Bài giảng lý thuyết đồ thị chương 6 ts lê nhật duy

Chương 6: Bài tốn tơ màu đồ thị Nội dung I Định nghĩa II Định lý màu III Nhận biết đồ thị 2-màu IV Thuật toán SequentialColor V Một số toán ứng dụng Chương – Bài toán tô màu đồ thị Lý thuyết đồ thị I Định nghĩa ™ Cần phải tô màu đồ với điều kiện: ƒ Hai miền chung biên giới tô hai màu khác ƒ Số màu cần dùng tối thiểu ™ Hãy xác định số màu tối thiểu cho đồ Bản đồ cần dùng màu để tơ Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị I Định nghĩa a d c b e Bài tốn tơ màu đồ quy tốn tơ màu Đỉnh đồ thị Định nghĩa Tô màu đơn đồ thị gán màu cho đỉnh cho hai đỉnh liền kề gán màu khác Định nghĩa Số màu đồ thị số tối thiểu màu cần thiết để tô màu đồ thị Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị II Định lý màu ™Định lý: Số màu đồ thị phẳng không lớn ƒ Định lý phát biểu lần năm 1850 nhà toán học Mỹ Appel Haken chứng minh năm 1976 phản chứng ƒ Đối với đồ thị không phẳng số màu tuỳ ý lớn ƒ Để chứng minh đồ thị G n-màu ta phải • Chỉ cách tơ màu G với n màu • CMR khơng thể tơ màu G với n màu Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị II Định lý màu ™ Các tốn tơ màu đồ thị Cho đồ thị G số nguyên k Xây dựng thuật toán để kiểm tra xem tơ màu G k màu, thực việc Cho đồ thị G xác định số màu k đồ thị tơ màu G k màu Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị II Nhận biết đồ thị 2-màu ™ Định lý Một đồ thị G 2-màu G không chứa chu trình lẻ ™ Chứng minh Giả sử G đồ thị 2-màu ta phải CMR G khơng chứa chu trình lẻ Thật G có chu trình lẻ C=(v1, v2, …, v2n+1, v1) Do C tô màu ⇒ đỉnh lẻ tơ màu Nhưng lúc v1 v2n+1 đỉnh kề có màu vơ lý !!! (ĐPCM) Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị II Nhận biết đồ thị 2-màu ™ Chứng minh Giả sử G không chứa chu trình lẻ.Ta CMR G đồ thị 2-màu ƒ Chọn đỉnh r làm gốc tơ màu đỏ ∀ x ∈ V tô màu đỏ đường ngắn từ x tới r có số ca.nh chẵn Trái lại tô x màu xanh ƒ Ta chứng minh đỉnh x, y cạnh (x,y) tô hai màu khác ƒ Trái lại giả sử x y đỉnh cạnh (x,y) tơ màu Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị II Nhận biết đồ thị 2-màu ™ Chứng minh ƒ Trường hợp 1: Px Py khơng có chung cạnh Ta có Px + (x,y) + Py chu trình có số cạnh lẻ (Mâu thuẫn giả thiết) Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị II Nhận biết đồ thị 2-màu ™ Chứng minh ƒ Trường hợp 2: Px Py có chung k cạnh từ đỉnh a tới đỉnh b Ta nhận hai chu trình Ca , Cb k cạnh chung Ta có Px + (x,y) + Py có số lẻ cạnh mà: | Px + (x,y) + Py | = | Ca | + | Cb | + 2k Do hai chu trình Ca Cb có số cạnh lẻ Vô lý !!! (ĐPCM) Vậy G - màu Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị 10 III Thuật toán SequentialColor Với k=2 việc nhận biết đồ thị – màu giải Tuy việc nhận biết đồ thị k – màu với k > chưa có lời giải Thuật tốn SequentialColor tô màu đồ thị với k màu: Xem đỉnh theo thứ tự từ đến |V|, đỉnh v gán màu có sẵn mà chưa gán cho đỉnh liền v Xếp đỉnh theo thứ tự 1,2,… n Tạo tập Li - tập màu gán cho đỉnh I Bắt đầu tô từ đỉnh Với đỉnh k ∈ {1,…,n} tô màu Lk cho k ∀ j > k j kề k loại bỏ Lj màu tô cho k Giải thuật dừng lại tất đỉnh tô Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị 11 III Thuật tốn SequentialColor ™ Ví dụ Các màu: X: Xanh Đ: Đỏ T: Tím V: Vàng Thứ tự tơ đỉnh: 1, 2, 3, Các bước L1 L2 L3 L4 Khởi tạo X, Đ, T, V X, Đ, T, V X, Đ, T, V X, Đ, T, V B1 X X, Đ, T, V X, Đ, T, V Đ, T, V - Xanh X Đ, T, V Đ, T, V - Xanh Đ T, V - Đỏ T - Tím B2 B3 B4 Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị 12 Màu tơ III Thuật tốn SequentialColor ™ Ví dụ Các màu: X: Xanh Đ: Đỏ T: Tím V: Vàng Thứ tự tơ đỉnh: 4, 3, 2, Các bước L4 L3 L1 L2 Khởi tạo X, Đ, T, V X, Đ, T, V X, Đ, T, V X, Đ, T, V B1 X Đ, T, V Đ, T, V X, Đ, T, V - Xanh Đ Đ, T, V X, T, V - Đỏ Đ X, T, V - Đỏ X - Xanh B2 B3 B4 Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị 13 Màu tơ III Thuật toán SequentialColor ™ Nhận xét ƒ Là dạng thuật tốn tham lam Ỉ Lời giải tìm chưa tối ưu ƒ Độ phức tạp giải thuật O(n2) Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị 14 IV.Một số toán ứng dụng ™Bài toán lập lịch thi ƒ Lập lịch thi: Hãy lập lịch thi trường đại học cho khơng có sinh viên có mơn thi lúc • Các đỉnh : Các mơn thi • Có cạnh nối đỉnh có SV thi mơn • Thời gian thi thể màu khác ƒ Việc lập lịch thi tương ứng với việc tô màu đồ thị Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị 15 IV.Một số toán ứng dụng ™ Bài toán lập lịch thi ƒ Có mơn thi: Tốn (t), Anh Văn (a), Lý (l), Pascal (p), Tin học đại cương (h), Tiếng vệt thực hành (v), Visual Basic (b) ƒ Các cặp môn thi có chung sinh viên là: (t,a), (t, l), (t, p), (t,b),(a,l), (a,p), (a,h), (a,b), (l,p), (l,b), (p,h), (p,v), (h,b), (v,b) Kết tô màu a l p h v b t Đỏ Xanh Tím Nâu Lá Vàng Đen Kết xếp lịch thi Chương – Bài toán tô màu đồ thị 16 Đợt thi Môn thi Anh Văn Lý, Tin học đại cương Pascal, Visual Basic Tiếng việt thực hành, Toán IV.Một số toán ứng dụng ™Bài toán phân chia tần số ƒ Phân chia tần số: Các kênh truyền hình từ số tới 13 phân chia cho đài truyền hình Bắc Mỹ cho đài gần 150 km có kênh khác ƒ Giải quyết: • Mỗi đài phát : đỉnh • Hai đài gần 150 km đỉnh nối với • Việc phân chia kênh: Tơ màu đồ thị, màu biểu thị kênh Chương – Bài tốn tơ màu đồ thị 17