Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Bài 7+8: Bài toán đường đi ngắn nhất

Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Bài 7+8: Bài toán đường đi ngắn nhất cung cấp cho người học các kiến thức: Các khái niệm mở đầu, đường đi ngắn nhất xuất phát từ 1 đỉnh, thuật toán Ford – Bellman, thuật toán Dijsktra, thuật toán Floyd,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Bài 7, Bài toán đường ngắn Các khái niệm mở đầu   Bài toán: Cho G = đồ thị có trọng số s t đỉnh đồ thị Hãy tìm đường có tổng trọng số nhỏ từ s đến t 20 VD: 15 15 9   Đường ngắn từ Etna đến Oldtown là: Etna – Bangor – Orono – OldTown Đường ngắn từ Hermae đến Etna là: Hermae – Hampdea – Bangor - Etna Các khái niệm mở đầu (tt) 10 20 -6  Tìm đường ngắn từ đỉnh đến đỉnh Trả lời: – – – ??? Độ dài 11 ngắn ???  Đường sao? Độ dài bao nhiêu? 3–4–2–5–2–5  Đường ngắn chưa???  Các khái niệm mở đầu (tt)  Điều kiện để tốn có lời giải:  Phải tồn đường từ s đến t:  Đồ thị vô hướng liên thông  Đồ thị có hướng liên thơng mạnh  Đồ thị vơ hướng, s t nằm thành phần liên thơng  Đồ thị có hướng, có tồn đường từ s đến t  Trong đồ thị khơng tồn chu trình âm  Đồ thị có hướng: khơng tồn chu trình âm  Đồ thị vô hướng: không tồn cạnh âm -3 6 Đường ngắn xuất phát từ đỉnh  Nhận xét:  Nếu v đỉnh trung gian đường ngắn từ s đến t đường từ s đến v phải ngắn đường từ v đến t phải ngắn s  … X … v … t Do đó, để tối ưu, người ta mở rộng tốn tìm đường ngắn từ đỉnh đến tất đỉnh lại đồ thị Đường ngắn xuất phát từ đỉnh (tt)  Ý tưởng chung thuật tốn tìm đường ngắn Dị tìm cách thử qua đỉnh trung gian  Nếu phát đường qua đỉnh trung gian ngắn đường cập nhật đường mới, đồng thời chỉnh sửa thông tin liên quan  Sử dụng hai mảng để lưu trữ tạm thời:   Mảng d[v]: Lưu trữ độ dài đường ngắn từ s đến v  Mảng T[v]: Lưu trữ đỉnh nằm trước v đường ngắn Đường ngắn xuất phát từ đỉnh (tt)  Ý tưởng chung thuật tốn tìm đường ngắn (tt): Truoc[v] d[v] … X … s d[u] v u c[u,v] if d[v] > d[u] + c[u,v] then { d[v] = d[u] + c[u,v]; Truoc[v] = u; } Thuật toán Ford-Bellman (* Khởi tạo *) for v   V do Begin d[v]:=c[s,v]; Truoc[v]:=s; End; (* Bắt đầu *) d[s]:=0; for k:=1 to n­2 do for v   V\{ s} do for u   V do if d[v] > d[u] +a[u,v] then Begin d[v]:=d[u]+c[u,v]; Truoc[v]:=u; End; k 0,1 1,1 ,1 ,1 3,1 0,1 1,1 4,2 4,2 -1,3 0,1 1,1 4,2 3,5 -1,3 0,1 1,1 4,2 3,5 -1,3 Thuật toán Ford-Bellman (tt)  Cây kết quả: k 0,1 1,1 ,1 ,1 3,1 0,1 1,1 4,2 4,2 -1,3 0,1 1,1 4,2 3,5 -1,3 0,1 1,1 4,2 3,5 -1,3 Thuật toán Ford – Bellman (tt) k 0,1 1,1 S=1 , , ,1 ,1 0,1 1,1 ,2 ,2 ,4 ,3 0,1 1,1 ,4 ,2 ,4 ,3 0,1 1,1 ,4 ,2 ,6 ,3 0,1 1,1 ,4 ,2 ,6 ,3 10 Ford-Bellman (tt)  Cây kết k 0,1 1,1 , , ,1 ,1 1 0,1 1,1 ,2 ,2 ,4 ,3 0,1 1,1 ,4 ,2 ,4 ,3 0,1 1,1 ,4 ,2 ,6 ,3 0,1 1,1 ,4 ,2 ,6 ,3 11 Thuật toán Ford-Bellman (tt)  Nhận xét: Áp dụng cho trường hợp  Chi phí tính tốn lớn dùng vịng lặp lồng  Thường lãng phí số bước sau   Cải tiến: Không thể cải tiến tốt cho trường hợp tổng quát  Chỉ làm tốt cho số trường hợp riêng  12 Thuật toán Dijsktra (tt)  Nhận xét FordBell man: k 0,1 1,1 , , ,1 ,1 1 0,1 1,1 ,2 ,2 ,4 ,3 0,1 1,1 ,4 ,2 ,4 ,3 0,1 1,1 ,4 ,2 ,6 ,3 0,1 1,1 ,4 ,2 ,6 ,3 Kết bảng ổn định từ sớm  Trên dòng, giá trị d nhỏ không thay đổi sau trọng số cạnh khơng âm  13 Thuật tốn Dijkstra   Chú ý: thuật toán dùng cho đồ thị khơng có cạnh âm Ý tưởng: Do khơng có cạnh âm nên bước, có đỉnh mà thơng tin khơng thay đổi sau  Tại bước, ta không cần phải kiểm tra qua tất đỉnh trung gian, mà thực sau:   Chọn đỉnh u có giá trị d[u] nhỏ  Chọn u làm đỉnh trung gian để xác định bước 14 Thuật toán Dijsktra (tt) (* Khởi tạo *) for v V Begin d[v]:=a[s,v]; Truoc[v]:=s; End; d[s]:=0; T:=V\{s} ; (* T tập đỉnh chưa cố định *) (* Bước lặp *) k while T Begin 0, Tìm đỉnh u T thoả mãn d[u]=min{d[z]:z T}; T:=T\{u} ; (* Cố định nhãn đỉnh u*) For v T If d[v]>d[u]+a[u,v] then Begin d[v]:=d[u]+a[u,v]; Truoc[v]:=u; End; End; 1,1* , ,1 ,1 ,1 ,2 ,2* ,1 ,2 ,4 ,2 ,4 ,3* ,4* ,6* 15 Thuật toán Dijsktra (tt) k , ,1 ,1 ,1 ,2 ,2* ,1 ,2 ,4* ,4 ,2 ,4 ,3* ,6* 0, 1,1* 16 Đường ngắn tất cặp đỉnh  Thuật toán Floyd: Đầu vào: Ma trận kề trọng số A  Đầu ra:   Ma trận đường ngắn nhất: d  Ma trận lưu đỉnh trước đường đi: p 17 Thuật toán Floyd (tt) // Khởi tạo For i:=1 to n For j:=1 to n { d[i,j] := a[i,j]; p[i,j] := i; } // Bước lặp For k:=1 to n For i:=1 to n For j:=1 to n If (d[i,j] > d[i,k] + d[k,j]) { d[i,j] := d[i,k] + d[k,j]; p[i,j] := p[k,j]; } 10 10 6 Ma trận d 10 2  1   3 4 1  3  4 Ma trận p 18 Thuật toán Floyd (tt) 10 Khởi tạo 10 10 10 k=2 10 2  1 1 1 2 2  3 3  4 4 Ma trận p   Ma trận d 10 k=1 5 2  1   2  1   4 1  3  4 4 1  3  4 10 10 5 3 10 2 2  1   2  1   4 4 4 4 4 1  3  4 k=3 1  k=4 3  4 19 Thuật toán Floyd (tt) 10  5 3 4 2  4 1 1 4  4 3  4 4   Đọc đường đi:  Từ đến 3:  Trước p[1,3] = Vậy đỉnh nằm trước đường  Trước p[1,4] = Vậy đỉnh nằm trước đường  Dừng Đường là: – – với độ dài d[1,3] =  Tương tự, đường ngắn từ đến là: – – với độ dài p[3,2] = 20 ... liên thơng  Đồ thị có hướng, có tồn đường từ s đến t  Trong đồ thị khơng tồn chu trình âm  Đồ thị có hướng: khơng tồn chu trình âm  Đồ thị vô hướng: không tồn cạnh âm -3 6 Đường ngắn xuất phát... gian đường ngắn từ s đến t đường từ s đến v phải ngắn đường từ v đến t phải ngắn s  … X … v … t Do đó, để tối ưu, người ta mở rộng tốn tìm đường ngắn từ đỉnh đến tất đỉnh lại đồ thị Đường ngắn. .. 3–4–2–5–2–5  Đường ngắn chưa???  Các khái niệm mở đầu (tt)  Đi? ??u kiện để tốn có lời giải:  Phải tồn đường từ s đến t:  Đồ thị vô hướng liên thông  Đồ thị có hướng liên thơng mạnh  Đồ thị vô hướng,