Ánh xạ (i,j ) phủ dãy

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRƯƠNG PHƯỚC HẢI ÁNH XẠ (I,J ) PHỦ DÃY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRƯƠNG PHƯỚC HẢI ÁNH XẠ ([.]

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRƯƠNG PHƯỚC HẢI ÁNH XẠ (I, J )-PHỦ-DÃY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRƯƠNG PHƯỚC HẢI ÁNH XẠ (I, J )-PHỦ-DÃY KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS Lương Quốc Tuyển Đà Nẵng - 2021 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn với thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, người dìu dắt em từ kiến thức giảng đường đến người hướng dẫn khoa học khóa luận Trong q trình nghiên cứu, em gặp khơng khó khăn thiếu sót mặt kiến thức kĩ khơng quản điều đó, thầy hỗ trợ hướng dẫn tận tình cặn kẽ Thầy gương mẫu mực học tập, nghiên cứu điểm tựa vững chắc, động lực để em thực tốt khơng phạm vi khóa luận mà cịn chặng đường học tập sau Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến q thầy khoa TốnĐHSP Đà Nẵng Những kiến thức mà em học từ quý thầy cô giảng đường cách thầm lặng giúp em có tảng vững để hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Trương Phước Hải MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Cơ sở lý thuyết 1.1 Không gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp 1.2 Tập hợp đóng bao đóng tập hợp 1.3 Một số tiên đề tách 11 1.4 Tập hợp compact ánh xạ liên tục 12 1.5 Không gian 13 CHƯƠNG Ánh xạ (I, J )-phủ-dãy 15 2.1 Tính chất dãy I -hội tụ 15 2.2 Ánh xạ (I, J )-phủ-dãy 25 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm giới hạn dãy số hay hội tụ dãy số vốn có từ lâu tảng bản, vơ quan trọng giải tích cổ điển nói chung giải tích đại nói riêng Trải qua q trình phát triển với nhiều cơng trình nghiên cứu, hội tụ dãy số mở rộng thành khái niệm hội tụ thống kê H Fast đưa vào năm 1951 (xem [3]) Trong thời gian gần đây, người ta quan tâm nhiều đến mở rộng khái niệm hội tụ thống kê không gian topo theo nhiều khía cạnh khác Một hướng mở rộng tác giả giới quan tâm nhiều khái niệm I -hội tụ không gian topo với I ideal tập số tự nhiên N Cùng với nghiên cứu khái niệm hội tụ, 50 năm trở lại đây, lý thuyết ảnh không gian metric qua ánh xạ mảnh đất “màu mỡ” cho nhà khoa học nghiên cứu với nhiều báo giới thiệu Một cơng trình kể đến Siwiec giới thiệu vào năm 1971 (xem [5]), tác giả đưa khái niệm ánh xạ phủ-dãy thu nhiều kết thú vị Hướng nghiên cứu đặc trưng ảnh không gian metric qua ánh xạ phủ-dãy mối quan hệ ánh xạ phủ-dãy với ánh xạ khác trở thành hướng nghiên cứu điển hình phát triển lý thuyết k -mạng, góp phần làm phong phú cho tiến phát triển lĩnh vực nghiên cứu Lý thuyết topo đại cương Năm 2019, cách khái quái quát hóa khái niệm ánh xạ phủ-dãy sở nhờ vào khái niệm dãy I -hội tụ, tác giả S.K Pal, N Adhikary, U Samanta giới thiệu khái niệm ánh xạ (I, J )-phủ-dãy, nhờ tác giả thu số tính chất quan trọng khái niệm Với mong muốn tìm hiểu kỹ tính chất dãy I -hội tụ, mối quan hệ dãy I -hội tụ với hội tụ thơng thường tính chất ánh xạ (I, J )-phủ-dãy ánh xạ (I, J )-1-phủ-dãy, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Ánh xạ (I, J )-phủ-dãy” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp cho Mục đích nghiên cứu Trong đề tài này, chứng minh chi tiết số kết liên quan đến dãy I -hội tụ tác giả trước nghiên cứu số tính chất ánh xạ (I, J )-phủ-dãy ánh xạ (I, J )-1-phủ-dãy Đối tượng nghiên cứu Một số tính chất ideal, dãy I -hội tụ, ánh xạ (I, J )-phủ-dãy ánh xạ (I, J )-1-phủ-dãy Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất dãy I -hội tụ, mối quan hệ dãy I -hội tụ với hội tụ thông thường không gian topo, mối quan hệ ánh xạ (I, J )-phủ-dãy ánh xạ (I, J )-1-phủ-dãy Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu, hệ thống lại số kiến thức topo đại cương • Thu thập sách, báo khoa học tác giả trước liên quan đến tính chất dãy I -hội tụ, ánh xạ (I, J )-phủ-dãy ánh xạ (I, J )-1-phủ-dãy • Đọc kỹ chứng minh chi tiết kết tìm kiếm • Phân tích, đánh giá, tổng hợp trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu để hoàn chỉnh đề tài mình Cấu trúc đề tài Nội dung đề tài trình bày hai chương Ngồi ra, đề tài có Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Tài liệu tham khảo Chương 1, trình bày số kiến thức topo đại cương nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu Chương Chương 2, trình bày ánh xạ (I, J )-phủ dãy bao gồm mục: Mục 2.1, trình bày số tính chất dãy I -hội tụ ; Mục 2.2, trình bày ánh xạ (I, J )-phủ-dãy CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT Chương dành cho việc trình bày số kiến thức topo đại cương Các khái niệm tính chất chương trình bày nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết chương sau 1.1 Khơng gian topo, tập hợp mở lân cận tập hợp Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Giả sử τ họ gồm tập tập hợp X thỏa mãn điều kiện sau (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ ; S (c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , Uα ∈ τ α∈Λ Khi đó, (1) τ gọi topo X (2) Cặp (X, τ ) gọi không gian topo (3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở (4) Mỗi phần tử X gọi điểm Nhận xét 1.1.2 ([2]) Đối với khơng gian topo X , khẳng định sau (1) ∅, X tập hợp mở; (2) Giao hữu hạn tập hợp mở tập hợp mở; (3) Hợp tùy ý tập hợp mở tập hợp mở Ví dụ 1.1.3 (1) Giả sử X tập hợp tùy ý, T = {∅, X} Khi đó, T topo X gọi topo thô X , (X, T ) gọi không gian topo thô (2) Giả sử X tập hợp tùy ý, T = P(X) Khi đó, T topo X gọi topo rời rạc X (3) Giả sử X = R Ký hiệu [ τ= ∈ I(ai , bi ) : , bi ∈ R, ≤ bi i Khi đó, τ topo X topo tự nhiên hay topo thông thường R Định nghĩa 1.1.4 ([2]) Giả sử A tập khác rỗng không gian topo (X, τ ) Khi đó, tập U X gọi lân cận A tồn V ∈ τ cho A ⊂ V ⊂ U Ngoài ra, U ∈ τ , ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = {x}, ta nói U lân cận x Nhận xét 1.1.5 ([2]) Lân cận điểm không thiết tập hợp mở, tập hợp mở lân cận điểm thuộc Chứng minh Trên tập hợp số thực R với topo thông thường τ , giả sử U = [−1; 1] V = (−1; 1) Khi đó, V ∈ τ U lân cận điểm x = x ∈ V ⊂ U U ∈ / τ Do đó, lân cận điểm khơng thiết tập mở Ngược lại, giả sử U tập mở x ∈ U Khi đó, ta đặt V = U rõ ràng V ∈ τ x ∈ V ⊂ U Như vậy, U lân cận x Bổ đề 1.1.6 ([2]) Đối với không gian topo (X, τ ), khẳng định sau tương đương (1) U tập hợp mở; (2) U lân cận điểm thuộc nó; (3) Với x ∈ U , tồn lân cận Vx x cho x ∈ Vx ⊂ U Chứng minh (1) =⇒ (2) Giả sử U tập mở x ∈ U Ta đặt V = U , rõ ràng V ∈ τ x ∈ V ⊂ U Như vậy, U lân cận x (2) =⇒ (3) Giả sử U lân cận x ∈ U Khi đó, với x ∈ U , ta đặt Vx = U , Vx lân cận x x ∈ Vx = U ⊂ U Do đó, (3) thỏa mãn (3) =⇒ (1) Giả sử vói x ∈ U , tồn lân cận Vx x cho x ∈ Vx ⊂ U Khi dó, Vx lân cận x nên tồn Wx ∈ τ cho x ∈ Wx ⊂ Vx ⊂ U Do đó, U= S x∈U S kéo theo U = {x} ⊂ S Wx ⊂ U , x∈U Vx Bởi Wx ∈ τ với x ∈ U nên ta suy U ∈ τ , x∈U nghĩa U mở Định nghĩa 1.1.7 [[2]] Giả sử (X, τ ) không gian topo B ⊂ τ Ta nói B sở (X, τ ) (hay sở τ ) phần tử τ hợp phần tử B Nhận xét 1.1.8 ([2]) Giả sử (X, τ ) không gian topo họ B ⊂ τ Khi đó, ... (I, J )- phủ- dãy ánh xạ (I, J )- 1 -phủ- dãy Đối tượng nghiên cứu Một số tính chất ideal, dãy I -hội tụ, ánh xạ (I, J )- phủ- dãy ánh xạ (I, J )- 1 -phủ- dãy Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất dãy. .. chất dãy I -hội tụ, mối quan hệ dãy I -hội tụ với hội tụ thơng thường tính chất ánh xạ (I, J )- phủ- dãy ánh xạ (I, J )- 1 -phủ- dãy, hướng dẫn thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: ? ?Ánh xạ. .. chất ánh xạ (I, J )- phủ- dãy, (I, J )- 1 -phủ- dãy mối liên hệ chúng Nếu khơng nói thêm, tồn chương chúng tơi quy ước tất ideal chấp nhận ánh xạ ánh xạ liên tục N = {1, 2, } 2.1 Tính chất dãy I-hội