Phân tích và đánh giá thuật toán bài toán đường đi ngắn nhất trong đồ thị có hướng, có trọng số

LỜI NÓI ĐẦU Đồ thịđược sử dụngđể giải toán nhiều lĩnh vực khác Chẳng hạn , đồ thị sử dụngđể xác định mạch vòng vấn đề giải tích mạch điện,chọn hành trình tiết kiệm nhất….Đồ thị có trọng số cạnh sử dụng để giải toán : tìmđườngđi ngắn hai thành phố mạng giao thông Chúng ta sử dụngđồ thịđể giải toán lập lịch,thời khoá biểu,và phân bố tần số cho trạm phát truyền hình Bài toán tìm đường ngắn có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác nhau.Để tìm thuật toán tối ưu nhằm giải bái toán trên.Đó mụcđích để tài mà nhóm chúng e nghiên cứu.Đề tài giới thiệu khái niệm bản,các toán ứng dụng quan trọng lý thuyếtđồ thị Đặc biệt toán tìmđường ngắn để giải toán đề tài trình bày chi tiết thuật toán kinh điển :dijkstra A*.và mục đích nghiên cứu đề tài “bài toán tìm đường ngắn nhất” CHƯƠNG I :LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ I.1 Các khái niệm lý thuyết đồ thị I.1.1.Định nghĩa đồ thị Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh nối đỉnh này.Chúng ta phân biệt loại đồ thị khác kiểu số lượng cạnh nối hai đỉnh đồ thị Để hình dung lại cần đến loại đồ thị khác ,chúng ta nêu ví dụ sử dụng chúng để mô tả mạng máy tính Giả sử ta có mạng gồm máy tính kênh điện thoạinối máy tính Bắc ninh Đồng Nai Huế Hà Nội TPHCM Cần Thơ Bình Định Lào cai Phú Yên Khánh Hòa Hình 1.Sơ đồ mạng máy tính Nhận thấy mạng hình 1, hai máy tính cho phép nhiều kênh thoại nối chúng,kênh thoại cho phép liên lạc hai chiều máy tính lại nối với nó.Sơ đồ mạng máy tính cho hình gọi đơn đồ thị vô hướng => ta đến định nghĩa sau: Định nghĩa Đơn đồ thị vô hướng G=(V,E) bao gồm V tập đỉnh,và E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Trong trường hợp hai máy tính nàođó thường xuyên phải truyền tải nhiều thông tin người ta phải nối hai máy nhiều kênh thoại Mạng với đa kênh thoại máy tínhđược cho hình Bắc ninhĐồng Nai Huế Hà Nội HCM An Giang BìnhĐịnh Lào cai Phú Yên Khánh Hòa Hình Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại Định nghĩa Đa đồ thị vô hướng G=(V,E) bao gồm V tập đỉnh , E họ cặp thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hai cạnh e1 va e2 gọi cạnh lặpnếu chúng tương ứng với cặp đỉnh Bắc ninhĐồng Nai Hà Nội Lào cai Huế An Giang TPHCM BìnhĐịnh Phú Yên Khánh Hòa Hình Sơ đồ mạng máy tính với kênh thông báo Rõ ràng đơn đồ thị đa đồ thị, đa đồ thị đơn đồ thị, đa đồ thị có hai hay nhiều cạnh nối cặp đỉnh Trong mạng máy tính có kênh thoại nối máy tính với nó(chẳng hạn với mục đích thông báo).Mạng cho hình 3.Như đa đồ thị mô tả mạng vậy, có khuyên (cạnh nối đỉnh vói nó).Trong trường hợp cần sử dụng đến khái niệm giả đồ thị vô hướng, định nghĩa sau: Định nghĩa Giả đồ thị vô hướng G=(V,E) bao gồm V tập đỉnh, E họ cặp thứ tự gồm hai phần tử (không thiết phải khác nhau) V gọi cạnh.Cạnh e gọi khuyến có dạng e=(u,u) Các kênh thoại mạng máy tính cho phép truyền tin theo chiều.Chẳng hạn hình máy chủở Hà Nội nhận tin từ máyởđịa phương, có số máy gửi tin ,còn kênh thoại cho phép truyền tin theo hai chiềuđược thay hai cạnh có hướng ngược chiều Bắc ninhĐồng Nai Hà Nội Huế An Giang TPHCM BìnhĐịnh Lào cai Khánh Hòa Hình Mạng máy tính với kênh thoại chiều Định nghĩa Đơn đồ thị có hướng G=(V,E)bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Nếu mạng có đa kênh thoại chiều,ta phải sử dụng đến khái niệm đa đồ thị có hướng: Định nghĩa Đa đồ thị có hướngG=(V,E) bao gồm V tập đỉnh,và E họ cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung.Hai cung e1 va e2 tương ứng với cặp đỉnh gọi cung lặp Trong phần chủ yếu làm việc với đơn đồ thị vô hướng đơn đồ thị có hướng.Vì vậy, ngắn gọn , ta bỏ qua tính từ đơn nhắc đến chúng I.2 Các thuật ngữ lý thuyết đồ thị Trong mục trình bày số thuật ngữ lý thuyết đồ thị.Trước tiên ,ta xét thuật ngữ mô tả đỉnh cạnh đồ thị vô hướng Định nghĩa Hai đỉnh u va v đồ thị có hướng G gọi kề (u,v) cạnh đồ thị G.Nếu e=(u,v) cạnh đồ thị ta nói cạnh cạnh liên thuộc với hai đỉnh u v, nói cạnh e nối đỉnh u đỉnh v, đồng thời đỉnh u v gọi đỉnh đầu cạnh (u,v) Để biết có cạnh liên thuộc với đỉnh , ta đưa vào định nghĩa sau : Định nghĩa Ta gọi bậc đỉnh v đồ thị vô hướnglà số cạnh liên thuộc với ta kí hiệu deg(v) a b c f e d g Hình Đồ thị vô hướng Thí dụ Xét đồ thị cho hình ta có deg(a)=1, deg(b)=4 , deg(c)=4 , deg(f)=3, deg(d)=1 ,deg(e)=3 , deg(g)=0 Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập , đỉnh bậc gọi đỉnh treo Trong ví dụ đỉnh g đỉnh cô lập, a d đỉnh treo Bậc đỉnh có tính chất sau : Định lý Giả sử G=(V,E) đồ thị vô hướng với m cạnh Khi 2m=∑ deg(v) v ∈ V Chứng minh Rõ ràng cạnh e=(u,v) tính lần deg(u) lần deg(v) Từ suy tổng tất bậc đỉnh hai lần số cạnh Thí dụ Đồ thị với n đỉnh đỉnh có bậc có cạnh ? Giải: Theo định lý 1,ta có 2m=6n.Từ suy số cạnh đồ thị 3n Hệ Trong đồ thị vô hướng,số đỉnh bậc lẻ(nghĩa có bậc số lẻ) số chẵn Chứng minh Thực vậy, gọi O U tương ứng tập đỉnh bậc lẻ tập đỉnh bậc chẵn đồ thị,ta có 2m=∑deg(v)= ∑deg(v)+ ∑deg(v) v ∈ V v ∈ O v ∈ U Do deg(v) chẵnvới v đỉnh U nên tổng thứ hai vế phải số chẵn.Từ suy tổng thứ nhất(chính tổng bậc đỉnh bậc lẻ) phải số chẵn, tất số hạng số lẻ, nên tổng phải gồm số chẵn số hạng.Vì , số đỉnh bậclẻ phải số chẵn Định nghĩa 3.Nếu e=(u,v) cung đồ thị có hướng G ta nói hai đỉnh u vlà kề nhau,và nói cung(u,v) nối đỉnh u với đỉnh v nói cung khỏi đỉnh u vào đỉnh v.Đinh u (v) gọi đỉnh đầu (cuối) cung (u,v) Tương tự khái niệm bậc, đồ thị có hướng ta có khái niệm bán bậc ra(vào) đỉnh Định nghĩa 4.Ta gọi bán bậc (vào) đỉnh v đồ thị có hướng số cung đồ thị khỏi (đi vào nó) kí hiệu la deg+(v)(deg-(v)) a b e c d Hình Đồ thị có hướng G Thí dụ Xét đồ thị cho hình Ta có deg-(a)=1, deg-(b)=2, deg-(c)=2, deg-(d)=2, deg-(e)=2 deg+(a)=3, deg+(b)=1 deg+(c)=1, deg+(d)=2, deg+(e)=2 Do cung (u,v) tính lần bán bậc vào đỉnh v lần bán bậc đỉnh u nên ta có Định lý Giả sử G=(V,E) đò thị có hướng , ∑deg+(v)=∑deg-(v)=|E| v ∈ V v ∈ V Rất nhiều tính chất đồ thị có hướng không phụ thuộc vào hướng cung Vì vậy, nhiều trường hợp thuận tiện ta bỏ qua hướng cung đồ thị Đồ thị vô hướng thu cách bỏ qua hướng cung gọi đồ thị vô hướng tương ứng với đồ thị có hướng cho I.3 Định nghĩa đường đi, chu trình , đồ thị liên thông Định nghĩa 1.Đường điđộ dài n từđỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dương, đồ thị vô hướng G=(V,E) dãy xo, x1, , xn-1 , xn ∈ u=x0 , v=xn , ( xi , xi+1) E , i= 0, 1, , , n-1 Đường nói biểu diễn dạng cạnh: (x0 , x1 ) , ( x1 , x2), , ( xn-1 , xn) Đỉnh u gọi làđỉnhđầu, cònđỉnh v gọi làđỉnh cuối củađườngđi Đường cóđỉnhđầu trùng với đỉnh cuối ( tức u=v)được gọi làchu trình Đườngđi hay chu trìnhđược gọi làđơn cạnh bị lặp lại Thí dụ Trên đồ thị vô hướng cho hình 7: a,d,c,f,e làđường đơn độ dài Còn d,e,c,a không làđường (e,c) cạnh củađồ thị Dãy b,c,f,e,b chu trìnhđộ dài 4.Đườngđi a,b,e,d,a,b cóđộ dài làđườngđi đơn, cạnh (a,b) có mặt hai lần a d b e c a b f d e Hình Đường đồ thị c f Khái niệm đường chu trình đồ thị có hướng định nghĩa hoàn toàn tương tự trường hợp đồ thị vô hướng, khác ta ý đến hướng cung Định nghĩa Đường độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên dương, đồ thị có hướng G=(V,A) dãy xo, x1 , , xn-1 , xn ∈ u=x0 , v=xn , ( xi , xi+1 ) A , i= 0, 1, , , n-1 Đường nói biểu diễn dạng cung: (x0 , x1 ) , ( x1 , x2), , ( xn-1 , xn) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đường Đường có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối ( tức u=v)được gọi chu trình Đường hay chu trình gọi đơn cung bị lặp lại Thí dụ Trên đồ thị có hướng cho hình7: a,d,c,f,e đường đơn độ dài Còn d,e,c,a không đường (e,c) cung đồ thị Dãy b,c,f,e,b chu trình độ dài Đường a,b,e,d,a,b có độ dài là đường đơn, cung (a,b) có mặt hai lần Địng nghĩa 3.Đồ thị vô hướng G=(V,E) gọi liên thông tìmđượcđường hai đỉnh Như hai máy tính mạng trao đổi thông tin đượcvới đồ thị tương ứng với mạng làđồ thị liên thông Thí dụ Trong hình 8: Đồ thị G liên thông, đồ thị H không liên thông a b H1 c d e H2 g f H3 G H Hình Đồ thị liên thông G đồ thị H gồm thành phần liên thông H1,H2,H3 Định nghĩa Ta gọi đồ thị đồ thị G=(V,E) đồ thị H=(W,F), W ⊆ V ⊆ F E Trong trường hợp đồ thị không liên thông , rã thành số đồ thị liên thông đôi đỉnh chung Những đồ thị liên thông ta gọi thành phần liên thông đồ thị Thí dụ Đồ thị H hình gồm thành phần liên thông làH1,H2,H3 Trong mạng máy tính có máy ( kênh nối ) mà hỏng hóc ảnh hưởng đến việc trao đổi thông tin mạng Các khái niệm tương ứng với tình đưa định nghĩa sau Định nghĩa Đỉnh v gọi đỉnh rẽ nhánh việc loại bỏ v với cạnh liên thuộc với khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Cạnh e gọi cầu việc loại bỏ khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Định nghĩa Đồ thị có hướng G=(V,A) gọi liên thông mạnh tìm đường hai đỉnh Định nghĩa Đồ thị có hướng G=(V,A) gọi liên thông yếu đồ thị vô hướng tương ứng với đồ thị vô hướng liên thông Thí dụ Trong hình 9đồ thị G liên thông mạnh, H liên thông yếu không liên thông mạnh a b a b e e c d c G d H Hình Đồ thị liên thông mạnh G Đồ thị liên thông yếu H Định lý Đồ thị vô hướng liên thông định hướng cạnh nằm chu trình 10 CHƯƠNG II:THUẬT TOÁN DIJKSTRA,THUẬT TOÁN A* -BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT II.1 THUẬT TOÁN DIJKSTRA- BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT II.1.1.Bài toán Cho G = (V,E) đơn đồ thị liên thông (vô hướng có hướng) có trọng số V = {1, , n} tập đỉnh , E tập cạnh (cung) Cho s0 € E Tìm đường ngắn từ s đến đỉnh lại Giải toán thuật toán Dijkstra II.1.2.Phân tích, thiết kế thuật toán Thuật toán Dijkstra cho phép tìm đường ngắn từ đỉnh s đến đỉnh lại đồ thị chiều dài (trọng số ) tương ứng Phương pháp thuật toán xác định đỉnh có chiều dài đến s theo thứ tự tăng dần Thuật toán xây dựng sở gán cho đỉnh nhãn tạm thời Nhãn tạm thời đỉnh cho biết cận chiều dài đường ngắn từ s đến đỉnh Nhãn đỉnh biến đổi bước lặp, mà bước lặp có nhãn tạm thời trở thành thức Nếu nhãn đỉnh trở thành thức chiều dài ngắn đường từ s đến đỉnh Ký hiệu : * L(v) để nhãn đỉnh v, tức cận chiều dài đường ngắn từ s0 đến v 11 * d(s0 ,v) : chiều dài đường ngắn từ s0 đến v * m(s0 ,v) trọng số cung (cạnh) (s,v) II.1.3.Mô tả thuật toán Dijkstra tìm chiều dài đường ngắn từ đỉnh s đến n-1 đỉnhcòn lại input: G, s0 Output : d(s0,v), v ≠ s0 ; Mô tả : *Khởi động : L(v) = ∞ , v ≠ s0; //Nhãn tạm thời S = {s0}; //Tập lưu trữ đỉnh có nhãn thức * Bước : d(s0 ,s0 ) = L(s0) = 0; S = {s0}; // s0 có Nhãn thức * Bước 1: - Tính lại nhãn tạm thời L(v), v không thuộc S : Nếu v kề với s0 L(v) = Min{L(v), L(s0) + m(s0,v)}; - Tìm s1 thuộc S kề với s0 cho : 12 * Bước 2: - Tính lại nhãn tạm thời L(v), v? S : Nế u v kề với s1 L(v) = Min{L(v), L(s1) + m(s1,v)}; Tính chất tham lam thuật toán Dijkstra bước, chọn si không thuộc S si đỉnh kề với sj, với j = 0,i-1 cho L(si ) = Min{L(v) : v ? S } Minh hoạ : Xét đồ thị có hướng G : 13 Đường ngắn từ đỉnh s = đến đỉnh lại : Bảng bước 14 II.1.4.Đánh giá thuật toán dijkstra Thuật toán Dijkstra bình thường có độ phức tạp O() Tuy nhiên ta sử dụng kết hợp với cấu trúc heap, độ phức tạp O((m+n) ), dùng đống Fibonacci độ phức tạp giảm xuống O(m+n Trong m số cạnh, n số đỉnh đồ thị xét II.2 THUẬT TOÁN A* -BÀI TOÁN TÌM ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT II.2.1.Bài toán Cho G = (V,E) đơn đồ thị liên thông (vô hướng có hướng) có trọng số V = {1, , n} tập đỉnh , E tập cạnh (cung) Cho s0 € E Tìm đường ngắn từ s0 đến đỉnh lại Giải toán thuật toán A* II.2.2 Phân tích, thiết kế thuật toán -Thuật toán A* xây dựng tăng dần tất tuyến đường từ điểm xuất phát tìm thấy đường chạm tới đích Tuy nhiên, tất thuật toán tìm kiếm có thông tin , xây dựng tuyến đường "có vẻ" dẫn phía đích - Để biết tuyến đường có khả dẫn tới đích, A* sử dụng "đánh giá heuristic" khoảng cách từ điểm cho trước tới đích Trong trường hợp tìm đường 15 đi, đánh giá khoảng cách đường chim bay - đánh giá xấp xỉ thường dùng cho khoảng cách đường giao thông -Điểm khác biệt A* tìm kiếm theo lựa chọn tốt nhấtlà tính đến khoảng cách qua Điều làm cho A* "đầy đủ" "tối ưu", nghĩa là, A* luôn tìm thấy đường ngắn tồn đường A* không đảm bảo chạy nhanh thuật toán tìm kiếm đơn giản Trong môi trường dạng mê cung, cách để đến đích trước hết phải phía xa đích cuối quay lại Trong trường hợp đó, việc thử nút theo thứ tự "gần đích thử trước" gây tốn thời gian II.2.3 Mô tả thuật toán A* tìm chiều dài đường ngắn từ đỉnh s đến n-1 đỉnh lại A* lưu giữ tập lời giải chưa hoàn chỉnh, nghĩa đường qua đồ thị, nút xuất phát Tập lời giải lưu hàng đợi ưu tiên (priority queue) Thứ tự ưu tiên gán cho đường định hàm f(x) = g(x) +h(x) Trong đó, g(x) chi phí đường thời điểm tại, nghĩa tổng trọng số cạnh qua H(x) hàm đánh giá heuristic chi phí nhỏ để đến đích từ Ví dụ, "chi phí" tính khoảng cách qua, khoảng cách đường chim baygiữa hai điểm đồ đánh giá heuristic cho khoảng cách phải tiếp Hàm f(x) có giá trị thấp độ ưu tiên cao (do sử dụng cấu trúc heap tối thiểu để cài đặt hàng đợi ưu tiên này) function A*(điểm_xuất_phát,đích) var đóng:= tập rỗng 16 var q:= tạo_hàng_đợi(tạo_đường_đi(điểm_xuất_phát)) while q tập rỗng var p:= lấy_phần_tử_đầu_tiên(q) var x:= nút cuối p if x in đóng continue if x = đích return p bổ sung x vào tập đóng foreach y in các_đường_đi_tiếp_theo(p) đưa_vào_hàng_đợi(q, y) return failure Trong đó, các_đường_đi_tiếp_theo(p) trả tập hợp đường tạo việc kéo dài p thêm nút kề cạnh Giả thiết hàng đợi xếp tự động giá trị hàm "Tập hợp đóng" (đóng) lưu giữ tất nút cuối p (các nút mà đường mở rộng đó) để tránh việc lặp lại chu trình (việc cho thuật toán tìm kiếm theo đồ thị) Đôi hàng đợi gọi cách tương ứng "tập mở" Tập đóng bỏ qua (ta thu thuật toán tìm kiếm theo cây) ta đảm bảo tồn lời giải hàm các_đường_đi_tiếp_theo chỉnh để loại bỏ chu trình II.2.4.Đánh giá thuật toán A* - A* thuật toán đầy đủ theo nghĩa luôn tìm thấy lời giải toán có lời giải -Nếu hàm heuristic có tính chất thu nạp , nghĩa không đánh giá cao chi phí nhỏ thực việc tới đích, thân A* có tính chất thu nạp 17 (hay tối ưu) sử dụng tập đóng Nếu không sử dụng tập đóng hàm phải có tính chất đơn điệu A* có tính chất tối ưu Nghĩa không đánh giá chi phí từ nút tới nút kề cao chi phí thực Phát biểu cách hình thức, với nút x,y y nút x: -A* có tính chất hiệu cách tối ưu với hàm heuristic , có nghĩa thuật toán sử dụng hàm heuristic mà phải mở rộng nút A*, trừ có số lời giải chưa đầy đủ mà dự đoán xác chi phí đường tối ưu -Độ phức tạp thời gian A* phụ thuộc vào đánh giá heuristic Trong trường hợp xấu nhất, số nút mở rộng theo hàm mũ độ dài lời giải, làhàm đa thứckhi hàm heuristic thỏa mãn điều kiện sau: heuristic tối ưu, nghĩa hàm cho kết chi phí xác để từ tới đích Nói cách khác, sai số h không nên tăng nhanh lôgarit "heuristic hoàn hảo" - hàm trả khoảng cách thực từ x tới đích (Russell Norvig 2003, tr 101) -Vấn đề sử dụng nhớ A* rắc rối độ phức tạp thời gian Trong trường hợp xấu nhất, A* phải ghi nhớ số lượng nút tăng theo hàm mũ Một số biến thể A* phát triển để đối phó với tượng này, số A* lặp sâu dần ,A* nhớ giới hạn A* nhớ giới hạn đơn giản -Một thuật toán tìm kiếm có thông tin khác có tính chất tối ưu đầy đủ đánh giá heuristic thu nạp Đó tìm kiếm đệ quy theo lựa chọn tốt CHƯƠNG III :ĐÁNH GIÁ THỰC NGHIỆM Trong phần này, chạy hai thuật toán A* Dijktra với tập liệu có độ phức tạp khác ( số lượng đỉnh số cung đồ thị) Để từ có so sánh, đánh giá thời gian thực hiện, lượng nhớ chiếm dụng thuật toán 18 III.1 Dữ liệu đầu vào Để thuận tiện linh hoạt cách nhập liệu cho đầu vào thuật toán, xây dựng ba cách nhập liệu - Nhập từ đồ thị trực tiếp: Người dùng dùng chuột vẽ ô vẽ để tạo điểm chấm – tương đương với đỉnh đồ thị (thành phố) Để định nghĩa cung ( đường đi), người dùng chọn bên bảng liên kết thành phố Nếu cột I, dòng J có giá trị “TRUE” thành phố I tới J Dựa vào cách thu thập toạ độ thành phố từ làm đầu vào để tính hàm - đánh giá heuristic ( khoảng cách trực tiếp toạ độ DECAC) Cách thứ hai là, thay vẽ trực tiếp người dùng nhập toạ độ ( đỉnh đồ thị) bảng liên kết ( cung đồ thị) Điều có ích nhập liệu thực tế, toạ độ bến xe bus, nhà ga, ngã tư, ngã ba … đồ Từ - liệu chương trình thực cách vs hàm đánh giá heuristic Cách thứ ba là, toạ độ thành phố, thay vào nhập ma trận khoảng cách thành phố, điều phù hợp cho việc học tập nghiên cứu, đầu vào toán học tập thường cho dạng ma trận khoảng cách thay toạ độ chúng Trong trình thực nghiệm chúng tôi, để thuận lợi để loại bỏ thời gian không cần thiết cho tính toán, sử dụng cách ( nhập ma trận khoảng cách) để đánh giá thời gian nhớ chương trình Chúng đưa bào ba tập liệu với kích thước đỉnh cung lớn dần SỐ ĐỈNH SỐ CUNG TẬP BÉ