Bài giảng lý thuyết đồ thị chương 4 ts lê nhật duy

Chương 4: Đồ thị Euler đồ thị Hamilton Nội dung I Đồ thị Euler II Đồ thị Hamilton Chương – Đồ thị Euler Hamilton Lý thuyết đồ thị I Đồ thị Euler Đồ thị Euler Định nghĩa Định lý Euler Giải thuật xây dựng chu trình Euler Chương – Đồ thị Euler Hamilton I.1 Định nghĩa ™Giả sử G đơn (đa) đồ thị vơ (có) hướng: ƒ Chu trình Euler G chu trình đơn qua tất cạnh đồ thị Nếu G có chu trình Euler G gọi đồ thị Euler ƒ Đường Euler G đường đơn qua tất cạnh đồ thị Nếu G có đường Euler G gọi đồ thị nửa Euler Đồ thị Euler Chương – Đồ thị Euler Hamilton Đồ thị nửa Euler I.2 Định lý ™Định lý ƒ Đồ thị vô hướng, liên thơng G=(V, E) có chu trình Euler đỉnh G có bậc chẵn ™Chứng minh ƒ G có chu trình Euler => Mọi đỉnh bậc chẵn ƒ Mọi đỉnh bậc chẵn => G có chu trình Euler Chương – Đồ thị Euler Hamilton I.2 Định lý ™Bổ đề ƒ “Cho đồ thị G=(V, E), đỉnh G có deg(u)≥ G có chu trình” ™Chứng minh ? Chương – Đồ thị Euler Hamilton I.2 Định lý ™ Định lý 2: ƒ Đồ thị vơ hướng, liên thơng G=(V, E) có đường Euler mà khơng có chu trình Euler G có hai đỉnh bậc lẻ ƒ Chứng minh: ? ™ Định lý 3: ƒ Đồ thị có hướng, liên thơng yếu G=(V, E) có chu trình Euler đỉnh G có bán bậc vào bán bậc => Khi G (có hướng) có chu trình Euler liên thơng mạnh ™ Định lý 4: ƒ Đồ thị có hướng, liên thơng yếu G=(V, E) có đường Euler khơng có chu trình Euler G tồn hai đỉnh cho: deg+(u) – deg-(u) = deg+(v) - deg-(v) = 1, tất đỉnh cịn lại có bán bậc vào bán bậc Chương – Đồ thị Euler Hamilton I.3.Giải thuật x/d chu trình Euler CT, CTcon chu trình Bước 1: Đầu tiên, xây dựng chu trình CT G Bước 2: H Å ( G \ CT ) \ {Các đỉnh cô lập sau bỏ CT khỏi G} Bước 3: Nếu H cạnh đến bước Ngược lại đến bước Bước 4: Xây dựng chu trình CTcon H với đỉnh đầu thuộcchu trình CT Bước 5: H Å ( H \ CTcon) \ {Các đỉnh cô lập sau bỏ CTcon khỏi H} Bước 6: CT Å CT ∪ CTcon Bước 7: Đến bước Bước 8: Kết thúc CT chu trình Euler Chương – Đồ thị Euler Hamilton I.3.Giải thuật x/d chu trình Euler CT= {3, 7, 8, 9} H={G\CT)}\{Các đỉnh cô lập} = {1, 2, 4, 5, 6, 10, 11, 12} + Lần 1: CTcon = {10, 11, 12} H={H\Hcon}\{Các đỉnh cô lập}={1, 2, 4, 5, 6} + Lần 2: CTcon={1, 2, 5, 6, 4} H={H\Hcon}\{Các đỉnh cô lập}= Ø DỪNG Cuối ta có chu trình Euler: 3, 2, 1, 4, 6, 5, 9, 10, 12, 11, 8, Chương – Đồ thị Euler Hamilton I.3.Giải thuật x/d chu trình Euler ™Cài đặt main(){ STACK = ∅; CE = ∅; /* CE - Chu trình Euler */ Chọn u đỉnh đồ thị; STACK ⇐ u; while (STACK != ∅){ x = top(STACK); if (Ke(x) != ∅ ){ y = Đỉnh đầu danh sách Ke(x); STACK ⇐ y; Ke(x) = Ke(x) \ {y}; Ke(y) = Ke(y) \ {x}; /* Bỏ cạnh (x,y) */ }else { x ⇐ STACK; CE ⇐ x; } } } Chương – Đồ thị Euler Hamilton 10 I.3.Giải thuật x/d chu trình Euler STACK CE 3, ∅ 3, 6, ∅ 3, 6, 4, ∅ 3, 6, 4, 5, ∅ 3, 6, 4, 3, 6, 4, 5, Đỉnh v Ke(v) 3, 6, 4, 5, 2, 6, 3, 6, 4, 5, 2, 6, 5, 3, 6, 4, 5, 2, 6, 1, 3 6, 3, 6, 3, 5, 1, 6, 2, 6, 5, 7, 3, 6, 4, 3, 5, 1, 6, 2, 5 4, 3, 2, 3, 6, 4, 7, 3, 5, 1, 6, 2, 4, 3, 2, 3, 6, 4, 7, 8, 3, 5, 1, 6, 2, 4, ∅ 3, 5, 1, 6, 2, 5, 4, 8, 7, 4, 6, 4, Chương – Đồ thị Euler Hamilton 12 I.3.Giải thuật x/d chu trình Euler ™Thuật tốn Fleury Bắt đầu từ đỉnh bất kỳ, theo cạnh đồ thị theo quy tắc sau: ƒ Qui tắc 1: Xóa cạnh qua đỉnh cô lập có ƒ Qui tắc 2: Tại đỉnh, ta qua cầu khơng cịn đường khác Chương – Đồ thị Euler Hamilton 13 Nội dung I Đồ thị Euler II Đồ thị Hamilton Chương – Đồ thị Euler Hamilton 14 Lý thuyết đồ thị II Đồ thị Hamilton Đồ thị Hamilton Định nghĩa Định lý Giải thuật xây dựng chu trình Hamilton Chương – Đồ thị Euler Hamilton 15 II.1 Định nghĩa ™Lịch sử ƒ “ Giả sử ta có khối 12 mặt, mặt hình ngũ giác Mỗi đỉnh 20 đỉnh khối đặt tên thành phố Hãy tìm đường xuất phát từ thành phố, dọc theo cạnh khối, ghé thăm 19 thành phố lại lần, cuối trở lại thành phố ban đầu” Trong đồ thị hình có hay khơng chu trình qua tất đỉnh đồ thị, đỉnh lần ? Chương – Đồ thị Euler Hamilton 16 II.1 Định nghĩa ™Giả sử G đơn đồ thị vơ (có) hướng, ta có định nghĩa sau: ƒ Chu trình Hamilton chu trình xuất phát từ đỉnh, thăm tất đỉnh lại đỉnh lần, cuối quay trở lại đỉnh xuất phát Đồ thị có chu trình Hamilton gọi đồ thị Hamilton ƒ Đường Hamilton đường qua tất đỉnh đồ thị, đỉnh lần Đồ thị có đường Hamilton gọi đồ thị nửa Hamilton Chương – Đồ thị Euler Hamilton 17 II.2 Định lý ™Nhận biết đồ thị Hamilton ƒ Chưa có chuẩn để nhận biết đồ thị có Hamilton hay khơng ƒ Chưa có thuật tốn để kiểm tra ƒ Các kết thu dạng điều kiện đủ ƒ Nếu G có số cạnh đủ lớn G Hamilton Chương – Đồ thị Euler Hamilton 18 II.2 Định lý ™Định lý Dirac ƒ Cho đồ thị vơ hướng G=(V, E) có n đỉnh (n ≥ 3) Nếu đỉnh v đồ thị có deg(v) ≥ n/2 G có chu trình Hamilton Chương – Đồ thị Euler Hamilton 19 II.2 Định lý ™Chứng minh ƒ Thêm vào G k đỉnh nối chúng với tất đỉnh G ta G’ ƒ Giả sử k số nhỏ cho G’ đồ thị Hamilton ƒ Ta chứng minh k = Chương – Đồ thị Euler Hamilton 20 II.2 Định lý ™Chứng minh ƒ Giả sử k > 0, Xét chu trình Hamilton G’: v → p → w → … v Với p đỉnh Ta thấy: • v w khơng thể kề ( Ngược lại bỏ p – vơ lý k ) • Nếu v’ kề v w’ kề w w’ khơng thể liền sau v’ Trái lại: Ta thay v → p → w → … v’ → w’ → …→ v bởi: v → v’ → … → w → w’ → …→ v bỏ qua p Do đó: Với đỉnh kề với v ta ln tìm đỉnh không kề với w: ƒ ƒ ƒ Số đỉnh không kề với w ≥ số đỉnh kề với v ≥ (n/2 + k) Mà số đỉnh kề với w ≥ (n/2 + k) Do |VG’| ≥ (n + 2k) > n + k Vô lý !!! (ĐPCM) Chương – Đồ thị Euler Hamilton 21 II.2 Định lý ™Định lý Dirac cho đồ thị có hướng ƒ Cho đồ thị có hướng, liên thơng mạnh G=(V, E) có n đỉnh Nếu đỉnh v V có G có chu trình Hamilton Chương – Đồ thị Euler Hamilton 22 II.3 Giải thuật x/d chu trình Hamilton ™Dùng giải thuật quay lui ƒ Bắt đầu từ đỉnh, theo đường dài (depth – first) ƒ Nếu đường chứa đỉnh nối đỉnh đầu cuối cạnh chu trình Hamilton ƒ Nếu trái lại ta lùi lại đỉnh để mở đường theo chiều sâu khác ƒ Cứ tiếp tục trình thu chu trình Hamilton Chương – Đồ thị Euler Hamilton 23 II.3 Giải thuật x/d chu trình Hamilton ™Cài đặt thuật toán void hamilton(k) /*Phát triển dãy X1,X2,…,Xk-1 G=(V,E) cho Danh Sách kề: Ke(v), v ∈ V */ { for ( y ∈ Ke(Xk-1) ) if ( ( k = = n+1 ) && ( y = = v0 ) ) Xuất(X1,…Xn,v0); else if ( Chuaxet[y] ) { Xk = y; Chuaxet[y] = 0; Hamilton(k+1); Chuaxet[y] = 1; //Quay lui } } main(){ for (v ∈ V) Chuaxet[v] = 1; X1 = v0; Chuaxet[v0] = 0; Hamilton(2); } Chương – Đồ thị Euler Hamilton 24 II.3 Giải thuật x/d chu trình Hamilton ™Ví dụ Chương – Đồ thị Euler Hamilton 25 II.3 Giải thuật x/d chu trình Hamilton ™Ví dụ Chương – Đồ thị Euler Hamilton 26