ôn luyện đại học chuyên đề lượng giác Nhận dạng tam giác

[...]... ⇔ sin ( A − B ) = 0 ⇔A=B Thay và o (2) ta đượ c sin 2A = 2 sin 2 A ⇔ 2 sin A cos A = 2 sin 2 A ⇔ cos A = sin A ( do sin A > 0 ) ⇔ tgA = 1 π ⇔A= 4 Do đó ΔABC vuô n g câ n tạ i C V TAM GIÁ C ĐỀ U Bà i 221: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : bc 3 = R ⎡ 2 ( b + c ) − a ⎤ (*) ⎣ ⎦ Ta có : (*) ⇔ ( 2R sin B )( 2R sin C ) 3 = R ⎡2 ( 2R sin B + 2R sin C ) − 2R sin A ⎤ ⎣ ⎦ ⇔ 2 3 sin B sin C = 2 ( sin B + sin C ) −...A−B a b = 0 hay − =0 2 cos A cos B 2R sin A 2R sin B ⇔ A = B hay = cos A cos B ⇔ A = B hay tgA = tgB ⇔ ΔABC câ n tạ i C ⇔ sin IV NHẬN DẠN G TAM GIÁ C Bà i 218: Cho ΔABC thỏ a : a cos B − b cos A = a sin A − b sin B (*) Chứ n g minh ΔABC vuô n g hay câ n Do đònh lý hà m sin: a = 2R sin A, b = 2R sin B Nê n (*) ⇔ 2R sin A cos B − 2R sin... ⎝ π⎞ ⎛ sin C > 0 và 1 − cos ⎜ B − ⎟ ≥ 0 3⎠ ⎝ Nê n vế trá i củ a (1) luô n ≥ 0 ⎧ π⎞ ⎛ ⎪cos ⎜ C − 3 ⎟ = 1 ⎪ ⎝ ⎠ Do đó , (1) ⇔ ⎨ ⎪cos ⎛ B − π ⎞ = 1 ⎜ ⎟ ⎪ 3⎠ ⎝ ⎩ π ⇔ ΔABC đề u ⇔C=B= 3 3 ⎧ sin B sin C = ⎪ ⎪ 4 Bà i 222: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u ⎨ 3 3 3 ⎪a 2 = a − b − c ⎪ a−b−c ⎩ (1) (2) Ta có : (2) ⇔ a 3 − a 2 b − a 2 c = a 3 − b3 − c 3 ⇔ a 2 ( b + c ) = b3 + c 3 ⇔ a 2 ( b + c ) = ( b + c ) ( b2 − bc... ⎤ = 3 ⎣ ⎦ ⇔ cos A = ⇔ 2 ⎡ cos ( B − C ) + cos A ⎤ = 3 ⎣ ⎦ π⎞ ⎛1⎞ ⎛ ⇔ 2 cos ( B − C ) + 2 ⎜ ⎟ = 3 ⎜ do (1 ) ta có A = ⎟ 3⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⇔ cos ( B − C ) = 1 ⇔ B = C Vậ y từ (1), (2) ta có ΔABC đề u Bà i 223: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C Ta có : sin 2A + sin 2B = 2sin ( A + B ) cos ( A − B ) = 2sin C cos ( A − B ) ≤ 2sin C (1) Dấ u “=” xả y ra khi: Tương tự :... sin2A + sin2B + sin2C) ≤ 2 ( sinC + sinB + sin A ) ⎧cos ( A − B ) = 1 ⎪ Dấ u “=” xả y ra ⇔ ⎨cos ( A − C ) = 1 ⇔ A = B = C ⎪ ⎩cos ( B − C ) = 1 ⇔ ΔABC đề u Bà i 224: Cho ΔABC có : 1 1 1 1 (*) + + = 2 2 2 sin 2A sin 2B sin C 2 cos A cos B cos C Chứ n g minh ΔABC đề u Ta có : (*) ⇔ sin2 2B.sin2 2C + sin2 2A sin2 2C + sin2 2A sin2 2B sin 2A.sin 2B.sin 2C = ⋅ ( sin 2A sin 2B sin 2C ) 2 cos A cos B cos C = 4... ( sin 2C sin 2A − sin 2C sin 2B ) = 0 2 ⎧sin 2B sin 2A = sin 2B sin 2C ⎪ ⇔ ⎨sin 2A sin 2B = sin 2A sin 2C ⎪sin 2A sin 2C = sin 2C sin 2B ⎩ ⎧sin 2A = sin 2B ⇔ A = B = C ⇔ ABC đề u ⇔⎨ ⎩sin 2B = sin 2C Bà i 225: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u : a cos A + b cos B + c cos C 2p (*) = a sin B + b sin C + c sin A 9R Ta có : a cos A + b cos B + c cos C = 2R sin A cos A + 2R sin B cos B + 2R sin C cos C = R ( sin... bc + ca ) Do đó vế trá i : Do bấ t đẳ n g thức Cauchy ta có a + b + c ≥ 3 abc ab + bc + ca ≥ 3 a 2 b2c 2 Do đó : ( a + b + c )( ab + bc + ca ) ≥ 9abc Dấ u = xả y ra ⇔ a = b = c ⇔ ΔABC đề u Bà i 226: Chứ n g minh ΔABC đề u nế u A B C cot gA + cot gB + cot gC = tg + tg + tg ( *) 2 2 2 Ta có : cot gA + cot gB = ≥ sin ( A + B ) sin A sin B sin C = sin C sin A sin B ⎛ sin A + sin B ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ 2 (do bđt... 3A + sin 3B + sin 3C = 0 d/ 4S = ( a + b − c )( a + c − b ) Chứ n g minh ΔABC đề u nế u a/ 2 ( a cos A + b cos B + c cos C ) = a + b + c b/ 3S = 2R 2 ( sin 3 A + sin 3 B + sin 3 C ) c/ sin A + sin B + sin C = 4 sin A sin B sin C 9R d/ m a + m b + m c = vớ i ma , m b , mc là 3 đườ n g trung tuyế n 2 Th.S Phạm Hồng Danh – TT luyện thi Vĩnh Viễn ... sin B sin C (1) a sin B + b sin C + c sin A 3 2p a + b + c 2 Mà vế phả i : = = ( sin A + sin B + sin C ) 9R 9R 9 2 ≥ 3 sin A sin B sin C (2) 3 Từ (1) và (2) ta có ( * ) ⇔ sin A = sin B = sin C ⇔ ΔABC đề u 4R sin A sin B sin C a+b+c Cá c h 2: Ta có : (*) ⇔ = a sin B + b sin C + c sin A 9R a ⎞⎛ b ⎞⎛ c ⎞ ⎛ 4R ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ ⎝ 2R ⎠ = a + b + c ⇔ 9R ⎛ b ⎞ ⎛ c ⎞ ca a⎜ ⎟ + b⎜ ⎟+ 2R ⎠ 2R ⎠ 2R ⎝ ⎝... A cos B = 0 ⇔ − sin A cos A + sin B cos B = 0 (do sin A > 0 và sin B > 0 ) ⇔ sin 2A = sin 2B ⇔ 2A = 2B ∨ 2A = π − 2B π ⇔ A = B∨ A+B = 2 Vậ y ΔABC câ n tạ i C hay ΔABC vuô n g tạ i C Bà i 220: ΔABC là tam giá c gì nế u : ⎧a 2 sin 2B + b2 sin 2A = 4ab cos A sin B (1) ⎨ (2) ⎩sin 2A + sin 2B = 4 sin A sin B Ta có : (1) ⇔ 4R 2 sin 2 A sin 2B + 4R 2 sin 2 B sin 2A = 16R 2 sin A sin 2 B cos A ⇔ sin 2 A sin . 1 A 2 cos 22 BC cos 1 2 π ⎧ = ⎪ ⎪ ⇔ ⎨ π ⎪ = = ⎪ ⎩ A 2 BC 4 Bài 206: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2004) Cho A BCΔ không tù thỏa điều kiện ( ) cos2A 2 2cosB 2 2cosC 3 *++= Tính ba. A cosA sinA dosinA 0 tgA 1 A 4 ⇔= ⇔= > ⇔= π ⇔= Do đó A BCΔ vuông cân tại C V. TAM GIÁC ĐỀU Bài 221: Chứng minh A BCΔ đều nếu: ( ) bc 3 R 2 b c a (*)=+− ⎡⎤ ⎣⎦ Ta có:(*) ()() ( ) 2RsinB. 0 cos C 0⇔<∨<∨< ⇔ A BCΔ có 1 góc tù. II. TAM GIÁC VUÔNG Bài 209: Cho A BCΔ có + = Bac cotg 2b Chứng minh A BCΔ vuông Ta có: Bac cotg 2b + = ++ ⇔= = B cos 2R sin A