Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu ôn tập, củng cố lại kiến thức đã học và rèn luyện kỹ năng làm bài tập, mời các bạn cùng tham khảo Đề thi kết thúc học phần học kì 1 môn Phương pháp vi tích phân năm 2019-2020 có đáp án - Trường ĐH Đồng Tháp dưới đây. Hy vọng sẽ giúp các bạn tự tin hơn trong kỳ thi sắp tới.
Trang 1IS, jo TRUONG DAI HOC DONG THAP
DE THI KET THUC HOC PHAN (Dé 1)
Học phan: Phương trình vi tich phan, Ma HP: MA4120, Hoc ky: 1, nam hoc: 2019 — 2020; Khoi lop: DHSTOAN va CDSTOAN
Hình thức thi: Tự luận; Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1 (3 điểm)
a Cho phuong trinh y"+a,y"+a,y'ta,y =0 (1) Néu phuong trinh (1) co hé nghiém co ban {3.32.3} thì nghiệm tổng quát của phương trình (1) là „= C1; +€;y; +C;y;;
b Ap dung, giai phương trinh y +3)" —4y"=0 Câu 2 (4.5 điển) Giải các phương trình vi phan sau:
a Phuong trinh biến số phân ly: (I-2x)dv+(3y”+l)d#=0 với p(3)=l; b Phương trình vi phân toàn phần: (4x — 2.97 )dv —(3)" +2x°y +e" )dy = 0;
Trang 2DAP AN DE THI KET THUC HOC PHAN
Hoc phan: Phuong trinh vi tich phan, Ma HP: MA4120, Học ky: 1, nam hoe: 2019 — 2020; Khdi lop: DHSTOAN va CDSTOAN
Hình thức thi: Tự luận; Thời gian làm bài: 90 phút Câu Nội dung Điểm 1 3.0 1.5 Vi {dds} là hệ nghiệm của phương trình (I) nên phương trình (1) có nghiệm |0.25 „=1, +C¿y; +;
Với mọi điểm M, (%.7ø.v o7) thỏa yy = (xu): =2 '(X,):#"y =y"(u) tạ có: 0.25 €iyŒạ) + C;y; (xu) + C;W, (Xụ) = Np CV OQ) + Cry GH) + OV 5%) = V4 (2) | 0.25 €y"()+C2y";(Xy)+ Cy”)(Xạ)= Vy Mà {dd} là hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1) nên 0.25 Miu) Jj) - Ö) y1) y2) y)@)|#0 suy ra hệ phương trình (2) có duy nhất nghiệm Des VO) VQ) YO) {C,,C,,C,} Do dd y=C,y, +Cyy, + Cy; la nghiệm tổng quát phương trình (1) 0.25 1.5 y +3y —4y =0, Phương trình đặc trưng: 4” +34! 424” =0 0.5 Suy ra phương trình có nghiệm: 4, = 4, =0:4, =l:4, =-l:4,„ =32¡ : ` 0.5 Va y=C,+Cyx+Cye" +Ce™* +C,cos2x +, sin 2x 0.5 2 4.5 1.5
Ta có (I—~2x)dx+(3y” +l)dy=0 lấy tích phân 2 về ta được: x—xŸ +yty=C 0.5
Mà y(3) =I nên ta được: 3-3? +P +1=C 0.5
Suy ra C=-4 hay nghiệm bài toán: x—x°+`+p=-—4 04
J
Trang 3
(4x`—~2xy?)dv—(3y?+2xÌy+ e”)dy =0
Ta có M203 -2M) ÔN, 6L6Ÿ <2 cau, 0.5
oy oy 3x Ox
Nén day la PTVP toan phan; goi M,(0,0) € R?, suy ra
U(x, y)= [as — 2sy* yds [" GP +e')dt =C 05
Hay U(x,y)=x”— y?x?~ y`=e'=C 08 1.5 y==y =# 1 2 ,_ x 9 Dat z= y'=>z'=y", phuong trinh đã cho trở thành ` =x? là phương trình L0 x ? tuyên tính nên có nghiệm z= Œ¡x° +x”, Mà z= y'=ŒxÌ+x`= y=ŒxÌ +o! +Œ,, VOiC, =sG 0.5 2.5 a 1.0 dsolve({y'(x) =y(z)+z(x)+2e",z'(x)=4y(x)~2z(*)}.{»(x).z(»)}) 1.0 b 1.5
Đưa về phương trình vi phân cấp 2 „"+ y'—6y= 2e" 0.5 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y= C;£''+C;e*, 0.25
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất „= Ce” +Œe -5e, 0.25 Suy ra dao ham cap 1 của y