Đề thi Vi tích phân A2

Tổ chức EXP và tập đoàn Toán học Việt Nam Chuyên san EXP và tập đoàn Toán học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp HCM 1 Đề thi Vi tích phân A2 Bộ đề này được thực hiện dựa trên chương.

Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Đề thi Vi tích phân A2 Bộ đề thực dựa chương trình hợp tác tổ chức EXP Toantin.org, hai thuộc khoa Toán – Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp.HCM Tổ chức EXP Toantin.org Mọi góp ý đề thi xin gửi email: thienquocdongphuc@gmail.com Cảm ơn bạn Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 𝑦 − 5𝑦 a) Hàm 𝑓 có liên tục (0; 1) khơng? b) Hàm 𝑓 có khả vi Fréchet (0; 1) khơng, tính 𝑓 ′ (0; 1)(ℎ; 𝑘)? Câu 2: Các giới hạn sau có tồn khơng, tính giới hạn có: 𝑥3𝑦 + 𝑦 a) lim (𝑥; 𝑦)→(0; 0) 𝑥 + 2𝑦 b) lim (𝑥 + 𝑦) cos (𝑥; 𝑦)→(0; 0) 𝑥 Câu 3: Chứng minh +∞ ∑ 𝑛=1 cos(2𝑛 + 1)𝑥 𝑛4 hội tụ ℝ Câu 4: Tìm cực trị địa phương 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 − 6𝑥𝑦 + 8𝑦 + 2 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: 𝑥𝑚𝑦𝑚 , (𝑥; 𝑓(𝑥; 𝑦) = {√2𝑥 + 3𝑦 , (𝑥; a) Cho 𝑚 = Hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet (0; 0) không? b) Cho 𝑚 > Hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet (0; 0) khơng? Câu 2: Cho 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ 2𝑥 − 3𝑦 𝑥𝑦 (𝑒 − 1) , 𝑓(𝑥; 𝑦) = { 𝑥 + 𝑦2 , a) Hỏi 𝑓 có liên tục (0; 0) không? 𝜕𝑓 𝜕𝑓 (𝑥; 0); (0; 𝑦) b) Tính 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝑦) ≠ (0; 0) 𝑦) = (0; 0) (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0) (𝑥; 𝑦) = (0; 0) Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: a) Tính ∇𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥𝑦 b) Cho 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 ; 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 ; 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) Chứng minh 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑓 𝜕𝑓 ( ) + 2( ) = ( ) +( ) 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Câu 2: Chứng minh hàm số 𝑥𝑦 , (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0) 𝑓(𝑥; 𝑦) = {𝑥 + 𝑦 , (𝑥; 𝑦) = (0; 0) liên tục (0; 0), có đạo hàm theo hướng khác ⃗0 𝑥 𝑦 Câu 3: Cho 𝑓(𝑥; 𝑦) = cos cos Tìm khai triển Taylor cấp (phần dư có đạo hàm cấp 3) 𝑓 xung quanh (𝜋; 𝜋) ≈ (3.14; 3.14) tính giá trị gần 𝑓(3.13; 3.15) Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: +∞ Xét chuỗi số ∑ 𝑛=1 Chứng minh chuỗi số hội tụ tính giá trị −1 4𝑛2 Câu 2: Khảo sát hội tụ chuỗi sau +∞ a) ∑ 𝑛=1 +∞ 𝑛2 + 𝑛(3𝑛 + 1) 𝑛−1 𝑛 ) b) ∑ ( 𝑛+2 𝑛=1 +∞ c) ∑ 𝑛=1 +∞ (−1)𝑛 √𝑛 − sin 𝑛 𝑛2 d) ∑(−1)𝑛 𝑛=1 √ln 𝑛 𝑛+1 Câu 3: +∞ Cho chuỗi số dương ∑ 𝑎𝑛 hội tụ 𝑛=1 +∞ a) Chứng minh rằng: 𝑝 > chuỗi ∑ 𝑎𝑛𝑝 hội tụ 𝑛=1 +∞ b) Cho 𝑝 ∈ (0; 1), tìm ví dụ để thấy ∑ 𝑎𝑛𝑝 phân kỳ 𝑛=1 Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Giả sử ta núi Đặt hệ tọa độ mà trục 𝑥 hướng Đông, trục 𝑦 hướng Bắc, trục 𝑧 hướng khỏi mặt đất Độ cao núi cho 𝑧 = 1000 − 2𝑥 + 2𝑥𝑦 − 5𝑦 Ta điểm 𝑥 = 1; 𝑦 = (a) Nếu ta theo hướng Nam lên cao hay xuống thấy hơn? (b) Nếu ta theo hướng Tây Bắc thi lên cao hay xuống thấp hơn? (c) Muốn xướng nhanh nên theo hướng nào? Câu 2: Cho 𝑓; 𝑔; ℎ hàm khả vi liên tục Cho 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦); 𝑥 = 𝑔(𝑡); 𝑦 = ℎ(𝑡); 𝑑𝑧 (1) 𝑔(1) = 3; ℎ(1) = 4; 𝑔′ (1) = −2; ℎ′ (1) = 5; 𝑓𝑥 (3; 4) = 𝑓𝑦 (3 ; 4) = Tính 𝑑𝑡 Câu 3: Cho 𝑓 ∶ 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ Giả sử 𝐷𝑓 = (a) Nếu 𝐷 = ℝ2 , chứng tỏ 𝑓 hàm (b) Nếu 𝐷 khơng ℝ2 có thiết 𝑓 hàm không? Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho hàm 𝑓(𝑥; 𝑦) = |𝑥𝑦|𝑚 , 𝑚>0 Với giá trị khác 𝑚 > 0, hỏi 𝑓 có khả vi Fréchet (0; 0) không? Câu 2: Cho 𝐹 ∶ ℝ2 → ℝ thỏa 𝐹(𝑡𝑢; 𝑡𝑣) = 𝑡 𝐹(𝑢; 𝑣), ∀𝑡; 𝑢; 𝑣 ∈ ℝ Đặt 𝑢 = 𝑟 𝐹(𝑥; 𝑦), với 𝑟 = √𝑥 + 𝑦 Chứng minh 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝐹 𝜕 2𝐹 + = ( + ) + 12𝐹 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Câu 3: Tìm cực trị hàm 𝐹(𝑥; 𝑦) = 2𝑥 − 24𝑥𝑦 + 16𝑦 Câu 4: Chứng minh phương trình 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑧 − 𝑦𝑧 = biến đổi thành 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) điểm gần (0; 0; 1) Tính 𝑧𝑥 (0; 0) 𝑧𝑦 (0; 0) Câu 5: ∞ 𝑛𝑥 𝑛 Cho chuỗi hàm ∑ Chứng minh chuỗi hàm hội tụ (−∞; −𝑐] với 𝑐 > (𝑛 + 1)(1 + 𝑥 𝑛 ) 𝑛=1 Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Cho 𝐷 tập mở ℝ3 Cho 𝐸; 𝐹 hai trường vector 𝑢 trường vô hướng xác định khả vi 𝐷 Chứng minh a) ∇ × (𝑢𝐹) = 𝑢(∇ × 𝐹) − 𝐹 × ∇𝑢 b) ∇ (𝐸 × 𝐹) = 𝐹 (∇ × 𝐸) − 𝐸 (∇ × 𝐹) Câu 2: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 𝑥 𝑦 (1 − 𝑥 − 𝑦) miền 𝑥 ≥ 0; 𝑦 ≥ 0; 𝑥 + 𝑦 ≤ Câu 3: Khảo sát hội tụ chuỗi sau ∞ a) ∑ 𝑛=0 ∞ b) ∑ 𝑛=2 sin(2𝑛 + 1)𝑥 √2𝑛 + với 𝑥 ∈ ℝ, 𝑛 ln2 (𝑛) Câu 4: Cho dãy hàm 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑛2 𝑥(1 − 𝑥 )𝑛 ; 𝑥 ∈ [0; 1] Chứng tỏ 𝑓𝑛 (𝑥) hội tụ điểm hàm 𝑛 tiến đến vô Tính lim ∫0 𝑓𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 𝑛→∞ Câu hỏi điểm cộng: Hỏi dãy hàm (𝑓𝑛 ) có hội tụ hàm hay khơng? Giải thích sao? Chun san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: a) Tính vi phân tồn phần hàm số 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥√𝑥 + 𝑦 điểm 𝑀(1; 2) b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cong (𝐸) ∶ 𝑧 = 𝑥 ln(2𝑥 + 𝑦) điểm 𝑀(1; −1; 0) Câu 2: Biết 𝑢 = 𝑓(𝑥; 𝑦), 𝑥 = 𝑒 𝑟 cos 𝑡 ; 𝑦 = 𝑒 𝑟 sin 𝑡 Hãy chứng minh đẳng thức sau 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 𝜕𝑢 −2𝑟 ( ) +( ) =𝑒 [( ) + ( ) ] 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑟 𝜕𝑡 𝑧 Câu 3: Cho 𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) hàm ẩn xác định hệ thức 𝑧 + 𝑥𝑒 𝑦 + = 𝜕𝑧 𝜕𝑧 (0; 1) (0; 1) a) Áp dụng định lý hàm ẩn để tính 𝜕𝑥 𝜕𝑦 b) Áp dụng kết trên, tính gần gía trị 𝑓(0.01; 0.99) Câu 4: a) Tìm cực trị địa phương 𝑓(𝑥; 𝑦) = −𝑥 + 𝑦 miền 𝑥 + 4𝑦 < b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 𝑓(𝑥; 𝑦) = −𝑥 + 𝑦 với điều kiện 𝑥 + 4𝑦 = c) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 𝑓(𝑥; 𝑦) = −𝑥 + 𝑦 với điều kiện 𝑥 + 4𝑦 ≤ Câu 5: Cho hàm số 𝑓 ∶ ℝ2 → ℝ xác định sau 𝑥 sin 𝑦 , (𝑥; 𝑦) ≠ (0; 0) 𝑓(𝑥; 𝑦) = {√𝑥 + 𝑦 , (𝑥; 𝑦) = (0; 0) a) Chứng minh hàm số liên tục 𝐴(0; 0) b) Tính đạo hàm riêng phần cấp 𝑓 𝐴(0; 0) c) Hàm số có khả vi Fréchet 𝐴(0; 0)? Hãy giải thích Chuyên san EXP tập đồn Tốn học Việt Nam Khoa Tốn học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: Khảo sát hội tụ chuỗi sau: a) +∞ 2𝑛2 + 4𝑛 − ∑ 5𝑛 + 7𝑛2 + 𝑛=1 b) +∞ ∑(−1)𝑛 𝑛=1 2𝑛2 + 4𝑛 − 5𝑛4 + 7𝑛2 + Câu 2: Xét hàm số 𝑓(𝑥; 𝑦) = sin(𝑥𝑦) 𝑒𝑥 𝑦 + 𝑦4 Tìm miền xác định hàm số Hàm số có liên tục miền xác định hay khơng? Có khả vi hay không? Câu 3: Xét hàm 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 3𝑥 𝑦 − 3𝑦 𝑧 điểm 𝑃 = (1; 2; −1) Tìm đạo hàm theo hướng 𝑓 theo hướng 𝑃 tới điểm 𝑄 = (3; −1; 5) Theo hướng giá trị hàm 𝑓 tăng hay giảm? Chú ý vector theo hướng có chiều dài Câu 4: Cho 𝑓 ∶ 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ hàm khả vi liên tục theo biến (𝑥; 𝑦) Đặt 𝜕𝑔 𝜕𝑓 𝜕𝑓 (1; 2) biết (8; −5) = 3; (8; −5) = 𝑔(𝑠; 𝑡) = 𝑓(2𝑠 + 3𝑡; 3𝑠 − 4𝑡) Tính 𝜕𝑠 𝜕𝑥 𝜕𝑦 Câu 5: Tìm điểm cực đại cực tiểu hàm 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 − 12𝑦 + Câu 6: Cho hàm 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 Hãy phác họa đồ thị hàm Phương pháp dùng ma trận Hesse có cho kết luận cực trị địa phương hàm hay khơng? Vì sao? 10 ... sao? Chun san EXP tập đồn Tốn học Vi? ??t Nam Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học, Tp.HCM Câu 1: a) Tính vi phân tồn phần hàm số