Bài giảng môn lý thuyết đồ thị chương 4 bài toán cây khung nhỏ nhất

Chương Bài toán khung nhỏ The Minimum Spanning Tree Problem Nội dung 4.1 Cây tính chất 4.2 Cây khung đồ thị 4.3 Xây dựng tập chu trình đồ thị 4.4 Xây dựng theo chiều sâu chiều rộng 4.5 Bài toán khung nhỏ Cây rừng (Tree and Forest)   Định nghĩa Ta gọi đồ thị vô hướng liên thơng khơng có chu trình Đồ thị khơng có chu trình gọi rừng Như vậy, rừng đồ thị mà thành phần liên thơng T1 T2 Rừng F gồm T1, T2,, T3 T3 VÍ DỤ G1, G2 G3, G4 khơng Các tính chất Định lý Giả sử T=(V,E) đồ thị vơ hướng n đỉnh Khi mệnh đề sau tương đương: MĐ1: T ( T liên thơng khơng chứa chu trình ) MĐ2: T khơng chứa chu trình có n-1 cạnh MĐ3: T liên thơng có n-1 cạnh MĐ4: T liên thơng cạnh cầu MĐ5: Hai đỉnh bất kỳcủa T nối với đường đơn MĐ6: T không chứa chu trình hễcứthêm vào cạnh ta thu chu trình  Nội dung 4.1 Cây tính chất 4.2 Cây khung đồ thị 4.3 Xây dựng tập chu trình đồ thị 4.4 Xây dựng theo chiều sâu chiều rộng 4.5 Bài toán khung nhỏ Cây khung đồ thị  Định nghĩa Giả sử G=(V,E) đồ thị vô hướng liên thông Cây T=(V,F) với F E gọi khung đồ thị G b c a b d e G c a b d c a e T1 d e T2 Đồ thị G khung T1 T2 Số lượng khung đồ thị  Định lý sau cho biết số lượng khung đồ thị đầy đủ Kn:  Định lý (Cayley) Số khung đồ thị Kn nn-2 Arthur Cayley (1821 – 1895) b a c K3 a b c b c a c a b Ba khung K3 methane H H propane H C C H C H H C H H H C H H C H H C H H C H H H H C H H C H H H H H H ethane butane H saturated hydrocarbons CnH2n+2 Ví dụ:  Các khung đồ thị:  abc, bcd, cda, dab,  afc, dfb, aec, deb,  aed, afb, bec, cfd,  efc, efd, efa, efb  Số khung là: 42= 16 10 Thuật toán trung thứ tự:  Duyệt bên trái T(r) theo trung thứ tự  Thăm gốc r  Duyệt bên phải T(r) theo trung thứ tự Thuật toán hậu thứ tự:  Duyệt bên trái T(r) theo hậu thứ tự  Duyệt bên phải T(r) theo hậu thứ tự  Thăm gốc r Ví dụ: Duyệt theo phương pháp 106 Ký pháp Ba Lan:  Xét biểu thức đại số sau đây:  Vẽ cây: đỉnh mang dấu phép tính, gốc mang phép tính sau trong, dấu nhân ( ký hiệu ∗), mang số chữ đại diện cho số.(Cây thể bỏ dấu ngoặc) Ký pháp Ba Lan: Duyệt nhị phân hình theo trung thứ tự là: a + b ∗c −d / (2) Ta biết dấu ngoặc (1) cần thiết, (2) hiểu theo nhiều cách khác (1), chẳng hạn : (a + b ∗c) −d / (3) a + (b ∗c −d) / (4)  108 Ký pháp Ba Lan:  Các biểu thức (3) biểu diễn nhị phân hình sau: 109 Ký pháp Ba Lan:  Các biểu thức (4) biểu diễn nhị phân hình sau:  Nhưng hai có kết giống duyệt theo trung thứ tự 110 Ký pháp Ba Lan: Đối với hình thứ nhất, duyệt theo tiền thứ tự, ta có ∗+ a b −c / d (5) duyệt theo hậu thứ tự, ta có: ab+cd2/−∗ (6)  Đối với thứ duyệt theo tiền thứ tự hậu thứ tự cho kết khác Nên duyệt theo tiền thứ thự hậu thứ tự xác định mà khơng sợ bị hiểu nhầm khơng có dấu ngoặc  111 Ký pháp Ba Lan:  Người ta gọi cách viết biểu thức theo tiền thứ tự ký pháp Ba Lan, cách viết theo hậu thứ tự ký pháp Ba Lan đảo, để ghi nhớ đóng góp nhà tốn học lơgic học Ba Lan Lukasiewicz (1878-1956) vấn đề 112 chuyển biểu thức thành  Chuyển biểu thức viết theo ký pháp quen thuộc (có dấu ngoặc) sang dạng ký pháp Ba Lan hay ký pháp Ba Lan đảo ngược lại, thực cách vẽ nhị phân tương ứng Nhưng thay vẽ nhị phân, ta xem xét để xác định dần công thức phận công thức cho: Ví dụ:  Chuyển biểu thức theo ký pháp Ba Lan sau thành biểu thức dạng quen thuộc: −∗↑/−−ab∗5c23↑−cd2∗−−acd/↑−b∗3d35  Ta phân tích dần cơng thức phận sau: 114 115 Bài tập:  1) Duyệt sau thuật toán tiền thứ tự, trung thứ tự hậu thứ tự Bài tập:  2) Duyệt sau thuật toán tiền thứ tự, trung thứ tự hậu thứ tự Bài tập:  Viết biểu thức sau theo ký pháp Ba Lan ký pháp Ba Lan đảo  Viết biểu thức sau theo ký pháp quen thuộc