnghiệpchomình Mụcđ í c h n g h i ê n c f í u Trong đề tài này, chứngminh chi tiết số kết liênquanđếndãyIhộitụcủacáctácgiảđitrướcvànghiêncứumộtsốtínhchấtcủấnhxạ(I,J)phủ-dãyvàánhxạ(I,J)-1-phủ-dãy Đốit ợ n g n g h i ê n c f í u Mộtsốtínhchấtcủaideal,dãyI-hộitụ,ánhxạ(I,J)-phủdãyvàánhxạ(I,J)-1-phủ-dãy Phạmv i n g h i ê n c f í u Nghiên cứu tính chất dãyI-hội tụ, mối quan hệ dãyI-hội tụvới hội tụ thông thường không gian topo, mối quan hệ ánh xạ(I,J)-phủdãyvàánhxạ(I,J)-1-phủ-dãy Phươngp h p n g h i ê n c f í u • Thamkhảotàiliệu,hệthốnglạimộtsốkiếnthứcvềtopođạicương • Thuthậpcácsách,cácbàibáokhoahọccủacáctácgiảđitrướcliênquanđếnc ác tí nhchấtc ủ a dãyI-hộitụ,ánhxạ( I,J)-phủ-dãyvàánhxạ(I,J)-1-phủdãy • Đọckỹvàchứngminhchitiếtcáckếtquảđãtìmkiếm • Phântích,đánhgiá,tổnghợpvàtraođổivớithầyhướngdẫnkếtquả đangnghiêncứuđểhồnchỉnhđềtàicủamìnhcủamình 4.Cấutrúccủađềtài Nộid un gđ ề tàiđư ợ ctrìnhb ày h aic hươn g Ng o ài , đ ềtà icó Lờicảmơn,Mụclục,phầnMởđầu,phầnKếtluậnvàTàiliệuthamkhảo Chương 1, trình bày số kiến thức topo đại cương nhằmphụcvụchoviệcnghiêncứuChương2 Chương2,trìnhbàyvềánhxạ(I,J)phủdãybaogồm2mục:Mục2.1,trìnhbàyvềmộtsốtínhchấtcủadãyIhộitụ;Mục2.2,trìnhbàyvềánhxạ(I,J)-phủ-dãy CHƯƠNG1 CƠSỞLÝTHUYẾT Chươngnàydànhchoviệctrìnhbàymộtsốkiếnthứcvềtopođạicương.Cáckháiniệmvà tính chất chương trình bày nhằmphụcvụchoviệcchứngminhcáckếtquảchínhcủachươngsau 1.1 Khơnggiantopo,tậphợpmởvàlâncậncủamộttậphợp Địnhn g h ĩ a ( [ ] ) G i ả s τ l h ọ n o đ ó g m c c t ậ p c o n c ủ a tậphợpXthỏamãncácđiềukiệnsau (a) ∅,X∈τ; (b) NếuU ,V ∈ τ,t h ì U∩V∈ τ; S (c) Nếu{Uα}α∈Λ⊂τ,thì U α∈τ α∈Λ Khiđó, (1) τđ ợ c gọilàmộttopot r ê n X (2) Cặp( X,τ)đ ợ c g ọ i l m ộ t k h ô n g g i a n t o p o (3) Mỗiphầntửcủaτđược gọilàmộttậphợpmở (4) MỗiphầntửcủaXđượcgọilàmộtđiểmc ủ a Nhậnx é t ( [ ] ) Đ ố i v i k h ô n g g i a n t o p o X,c c k h ẳ n g đ ị n h s a u làđúng (1) ∅,Xlàcáctậphợpmở; (2) Giaohữuhạntậphợpmởlàmộttậphợpmở; (3) Hợptùyýcáctậphợpmởlàmộttậphợpmở Víd ụ ( ) G i ả sử X l mộ ttậ p h ợ p t ùy ý , T = {∅,X}.K hi , Tlà topo trênXvà gọi làtopo thôtrênX, (X,T)đượcgọilàkhônggiantopothô (2) Giảs X l m ộ t t ậ p h ợ p t ù y ý , T = P (X).K h i đ ó , T làm ộ t t o p o XvànóđượcgọilàtoporờirạctrênX (3) GiảsửX=R.Kýhiệu τ= [∈ } I(ai,bi):a i,bi∈R,ai≤bi i Khi đó,τlà topo trênXvà làtopo tự nhiênhaytopo thôngthườngt r ê n R Định nghĩa 1.1.4([2]).Giả sửAlà tập khác rỗng khônggian topo(X, τ τ) Khi đó, tập conUcủaXđược gọi mộtlân cận củaAnếutồntạiV∈ τs a o cho A⊂V⊂ U Ngoàir a , n ế u U ∈ τ ,t h ì t a n ó i r ằ n g U l l â n c ậ n m c ủ a A Đ ặ c b i ệ t , nếuA={x},thìtanóirằngUl lâncậncủax Nhậnx é t ( [ ] ) Lânc ậ n c ủ a m ộ t đ i ể m k h ô n g n h ấ t t h i ế t l m ộ t tậphợpmở,nhưngmỗitậphợpmởlàlâncậncủamọiđiểmthuộcnó Chứngm i n h T r ê n t ậ p h ợ p c c s ố t h ự c R vớ i t o p o t h ô n g t h n g τ ,g i ả s U= [−1;1]vàV= (−1;1).Khiđó, V∈ τv Ul m ột lâncận điểm x=0vìx∈V⊂ Unhưng U ∈/τ Dođó,lânc ậnc ủ a mộtđiểmkhơng nhấtthiếtlàmộttậpmở Ngượcl ại , g i ả sử U l t ậ p m v x ∈U.Khi đ ó, nế u t a đ ặt V = Ut h ì r õ ràngV∈ τvàx∈V⊂ U.Nhưvậy,Ulàmộtlâncậncủax Bổđ ề ( [ ] ) Đốiv i k h ô n g g i a n t o p o ( X,τ),c c k h ẳ n g đ ị n h s a u l tươngđương (1) Ul tậphợpmở; (2) Ul l â n c ậ n c ủ a m ọ i đ i ể m t h u ộ c n ó ; (3) Vớimọi x ∈U,t ồnt ạil ân c ận V xcủax saoch o x ∈Vx⊂U Chứngminh (1)=⇒(2)GiảsửUlàtậpmởvàx∈U.TađặtV=U,thìrõràngV∈ τv x∈V ⊂ U.Nhưvậy,Ul mộtlâncậncủax (2)=⇒(3)GiảsửUl lâncậncủamọix∈U.Khiđó,vớimọix∈U,nếutađ ặtV x=U,thìV xlàlâncậncủaxvà x∈Vx=U⊂U Dođó,(3)thỏamãn (3)= ⇒( ) G i ả s v ó i m ọ i x ∈ U ,t n t i l â n c ậ n V xc ủ a x s a o c h o x∈V x⊂ U.K h i d ó , v ì V xl l â n c ậ n c ủ a x nênt n t i W x∈ τs a o c h o x∈Wx⊂Vx⊂U.Dođó, U= S x∈U S kéotheoU= {x}⊂ S Wx⊂U, x∈ U Vx.BởivìW x∈τv i mọix ∈Un ê n t asuy U∈ τ, x∈U nghĩalàUmở Định nghĩa 1.1.7.[[2]]Giả sử(X, ττ)là mộtkhông gian topo vàB ⊂τ.Ta nóirằngBlàcơ sởcủa(X, τ τ)(hay làcơ sởcủaτ) phần tửcủaτl hợpnàođócácphầntửcủaB Nhậnx é t ( [ ] ) G i ả s ( X,τ)l m ộ t k h ô n g g i a n t o p o v m ộ t h ọ B⊂τ.Khiđó,