Vi tích phân A2_ Toán cao cấp (22 đề thi có lời giải)

De thi VTP A2 HK I 1112 dvi 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2 HỌC KỲ I NHÓM 03 NĂM HỌC 2011 2012 Ngày thi 28112011 Thời gian làm bài 120 phút NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm 07 câu1 được in trên 01 trang2) Câu 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y2 = 4(1 − x) và x2 + y2 = 4, phần phía ngoài của parabol Câu 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt cong z = x2 + y2 2 và x2 + y2 + z2 = 5 4 (phần phía trên mặt phẳng Oxy) Câu 3 Tí.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2HỌC KỲ I - NHÓM 03NĂM HỌC: 2011 - 2012Ngày thi: 28/11/2011Thời gian làm bài: 120 phút

NỘI DUNG ĐỀ THI(Đề thi gồm 07 câu1 được in trên 01 trang2)Câu 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y2

= 4(1 − x) và x2

+ y2

= 4,phần phía ngoài của parabol

Câu 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt cong z = x2+ y2

2 và x2

+ y2+ z2

= 5

4 (phầnphía trên mặt phẳng Oxy)

Câu 3 Tính độ dài đường xoắn ốc x = et.cos t y = et.sin t z = et, t ∈ [0; 2π]

dzdx+ z3dxdy,với tích phân lấy theo phía ngoài của mặt cầu (S) : x2

+ y2+ z2

= 1

Câu 6 Chứng minh rằng phương trình vi phân y(1 + xy)dx − xdy = 0 có một thừa số tích phân

là µ(y) = 1

y2 Hãy giải phương trình đã cho

Câu 7 Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y′′− 3y′+ 2y = ex(x2

LÊ HOÀI NHÂN

1 Thang điểm: 1,00 điểm/câu.

2 Đáp án được công bố trên website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 29.11.2011 Điểm chữ được nhập vào tài khoản sinh viên và được dán ở VP BM Toán, Khoa KHTN vào chiều ngày 05.12.2011 Phúc khảo bài thi: từ 08 giờ đến 11 giờ ngày 06.12.2011 tại VP BM Toán, Khoa Khoa học tự nhiên.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2HỌC KỲ I - NHÓM 03NĂM HỌC: 2011 - 2012Ngày thi: 28/11/2011Thời gian làm bài: 120 phút

ĐÁP ÁN

Câu 1 • Diện tích S =ZZ

Sdxdy

• Tung độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình



1 − 14y2

2+ y2

−2dy

√4−y 2Z

1− 1

y 2dx

= −8

3 + 2

2Z

= −83 + 2π

Câu 2 • Thể tích V = Z ZZ

Ωdxdydz

• Giao tuyến: (x2

+ y2) + 1

4(x

2+ y2)2

2r

2

≤ z ≤

r5

4 − r2

• Suy ra:

1Z

0dr

2πZ

0dϕ

√5

4 −r2Z

1

2 r 2rdr

= 2π

1Z

0r

r5

4 − r2

− 1

2r3

!dr

= 2π −1

3(

5

4− r2)

r5

4− r2

− 1

8r

4! 1

với Ω là hình cầu đơn vị

• Chuyển sang tọa độ cầu ta có Ω′ :

0

r4dr

2πZ

0dϕ

πZ

0sin θdθ = 12

5 π.

Câu 6 y(1 + xy)dx − xdy = 0 (1)

• Nhân hai vế phương trình (1) với µ(y) ta được phương trình:

1

y2 là một thừa số tích phân củaphương trình (1)

• Giải phương trình (1)

Nhận xét: y = 0 là nghiệm của phương trình (1)

Với y 6= 0, phương trình (1) tương đương với phương trình (2) Chọn (x0, y0) = (0, 1),phương trình (2) có tích phân tổng quát là:

xZ

x0

M(x, y0)dx +

yZ

y0

dy= C

⇐⇒

xZ

0(1 + x)dx −

yZ

ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2014 - 2015

Ngày thi: 23.11.2014Thời gian làm bài: 120 phút

NỘI DUNG ĐỀ THI(Đề thi gồm 07 câu 1, được in trên 02 trang2)Câu 1 Tìm cực trị của hàm số z = x3+ y2 với điều kiện x2+ y2 = 1

Câu 2 Dùng tích phân hai lớp tính thể tích của vật thể (Hình 1.) được giới hạn bởi các mặt

4 Câu 4 Tính tích phân sau đây bằng tọa độ cầu

J =

3Z0dx

√ 9−x 2Z0dy

√18−x 2 −y 2Z

√

x 2 +y 2

(x2+ y2+ z2)dz

1 Đáp án được công bố trên website khoa Khoa học tự nhiên từ ngày 24.11.2014

2 Các em xem điểm trong tài khoản cá nhân vào ngày 01.12.2014, phúc khảo bài thi từ 7 giờ 30 đến 10 giờ

30 phút ngày 02.12.2014 tại văn phòng bộ môn Toán, Khoa Khoa học tự nhiên, Lưu ý: Chỉ giải đáp trực tiếp Mọi thắc mắc sau thời gian trên đều không được giải quyết.

1

Câu 5 Cho các hàm số ba biến P, Q, R Tích phân đường loại hai dạng

I =ZAB

I =

(2,2,2)Z(1,1,1)

Câu 6 Giải phương trình vi phân cấp 1: x2y0+ 2xy = ln x với điều kiện y(1) = 2

Câu 7 Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng: y00+ y = cos 3x

Cần Thơ, ngày 17 tháng 11 năm 2014

Cán bộ giảng dạy

LÊ HOÀI NHÂN

2

Học kỳ I - năm học 2014 - 2015CBGD: LÊ HOÀI NHÂNCâu 1 • Với điều kiện x2 + y2 = 1, ta suy ra y2 = 1 − x2 trong đó x ∈ [−1, 1] Do đó,

%

1

• Từ bảng biên thiên, ta có

– Hàm số đạt cực đại ymax= 1 tại các điểm (0, 1), (0, −1) và (1, 0)

– Hàm số đạt cực tiểu ymin = −1 tại điểm (−1, 0).

– Hàm số đạt cực tiểu ymin = 19

27 tại điểm 2

3,

√53

!

và 2

3, −

√53

!.Câu 2 • Vật thể ở hình 1 có thể tích

V =

Z ZV(9 − x2− y2)dxdy

• Chuyển sang tọa độ cực ta có miền lấy tích phân V0 : 0 ≤ r ≤ 1 và 0 ≤ ϕ ≤ 2π

• Do đó,

V =

1Z0(9 − r2).rdr

2πZ0

dϕ= 17π

2 .Câu 3 • Khối lượng cung được tính theo tích phân đường loại 1:

m=ZLδ(x, y)ds =

ZL

• Suy ra

m =

1Z0

3√

t2+ 1dt = 3

√ 2Z1

• Chuyển sang tọa độ cầu ta có:

– Jacobian: J = r2sin θ

– Từ (1) và (2) suy ra 0 ≤ ϕπ

4.– (S1) : θ = π

π 4Z0sin θdθ

3 √ 2Z0

Do đó, tích phân I không phụ thuộc vào đường lấy tích phân

• Chọn đường cong lấy tích phân là đoạn thẳng AB với A(1, 1, 1), B(2, 2, 2) Đoạnthẳng này có phương trình x = y = z = t với t ∈ [1, 2] Suy ra, I = 0

Câu 6 • Phương trình đã cho tương đương với phương trình

y0+ 2

xy= ln x

x2 Đây là phương trình tuyến tính cấp 1

4

thuần nhất có nghiệm tổng quát dạng y = C1cos x + C2sin x.

• Vế phải của phương trình đã cho là f (x) = cos 3x (dạng 2) với các tham số α = 0,

β = 3 và n = 0

Nhận xét α ± β = ±3i không là nghiệm của phương trình đặc trưng Do đó, phươngtrình đã cho có một nghiệm riêng dạng Y = A cos 3x + B sin 3x Suy ra Y00 =

−9A cos 3x − 9B sin 3x

• Vì Y là nghiệm của phương trình đã cho nên Y00+ Y = cos 3x hay

−8A cos 3x − 8B sin 3x = cos 3xĐồng nhất các hệ số ở hai vế ta thu được A = −1

8 và B = 0

• Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

y= C1cos x + C2sin x − 18cos 3x

5

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ Môn thi: Vi tích phân A2

Năm học: 2009 – 2010 Thời gian làm bài: 120 phút

NỘI DUNG ĐỀ THI

(Đề thi gồm 5 câu )

o0o

Câu 1 Hãy biễu diễn miền D giới hạn bởi các đường cong x12y22 5 và 2xy4,

biết miền D không chứa điểm O0, 0 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

A  đến điểm B0, 2, 3  dọc theo đường thẳng nối A và B

Câu 4 Gọi S là mặt biên của hình chóp OABC với O0, 0, 0 , A1, 0, 0 , B0,1, 0 và C0, 0,1

Hãy tính tích phân mặt loại hai sau: 2 4

Câu 1 Hãy biễu diễn miền D giới hạn bởi các đường cong x1 y2 5 và 2xy4,

biết miền D không chứa điểm O0, 0 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

zx y với x y, D Giải

 Biểu diễn miền D:

Ta có, đường    2  2

C x  y  là đường tròn tâm

2,1

I bán kính R  5, đường 2xy4là đường thẳng qua I

nên miền D là nửa hình tròn (C) không chứa điểm O0, 0 Ta có

Vậy hàm Lagrange có duy nhất điểm dừng trên cung AB: 2, 4

 Trên đoạn thẳng AB: y 2x4, x 0, 2

g x  x  x y ta nhận hai giá trị này

 Giá trị của z tại các điểm nghi ngờ:

 Công sinh bởi lực F

được tính theo công thức: W ( ) ( ) ( )

2 0 0

W (1 3 ) 2(2 5 ) 4( 1 6 )

1 1

2 3719

Câu 4 Gọi S là mặt biên của hình chóp OABC với O0, 0, 0 , A1, 0, 0 , B0,1, 0 và C0, 0,1

Hãy tính tích phân mặt loại hai sau: 2 4

x x

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2HỌC KỲ 2 - NHÓM 03NĂM HỌC: 2010 - 2011Ngày thi:11/05/2011Thời gian: 120 phút

NỘI DUNG ĐỀ THI 1(Đề thi gồm 07 câu được in trên 01 trang)2Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số z = x2

− y2 trên miền D giới hạn bởicác đường cong y = 1

2x

2 và x = 1

2y

2.Câu 2 Tính tích phân I = Z Z Z

Ωxdxdydz với Ω là miền giới hạn bởi các mặt tọa độ và mặtphẳng x + y + z = 1

Câu 3 Gọi L là cung đường cong x2

+ y2 = 4 thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa

độ Oxy Hãy tính tích phân J =Z

Lyds

Câu 4 Giả sử một chất điểm M di chuyển từ điểm A (2, 0) về gốc tọa độ dọc theo nửa trên của

x3dydz+ y3

dzdx,

tích phân lấy theo phía trên của S

Câu 6 Tìm thừa số tích phân và giải phương trình vi phân sau: 2xdx + (x2

− y − 1) dy = 0.Câu 7 Giải phương trình: y00− 4y0+ 3y = 2 sin 3x + 3 cos 3x

Cần Thơ, ngày 07 tháng 5 năm 2011

Cán bộ giảng dạy

LÊ HOÀI NHÂN

1 Thang điểm: 1,00 điểm/câu

2 THÔNG BÁO: Đáp án được công bố trên hệ thống e-learning vào tối ngày Thứ Tư 11/05/2011 Điểm thi Thầy sẽ công bố vào tối ngày 13/05/2011 trên kế hoạch học tập của các em Thời gian xem lại bài thi và giải đáp thắc mắc: từ 15 giờ đến 17 giờ ngày 16/05/2011, sau thời gian này mọi thắc mắc Thầy sẽ không giải quyết.

ĐÁP ÁN

Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số z = x2

− y2 trên miền D giới hạn bởicác đường cong y = 1

2x

2 và x = 1

2y

2.Giải

• Tọa độ giao điểm của hai đường cong y = 1

Ωxdxdydz với Ω là miền giới hạn bởi các mặt tọa độ và mặt

1−xZ0dy

1−x−yZ0xdz

=

1Z0dx

1−xZ0

x(1 − x − y) dy

= 12

1Z0

x(1 − x)2dx

= −12

1Z0

(1 − x)3

− (1 − x)2dx

= 12

 1

3 −14



= 124

Câu 3 Gọi L là cung đường cong x + y = 4 thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa

độ Oxy Hãy tính tích phân J =Z

8sin3t.24 sin t cos tdt

= 192

π 2Z0

π 2 0

= 1925Câu 4 Giả sử một chất điểm M di chuyển từ điểm A (2, 0) về gốc tọa độ dọc theo nửa trên của

(exsin y − ky)dx + (ex

cos y − k)dy

• Ta tính tích phân trên đường cong kín AmOA

I =ZAmO

(exsin y − ky)dx + (ex

Q(x, y) = excos y − k ⇒ ∂Q∂x = excos yTheo công thức Green ta có,

I1 =

ZAmOA(exsin y − ky)dx + (excos y − k)dy =

Z ZD

 ∂Q

∂x − ∂P∂y

dxdy= k

Z ZD

(exsin y − ky)dx + (ex

cos y − k)dy = 0

• Vậy I = I1− I2 = kπa

2

8 − 0 = kπ2.Câu 5 Gọi S là phần phía trên mặt phẳng Oxy của Paraboloid z = 4 − x2

− y2 Tính tích phân

K =

Z ZS

Z Z

D 0

r5(3 + cos 4ϕ) drdϕ

= 12

2Z0

r5dr

2 πZ0(3 + cos 4ϕ) dϕ

= 32πCâu 6 Tìm thừa số tích phân và giải phương trình vi phân sau: 2xdx + (x2

− y − 1) dy = 0.Giải

• Ta có,

µ(y) = e

RNx−My M

 dy

= eR dy = ey

• Nhân thừa số tích phân vào phương trình ta được phương trình vi phân toàn phần vàchọn x0 = y0 = 0 Khi đó, tích phân tổng quát của phương trình đã cho có dạng:

xZx0

P (x, y) dx +

yZy0

Q(x0, y) dy = C

⇔

xZ02xeydx+

yZ0(y + 1) eydy = C

Ta có, f(x) = 2 sin 3x + 3 cos 3x với α = 0, β = 3, r = s = 0 =⇒ n = 0

Nhận xét, α ± i.β = ±3i không là nghiệm của phương trình đặc trưng Do đó, Y có dạng

Y = A sin 3x + B cos 3x

Y0 = 3A cos 3x − 3B sin 3xvà

Y00= −9A sin 3x − 9B cos 3xThay Y, Y0 và Y00 vào phương trình ban đầu và đồng nhất hệ số ta được hệ:

ĐIỂM QUY ĐỔI TỪ ĐIỂM SỐ SANG ĐIỂM CHỮ

ĐIỂM SỐ ĐIỂM CHỮ8.5 - 10.0 A

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2HỌC KỲ 2 - NHÓM E02NĂM HỌC: 2010 - 2011Ngày thi:10/04/2011Thời gian: 120 phút

NỘI DUNG ĐỀ THI 1(Đề thi gồm 07 câu được in trên 01 trang)2Câu 1 Tìm cực trị của hàm số z = 6 − 4x − 3y với x, y thỏa điều kiện x2

+ 1 từ điểm A(−1, 0) đến điểm B(1, 2)

Câu 5 Tính tích phân mặt loại hai: I = Z

LÊ HOÀI NHÂN

1 Thang điểm: 1,00 điểm/câu

2 THÔNG BÁO: Đáp án được công bố trên website K.KHTN và hệ thống e-learning vào tối ngày Thứ

Ba 12/04/2011 Điểm thi Thầy sẽ công bố vào tối ngày 17/04/2011 trên kế hoạch học tập của các em Thời gian xem lại bài thi và giải đáp thắc mắc: Vì các em học GDQP nên các em có thắc mắc về điểm thi thì liên hệ với Thầy bằng email (lhnhan@ctu.edu.vn) đến hết ngày 24/04/2011 để hẹn thời gian xem lại bài, sau thời gian này mọi thắc mắc Thầy sẽ không giải quyết.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BỘ MÔN TOÁN

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2HỌC KỲ 2 - NHÓM 03NĂM HỌC: 2010 - 2011Ngày thi:11/05/2011Thời gian: 120 phút

NỘI DUNG ĐỀ THI 1(Đề thi gồm 07 câu được in trên 01 trang)2Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số z = x2

− y2 trên miền D giới hạn bởicác đường cong y = 1

2x

2 và x = 1

2y

2.Câu 2 Tính tích phân I = Z Z Z

Ωxdxdydz với Ω là miền giới hạn bởi các mặt tọa độ và mặtphẳng x + y + z = 1

Câu 3 Gọi L là cung đường cong x2

+ y2 = 4 thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa

độ Oxy Hãy tính tích phân J =Z

Lyds

Câu 4 Giả sử một chất điểm M di chuyển từ điểm A (2, 0) về gốc tọa độ dọc theo nửa trên của

x3dydz+ y3

dzdx,

tích phân lấy theo phía trên của S

Câu 6 Tìm thừa số tích phân và giải phương trình vi phân sau: 2xdx + (x2

− y − 1) dy = 0.Câu 7 Giải phương trình: y00− 4y0+ 3y = 2 sin 3x + 3 cos 3x

Cần Thơ, ngày 07 tháng 5 năm 2011

Cán bộ giảng dạy

LÊ HOÀI NHÂN

1 Thang điểm: 1,00 điểm/câu

2 THÔNG BÁO: Đáp án được công bố trên hệ thống e-learning vào tối ngày Thứ Tư 11/05/2011 Điểm thi Thầy sẽ công bố vào tối ngày 13/05/2011 trên kế hoạch học tập của các em Thời gian xem lại bài thi và giải đáp thắc mắc: từ 15 giờ đến 17 giờ ngày 16/05/2011, sau thời gian này mọi thắc mắc Thầy sẽ không giải quyết.

ĐÁP ÁN

Câu 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số z = x2

− y2 trên miền D giới hạn bởicác đường cong y = 1

2x

2 và x = 1

2y

2.Giải

• Tọa độ giao điểm của hai đường cong y = 1

Ωxdxdydz với Ω là miền giới hạn bởi các mặt tọa độ và mặt

1−xZ0dy

1−x−yZ0xdz

=

1Z0dx

1−xZ0

x(1 − x − y) dy

= 12

1Z0

x(1 − x)2dx

= −12

1Z0

(1 − x)3

− (1 − x)2dx

= 12

 1

3 −14



= 124

3Câu 3 Gọi L là cung đường cong x2

+ y2 = 4 thuộc góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa

độ Oxy Hãy tính tích phân J =Z

8sin3t.24 sin t cos tdt

= 192

π 2Z0

...

BỘ MÔN TỐN

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2HỌC KỲ - NHÓM 03NĂM HỌC: 2010 - 2011Ngày thi: 11/05/2011Thời gian: 120 phút

NỘI DUNG ĐỀ THI 1 (Đề thi gồm 07 câu in 01 trang)2Câu...

BỘ MƠN TỐN

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2HỌC KỲ - NHÓM E02NĂM HỌC: 2010 - 2011Ngày thi: 10/04/2011Thời gian: 120 phút

NỘI DUNG ĐỀ THI 1 (Đề thi gồm 07 câu in 01 trang)2Câu...

BỘ MƠN TỐN

ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2HỌC KỲ - NHĨM 03NĂM HỌC: 2010 - 2011Ngày thi: 11/05/2011Thời gian: 120 phút

NỘI DUNG ĐỀ THI 1 (Đề thi gồm 07 câu in 01 trang)2Câu