De thi VTP A2 HK I 1112 dvi 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2 HỌC KỲ I NHÓM 03 NĂM HỌC 2011 2012 Ngày thi 28112011 Thời gian làm bài 120 phút NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm 07 câu1 được in trên 01 trang2) Câu 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y2 = 4(1 − x) và x2 + y2 = 4, phần phía ngoài của parabol Câu 2 Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt cong z = x2 + y2 2 và x2 + y2 + z2 = 5 4 (phần phía trên mặt phẳng Oxy) Câu 3 Tí.
1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2 HỌC KỲ I - NHÓM 03 NĂM HỌC: 2011 - 2012 Ngày thi: 28/11/2011 Thời gian làm bài: 120 phút NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm 07 câu1 in 01 trang2 ) Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = 4(1 − x) x2 + y = 4, phần phía ngồi parabol Câu Tính thể tích vật thể giới hạn hai mặt cong z = phía mặt phẳng Oxy) x2 + y x2 + y + z = (phần Câu Tính độ dài đường xoắn ốc x = et cos t y = et sin t z = et , t ∈ [0; 2π] Câu Tính tích phân I = xy dx + (x2 y + 2x)dy, C đường trịn tâm I(a; b) bán C kính 2011, tích phân lấy theo chiều dương Câu Dùng công thức Gauss - Ostrogradski tính tích phân I = x3 dydz + y 3dzdx + z dxdy, S với tích phân lấy theo phía ngồi mặt cầu (S) : x2 + y + z = Câu Chứng minh phương trình vi phân y(1 + xy)dx − xdy = có thừa số tích phân µ(y) = Hãy giải phương trình cho y Câu Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình vi phân y ′′ − 3y ′ + 2y = ex (x2 + sin 2x) —————————— √ x a2 a2 − x2 dx = x (a2 − x2 ) + arcsin + C Cho biết 2 a Cần Thơ, ngày 23 tháng 11 năm 2011 Cán giảng dạy LÊ HOÀI NHÂN Thang điểm: 1,00 điểm/câu Đáp án công bố website Khoa Khoa học tự nhiên vào chiều ngày 29.11.2011 Điểm chữ nhập vào tài khoản sinh viên dán VP BM Toán, Khoa KHTN vào chiều ngày 05.12.2011 Phúc khảo thi: từ 08 đến 11 ngày 06.12.2011 VP BM Toán, Khoa Khoa học tự nhiên 2 ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2 HỌC KỲ I - NHÓM 03 NĂM HỌC: 2011 - 2012 Ngày thi: 28/11/2011 Thời gian làm bài: 120 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN ĐÁP ÁN Câu • Diện tích S = dxdy S • Tung độ giao điểm hai đường cong nghiệm phương trình 1 − y2 + y = ⇐⇒ y = ±2 Suy ra: −2 ≤ y ≤ 1 − y2 ≤ x ≤ D: • Vậy √ S = 4−y dx dy −2 − y2 1− 14 y 2 = − +2 − y 2dy y = − + y − y + arcsin = − + 2π Câu • Thể tích V = dxdydz Ω • Giao tuyến: (x2 + y ) + (x2 + y 2)2 = ⇐⇒ x2 + y = Suy hình chiếu Ω 4 mặt phẳng Oxy hình trịn đơn vị tâm O 0≤r≤1 x = r cos ϕ ≤ ϕ ≤ 2π • Chuyển sang tọa độ trụ: y = r sin ϕ ta có J = r Ω′ : z=z r ≤z≤ − r2 • Suy ra: V = √5 2π dr −r dϕ rdr r = 2π − r2 − r3 r dr 1 = 2π − ( − r ) √ π(5 − 4) = 12 Câu • Độ dài cung l = − r2 − r4 ds L x = et cos t √ • L: y = et sin t =⇒ ds = et 3dt z = et • Vậy l = √ 2π et dt = √ 3(e2π − 1) Câu • P = xy =⇒ ∂Q ∂P = 2xy Q = x2 y + 2x =⇒ = 2xy + ∂y ∂x • Gọi D miền phẳng giới hạn L, suy S(D) = 20112π • Áp dụng cơng thức Green ta có 2dxdy = 2S(D) = 2.20112π I= D Câu • Áp dụng cơng thức Gauss ta có: (x2 + y + z )dxdydz I=3 Ω với Ω hình cầu đơn vị 0≤r≤1 ′ ≤ ϕ ≤ 2π • Chuyển sang tọa độ cầu ta có Ω : ≤ θπ • Vậy 2π r dr I =3 π sin θdθ = dϕ 0 12 π Câu y(1 + xy)dx − xdy = (1) • Nhân hai vế phương trình (1) với µ(y) ta phương trình: x + x dx − dy = (2) y y ∂M x ∂N 1 + x N = , ta có = = − Do đó, phương trình (2) y y ∂y ∂x y phương trình vi phân tồn phần Suy µ(y) = thừa số tích phân y phương trình (1) với M = • Giải phương trình (1) Nhận xét: y = nghiệm phương trình (1) Với y = 0, phương trình (1) tương đương với phương trình (2) Chọn (x0 , y0) = (0, 1), phương trình (2) có tích phân tổng quát là: y x dy = C M(x, y0 )dx + y0 y x0 x x dy = C y2 (1 + x)dx − ⇐⇒ x ⇐⇒ x + = C y Câu Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình y ′′ − 3y ′ + 2y = ex (x2 + sin 2x) (1) • Phương trình y ′′ − 3y ′ + 2y = (2) Phương trình đặc trưng k − 3k + = ⇐⇒ k = 2, k = Nghiệm tổng quát phương trình (2): y = C1 ex + C2 e2x • Dạng nghiệm riêng phương trình y ′′ − 3y ′ + 2y = ex x2 Y1 = ex x(Ax2 + Bx + C) • Dạng nghiệm riêng phương trình y ′′ − 3y ′ + 2y = ex sin 2x Y2 = ex (D cos 2x + E sin 2x) • Theo nguyên lý chồng chất nghiệm, dạng nghiệm tổng quát phương trình (1) y = C1 ex + C2 e2x + ex x(Ax2 + Bx + C) = ex (D cos 2x + E sin 2x) MƠN THI VI TÍCH PHÂN A2 HỌC KỲ I - NHÓM 03 NĂM HỌC: 2014 - 2015 Ngày thi: 23.11.2014 Thời gian làm bài: 120 phút KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm 07 câu , in 02 trang2 ) Câu Tìm cực trị hàm số z = x3 + y với điều kiện x2 + y = Câu Dùng tích phân hai lớp tính thể tích vật thể (Hình 1.) giới hạn mặt z = − x2 − y , z = mặt trụ x2 + y = Hình Câu Tính khối lượng cung phẳng có phương trình tham số x = t2 − 1, y = 2t với ≤ t ≤ 3y biết mật độ khối lượng cung điểm M(x, y) δ(x, y) = Câu Tính tích phân sau tọa độ cầu √ 9−x2 J= dx √ 18−x2 −y (x2 + y + z )dz dy √ x2 +y Đáp án công bố website khoa Khoa học tự nhiên từ ngày 24.11.2014 Các em xem điểm tài khoản cá nhân vào ngày 01.12.2014, phúc khảo thi từ 30 đến 10 30 phút ngày 02.12.2014 văn phịng mơn Tốn, Khoa Khoa học tự nhiên, Lưu ý: Chỉ giải đáp trực tiếp Mọi thắc mắc sau thời gian không giải Câu Cho hàm số ba biến P, Q, R Tích phân đường loại hai dạng P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz I= AB không phụ thuộc vào đường lấy tích phân mà phụ thuộc vào điểm đầu điểm cuối đẳng thức sau thỏa: ∂Q ∂R = ∂y ∂z ∂R ∂P = ∂z ∂x ∂Q ∂P = ∂x ∂y Chứng minh tích phân sau khơng phụ thuộc đường lấy tích phân, sau tính giá trị nó: (2,2,2) dx + y I= x − z y dy − y dz z2 (1,1,1) Câu Giải phương trình vi phân cấp 1: x2 y + 2xy = ln x với điều kiện y(1) = Câu Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp hệ số hằng: y + y = cos 3x Cần Thơ, ngày 17 tháng 11 năm 2014 Cán giảng dạy LÊ HỒI NHÂN ĐÁP ÁN Mơn: Vi tích phân A2 Học kỳ I - năm học 2014 - 2015 CBGD: LÊ HỒI NHÂN Câu • Với điều kiện x2 + y = 1, ta suy y = − x2 x ∈ [−1, 1] Do đó, z = x3 + − x2 • f (x) = x3 + − x2 =⇒ f (x) = 3x2 − 2x Hàm số có hai điểm dừng x = x= • Bảng biến thiên f (x) x −1 f (x) + 1 − + f (x) 19 27 −1 • Từ bảng biên thiên, ta có – Hàm số đạt cực đại ymax = điểm (0, 1), (0, −1) (1, 0) – Hàm số đạt cực tiểu ymin = −1 điểm (−1, 0) √ √ 19 2 – Hàm số đạt cực tiểu ymin = điểm , ,− 27 3 3 Câu • Vật thể hình tích (9 − x2 − y 2)dxdy V = V • Chuyển sang tọa độ cực ta có miền lấy tích phân V : ≤ r ≤ ≤ ϕ ≤ 2π • Do đó, 2π V = (9 − r ).rdr Câu dϕ = 17π • Khối lượng cung tính theo tích phân đường loại 1: m= 3y ds δ(x, y)ds = L L √ • Ta có x = t2 + y = 2t nên ds = t2 + 1dt • Suy m= √ t2 + 1dt = Câu √ √ u2 du = 2 − • Miền lấy tích phân V thỏa ≤ x√≤ (1) ≤ y ≤ − x2 (2) x2 + y ≤ z ≤ 18 − x2 − y (3) • Từ (1) (2) ta có, hình chiếu V mặt phẳng Oxy góc phần tư thứ hình trịn x2 + y = Từ (3), ta có, miền V có hai đáy gồm mặt nón (S1 ) : z = √x2 + y phần phía mặt cầu (S2 ) : x2 + y + z = 18 (tâm O, bán kính 2) • Chuyển sang tọa độ cầu ta có: – Jacobian: J = r sin θ π – Từ (1) (2) suy ≤ ϕ √ π – (S1 ) : θ = ; (S2 ) : r = √ π π Do đó, ta có miền V : ≤ ϕ ≤ ; ≤ θ ≤ ≤ r ≤ 4 • Suy ra, √ π J= • Ta có r dr = sin θdθ dϕ Câu π 243π √ ( − 1) 0 P = y ∂P =− ∂y y ∂P =0 ∂z Q= x ∂Q 1 − =⇒ =− z y ∂x y ∂Q =− ∂z z ∂R = − ∂y z R=− =⇒ y z2 =⇒ ∂R =0 ∂x Do đó, tích phân I khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân Câu • Chọn đường cong lấy tích phân đoạn thẳng AB với A(1, 1, 1), B(2, 2, 2) Đoạn thẳng có phương trình x = y = z = t với t ∈ [1, 2] Suy ra, I = • Phương trình cho tương đương với phương trình ln x y + y= x x Đây phương trình tuyến tính cấp • Phương trình có nghiệm tổng qt tính theo cơng thức y = e− dx x e ln x dx x2 x = x2 = (x ln x − x + C) x2 +C ln xdx + C • Vì y(1) = nên C = Vậy nghiệm phương trình cho y = Câu (x ln x − x + 3) x2 • Phương trình đặc trưng k + = có hai nghiệm phức k = ±i Do đó, phương trình có nghiệm tổng qt dạng y = C1 cos x + C2 sin x • Vế phải phương trình cho f (x) = cos 3x (dạng 2) với tham số α = 0, β = n = Nhận xét α ± β = ±3i khơng nghiệm phương trình đặc trưng Do đó, phương trình cho có nghiệm riêng dạng Y = A cos 3x + B sin 3x Suy Y = −9A cos 3x − 9B sin 3x • Vì Y nghiệm phương trình Y + Y = cos 3x hay −8A cos 3x − 8B sin 3x = cos 3x B = • Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho Đồng hệ số hai vế ta thu A = − y = C1 cos x + C2 sin x − cos 3x TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bộ mơn Tốn Mơn thi: Vi tích phân A2 Mã số mơn học: TN002 Nhóm E05 – Học kỳ II Năm học: 2009 – 2010 Thời gian làm bài: 120 phút NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm câu ) o0o -2 Câu Hãy biễu diễn miền D giới hạn đường cong x 1 y x y , biết miền D không chứa điểm O 0, Hãy tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm z x y với x, y D Câu Tính khối lượng cung L : x cos t , y sin t , z t với t , biết điểm M x, y , z L có khối lượng riêng x, y , z x y z Câu Tìm cơng lực F x, y, z x y i x z j z y k di chuyển vật từ điểm A 1, 0, 1 đến điểm B 0, 2,3 dọc theo đường thẳng nối A B Câu Gọi S mặt biên hình chóp OABC với O 0, 0, , A 1, 0, , B 0,1, C 0, 0,1 Hãy tính tích phân mặt loại hai sau: I xdydz ydzdx zdxdy , tích phân lấy theo S phía ngồi S Câu Tìm hàm số y y x xác định miền x thỏa mãn x y " y ' x e x y 1 , y ' 1 e Thang điểm Câu Điểm 2.0 1.0 1.5 1.0 1.5 Cần Thơ, ngày 03 tháng năm 2010 Cán giảng dạy Lê Hoài Nhân 0,5đ * Trên AB: y = x (0 x 1) x y Hàm Lagrange: F ( x, y ) x xy ( x y 1) Điểm dừng: Fx' y 2 x 2 x y ' Fy x 2 y 2 y x ' x2 y2 1 2 F x y 2 x y 2 x y x y y x2 y2 y x2 y 2 y y Phương trình y y có hai nghiệm y y (bị loại y ) Với y ta có x f(0;1) = 0,25đ * Xét điểm đầu mút: f (0, 0) , f (1, 0) , f (0,1) * Vậy fmin = OB: x = fmax = (1; 0) Câu 2: (1,0 điểm) Tính thể tích vật thể giới hạn mặt z = - x2 - y2, z = x2 + y2 = Giải 0,25đ z - x - y z * Giao tuyến: 2 x y x y Hình chiếu vật thể lên mặt phẳng Oxy hình trịn ( D) : x y 0,25đ * Thể tích vật thể: V = (4 x y )dxdy với D: {x2 + y2 2} D 0,25đ x r cos * Chuyển sang toạ độ cực: y r sin J r 2 0,25đ Suy ra: V d (4 r 0 r 1 2 )rdr = đvtt Trang Câu 3: (1,5 điểm) Cho P(x, y) = 2yexy + excosy, Q(x, y) = 2xexy - exsiny a) (0,5 điểm) Tìm để biểu thức Pdx + Qdy vi phân toàn phần b) (1,0 điểm) Với vừa tìm được, tính tích phân P( x, y )dx Q( x, y )dy L L nửa đường tròn x2 + y2 = 2x từ điểm A(2,0) đến gốc O(0; 0) Giải a) 0,25đ * Ta có, P(x, y) = 2yexy + excosy Q 2e xy (1 xy ) ex sin y , x P 2e xy (1 xy ) ex sin y y Q(x, y) = 2xexy - exsiny 0,25đ * Để Pdx + Qdy = d Q P = x y b) Với = vừa tìm được, chọn điểm cố định (0 ; 0) Khi đó, (x, y) = 0,25đ x y 0 P( x, 0)dx Q( x, y )dy x y 0 y y 0 = e x dx + (2 xe xy e x sin y )dy = ( e x - 1) + 2e xy e x (cos y ) 0,25đ = ( e x - 1) + 2(exy – 1) + ex(cosy - 1) = 2exy + excosy – 0,25đ Khi 0,25đ P( x, y)dx Q( x, y)dy = 2e xy e x cos y - L Câu 4: (1,0 điểm) Tính tích phân mặt (0,0) (2,0) yzdydz zxdzdx z = – e2 dxdy , S mặt biên S miền kín giới hạn mặt z x y z = tích phân mặt lấy theo phía ngồi S Giải Đặt P = yz, Q = zx, R = z2 0,25đ * Áp dụng cơng thức Ostrogradski-Gauss cho mặt kín S ta I= P Q R x y z dxdydz = zdxdydz V V Trang 0,25đ * Xác định miền V: 2 2 z x y x y z z Giao tuyến Hình chiếu miền V lên Oxy hình trịn: x y x y 2 x y z Suy ra: V : 0,25đ 0,25đ x r cos y r sin * Chuyển sang tọa độ trụ: z z J r * Suy ra: I = 2 1 0 r2 d dr zrdz 0 r 1 2 r2 z 1 1 1 Câu 5: (2,0 điểm) a (1,0 điểm) Tìm nghiệm riêng phương trình vi phân y dx x dy thỏa điều kiện ban đầu y(1) = x y b (1,0 điểm) Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình y” – 4y’ + 8y = e2x.sin2x + x Giải a) Đặt P = y 0,25đ * Ta có , Q = x x y Q P = nên phương trình phương trình vi phân toàn phần x y * Chọn điểm cố định (1;1), phương trình có tích phân tổng qt 0,25đ x y 1 P( x,1)dx Q( x, y)dy C y 1 dx x dy C x y 1 1 xy C x y x 0,25đ 0,25đ = 2 r.( z ) dr = 2 (r r )dr = 2 = r 2 6 0 x Điều kiện ban đầu y(1) = 1 C = Vậy nghiệm cần tìm xy Trang 20 y b) Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình y” – 4y’ + 8y = e2x.sin2x + x 0,25đ * Phương trình nhất: y” – 4y’ + 8y =0 (2) Phương trình đặc trưng: k2 - 4k + = có nghiệm k1 =2-2i, k2=2+2i nên phương trình (2) có nghiệm tổng quát: y = e2x(C1cos2x + C2sin2x) Ta có: f(x) = e2x.sin2x + x = f1(x) + f2(x) 0,25đ * Nghiệm riêng phương trình y” – 4y’ + 8y = f1(x) (3) f1(x) = e2x(0.cos2x + 1.sin2x) có = = i k1 , k2 nên phương trình (3) có nghiệm riêng dạng: Y1= e2x(Axcos2x + Bxsin2x) 0,25đ * Nghiệm riêng phương trình y” – 4y’ + 8y = f2(x) (4) f2(x) = e0x.x: = k1, k2; P1(x) = x nên phương trình (4) có nghiệm riêng dạng: Y2 = Cx + D 0,25đ Nghiệm riêng phương trình (1) có dạng: Y = Y1 + Y2 = e2x(Axcos2x + Bxsin2x)+ Cx + D * Vậy phương trình có nghiệm tổng qt dạng y = y + Y1 + Y2 = e2x(C1cos2x + C2sin2x) + e2x(Axcos2x + Bxsin2x) + Cx + D Trang (1) Đáp án mơn Vi Tích Phân A2 Ngày thi 08/05/09 ĐÁP ÁN THI HỌC KỲ NĂM HỌC 08 – 09 Nhóm 05, 06 D01 Ngày thi: 08/05/09 - Câu (1,5 điểm) Cho hàm số z e x x y y (1) (1,0 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số z miền bị chặn D miền tam giác có ba đỉnh: 0,0 , A 2,0 B 0, 2 (0,5 điểm) b) Xem (1) phương trình xác định hàm ẩn y theo x z Tính dy ? Giải a) Tìm điểm dừng bên miền D : z x' e x x y y y 1 (loại) M 1, 1 nằm biên D ' x x 1 z y e y A O Điểm dừng đoạn OA: y , 2 x Ta có, z e x x 1 g x g ' x e x x x 2 (loại) Điểm dừng đoạn OB: x , 2 y Ta có, z y y h y B h ' y y 1 y 1, x Điểm dừng, N 0, 1 Điểm dừng đoạn AB: y x , 2 x Ta có, z e x x x 1 k x x 1 k ' x e x x x x 3 e x x x x 4 Vì 2 x nên ta nhận x 1 y 1 Điểm dừng P 1, 1 ` Tính giá trị hàm số điểm dùng đầu mút z 0,0 z 2,0 e z 0, 1 z 1, 1 e Kết luận: zmax z 0, 2 zmin z 1, 1 Giáo viên: Trần Ngọc Liên z 0, 2 1 e Trang Đáp án mơn Vi Tích Phân A2 Ngày thi 08/05/09 b) Ta có, dy y x' dx y z' dz Ta có, (1) F x, y, z z e x x y y 1 Suy ra, Fx' e x x y y Fy' e x y Fz' Suy ra, Fx' x y2 y y ' Fy 2y ' x y z' Do đó, dy y dx y dz ' x ' z Fz' e x Fy' y x y y dx e x dz 2y Câu (1,0 điểm) Tính thể tích vật thể miền V giới hạn mặt z x 1 y z 2x Giải * Cách (Dùng tích phân lớp) Thể tích vật thể tính theo công thức: V x 1 y x dxdy x y dxdy D D Trong đó, D hình chiếu vật lên mặt phẳng Oxy Giao tuyến hai mặt z x 1 y z x : z x 12 y z x z 2x 2 2 z x x 1 y x x y Suy ra, hình chiếu miền V lên mặt phẳng Oxy hình trịn: x y 1 x r cos Chuyển sang tọa độ cực: y r sin 0 r Ta có, J r miền D trở tình miền D ' : 0 2 Suy ra, V x y dxdy r 1 r drd D' D 2 1 1 d r 1 r dr 2 r r (đvtt) 0 2 0 Giáo viên: Trần Ngọc Liên Trang Đáp án môn Vi Tích Phân A2 Ngày thi 08/05/09 * Cách (Dùng tích phân lớp) Thể tích vật thể tính theo cơng thức: V dxdydz V Giao tuyến hai mặt z x 1 y z x : 2 z x 12 y z x z 2x 2 2 z x x 1 y x x y Suy ra, hình chiếu miền V lên mặt phẳng Oxy hình trịn: x y 1 x r cos Chuyển sang tọa độ trụ: y r sin Ta có, J r miền V trở tình miền z z 0 r V ' : 0 2 r 2r cos z 2r cos Khi đó, V rdrd dz V 2 ' 2 d dr r cos rdz r r cos 1 1 1 d r 1 r dr 2 r r (đvtt) 0 2 0 Câu (1,5 điểm) Cho miền D giớ hạn bởi: y x , y x gọi L biên miền D (0,75 điểm) a) Tính I xydx x dy tích phân lấy theo L chiều dương (0,75 điểm) b) Tính diện tích miền D Giải a) I xydx x dy L * Cách Tính trực tiếp: Ta có, I xydx x dy xydx x dy L1 L2 Với L1 cung parabol y x từ O đến A 1,1 L2 đoạn thẳng AO 1 I1 xydx x dy x3dx x d x x3dx x 3dx 0 L1 0 0 1 I xydx x dy x dx x dx x dx x3 3 L2 1 Vậy, I I1 I 2 Giáo viên: Trần Ngọc Liên Trang Đáp án môn Vi Tích Phân A2 Ngày thi 08/05/09 * Cách Dùng công thức Green I xydx x dy L Ta có, P x, y xy Py' x Q x, y x Qx' 2 x Với P, Q liên tục đạo hàm riêng chúng miền D 0 x Miền D biểu diễn lại sau: x y x Áp dụng cơng thức Green ta có, x 1 1 1 I xdxdy 4 dx xdy 4 x x dx 4 x3 x 0 3 D 0 x2 b) Tính diện tích miền D : * Cách (Dùng tích phân lớp) Diện tích miền D tính theo cơng thức: x 1 1 S D dxdy dx dy x x dx x x3 (đvdt) 0 2 D 0 x2 * Cách (Dùng tích phân đường loại 2) Diện tích miền D tính theo cơng thức: 1 S D xdy ydx xdy ydx xdy ydx 2L L1 L2 Ta có, 1 1 1 S1 xdy ydx xd x x dx x dx L1 20 20 1 S2 xdy ydx xdx xdx L2 21 Vậy, S S1 S2 (đvdt) Câu (1,0 điểm) Tính diện tích mặt S tích phân mặt, với S phần mặt z x2 y nằm hình trụ x y Giải Ta có, diện tích mặt (S) tính theo công thức: S dS S x2 y Với S : z z x' x z 'y y dS z x'2 z '2y dxdy x y dxdy Giáo viên: Trần Ngọc Liên Trang Đáp án môn Vi Tích Phân A2 Ngày thi 08/05/09 x2 y2 z z 2 Giao tuyến mặt (S) mặt trụ x y : 2 2 2 x y x y 2 Hình chiếu mặt (S) lên mặt phẳng Oxy: D : x y 1 Ta có, S x y dxdy D x r cos j Chuyển sang tọa độ cực: y r sin j 0 r ' 0 j 2p Khi đó, J r miền (D) trở thành miền D : Từ ta có, S r D' 2 d r r drd 2 2 r 2 r dr 2 2 (đvtt) Câu (2,0 điểm) (1,0 điểm) a) Giải phương trình sau cách tìm thừa số tích phân: y x y dx xy x y dy (1,0 điểm) b) Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình: y" y xe2 x sin x Giải a y x y dx xy x y dy 1 M x, y xy y M y' xy y N x, y x y xy N x' xy y Ta có, M y N x xy y y x y ' ' Do đó, phương trình cho khơng phương trình vi phân tồn phần Ta có, M y' N x' M yx y2 y y2 x y2 Do đó, ta tìm thừa số tích phân dạng m y e Chọn m y y dy ln y thừa số tích phân phương trình cho y Giáo viên: Trần Ngọc Liên Trang Đáp án mơn Vi Tích Phân A2 Ngày thi 08/05/09 Nhân thừa số tích phân vào phương trình ban đầu ta có, y x y dx x x y dy Chọn điểm cố định (0,0) ta có tích phân tổng qt phương trình là: y x 2.0 x dx x x y dy C 2 0 y x x y dy C x y xy C Vậy tích phân tổng qt phương trình cho là: x y xy C 1 b y" y xe2 x sin x Phương trình nhất: y y " 2 Phương trình đặc trưng: k k 1 ~ Nghiệm tổng quát phương trình (2): y C1e C2e Tìm dạng nghiệm riêng phương trình (1): x x 2x 2x xe xe cos x f1 x f x 2 2x " Xét phương trình: y y xe 3 2x Ta có, f1 x xe có a khơng nghiệm phương trình đặc trưng 2x Suy dạng nghiệm riêng (3): Y1 e Ax B 2x " Xét phương trình: y y xe cos x 4 2x Ta có, f1 x xe cos x , có a ib 2i khơng nghiệm phương Ta có, f x xe sin x 2x trình đặc trưng 2x Suy dạng nhiệm riêng (4): Y2 e Cx D cos x Ex F sin x Theo nguyên lý chồng chất nghiệm, (1) có nghiệm riêng dạng: Y Y1 Y2 e2 x Ax B e x Cx D cos x Ex F sin x Dạng nghiệm tổng quát (1): ~ y y Y C1e x C2e x e2 x Ax B e x Cx D cos x Ex F sin x Giáo viên: Trần Ngọc Liên Trang ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2 HỌC KỲ - NHÓM E02 NĂM HỌC: 2010 - 2011 Ngày thi:10/04/2011 Thời gian: 120 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm 07 câu in 01 trang) Câu Tìm cực trị hàm số z = − 4x − 3y với x, y thỏa điều kiện x2 + y = Câu Tính tích phân I = xyzdxdydz với Ω miền hình cầu x2 + y + z = Ω Câu Tính tích phân đường loại một: I = x2 ds với L đoạn thẳng OA, O(0, 0, 0) L A(3, 1, −2) Câu Tính tích phân đường loại hai: I = (x2 − 2xy)dx + (y − x2 + ey )dy với C cung đường C cong có phương trình y = x3 + từ điểm A(−1, 0) đến điểm B(1, 2) Câu Tính tích phân mặt loại hai: I = giới hạn mặt z = x2 dydz + z dxdy S biên hình nón S x2 + y z = 1, tích phân lấy theo phía ngồi S Câu Giải phương trình vi phân: (x + y + 1)dx + (x − y + 3)dy = Câu Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình vi phân sau: y + 2y + 5y = e−x (1 + sin 2x) Cần Thơ, ngày 07 tháng năm 2011 Cán giảng dạy LÊ HOÀI NHÂN ĐÁP ÁN Câu Hàm Lagrange: F (x, y, λ) = − 4x − 3y + λ(x2 + y − 1) = Fx = −4 + 2λx x = 5, y = 5, λ = F = −3 + 2λy = ⇐⇒ • Điểm dừng: y 2 x = − ,y = − ,λ = − Fλ = x + y − 1λx = 5 5 Vậy hàm số có hai điểm dừng: M( , ) với λ = N(− , − ) với λ = − 5 5 • Ta có, Fxx = 2λ, Fxy = 0, Fyy = 2λ Suy ra, d2 F = 2λ(dx2 + dy ) • Tại M ta có: d2 F (M) = 5(dx2 + dy 2) > Do đó, hàm số f đạt cực tiểu M fmin = • Tại N ta có: d2 F (M) = −5(dx2 + dy 2) < Do đó, hàm số f đạt cực đại M fmax = 11 Câu Tính tích phân I = xyzdxdydz với Ω miền hình cầu x2 + y + z = x y Chuyển sang tọa độ cầu: z Miền Ω trở thành miền Ω : Ω • • • = = = 0 Khi đó, I = r cos ϕ sin θ r sin ϕ sin θ =⇒ J = r sin θ r cos θ ≤ r ≤ ≤ ϕ ≤ 2π ≤ θ ≤ π r sin 2ϕ sin3 θ cos θdrdϕdθ Ω 2π = π sin 2ϕdϕ r dr sin θ cos θdθ 0 = Câu Tính tích phân đường loại một: I = x2 ds với L đoạn thẳng OA, O(0, 0, 0) L A(3, 1, −2) x = 3t √ y = t t ∈ [0, 1] =⇒ ds = 14dt • OA : z = −2t • √ Suy ra: I = 14 √ t2 dt = 14 Câu Tính tích phân đường loại hai: I = (x2 − 2xy)dx + (y − x2 + ey )dy với C cung đường C cong có phương trình y = x3 + từ điểm A(−1, 0) đến điểm B(1, 2) ∂P ∂Q = Suy ra, tích phân khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân Gọi ∂y ∂x L1 đoạn thẳng AB Khi đó, • Ta có, (x2 − 2xy)dx + (y − x2 + ey )dy I= L1 • • L1 : y = x + với x ∈ [−1, 1] Do đó, I= x2 − 2x (x + 1) + (x + 1)5 − x2 + ex+1 dx = 25 + e2 −1 Câu Tính tích phân mặt loại hai: I = x2 dydz + z dxdy S biên hình nón S giới hạn mặt z = x2 + y z = 1, tích phân lấy theo phía ngồi S Gọi Ω mà miền giới hạn mặt nón z = x2 + y mặt phẳng z = • Áp dụng cơng thức Gauss ta có, I =2 (x + z)dxdydz Ω x = r cos ϕ y = r sin ϕ =⇒ J = r • Chuyển sang tọa độ trụ, z =z ≤ ϕ ≤ 2π 0≤r≤1 Miền Ω trở thành miền Ω : r≤z≤1 • Suy ra, I = π = 1 2π (r cos ϕ + z).rdz dr dϕ r Câu Giải phương trình vi phân: (x + y + 1)dx + (x − y + 3)dy = ∂Q ∂P = nên phương trình cho phương trình vi phân tồn phần • Vì ∂y ∂x • Chọn (x0 , y0) = (0, 0) hàm Φ(x, y) xác định nhờ: y x P (x, y0 )dx + Φ(x, y) = y0 y x0 x = (x + − y 2)dy (x + 1)dx + Q(x, y)dy = x + x + (x + 3)y − y 3 • Vậy tích phân tổng qt phương trình cho x + x + (x + 3)y − y = C Câu Tìm dạng nghiệm tổng quát phương trình vi phân sau: y + 2y + 5y = e−x (1 + sin 2x) Phương trình y + 2y + 5y = k = −1 + 2i Phương trình đặc trưng k + 2k + = ⇐⇒ k = −1 − 2i Nghiệm phương trình nhất: y = e−x (A cos 2x + B sin 2x) • Tìm dạng nghiệm phương trình y + 2y + 5y = e−x Ta có, f1 (x) = e−x , α = −1, n = Suy ra, Y1 = C.e−x • Tìm dạng nghiệm phương trình y + 2y + 5y = e−x sin 2x Ta có, f2 (x) = e−x sin2x, α = −1, β = 2, n = Nhận xét, α±iβ nghiệm phương trình đặc trưng nên Y2 = x.e−x (D cos 2x+E sin 2x) • Theo nguyên lý chống chất nghiệm ta có, dạng nghiệm tổng qt phương trình cho là: • y = e−x (A cos 2x + B sin 2x) + C.e−x + x.e−x (D cos 2x + E sin 2x) = = = = = HẾT = = = = = ĐIỂM QUY ĐỔI TỪ ĐIỂM SỐ SANG ĐIỂM CHỮ ĐIỂM SỐ 8.5 - 10.0 7.5 - 8.4 7.0 - 7.4 6.0 - 6.9 5.5 - 5.9 5.0 - 5.4 4.0 - 4.9 0.0 - 3.9 ĐIỂM CHỮ A B+ B C+ C D+ D F ... cầu toán 1 ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2 HỌC KỲ - NHÓM 03 NĂM HỌC: 2010 - 2011 Ngày thi: 11/05/2011 Thời gian: 120 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi. .. 2x) MƠN THI VI TÍCH PHÂN A2 HỌC KỲ I - NHÓM 03 NĂM HỌC: 2014 - 2015 Ngày thi: 23.11.2014 Thời gian làm bài: 120 phút KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm... D+ D F ĐỀ THI VI TÍCH PHÂN A2 HỌC KỲ - NHÓM E02 NĂM HỌC: 2010 - 2011 Ngày thi: 10/04/2011 Thời gian: 120 phút TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN BỘ MƠN TỐN NỘI DUNG ĐỀ THI (Đề thi gồm