PHẦN 1 – KIẾN THỨC CẦN NHỚ I – TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1 Nhắc lại định nghĩa Kí hiệu K là khoảng, hoặc đoạn, hoặc nửa khoảng Giả sử hàm số ( )y f x= xác định trên K Ta nói Hàm số ( )y f x= đồng biế[.]
Nền tảng TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ THẦY ĐỖ VĂN ĐỨC | Khóa I2K6 | Buổi IA1 PHẦN – KIẾN THỨC CẦN NHỚ I – TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Nhắc lại định nghĩa Kí hiệu K khoảng, đoạn, nửa khoảng Giả sử hàm số y = f ( x ) xác định K Ta nói: Hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) K với cặp số x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 f ( x1 ) < f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) nghịch biến (giảm) K với cặp số x1 , x2 thuộc K mà x1 < x2 f ( x1 ) > f ( x2 ) Hàm số y = f ( x ) đồng biến nghịch biến K gọi chung hàm số đơn điệu K Nhận xét: f ( x2 ) − f ( x1 ) • f ( x ) đồng biến K ⇔ > 0, ∀x1 , x2 ∈ K ( x1 ≠ x2 ) ; x2 − x1 • f ( x ) nghịch biến K ⇔ f ( x2 ) − f ( x1 ) < 0, ∀x1 , x2 ∈ K ( x1 ≠ x2 ) x2 − x1 Hàm tăng ( a ; b ) Hàm giảm ( a ; b ) Tính đơn điệu dấu đạo hàm Định lý f ′ ( x ) > ∀x ∈ K ⇒ f ( x ) đồng biến K f ′ ( x ) < ∀x ∈ K ⇒ f ( x ) nghịch biến K Lưu ý: Nếu f ′ ( x ) = ∀x ∈ K ⇒ f ( x ) không đổi K Định lý mở rộng: Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm K , f ′ ( x ) ≥ ( f ′ ( x ) ≤ ) ∀x ∈ K f ′ ( x ) = số hữu hạn điểm hàm số f ( x ) đồng biến (nghịch biến) K Quy tắc II – QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Bước 1: Tìm tập xác định Bước 2: Tính đạo hàm f ′ ( x ) , tìm điểm xi ( i = 1, 2, , n ) mà đạo hàm không xác định Bước 3: Sắp xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần lập bảng biến thiên Bước 4: Kết luận khoảng đồng biến nghịch biến hàm số Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học Online Mơn Tốn Website: thayduc.vn III – MỘT SỐ LƯU Ý Lưu ý 1: Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) K hàm số f ( x ) + g ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) K Nếu hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến nhận giá trị dương K hàm số f ( x ) g ( x ) đồng biến K Lưu ý 2: Nếu hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ a ; b ] hàm số f ( x ) đồng biến (nghịch biến) khoảng ( a ; b ) tương đương với hàm số f ( x ) đồng biến (hay nghịch biến) đoạn [ a ; b ] Lưu ý 3: Nếu hàm số u ( x ) đồng biến [ a ; b ] hàm số f ( u ( x ) ) đồng biến (nghịch biến) [ a ; b] hàm số f ( x ) đồng biến (nghịch biến) Nếu hàm số u ( x ) nghịch biến [ a ; b ] hàm số f ( u ( x ) ) [ a ; b] hàm số f ( x ) nghịch biến (đồng biến) u ( a ) ; u ( b ) đồng biến (nghịch biến) u ( b ) ; u ( a ) PHẦN – VÍ DỤ MINH HỌA Câu Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y = x e) y= x − ; x g) = y x − 3; b) = y x + x; d) y= x + ; x x f) y = ; x +1 h) y = x ; i) y= x − x ; k) = y x2 − x c) = y x − x; PHẦN – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Khoảng nghịch biến hàm số y =x − x + A ( 0;3) B ( 2; ) C ( 0; ) D ( 3; ) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A ( −2;1) B (1; ) C ( −1;3) D ( −1;1) Câu Trong hàm số sau, hàm số đồng biến ? A y = x + x + B y = 2x −1 x −1 C y = x3 + x + D y = x − x + _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 IA1 – Nền tảng tính đơn điệu hàm số Website: thayduc.vn Câu Hàm số sau nghịch biến ? A y = x −1 x−2 B y = x +1 x+3 C y = − x3 + x − x D = y x + x Câu Hàm số hàm số sau nghịch biến ? A y = −3 x3 + x − x B y = x +1 x −1 C y =− x − x + D y = − x4 − 2x2 Câu Trong hàm số sau đây, hàm số không đồng biến ? A = y x + x B y = x3 − x + x − C = y 4x − x D y = x − 3sin x + cos x Câu Khoảng nghịch biến hàm số y = − x + x A (1; ) B ( −∞ ;1) C (1; + ∞ ) D ( 0;1) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x )= x − x + 5, ∀x ∈ Khẳng định sau đúng? A Hàm số f ( x ) nghịch biến ( −∞ ; − 1) B Hàm số f ( x ) nghịch biến ( −1; ) C Hàm số f ( x ) nghịch biến ( 2; +∞ ) D Hàm số f ( x ) đồng biến Câu 10 Cho hàm số y = x −1 Mệnh đề sau đúng? x A Hàm số cho đồng biến ( −∞ ;1) B Hàm số cho nghịch biến ( −∞ ;0 ) C Hàm số cho đồng biến ( 0; + ∞ ) D Hàm số cho đồng biến \ {0} Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) xác định có đạo hàm f ′ ( x ) = ( x − 1) x ( x + 1) Hàm số cho nghịch biến khoảng đây? A ( 0;1) B (1; + ∞ ) C ( −1;0 ) D ( −∞ ; − 1) Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′= ( x ) x ( x − ) , ∀x ∈ Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A ( 0; ) B ( −2;0 ) C ( 0; + ∞ ) D ( −∞ ; − ) Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) =+ ( x 1) ( x − ) ( − x ) Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A ( 2;5 ) B ( −1; ) C ( 5; + ∞ ) D ( −∞ ; − 1) Câu 14 Hàm số hàm số sau nghịch biến ? A y = x +1 x −3 B y = − x + x + C y = x + x + x + D y =− x3 − x − _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học Online Mơn Tốn Website: thayduc.vn Câu 15 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm f ′ ( x ) sau: x −∞ −1 f ′( x) + − Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A ( −∞ ; − 1) B ( −1;1) +∞ − C (1; ) D ( 2; + ∞ ) Câu 16 Hàm số y = sin x đồng biến khoảng khoảng sau: π A − ;0 3π B π ; Câu 17 Điều kiện cần đủ để hàm số f ( x ) = A m ≥ B m > π 3π C ; 4 π D ; π 2 x3 + x − mx + 2222 đồng biến C m ≤ D m ≤ −4 y f ′ ( − x ) Câu 18 Cho hàm số đa thức bậc bốn y = f ( x ) Đồ thị hàm số= cho hình vẽ bên Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng A ( −∞ ; − 1) B ( −1;1) C (1;5 ) D ( 5; + ∞ ) Câu 19 Cho hàm số y = f ( x ) xác định , hàm số g ( = x ) f ′ ( x + 3) + có đồ thị parabol ( P ) hình vẽ Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng đây? A (1;6 ) B (1; ) C ( 5;9 ) D ( −∞ ;9 ) Câu 20 Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số f ′ ( x= ) x ( x + m ) ∀x ∈ Số tự nhiên m nhỏ để hàm số f ( x ) nghịch biến ( −2222; − 100 ) A −2222 B 2222 C 2223 D −2223 - Hết - _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 CÁC MƠ HÌNH VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐIỂN HÌNH THẦY ĐỖ VĂN ĐỨC | Khóa I2K6 | Buổi IA2 PHẦN – KIẾN THỨC CẦN NHỚ I – ĐƠN ĐIỆU HÀM BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT CÓ THAM SỐ ax + b Hàm số f ( x) = ( c ≠ ) đơn điệu khoảng xác định cx + d • Hàm số f ( x ) đồng biến khoảng xác định ad − bc > 0; Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng xác định ad − bc < • ax + b ( c ≠ ) đơn điệu K, với K khoảng, đoạn nửa khoảng cx + d ad − bc > Hàm số f ( x ) đồng biến K d − c ∉ K ad − bc < Hàm số f ( x ) nghịch biến K d − c ∉ K Hàm số f ( x) = • • au ( x ) + b ( c ≠ ) đơn điệu K, với K khoảng, đoạn nửa khoảng cu ( x ) + d Phương pháp giải • Đặt u ( x ) = t , với x ∈ K tập giá trị t khoảng H = Hàm số f ( x ) • Nếu u ( x ) đồng biến K f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) K g ( t ) đồng biến (hoặc nghịch biến) H • Nếu u ( x ) nghịch biến K f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) K g ( t ) nghịch biến (hoặc đồng biến) H II – TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ F(X,M) ĐƠN ĐIỆU TRÊN MỘT KHOẢNG Bài tốn: Tìm tham số m để hàm số 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑚𝑚) đơn điệu khoảng (𝛼𝛼, 𝛽𝛽) Phương pháp giải Bước 1: Viết điều kiện dạng bất phương trình Hàm số y = f ( x, m ) đồng biến khoảng (α ; β ) f ′ ( x, m ) ≥ ∀x ∈ (α ; β ) Hàm số y = f ( x, m ) nghịch biến khoảng (α ; β ) f ′ ( x, m ) ≤ ∀x ∈ (α ; β ) Bước 2: Biến đổi bất phương trình dạng lập m, lưu ý hàm số liên tục [α ; β ] hàm số đơn điệu (α ; β ) đơn điệu [α ; β ] g ( x ) ≤ m ∀x ∈ (α ; β ) ⇔ max g ( x ) ≤ m; x∈(α ; β ) g ( x ) ≥ m ∀x ∈ (α ; β ) ≥ g ( x ) ≥ m x∈(α ; β ) Bước 3: Khảo sát biến thiên hàm số g ( x ) để tìm max g ( x ) khoảng xét Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học Online Mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ III – TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM HỢP Bài toán: Cho hàm số y = f ( x ) biết thông tin dấu f ′ ( x ) , yêu cầu xét biến thiên hàm số f ( u ( x ) ) Phương pháp giải Tính f ( u ( x ) ) ′ = f ′ ( u ( x ) ) u ′ ( x ) ′ Xét dấu f ( u ( x ) ) thông qua dấu f ′ ( u ( x ) ) u ′ ( x ) PHẦN – BÀI TẬP TỰ LUẬN Câu Tìm m để hàm số f ( x ) = x +1 x−m a) Đồng biến ( −1;3) ? b) Nghịch biến ( −∞ ;0 ) ; c) Đồng biến (1; + ∞ ) ; Câu Cho hàm số f ( x ) = x −1 Tìm m để m − 2x a) Hàm số f ( x ) nghịch biến khoảng xác định π b) Hàm số f ( sin x ) nghịch biến 0; ; 2 π c) Hàm số f ( cos x ) nghịch biến 0; 2 Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm , đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) hình vẽ Tìm khoảng đồng biến nghịch biến hàm số sau y f ( x + 3) ; a)= b) y = f ( x ) ; c) y f ( x + x ) ; = d) y = f ( x3 ) PHẦN – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = A −2 < m < B −2 ≤ m ≤ mx − nghịch biến khoảng m − 2x C −2 < m ≤ Câu Có giá trị nguyên âm tham số m để hàm số y = ( 0; + ∞ ) ? A B C 1 ; + ∞ 2 D m > đồng biến khoảng x + mx − 2x D _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 IA2 – Các mơ hình tính đơn điệu điển hình Website: http://thayduc.vn/ Câu Có giá trị nguyên tham số m ∈ ( −10;10 ) để hàm số y = x3 + x − mx − đồng biến ( −∞ ;0 ) ? A 10 B C D Câu Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m ) x + ( − m ) x + m + Có giá trị nguyên tham số m thuộc = đoạn [ −10;10] để hàm số đồng biến K A 10 B 12 ( 0; + ∞ ) C 21 D Câu Tập hợp tất giá trị thực tham số m để hàm số y = x3 − x + ( − m ) x đồng biến khoảng ( 2; + ∞ ) A ( −∞ ; ) B ( −∞ ; − 1] C ( −∞ ; 2] D ( −∞ ; − 1) Câu Có số nguyên dương m cho hàm số y = x3 + x + (1 − m ) x + đồng biến (1; + ∞ ) ? A Vô số B C D Câu 10 Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y =x − ( m + ) x + ( m + 4m ) x nghịch biến khoảng ( 0;1) ? A B C D tan x − , với m tham số thực Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tan x − m π tham số m ∈ [ −10;10] để hàm số đồng biến − ;0 Tính tổng phần tử S Câu 11 Cho hàm số y = A −48 B 45 C −55 Câu 12 Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ −20; 20] để hàm số y = khoảng ( −8;0 ) ? A 15 B 16 C 17 D −54 − 2x −1 đồng biến − 2x + m D 18 Câu 13 Có số nguyên m để hàm số f ( x ) =+ x m x + đồng biến ? A B C D _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học Online Mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ Câu 14 Có số nguyên m để hàm số f ( x ) = x − ( m − 3m ) x đồng biến khoảng ( 2; + ∞ ) A B C D y f ( − x ) đồng biến Câu 15 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′= ( x ) x ( x − 1) , ∀x ∈ Hàm số = khoảng? A ( 2; + ∞ ) B ( 0; ) C ( −∞ ; − 1) D ( −1;1) Câu 16 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu đạo hàm hình bên Hàm số= y f (1 − x ) nghịch biến khoảng ( x −∞ f ′( x) ) A −2; − −3 − B ( + ) −2 − − C ( 2; + ∞ ) 3;2 + +∞ − D ( −1;1) Câu 17 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = mf ( x ) + 2222 nghịch biến khoảng f ( x) + m ( −1;1) A 92 B 95 C 87 D 89 - Hết - _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Nền tảng CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ THẦY ĐỖ VĂN ĐỨC | Khóa I2K6 | Buổi IA3 PHẦN – KIẾN THỨC CẦN NHỚ Các khái niệm I – KHÁI NIỆM Khái niệm điểm cực đại, giá trị cực đại Cho hàm số f ( x ) xác định tập D, x0 ∈ D x0 gọi điểm cực đại hàm số x0 ∈ ( a ; b ) , f ( x ) nếu: ∃ ( a ; b ) ⊂ D : f ( x ) < f ( x0 ) ∀x ∈ ( a ; b ) \ { x0 } Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số Khái niệm điểm cực tiểu, giá trị cực tiểu Cho hàm số f ( x ) xác định tập D, x0 ∈ D x0 gọi điểm cực tiểu hàm số x0 ∈ ( a ; b ) , f ( x ) nếu: ∃ ( a ; b ) ⊂ D : f ( x ) > f ( x0 ) ∀x ∈ ( a ; b ) \ { x0 } Khi f ( x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số Lưu ý tên gọi Điểm cực đại, điểm cực tiểu: điểm cực trị Giá trị cực đại, giá trị cực tiểu: cực trị Nếu x0 điểm cực trị hàm số y = f ( x ) điểm ( x0 ; f ( x0 ) ) gọi điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) Mối quan hệ với đạo hàm Nếu hàm số f ( x ) có đạo hàm khoảng ( a ; b ) đạt cực trị x0 ∈ ( a ; b ) f ′ ( x0 ) = Nếu f ′ ( x ) có đạo hàm khoảng ( a ; b ) đổi dấu x qua điểm x0 ∈ ( a ; b ) x0 điểm cực trị hàm số y = f ( x ) Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học Online Mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ II – ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Giả sử hàm số f ( x ) liên tục khoảng ( a ; b ) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng ( a ; x0 ) ( x0 ; b ) Nếu f ′ ( x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua Nếu f ′ ( x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 x0 điểm cực tiểu hàm số x0 x0 điểm cực đại hàm số III – MỐI QUAN HỆ VỚI ĐẠO HÀM CẤP HAI Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp khoảng ( a ; b ) chứa điểm x0 , f ′ ( x0 ) = f có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 a) Nếu f ′′ ( x0 ) < hàm số f đạt cực đại điểm x0 b) Nếu f ′′ ( x0 ) > hàm số f đạt cực tiểu điểm x0 Lưu ý: Nếu f ′′ ( x0 ) = , ta chưa thể kết luận x0 có điểm cực trị hàm số f ( x ) hay khơng Ví ′ ( ) f= ′′ ( ) x ; f ′′ ( x ) 12 x , ta có f= dụ hàm f ( x ) = x = có f ′ ( x ) 4= ′ ( x0 ) f= ′′ ( x0 ) x = x0 Với hàm đa thức bậc ba f ( x ) = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) , f= điểm cực trị f ( x ) PHẦN – VÍ DỤ LUYỆN TẬP Câu Tìm điểm cực trị hàm số sau: a) y = x ; b) = y x − x; c) y =x − x + 1; e) y= x − ; x g) y = x ; d) = y x + x3 ; f) y= x + ; x y x −2 x h) = Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) =− ( x − x )( x − 1)( x3 − ) , ∀x ∈ Hàm số cho có điểm cực đại? Câu Tìm m để đồ thị hàm số y =x3 − 3mx + có hai điểm cực trị, khoảng cách hai điểm cực trị _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Nền tảng cực trị hàm số Website: http://thayduc.vn/ PHẦN – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Đồ thị hàm số sau khơng có điểm cực trị? A = y x − x B y = − x + C y = x +1 x−2 D = y x − x Câu Hàm số sau có điểm cực trị? A y = x−2 x −1 B = y x + C y = x + x − D y = x + x − Câu Cho hàm số y = f ( x ) , hàm số y = f ′ ( x ) có bảng xét dấu sau: x −∞ f ′( x) − −1 0 + +∞ + Số điểm cực trị hàm số f ( x ) A B C D Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục , hàm số y = f ′ ( x ) có bảng xét dấu sau x −∞ f ′( x) − −1 || + +∞ − Số điểm cực trị hàm số f ( x ) A B C D C D Câu Giá trị cực đại hàm số y = x − x + A B Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục , có đồ thị hình vẽ Hỏi đoạn [ −2; 2] , hàm số cho có điểm cực trị? A B C D Câu 10 Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: x f ′( x) f ( x) −∞ − + B x = 1 +∞ − −2 +∞ Hàm số cho đạt cực đại A x = −1 −1 −∞ −12 C x = −2 D x = _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020 Thầy Đỗ Văn Đức – Khóa học Online Mơn Tốn Website: http://thayduc.vn/ Câu 11 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị sau: Hỏi đoạn [ −2; 2] , hàm số cho có điểm cực trị? A B C D Câu 12 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x= ) ( x − 1) ( x − 3) ( x − ) ∀x ∈ Số điểm cực tiểu hàm số cho A B C D Câu 13 Cho hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x ) = 3sin x − cos x − Số điểm cực trị hàm số y = f ( x ) A C Vô số B D Câu 14 Hàm số f = ( x ) x ( x − 1) có điểm cực trị? A B C D Câu 15 Cho hàm số y = f ( x ) có f ′ ( x= ) x ( x + 5) , ∀x ∈ Số điểm cực trị hàm số f ( x ) A B C D 2 Câu 16 Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = mx3 − (m + 1) x + 2m − x + có hai điểm cực 3 trị? − < m < A m ≠ B − ≤ m ≤ C − < m < m Câu 17 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm, đồng biến nhận giá trị âm ( 0; + ∞ ) Hỏi hàm số g ( x) = f ( x) có điểm cực trị ( 0; + ∞ ) ? x A B Vô số C D Câu 18 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x )= x + x − 2, ∀x ∈ Hỏi hàm số g= ( x ) f ( x − 3) có điểm cực trị? A B C D _ Thầy Đỗ Văn Đức – http://facebook.com/dovanduc2020