Bài giảng lý thuyết đồ thị chương 3 ths trần quốc việt

Bài giảng: LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ (GRAPH THEORY) TRẦN QUỐC VIỆT Chương ĐỒ THỊ PHẲNG (Planar Graph) Nội dung Khái niệm định nghĩa Công thức Euler Một số đồ thị không phẳng Bất đẳng thức EV Định lý KURATOWSKI Ứng dụng đồ thị phẳng trong:  Bài tốn tơ màu đồ thị  Bài toán lập lịch thi Khái niệm định nghĩa Bài toán cổ: “Ba nhà, ba giếng”: Có ba nhà gần ba giếng, nhưng: - Khơng có đường nối trực tiếp nhà với - Khơng có đường nối trực tiếp giếng với - Mỗi nhà có đường đến giếng Có cách làm đường mà đôi không giao hay không (ngoài điểm nhà hay giếng)? Khái niệm định nghĩa Biểu diễn toán đồ thị: - Mỗi nhà ↔ đỉnh - Mỗi giếng ↔ đỉnh - Một đường nhà giếng ↔ cạnh 1  3 A  Đồ thị G: B K3,3 C “Tồn hay không cách vẽ đồ thị phân đôi đầy đủ K3,3 mặt phẳng cho khơng có hai cạnh cắt nhau?” Khái niệm định nghĩa Định nghĩa đồ thị phẳng: - Một đồ thị gọi đồ thị phẳng (Planar Graph) ta vẽ mặt phẳng cho khơng có hai cạnh cắt điểm đỉnh đồ thị (việc vẽ đồ thị mặt phẳng gọi biểu diễn phẳng đồ thị) Ví dụ: Vẽ lại G 3 G Một biểu diễn phẳng G Khái niệm định nghĩa G E F B A Q3 H G C D Biểu diễn phẳng G? Biểu diễn phẳng Q3? K3,3 7? Biểu diễn phẳng K3,3 Khái niệm định nghĩa  Biểu diễn phẳng G Q3 (Xem tập)  Gợi ý cách c/m K3,3 không phẳng: - Ta thấy, biểu diễn phẳng K3,3, v1 v2 kề với v4, v5 v3 phải nằm vùng R1 R2 v1 v5 R1 v4 R2 v2 Khái niệm định nghĩa miền miền Miền miền 1, miền 2: hữu hạn miền 3: vô hạn (5,4),(4,2),(2,5): Biên miền Cho G đồ thị phẳng:  Các cạnh đồ thị chia mặt phẳng thành miền (Region)  Phần giới hạn chu trình đơn khơng chứa bên chu trình đơn khác gọi miền hữu hạn  Mọi đồ thị phẳng ln có miền vơ hạn  Chu trình giới hạn miền gọi biên miền Khái niệm định nghĩa Ví dụ: F2 2 Vẽ lại F5 F6 Q3 F1 F3 F4 Q3 Q3 đồ thị Phẳng F1, F2, F3, F4, F5: miền hữu hạn F6: Miền vô hạn Định lý KURATOWSKI 5.1 Phép phân chia sơ cấp: Cho đồ thị G = (V,E) Phép bỏ cạnh (u, v) ∈ E thêm vào đỉnh w cạnh (u,w), (w, v) gọi phép phân chia sơ cấp (elementary subdivision) u u w v v Định lý KURATOWSKI 5.2 Các đồ thị đồng phôi Đồ thị G’ gọi đồng phôi (homeomorphic) với đồ thị G G’ có từ G chuỗi phép chia sơ cấp Ví dụ: a a b a b h b i k f g c d G1 e c G2 , G3 , đồng phôi với G1 j g d G2 e c d G3 e Định lý KURATOWSKI 5.3 Định lý Kuratowski: Một đồ thị đồ thị phẳng khơng chứa đồ thị đồng phơi với K3,3 K5 Ví dụ: Đồ thị G sau khơng phẳng chứa đồ thị đồng phơi với K5 G H≤G, H đồng phôi với K5 Trong đồ thị sau, đồ thị phẳng, đồ thị không phẳng? Vẽ lại đồ thi phẳng cho khơng có cạnh cắt ngồi đỉnh G1 G2 G4 G3 25 26 Tô màu đồ thị Bài toán: Để phân biệt miền đồ ta phải tô màu chúng màu khác Hỏi cần màu để tơ đồ cho miền kề không màu F C A D G F E B B C D E Tô màu đồ thị Mô hình hố tốn: + Mỗi miền tương ứng đỉnh đồ thị + Hai đỉnh có cạnh nối chúng hai miền có chung biên Đồ thị nhận gọi đồ thị đối ngẫu đồ + Đồ thị đối ngẫu đồ đồ thị phẳng B B A C A C D E D E Tơ màu đồ thị Bài tốn tương đương: tô màu đỉnh đồ thị cho hai đỉnh kề tơ hai màu khác số lượng màu sử dụng Định nghĩa: Tô màu đơn đồ thị gán màu cho đỉnh đồ thị cho khơng có đỉnh kề gán màu B Ví dụ: R W R Tơ màu đồ thị Định nghĩa: số màu đồ thị G (kí hiệu :(G)) số màu tối thiểu cần để tơ màu đồ thị G R Ví dụ: Xét đồ thị G: B Số màu đồ thị G R R B Định lý màu: số màu đồ thị phẳng số không lớn Nhận xét: - Số màu đồ thị lưỡng phân màu - Số màu đồ thị đầy đủ Kn n màu Ví dụ: Tìm số màu đồ thị sau: K4,2 K5 G H 31 Ứng dụng tô màu đồ thị toán lập lịch thi Hãy lập lịch thi trường đại học cho sinh viên phải thi đồng thời hai mơn lúc Mơ hình hố tốn: - Mỗi đỉnh mơn thi - Hai đỉnh có cạnh nối hai mơn mà sinh viên phải thi - Thời điêm thi mơn ứng với màu Bài toán trở thành toán tô màu cho đồ thị cho hai đỉnh kề có màu khác Ví dụ:  Giả sử có mơn cần xếp lịch thi, đánh số từ đến G đồ thị biểu diễn việc xếp lịch thi cho sv Nhận xét: Số màu đồ thị  Sử dụng thời gian khác để xếp lịch Thứ tự thời gian Các môn I 1,6 II III 3,5 IV 4,7 33 BÀI TẬP 34 BÀI TẬP 35 36