PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN VĨNH LỘC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – NĂM HỌC 2017-2018 MƠN TỐN Bài (4,0 điểm) a) Cho biểu thức: M a 2ab b Tính giá trị M với a 1,5; b 0,75 b) Xác định dấu c, biết 2a bc trái dấu với 3a b c Bài (4,0 điểm) x y y z ; a) Tìm số x, y, z biết rằng: x y z 6 b) Cho dãy tỉ số nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a M c d d a a b b c Tính giá trị biểu thức M , với Bài (3,0 điểm) Cho hàm số y f x 2 x 1 f 0 ; f 2 a) Hãy tính b) Chứng minh : f x 1 f x Bài (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường trung tuyến AM Qua A kẻ đường thẳng d vng góc với AM Qua M kẻ đường vng góc với AB, AC , chúng cắt d theo thứ tự D E Chứng minh : a) BD / / CE b) DE BD CE Bài (3,0 điểm) Tìm tỉ số A B , biết rằng: 1 1 A 1.1981 2.1982 n. 1980 n 25.2005 1 1 B 1.26 2.27 m. 25 m 1980.2005 Trong đó, A có 25 số hạng B có 1980 số hạng Bài (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cân Trên cạnh đáy BC lấy điểm D cho 1 BAD CAD CD 2 BD Chứng minh ĐÁP ÁN Bài a 1,5, b 0,75 M a 2ab b 1,5 2.1,5. 0,75 0 a) a 1,5 a 1,5, 0,75 M a 2ab b b) Do 2a bc 3a b c trái dấu nên a 0; b 0; c 0 2a 3bc. 3a 5b3c 6a8b 4c3 a8b 4c c3 c a 8b 0a, b 0 Vậy c tức mang dấu dương Bài x y x y y z y z x y z 2x 3y z ; 12 12 20 12 20 18 36 20 a) Vì Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: 2x 3y z 2x 3y z 3 x 27, y 36, z 60 18 36 20 18 36 20 b) Từ giả thiết suy 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d *Nếu a b c d 0 a b c d ; b c d a ; c d a b ; d a b c Khi M 1 1 1 1 1 1 a b c d nên a b c d a b c d *Nếu Khi M 1 4 Bài a) f 2 2; 1 f 2 2 1 2 b) f x 1 2 x 1 ; f x 2 x Do x 1 x hai số đối nên bình phương 2 Vậy x 1 2 x hay f x 1 f x Bài E A D H B M C a) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông: MA MB Gọi H giao điểm MD AB Tam giác cân AMB có MH đường cao ứng với đáy nên đường trung trực, suy DA DB Chứng minh MBD MAD (c.c.c) MBD MAD 90 , dó: DB BC Tương tự ta có: EC BC Vậy BD / /CE (cùng vng góc với BC ), (đpcm) b) Theo câu a, DB DA Tương tự: EC EA Suy DE DA AE BD CE Bài Ta có: 1 1 n 1980 n 1980 n 1980 n ; 1 1 m 25 m 25 m 25 m Áp dụng tính A B ta được: 1 1 1 A 1980 1981 1982 25 2005 1 1980 25 1 2005 1981 1982 1 1 1 B 25 26 27 1980 2005 1 1 25 25 1981 1982 2005 A 1 : Vậy B 1980 25 396 Bài A B D C M E Gọi M trung điểm DC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME MA Ta có hai tam giác AMC EMD Vì MD MC , MA ME , AMC EMD nên DE AC & A3 DEM Mặt khác : D1 B (tính chất góc ngồi tam giác) Mà B C (vì ABC cân, đáy BC) nên D1 C AC AD Từ DE DA A2 DEM hay A2 A3 Vì A3 A1 (do ABD ACM ) 1 A1 A2 A3 BAD CAD A A A A 3 hay Nên