Vi tích phân a2

Trường Đại học Tây Đô Khoa Cơ - Bộ mơn Tốn - Giới hạn liên tục Giảng viên: ThS Nguyễn Hữu Danh I Hàm hai biến - Ví dụ Thể tích V bình hình trụ phụ thuộc vào bán kính đáy r chiều cao h Thực tế ta biết V   r h Khi V hàm hai biến theo r h: V (r , h)   r h I Hàm hai biến - Định nghĩa hàm hai biến Cho D  R Hàm hai biến ánh xạ f :D R (x , y ) f (x , y ) Ký hiệu: f  f (x , y ) D gọi miền xác định f Miền giá trị f: E  {a  R | ( x, y )  D : a  f ( x, y )} Nếu f cho biểu thức đại số: Miền xác định tập hợp tất giá trị x y, cho biểu thức có nghĩa Miền giá trị tập hợp tất số thực mà hàm nhận I Hàm hai biến - Ví dụ Hàm hai biến x  y 1 f ( x, y )  x y Miền xác định: D  { (x , y )  R | x  y   0, x  y } 3 1 f (3,2)   3 Ví dụ Hàm hai biến f (x , y )  x  y Miền xác định: D  R2 Miền giá trị: E f  R  [0, ) f (x  y , x  y )  (x  y )2  (x  y )2  2(x  y ) f (x , x )  x  x  2x I Hàm hai biến - Ví dụ Hàm hai biến x f ( x, y )  y 1 Miền xác định: D  { (x , y )  R | y  1} Miền giá trị: E f  R Ví dụ Hàm hai biến f (x , y )  y 1 Miền xác định: D  { (x , y )  R | y  1} Miền giá trị: E f  R \ { 0} II Các mặt bậc hai - Mặt paraboloid elliptic x2 y2 z 2 a b II Các mặt bậc hai - Mặt paraboloid elliptic x2 y2 z 2 a b II Các mặt bậc hai - Mặt paraboloid elliptic z  (x  1)2  ( y  3)2  II Các mặt bậc hai - 2 y  x  z Mặt paraboloid elliptic II Các mặt bậc hai - Mặt ellipsoid x y z2   1 a b c 10 I  I3   (4 x  1)dxdy S   x  y 1 (4 x  1)dxdy  2 2/ Cho C giao tuyến trụ x2 + y2 = mặt phẳng x + z = lấy ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ Tính:  I  ( y  z )dx  (z  x )dy  ( x  y )dz C 2  I  ( y  z )dx  (z  x )dy  ( x  y )dz 2 C Chọn S phía phần mặt phẳng x + z = 1, bị chắn bên trụ I  R Q   y  z  dydz   S  P R       dzdx  z x   Q P      dxdy  x y  I    2y  1 dydz   2z  1 dzdx   2 x  1 dxdy I  y  dydz   z  dzdx   x  dxdy        S Chuyển sang mặt loại (1,0,1) S: x + z = 1, n   I  y  1,  z  1,  x  nds    S   S ( y  x  1)ds S: z = – x , bị chắn trụ x2+y2=1 hc S  D : x  y  2 Oxy I  ( y  x  1)ds S  D 2   ( y  x  1)  zx  zy dxdy  D ( x  y  1) 2dxdy  2 Trường Đại học Tây Đô Khoa Cơ - Bộ mơn Tốn - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN HAI LỚP Giảng viên: ThS Nguyễn Hữu Danh Cách tính tích phân hai lớp 2  x  b  f  x, y  dxdy   dx  f  x, y  dy D a d  x  2 y  f  x, y  dxdy   dy  f  x, y  dx D c  y Ứng dụng hình học - a Tính thể tích vật thể V   f ( x, y )dxdy (2.14) D Ví dụ 1(2.9) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt y  x , y  x , z  0, x  z  Giải Ta có  x  4, x  y  x x x V     x  dxdy   dx D    x  dy   4  x  128 xdx  15 Ví dụ Tính thể tích vật thể giới hạn mặt z   x  y , z  2 Giải Ta có: biên miền D: x  y  2 V     x  y  dxdy D Chuyển sang tọa độ cực: Dr   r,  :    2 ,  r  2 2 2   2 V   d    r  rdr       r  rdr  d 0 0  2 2      r       4r  r  dr  d     2r    d   4d  8  0 0    2 2 b Tính diện tích hình phẳng Diện tích miền D: S D    dxdy (2.15) D  xy   Ví dụ 3(2.10) Tính diện tích hình phẳng giới hạn D :   x  y  * Giao điểm hai đường: 1   1 A  ;2  , B  2;  2   2 Hình phẳng giới hạn bởi:    x   1  y   x  x * Diện tích cần tính x 2 x S   dx  dy 1 5     x  dx x 12 2 5    x  x  ln x  2 1 15 15  (  ln 4)  (  2ln 2) 8 Ví dụ Tính diện tích miền phẳng giới hạn x  y  y , x  y  y , y  x 3, x  2 2 Diện tích miền D là: S D   dxdy D 6sin   /2   d  rdr  /3 2sin  6sin   /2 r    /3  /2 d 2sin    16sin  d  /3    3 Tính diện tích hình phẳng 10