Bài giảng tín hiệu và hệ thống

Tu ầ n hoàn: có sự lặp lại sau một khoảng thời gian nhất địnhTính nhân qu ả: không xuất hiệu trước thời điểm t = 0 Trong chương trình, ta quan tâm đến các tín hiệu tiền định... Liên t ụ

• Toán tử T(x(t)) = y(t) x t ( ) Hệ thống y t ( )

( )

x t

Tu ầ n hoàn: có sự lặp lại sau một khoảng thời gian nhất định

Tính nhân qu ả: không xuất hiệu trước thời điểm t = 0

Trong chương trình, ta quan tâm đến các tín hiệu tiền định

Liên t ụ c/Không liên t ụ c

Tín hiệu liên tục là tín hiệu (hàm số) được xác định tại mọi giá

trị của thời gian t

Tín hiệu không liên tục là tín hiệu (hàm số) được xác định chỉ

tại các giá trị gián đoạn của thời gian t

)(t = A ωt +θ

x

]sec[

Phân lo ạ i tín hi ệ u

Tu ầ n hoàn/Không tu ầ n hoàn

Tín hi ệ u nhân qu ả /tín hi ệ u phi nhân qu ả

)

(t

x là tín hiệu nhân quả nếu nó không bắt đầu trước t=0, tức là

0

,0)(t = t <

x

là tín hiệu phi nhân quả nếu nó bắt đầu trước t=0

0

,0)(t = t ≥

()

“Kích th ướ c” c ủ a tín hi ệ u

Khoảng thờigian

ĐộBiênl ớ n độ

Diện tích dưới tín hiệu = Kích thước tín hiệu ?

N ă ng l ượ ng c ủ a tín hi ệ u

2( )

Công suất: trung bình của năng lượng theo thời gian

N ă ng l ượ ng/Công su ấ t tín hi ệ u

a) Vì biên độ của tín hiệu → 0 khi t → ∞, chọn năng lượng

b) Biên độ của tín hiệu không → 0 khi nhưng tín hiệu là tuầnhoàn nên tồn tại công suất

,

t → ∞

Xác định “số đo” về năng lượng và công suất của tín hiệu

x + x[n+ a]

Phép co giãn x (at), x[ ]an với a>0

Trên trục hoành, co chiều dài tín hiệu khi a>1, giãn chiều dài tín

hiệu khi a<1

Ba phép bi ế n đổ i c ơ b ả n

Đả o th ờ i gian

Phép đảo

Chú ý: không nhấtthiết phải đối xứng

Nén lại

Giãn ra

K ế t h ợ p các phép toán

Phép toán tổng quát f(at-b)

− có th ể đượ c th ự c hi ệ n theo hai cách

− t ứ c là thay th ế t bở i (t-[b/a]) để nh ậ n được f(at-b)

− trong c ả hai tr ườ ng h ợ p, n ế u a là s ố âm, phép co giãn bao g ồ m

c ả phép đả o th ờ i gian

H ệ liên t ụ c/h ệ không liên t ụ c

Continuous-time and discrete-time systems

Hệ thống đgl liên tục theo thời gian nếu các tín hiệu vào và ra của hệ

là các tín hiệu liên tục theo thời gian

H ệ th ố ng Liên t ụ c

( )

H ệ th ố ng gián đ o ạ n

[ ]

Hệ thống đgl không liên tục theo thời gian nếu các tín hiệu vào và ra

của hệ là các tín hiệu không liên tục theo thời gian

Tương tự, ta cũng có khái niệm hệ thống tương tự và hệ thống số

H ệ tuy ế n tính/h ệ phi tuy ế n

Linear and nonlinear systems

Hệ tuyến tính: thỏa mãn hai tính chất

–Tính cộng (Additivity)

– Tín hiệu vào là 0 thì tín hiệu ra là 0

Hệ tuyến tính: thỏa mãn nguyên lý xếp chồng (superposition)

[ 1 1( ) 2 2( ) ] 1 [ 1( ) ] 2 [ 2( ) ]

Hệ phi tuyến: không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng

H ệ tuy ế n tính/h ệ phi tuy ế n

Linear and nonlinear systems

– Điện trở, tụ điện

–

– y t ( ) = 3 ( ) x t + 4

Tuyến tínhPhi tuyếnAffine

H ệ tuy ế n tính

H ệ tuy ế n tính/h ệ phi tuy ế n

Linear and nonlinear systems

phụ thuộc vào cả các giá trị khác, ngoài giá trị tại t 0 , của tín hiệu vào

– Các giá trị tín hiệu vào khác có thể là quá khứ (t < t 0), hoặc tương

Hệ thống đgl bất biến theo thời gian nếu tín hiệu vào bị dịch đi T(bất

kỳ) đơn vị thời gian thì tín hiệu ra cũng bị dịch đi T đơn vị thời gian

H ệ b ấ t bi ế n/ph ụ thu ộ c th ờ i gian

Time-invariant and Time-varying systems

Một hệ thống không thỏa mãn (*) đgl phụ thuộc thời gian

H ệ nhân qu ả /h ệ phi nhân qu ả

Causal and noncausal systems

Hệ nhân quả: tín hiệu ra ở thời điểm t 0 (bất kỳ) chỉ phụ thuộc vào

Causal and noncausal systems

Ghép n ố i h ệ th ố ng

Mạch RC

Mô hình vào ra: PTVP tuyến tính hệ số hằng

2.4 Mô hình trạng thái liên tục

2.5 Mô hình trạng thái không liên tục

2-1

2.4 Mô hình trạng thái liên tục

2.5 Mô hình trạng thái không liên tục

2-4

Ph ươ ng trình sai phân

Ti ề n g ử i ngân hàng

f[k] = tiền gửi ở thời điểm thứ k

y[k] = số dư tài khoản ở thời điểm thứ k được tính ngay sau

khi nhận được khoản tiền gửi f[k]

Ph ươ ng trình sai phân

Có ba cách biểu diễn

Tổng quát cho phương trình sai phân cấp n

1) Sử dụng toán tử dịch tiến

2) Sử dụng toán tử dịch lùi (Thay k b ở i k + n )

Hệ số của y[k+n] bằng 1 để chuẩn hóa phương trình

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 2-6

Ph ươ ng trình sai phân

3) Sử dụng các điều kiện đầu

y[n], đầu ra tại mẫu thứ k, được tính toán từ 2n + 1 thông tin

- n giá tr ị quá kh ứ của đầu ra: y[k-1], y[k-2], …, y[k-2],

- n giá trị quá khứ của đầu vào: f[k-1], f[k-2], …, f[k-n], và

- giá tr ị hi ệ n t ạ i của đầu vào f[k]

Nếu tín hiệu vào là nhân quả, thì f[-1] = f[-2] = … = f[-n] = 0, và

chúng ta chỉ cần n điều kiện đầu y[-1], y[-2], …, y[-n]

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 2-7

2.4 Mô hình trạng thái liên tục

2.5 Mô hình trạng thái không liên tục

2-8

Đ áp ứ ng xung

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 2-10

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 2-11

Tính tích ch ậ p-Ví d ụ 1

Tính tích chập của hai hàm sau

Thay t bởi τ vào hai hàm f(t) và g(t)

Chọn xoay và dịch g(τ) bởi nó đơn giản và đối xứng

Hai hàm chồng lên nhau như hình bên

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 2-13

Đ áp ứ ng v ớ i tín hi ệ u vào b ấ t k ỳ

H ệ th ố ng T

Đ áp ứ ng v ớ i tín hi ệ u vào b ấ t k ỳ

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 2-18

H ệ th ố ng T

Tín hiệu ra của hệ thống LTI liên tục nào là tích chập của tín hiệu vàof(t) với đáp ứng xung h(t) của hệ

Đáp ứng xung h(t) mô tả đầy đủ các tính chất động học của hệ LTI

Nhờ tính chất giao hoán nên đôi khi thuận tiện hơn khi sử dụng công

Đáp ứng tổng = đáp ứng đầu vào không + đáp ứng trạng thái không

2.4 Mô hình trạng thái liên tục

2.5 Mô hình trạng thái không liên tục

• Dẫn xuất từ phương trình vi phân

• Tính đáp ứng xung

• Đáp ứng tự do và đáp ứng cưỡng bức

3-1

D ẫ n xu ấ t t ừ ph ươ ng trình vi phân

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 3-2

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 3-3

Đ áp ứ ng xung

H ệ th ố ng T

( ) T t t ( ) ( ) T t ( ) ( )

y t = c ∫ eA − b d + d t = c eA b +d t ≜ h t

Đáp ứng xung

( )0

e

!

k At

k

At k

giải hệ

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 3-6

Ví d ụ

Cho

vớiTính ma trận chuyển trạng thái

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 3-7

Ví d ụ (ti ế p)

Tiếp theo tính quỹ đạo trạng thái

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 3-10

Ví d ụ (ti ế p)

Tiếp tục …

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 3-11

2.4 Mô hình trạng thái liên tục

2.5 Mô hình trạng thái không liên tục

• Dẫn xuất từ phương trình sai phân

• Tính đáp ứng xung

• Đáp ứng tự do và đáp ứng cưỡng bức

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 3-13

D ẫ n xu ấ t t ừ ph ươ ng trình vi phân

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 3-14

Đ áp ứ ng xung

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 3-15

Đ áp ứ ng t ự do và đ áp ứ ng c ưỡ ng b ứ c

Mô t ả h th ố ng và đ áp ứ ng trên mi ề n th ờ i gian 3-16

Ch ươ ng 3: Chu ỗ i Fourier và phép bi ế n

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 4-2

+ +

+

=

t C

j t

C

e C t

0 0

) (

sin cos

)

Khi C là số thực

t jC

t C

t

x ( ) = cos ω0 + sin ω0 Công thức Euler

1 2

sin 2

ej T j

Tín hiệu sin phức là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ

( )

) ( )

t x Ce

e Ce Ce

T t

Tín hi ệ u sin

Tín hiệu sin thực

) cos(

) ( t = C ω0t + φ

0 0

0

2

Re )

(

φ ω φ

ω

φ ω

+

− +

j

t j

e e

C

Ce t

0 0

0

2

Im )

sin(

φ ω φ

ω

φ ω

φ ω

+

− +

+

−

=

= +

t j t

j

t j

e e

C

Ce t

C

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 4-4

Hàm sin thay đổ i theo hàm m ũ

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 4-7

Ch ươ ng 3: Chu ỗ i Fourier và phép bi ế n

• Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục

• Xác định các hệ số chuỗi Fourier (liên tục)

• Điều kiện Dirichlet

• Các tính chất chuỗi Fourier (liên tục)

4-8

Ý t ưở ng xu ấ t phát: Tính x ế p ch ồ ng c ủ a h ệ LTI

Các hàm mũ phức là cáchàm riêng của bất kỳ hệ

Chu ỗ i Fourier cho tín hi ệ u tu ầ n hoàn

Chu kỳ cơ bản

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 4-10

Ví d ụ 1: Tín hi ệ u sin th ự c

0( ) sin

Chu ỗ i Fourier cho tín hi ệ u th ự c

Chu ỗ i Fourier cho tín hi ệ u th ự c

Ví dụ

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 4-15

Xác đị nh các h ệ s ố chu ỗ i Fourier

1) nhân v ớ i

2) tích phân trong chu k ỳ

1) nhân v ớ i 2) tích phân trong chu k ỳ

Ở đây chỉ tích phân trong bất kỳ khoảng nào có độ dài T (một chu kỳ)

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 4-16

(Phương trình

tổng hợp)

(Phương trìnhphân tích)

C ặ p chu ỗ i Fourier liên t ụ c

⇓

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 4-17

Tích phân đầu tiên bằng T khi k = 1, bằng 0 khi k ≠ 1

Tích phân thứ hai bằng T khi k = -1, bằng 0 khi k ≠ -1

T k

M ộ t s ố chu ỗ i Furier có ích

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 4-21

Đ i ề u ki ệ n Dirichlet

Đ i ề u ki ệ n 1. x(t) kh ả tích tuy ệ t đố i trong m ộ t chu k ỳ

Đ i ề u ki ệ n 2. Trong m ộ t kho ả ng th ờ i gian

h ữ u h ạ n, x(t) có h ữ u h ạ n các c ự c đạ i và c ự c ti ể u

Ví d ụ Ví dụ không thỏa mãn

đ i ề u ki ệ n 2

Đ i ề u ki ệ n 3. Trong m ộ t kho ả ng th ờ i gian

h ữ u h ạ n, x(t) có h ữ u h ạ n các đ i ể m không liên t ụ c

Ví d ụ Ví dụ không thỏa mãn

đ i ề u ki ệ n 3

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 4-22

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 4-24

Ch ươ ng 3: Chu ỗ i Fourier và phép bi ế n

T ừ chu ỗ i Fourier đế n phép bi ế n đổ i F

Tín hiệu tuần hoàn Chuỗi Fourier

Tín hiệu không tuần hoàn Biến đổi Fourier

jk T

k

jk k

ωπ

Đị nh ngh ĩ a phép bi ế n đổ i Fourier

Tín hiệu x(t) và biến đổi Fourier X(jω) của nó có quan hệ với nhau

thông qua phương trình tổng hợp và phương trình phân tích

Ch ươ ng 3: Chu ỗ i Fourier và phép bi ế n

Đ i ề u ki ệ n h ộ i t ụ - Bi ế n đổ i F

Đ i ề u ki ệ n 1. x(t) khả tích tuyệt đối

Đ i ề u ki ệ n 2. Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t)

có hữu hạn các cực đại và cực tiểu

Đ i ề u ki ệ n 3. Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có

hữu hạn các điểm không liên tục, với các giá

trị không liên tục là hữu hạn

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-7

Ví d ụ 3: Tín hi ệ u xung đơ n v ị

Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị được tính toán như sau

Biến đổi Fourier của tín hiệu xung đơn vị là hằng số với mọi ω

Nguyên lý bất định Heisenberg vẫn được thỏa mãn

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-9

Ch ươ ng 3: Chu ỗ i Fourier và phép bi ế n

PB Đ Fourier cho tín hi ệ u tu ầ n hoàn

Xét một pbđ Fourier là một xung đơn diện tích 2π đặt tại tần số

Tín hiệu x(t) tương ứng là

Tổng quát hơn, xét dãy xung

là tín hiệu sin phức tuần hoàn với chu kỳ 2π /ω0

0 1 0

sin( )4

k k

M ộ t s ố hàm đặ c bi ệ t

sin sinc( )x x

x

= là hàmcòn đglđhàm lóng vai trò quan trọc hay hàm nọộng trong xi suy ử lý tín hiệu,

sinc(x) là hàm chẵn của biến x

sinc(x) =0 khi sin x =0 ngoại trừ tại x =0, tức là khi x = ± ±π, 2 , 3 ,π ± π

Sử dụng quy tắc L’Hopital, ta có sinc(0) =1

sinc(x) là dao động theo hàm sin với chu kỳ 2π, có biên độ giảm dầntheo hàm 1/x

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-17

B ả ng bi ế n đổ i Fourier

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-18

B ả ng bi ế n đổ i Fourier

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-19

Ch ươ ng 3: Chu ỗ i Fourier và phép bi ế n

– Không thay đổ i biên độ c ủ a ả nh Fourier

– D ị ch pha c ủ a ả nh Fourier đ i b ở i – ω t0 (d ị ch pha tuy ế n tính)

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-22

Tính ch ấ t d ị ch t ầ n s ố

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-23

↔ a là hằng số thực

|a|>1: nén trục thời gian, giãn trục tần số

|a|>1: giãn trục thời gian, nén trục tần số

Mở rộng trong miền thời gian tỷ lệ nghịch với mở rộng trong miền

Giá trị trung bình hay thành phần một chiều (DC)

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-25

Ví d ụ : Đ áp ứ ng h ệ LTI

Xét h ệ LTI v ớ i đ áp ứ ng xung

có tín hi ệ u vào

1 ( B Đ Fourier ) Chuy ể n nh ữ ng tín hi ệ u này sang mi ề n t ầ n s ố

3 ( B Đ Fourier ng ượ c ) Do đ ó đ áp ứ ng trong mi ề n th ờ i gian là

2 ( Nhân ) Đ áp ứ ng trong mi ề n t ầ n s ố là

để chuy ể n sang mi ề n th ờ i gian, bi ể u di ễ n thành t ổ ng các phân th ứ c đơ n gi ả n

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-28

ω

ωω

 

 

=+

=

+

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-31

Ứ ng d ụ ng 1: Đ i ề u ch ế biên độ

Phổ tần số của x(t) được d ch đi và có tâm đặt tại ωc và - ωc

Điều biên được sử dụng để chở một tín hiệu x(t) từ vị trí này đến vị

trí khác khi x(t) khôg thích hợp để truyền trên kênh có sẵn nhưng tín

hiệu điều chế y(t) có thể truyền đi được

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-34

Ứ ng d ụ ng 1: Đ i ề u ch ế biên độ

Giải điều chế: Tách tín hiệu mang thông tin từ tín hiệu điều chế

Nhân y(t) với tín hiệu mang

Ảnh Fourier của z(t)

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-35

Ứ ng d ụ ng 2: L ấ y m ẫ u

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-37

Ứ ng d ụ ng 2: L ấ y m ẫ u

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-38

Ứ ng d ụ ng 2: L ấ y m ẫ u

trùng ph ổ

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-39

Ch ươ ng 3: Chu ỗ i Fourier và phép bi ế n

Phép bi ế n đổ i Fourier ng ượ c

Chu ỗ i Fourier và phép bi ế đổ i Fourier liên t ụ c 5-42