Dạy học cho học sinh chuyên toán trung học phổ thông thông qua chủ đề tổ hợp

Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC VŨ TUẤN VŨ DẠY HỌC CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA CHỦ ĐỀ TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2019 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC VŨ TUẤN VŨ DẠY HỌC CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THÔNG QUA CHỦ ĐỀ TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TỐN CHUN NGÀNH: LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MƠN TỐN Mã số: 8.14.01.11 Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Anh Vinh HÀ NỘI - 2019 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục LỜI CẢM ƠN Trƣớc trình bày nội dung khóa luận, em xin chân thành cảm ơn tồn thể thầy giáo tồn thể cán công nhân viên chức trƣờng Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội tận tình giảng dạy, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em suốt trình học tập nghiên cứu Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với PGS.TS Lê Anh Vinh, ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn bảo tận tình, chu đáo cho em suốt trình nghiên cứu thực đề tài Em xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp quan, gia đình, bạn bè quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện để em hoàn thành nhiệm vụ học tập giảng dạy Trong q trình hồn thiện luận văn, cố gắng nhƣng tránh khỏi có thiếu sót hạn chế định luận văn Kính mong góp ý, bảo thầy cô, bạn bè đồng nghiệp để luận văn em đƣợc hồn chỉnh có nhiều đóng góp cho giáo dục nƣớc nhà Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 24 tháng 11 năm 2019 Tác giả Vũ Tuấn Vũ i Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii MỞ ĐẦU .1 Lý chọn đề tài .1 Mục đích nghiên cứu .2 Nhiệm vụ nghiên cứu Câu hỏi nghiên cứu Khách thể nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Giả thuyết nghiên cứu .3 Giới hạn phạm vi nghiên cứu .3 Phƣơng pháp nghiên cứu 10 Cấu trúc luận văn CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số quan niệm tƣ 1.1.1 Khái niệm tƣ .5 1.1.2 Các giai đoạn tƣ 1.1.3 Các thao tác tƣ .8 1.1.4 Phân loại tƣ 11 1.2 Tƣ sáng tạo 12 1.2.1 Tƣ sáng tạo .12 1.2.2 Các đặc trƣng tƣ sáng tạo 14 1.2.3 Tƣ sáng tạo mơn tốn .17 1.3 Yêu cầu nội dung phƣơng pháp dạy học chủ đề tổ hợp 18 1.3.1 Yêu cầu kiến thức .18 1.3.2 Yêu cầu kĩ 18 1.3.3 Yêu cầu tƣ sáng tạo cần hình thành học 19 1.4 Mục tiêu, nội dung chƣơng trình chủ đề tổ hợp dành cho học sinh chuyên toán .19 1.4.1 Mục tiêu chƣơng trình .19 ii Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục 1.4.2 Nội dung chƣơng trình 19 1.5 Tìm hiểu thực tiễn dạy học chủ đề tổ hợp cho học sinh khối chuyên toán Trƣờng trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên 19 Kết luận chƣơng .20 CHƢƠNG PHÁT TRIỂN TƢ DUY SÁNG TẠO TRONG CHỦ ĐỀ TỔ HỢP DÀNH CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN 22 2.1 Một số kiến thức chủ đề tổ hợp rời rạc học sinh cần nắm vững 22 2.1.1 Hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp cơng thức nhị thức Niuton 22 2.1.2 Các định lý số học .24 2.2 Các dạng toán tổ hợp thƣờng gặp 25 2.2.1 Các toán rời rạc đại số tổ hợp .25 2.2.2 Các tốn hình học tổ hợp 49 2.2.3 Các tốn đồ thị tơ màu .68 Kết luận chƣơng .83 CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .84 3.1 Mục đích thực nghiệm sƣ phạm 84 3.2 Nội dung thực nghiệm sƣ phạm 84 3.3 Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm 84 3.3.1 Đối tƣợng thực nghiệm 84 3.3.2 Thời gian thực nghiệm 85 3.3.3 Hình thức thực nghiệm 85 3.3.4 Tiến trình thực nghiệm 85 3.4 Kết thực nghiệm sƣ phạm 125 Kết luận chƣơng 126 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 127 Kết luận .127 Khuyến nghị 128 iii Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, sống thời kì bùng nổ cơng nghệ, khoa học - kĩ thuật Gần đây, cách mạng công nghiệp 4.0 bùng nổ có tác động đến nhiều quốc gia tồn giới Với mơi trƣờng nhƣ nay, ngƣời thỏa sức tìm tịi, nghiên cứu sáng tạo để đạt những thành tựu định, góp phần làm giàu cho xã hội vật chất tinh thần Cùng với phát triển tồn diện kinh tế, xã hội trí tuệ nhiều nƣớc giới Đất nƣớc cần có thay đổi bƣớc tiến để rút ngắn khoảng cách bắt kịp với nƣớc giới Để làm đƣợc điều đó, phải hiểu rõ gốc rễ vấn đề, đất nƣớc có phát triển đƣợc bền vững lâu dài phụ thuộc nhiều vào giáo dục nƣớc Chính vậy, giáo dục nƣớc ta cần có thay đổi nội dung phƣơng pháp để tạo ngƣời tài đức vẹn tồn, động, sáng tạo, có tƣ khoa học, trở thành nguồn nhân lực chất lƣợng cao phục vụ cho đất nƣớc Khoa học tảng phát triển giới, tốn học đóng vai trị to lớn Toán học sâu vào đời sống xã hội, vào khoa học, công cụ giúp giải nhiều vấn đề, vƣớng mắc sống hàng ngày nói chung ngành khoa học nói riêng, có khoa học xã hội Do đó, tốn học gần gũi với sống hàng ngày Tuy vậy, cách dạy học sa đà, nặng lý thuyết thƣờng dập khn máy móc mà khơng trọng vào thực hành, thực tế cho học sinh để phát triển khả tƣ sáng tạo khiến cho học sinh cảm thấy nhàm chán hứng thú việc học mơn tốn, học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi tốn cấp Các thầy ln cố gắng cho học sinh làm thật nhiều dạng bài, học bồi dƣỡng nơi để mong bƣớc vào thi em gặp đƣợc dạng đƣợc học Nhƣng nhiều thầy cô lại quên rằng, học sinh giỏi phát triển tƣ sáng tạo lại cần thiết Khi mà em đƣợc trang bị tảng kiến thức vững vàng khả tƣ sáng tạo tốt em Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục tự tin bƣớc vào thi để đột phá thân dành đƣợc kết tốt Khả tƣ sáng tạo khơng giúp ích cho em học sinh mơn tốn mà cịn giúp em giải đƣợc nhiều vấn đề sống, trở thành ngƣời có ích cho gia đình nói riêng cho xã hội nói chung Chính dạy học theo định hƣớng phát triển tƣ sáng tạo xu hƣớng giáo dục Việt Nam giới, đòi hỏi giáo viên cần phải thay đổi cách dạy học phù hợp với xu Trong chƣơng trình tốn phổ thơng dành cho học sinh chuyên, chủ đề tổ hợp phần quan trọng mà đó, học sinh tự suy nghĩ, tự sáng tạo tìm hƣớng riêng cho tốn Do phần khó tốn học, địi hỏi học sinh phải có tƣ tốt, nên nhiều thầy cô trƣờng chuyên thƣờng bỏ qua dạy cho học sinh ít, khơng đủ để em trang bị cho tảng kiến thức tốt phần Nhƣng xây dựng đƣợc hệ thống dạng toán tổ hợp lý thuyết tập từ đến nâng cao gắn liền với thực tế giúp cho em học sinh lĩnh hội đƣợc kiến thức, từ hình thành khả tƣ sáng tạo thân Từ lý mà tác giả chọn đề tài nghiên cứu luận văn: “Dạy học cho học sinh chuyên toán trung học phổ thông thông qua chủ đề tổ hợp” Mục đích nghiên cứu Thiết kế giảng với chủ đề tổ hợp, xây dựng hệ thống lý thuyết tập từ đến nâng cao, gắn liền với toán thực tế nhằm phát triển tƣ sáng tạo học sinh, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học nội dung Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sở lí luận tƣ duy, tƣ sáng tạo, dạy học phát huy tính sáng tạo học sinh  Khảo sát thực trạng giảng dạy chủ đề tổ hợp khối chuyên tốn trƣờng Trung học phổ thơng Chun Thái Ngun  Thiết kế số kế hoạch dạy học theo chủ đề tổ hợp  Thực nghiệm sƣ phạm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục Câu hỏi nghiên cứu - Thế tƣ duy, tƣ sáng tạo dạy học theo định hƣớng phát triển tƣ sáng tạo? - Vận dụng phƣơng pháp dạy học phát triển tƣ sáng tạo chủ đề tổ hợp nhƣ để đạt đƣợc hiệu tối ƣu đồng thời phát huy hết đƣợc tính chủ động, sáng tạo học sinh? - Thiết kế kế hoạch dạy học chủ đề tổ hợp nhƣ để phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh? Khách thể nghiên cứu Quá trình dạy học chủ đề tổ hợp cho học sinh khối chuyên toán Đối tƣợng nghiên cứu Dạy học phát triển tƣ sáng tạo đƣợc áp dụng trình dạy học chủ đề tổ hợp cho học sinh chun tốn nhằm phát triển tích tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Giả thuyết nghiên cứu Phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh chun tốn qua tốn tổ hợp hình thành cho học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo từ học sinh nắm vững hiểu sâu dạng toán tổ hợp, tự tin bƣớc vào kì thi học sinh giỏi cấp Đồng thời góp phần đổi phƣơng pháp dạy học trƣờng Trung học phổ thơng nói chung trƣờng chuyên nói riêng Giới hạn phạm vi nghiên cứu 8.1 Giới hạn phạm vi nội dung Đề tài nghiên cứu dạy học phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh chuyên tốn Trung học phổ thơng thơng qua chủ đề tổ hợp 8.2 Giới hạn phạm vi thời gian Các nghiên cứu số liệu đề tài đƣợc tiến hành học kì I năm học 2019 - 2020 8.3 Giới hạn phạm vi nghiên cứu Học sinh đội tuyển tốn trƣờng Trung học phổ thơng Chun Thái Nguyên Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục Phƣơng pháp nghiên cứu  Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận : Tổng hợp, nghiên cứu phân tích tài liệu tƣ duy, tƣ sáng tạo, dạng toán tổ hợp dành cho học sinh chuyên toán phƣơng pháp giải  Phƣơng pháp điều tra, quan sát, khảo sát thực tiễn: tiến hành dự giờ, trao đổi, tham khảo ý kiến số đồng nghiệp dạy giỏi mơn tốn mơn khác có kinh nghiệm, tìm hiểu thực tiễn giảng dạy chủ đề tổ hợp, tham khảo số giảng trực tuyến mạng internet  Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm: thực nghiệm giảng dạy số kế hoạch dạy học soạn theo hƣớng đề tài nhằm đánh giá tính khả thi hiệu đề tài 10 Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, khuyến nghị, tài liệu tham khảo, luận văn dự kiến đƣợc trình bày chƣơng: Chƣơng 1: Cơ sở lí luận thực tiễn Chƣơng 2: Phát triển tƣ sáng tạo chủ đề tổ hợp dành cho học sinh chuyên toán Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số quan niệm tƣ 1.1.1 Khái niệm tư 1.1.1.1 Định nghĩa Thế giới xung quanh ta rộng lớn, nhiều điều mà ngƣời chƣa khám phá đƣợc Nhiệm vụ sống hoạt động thực tiễn đòi hỏi khơng ngừng tìm tịi để hiểu thứ chƣa biết cách triệt để, sâu sắc xác hơn, phải tìm thuộc chất quy luật tác động chúng Quá trình nhận thức đƣợc gọi tƣ Theo tác giả Nguyễn Quang Uẩn “Tư trình tâm lý phản ánh thuộc tính chất, mối liên hệ quan hệ bên có tính quy luật vật, tượng thực khách quan mà trước ta chưa biết.” [19] Cịn theo tác giả Sacđacov M.N: “ Tư q trình tâm lý liên quan chặt chẽ với ngơn ngữ - q trình tìm tịi sáng tạo yếu, trình phản ánh cách phần hay khái quát thực tế phân tích tổng hợp Tư sinh sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính vượt xa giới hạn nó” [17] Tƣ đƣợc thể trình độ cao phức tạp phản ánh, tạo sản phẩm tinh thần cách gián tiếp phƣơng thức trừu tƣợng hóa, khái qt hóa tổng hợp, phân tích so sánh… Đó q trình vận dụng khái niệm, tri thức theo quy luật lôgic, trực giác để đạt đƣợc chân lý Đó q trình khơng ngừng bổ sung, tìm tịi, “cải biến” giới thực tƣ óc ngƣời sử dụng kết làm sở để giải vấn đề thực tiễn đặt Tƣ toán học đƣợc hiểu: - Thứ hình thức biểu lộ tƣ q trình ngƣời nhận thức khoa học, tốn học hay trình áp dụng kiến thức toán học vào khoa học khác nhƣ: vật lý, hóa học, sinh học, tin học, kỹ thuật, thiên văn, vũ trụ… Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục góc nhọn Chứng minh: Gọi Ai , Ai 1 , Ai 2 đỉnh liên tiếp đa giác lồi Theo tính chất tổng góc tam giác ta có hai góc Ai 1 Ai Ai  Ai Ai  Ai 1 góc nhọn Ta có điều phải chứng minh Quay trở lại toán Gọi M tập hợp tất cặp gồm cạnh đỉnh cho đỉnh nhìn cạnh dƣới góc nhọn Cho  AB, C  phần tử thuộc M Xét đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC , gọi tập N tập tất đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác đƣợc tạo phần tử thuộc M Vì N tập hữu hạn nên tồn phần tử thuộc N có bán kính lớn nhất, ta kí hiệu (d ) Giả sử (d ) đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác A1 A2 Am với A1 A2 cạnh đa giác Ta chứng minh (d ) đƣờng trịn cần tìm Giả sử tồn đỉnh Ap nằm ngồi (d ) Khi ta có A1 Ap A2  A1 Am A2  900 đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác A1 Ap A2 thuộc N mà theo bổ đề bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp tam giác A1 Ap A2 lớn bán kính đƣờng tròn (d ) dẫn đến mâu thuẫn Vậy đỉnh khác đa giác nằm đƣờng tròn (d ) Bây ta cần chứng minh A1 , A2 , Am đỉnh liên tiếp đa giác 114 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục Thật vậy, gọi A2 A1 Am   góc nhọn tam giác A1 A2 Am Ta chứng minh Am  A3 Thật vậy, giả sử ngƣợc lại Am  A3 Khi A3 nằm vị trí nhƣ hình vẽ, ta đặt A2 A3 Am   suy     1800 hay 1800      900    900 suy A2 Am A3  900 điều có nghĩa  A2 A3 , A m  phần tử tập M Gọi (c) đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác A2 A3 Am X giao điểm (c) với đƣờng trung trực A2 Am Khi ta có: A2 XAm  1800      A2 A1 Am Do theo bổ đề bán kính đƣờng trịn (c) lớn bán kính đƣờng trịn (d ) (mâu thuẫn) Vậy Am  A3 toán đƣợc chứng minh hoàn toàn Buổi học thứ năm: Kế hoạch dạy học thực nghiệm số Chuyên đề: Các toán tổ hợp đồ thị I Mục tiêu Về kiến thức - Biết nắm vững định nghĩa hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp cơng thức nhị thức Niutơn - Biết thành thạo khái niệm, tính chất lý thuyết đồ thị Về kĩ - Vận dụng kiến thức học đƣợc thầy cô cung cấp vào tốn đại số tổ hợp để giải tìm hƣớng đúng, sáng tạo cho toán - Chữ viết cẩn thận, trình bày rõ ràng, mạch lạc đủ ý Về thái độ - Có ý thức cao học tập, có niềm say mê với tốn học - Rèn luyện tốt tƣ duy, tính cẩn thận, xác, chu - Tƣ vấn đề toán học cách đơn giản, sáng tạo có tính hệ thống Định hƣớng phát triển lực - Năng lực tƣ sáng tạo, giải vấn đề - Năng lực tính tốn, lực phân tích tổng hợp, so sánh 115 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục - Năng lực hợp tác, đối thoại, lực tranh luận II Phƣơng pháp, kĩ thuật dạy học - Sử dụng linh hoạt, hiệu phƣơng pháp: phát giải vấn đề; dạy học hợp tác, trao đổi tranh luận - Sử dụng phối hợp biện pháp phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh III Chuẩn bị Giáo Viên: Kế hoạch dạy học, hệ thống tập phù hợp Chuẩn bị tốt hệ thống câu hỏi gợi mở, dẫn dắt giúp học sinh tham gia tích cực vào việc phát giải vấn đề, tìm hƣớng sáng tạo cho toán Rèn luyện khả tƣ sáng tạo, độc lập Học sinh: Ơn tập hệ thống lí thuyết đại số, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Học kĩ lý thuyết đồ thị IV Hoạt động dạy học Hoạt động 1: Bài toán (Olympic toán quốc tế): Mƣời bảy nhà bác học viết thƣ cho Mỗi ngƣời viết thƣ cho tất ngƣời khác Các thƣ trao đổi đề tài Từng cặp nhà bác học viết thƣ trao đổi đề tài Chứng minh có nhà bác học viết thƣ cho trao đổi đề tài: Giáo viên đƣa gợi ý: Với toán này, em thử áp dụng nguyên lý Dirichlet Với gợi ý trên, học sinh đƣa lời giải cho tốn Ta xây dựng đồ thị mơ tả mối quan hệ 17 nhà bác học đề tài nhƣ sau: Trong không gian cho 17 điểm tƣơng ứng với 17 nhà bác học A1 , A2 , , A17 Hai nhà bác học trao đổi với đề tài đƣợc nối cạnh đỏ, trao đổi với đề tài đƣợc nối cạnh xanh trao đổi với đề tài đƣợc nối cạnh vàng Sau xây dựng xong đồ thị, học sinh nhận rằng: Để chứng minh tốn, ta cần có tam giác có cạnh đƣợc tơ màu Xét 16 cạnh A1 A2 , A1 A3 , , A1 A17 đƣợc tô màu đỏ, xanh vàng Theo 116 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục nguyên lý Dirichlet tồn cạnh đƣợc tô màu Khơng tính tổng qt ta giả sử cạnh A1 A2 , , A1 A7 đƣợc tơ màu đỏ Khi đó, có hai trƣờng hợp xảy ra: Trƣờng hợp 1: Nếu tồn cạnh Ai Aj (i  j, i, j  2, 3, , 7) đƣợc tơ màu đỏ ta có tam giác A1 Aj Aj có cạnh đƣợc tơ màu đỏ hay có nhà bác học trao đổi đề tài Trƣờng hợp 2: Nếu khơng có cạnh số cạnh Ai Aj (i  j, i, j  2, 3, , 7) đƣợc tơ màu đỏ Khi đó, cạnh đƣợc tô hai màu xanh vàng Đến ta quay trở lại toán suy tồn tam giác Am An Ap đƣợc tơ màu xanh vàng, hay có nhà bác học trao đổi đề tài đề tài Đến đây, toán đƣợc giải hoàn toàn Giáo viên đƣa nhận xét để học sinh đến kết tổng quát: Từ toán trên, câu hỏi đƣợc đặt ra: Vậy số màu đồ thị mà tăng lên hƣớng giải toán tổng quát nhƣ nào? Từ đó, giáo viên đƣa kết tổng quát sau cho học sinh Kết 1: Cho hai dãy số nguyên dƣơng  an   bn  thỏa mãn: b2  3, b3  a1  2, a2    an1  (n  1)an  bn1  (bn  1)n  Khi ta có kết sau: 1, Đồ thị đầy đủ có an  đỉnh với cạnh đƣợc tô n màu có đồ thị đầy đủ D3 (tam giác màu) 2, Đồ thị đầy đủ có bn1 đỉnh với cạnh đƣợc tơ n màu ln có đồ thị đầy đủ D3 (tam giác màu) Giáo viên hƣớng dẫn học sinh chứng minh kết 1: Để chứng minh kết tổng quát trên, rõ ràng ta cần dùng đến nguyên lý Dirichlet nhƣ toán nhƣng chƣa đủ, ta cần dùng thêm phƣơng pháp quy nạp cho toán 117 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục Hoạt động Bài toán 2: Một nhóm gồm thành viên, có ngƣời quen ngƣời khơng quen Chứng minh xếp nhóm ngồi xung quanh bàn trịn, để ngƣời ngồi hai ngƣời mà thành viên quen Giáo viên đƣa kết tổng quát cho học sinh Để giải toán trên, ta chứng minh kết tổng quát sau: Kết 2: Đồ thị đầy đủ có bn1  đỉnh  n  2 cạnh đƣợc tô n màu, cho khơng có tam giác màu Khi ln ln có hình cạnh với cạnh màu đƣờng chéo đƣợc tô màu khác Giống nhƣ hoạt động 1, học sinh nghĩ đến phƣơng pháp quy nạp cho toán Có học sinh đƣa chứng minh nhƣng chƣa hoàn thiện Chứng minh: Cũng giống nhƣ kết Ta chứng minh kết quy nạp theo n Với n  ta có đồ thị đầy đủ D2 có b3   đỉnh cạnh đƣợc tô màu (giả sử xanh đỏ) khơng có đồ thị K3 màu (khơng có tam giác màu) Khi D2 biểu diễn dƣới dạng hình cạnh màu (màu đỏ) đƣờng chéo màu (màu xanh) Thật vậy, đồ thị D2 đầy đủ nên xuất phát từ đỉnh có cạnh đƣợc tô hai màu xanh đỏ, hai cạnh đƣợc tô màu đỏ, hai cạnh đƣợc tô màu 118 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục xanh Thật vậy, giả sử có cạnh đƣợc tơ màu AB, AC, AD nên theo số tồn tam giác màu (mâu thuẫn với giả thiết) Giả sử A có cạnh đỏ AB, AC (biểu diễn nét liền) AD, AE màu xanh (đƣờng nét đứt) Khi cạnh BC phải có màu xanh ED màu đỏ Khi đó, hai cạnh BE, CE khơng thể màu xanh Giả sử BE đỏ, CE xanh Suy CD đỏ, BD xanh Vậy ta có đƣợc hình cạnh với cạnh màu đỏ đƣờng chéo màu xanh Giả sử khẳng định với n  k Xét đồ thị đầy đủ Dk 1 với b( k 1)1 1 đỉnh với cạnh đƣợc tơ k  màu khơng có đồ thị K3 màu (khơng có tam giác màu) Xuất phát từ đỉnh Dk 1 có  bk 1  1  k  1 cạnh với k  màu nên theo nguyên lý Drichlet có bk 1  cạnh màu Giả sử đỉnh A có bk 1  cạnh đƣợc tơ màu m1 Khi đó, đỉnh đối A khơng có cặp đỉnh đƣợc nối với cạnh màu m1 (nếu trái lại có đồ thị K3 màu m1 ) Xét đồ thị đầy đủ Dk lập từ bk 1  đỉnh đối A có cạnh 119 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục tô k màu (trừ màu m1 ) khơng có tam giác màu Theo giả thiết quy nạp, Dk có hình cạnh màu đƣờng chéo màu khác Khi mệnh đề với n  k  Ta chứng minh xong kết Quay trở lại tốn, ta xây dựng đồ thị mơ tả quen biết thành viên nhƣ sau: Trong khơng gian cho điểm khơng có điểm thẳng hàng tƣơng ứng với thành viên A, B, C, D, E Ta dùng cạnh đỏ để hai ngƣời quen cạnh xanh để hai ngƣời không quen Theo giả thiết tốn khơng có tam giác màu Theo khẳng định đồ thị ta xây dựng đa giác cạnh với cạnh màu đỏ đƣờng chéo màu xanh ngƣợc lại Khi đó, ta xếp thành viên tƣơng ứng ngồi xung quanh bàn tròn cho thành viên ngồi hai ngƣời mà thành viên quen Tiếp theo, đến với dạng toán thứ với cách xây dựng đồ thị khác sau Hoạt động Bài toán 3: Trên mặt phẳng lấy điểm tùy ý khơng có điểm thẳng hàng khoảng cách cặp điểm khác đôi Chứng minh tồn cặp điểm mà đoạn thẳng nối chúng cạnh ngắn tam giác đó, đồng thời cạnh dài tam giác khác có đỉnh điểm cho Giáo viên đƣa kết tổng quát cho học sinh Kết 3: Đồ thị đầy đủ gồm n đỉnh  n  6 cạnh đƣợc tô khơng q màu Khi đó, tồn n  tam giác màu Đây kết tƣơng đối khó có nhiều trƣờng hợp, giáo viên đƣa câu hỏi gợi ý cho phần để dẫn dắt học sinh tìm chứng minh cho kết Chứng minh: Ta có hai trƣờng hợp xảy 120 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục Trƣờng hợp 1: Đồ thị Dn có n đỉnh  n  6 với cạnh đƣợc tơ màu Khi bổ đề hiển nhiên Trƣờng hợp 2: Đồ thị đầy đủ Dn có n đỉnh  n  6 với cạnh đƣợc tô màu (đỏ xanh) Ta chứng minh bổ đề phƣơng pháp quy nạp theo đỉnh n Với n  đồ thị tƣơng ứng D6 đầy đủ với cạnh đƣợc tô màu xanh đỏ Ta phải chứng minh D6 có   tam giác màu Theo tốn D6 ln có tam giác màu Do đó, ta cần chứng minh thêm D6 có thêm tam giác màu Ta gọi đỉnh D6 A, B, C, D, E, F tam giác màu ABC với cạnh màu đỏ (nét liền) Ta xét trƣờng hợp sau xảy 1, Cả cạnh AD, AE, AF đƣợc tô màu đỏ 121 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục Khi đó, có ba cạnh DE, EF , FD đƣợc tô màu đỏ đồ thị D6 có thêm tam giác màu Ngƣợc lại ba cạnh DE, EF , FD đƣợc tô màu xanh ta có thêm tam giác màu xanh DEF 2, Cả cạnh AD, AE, AF đƣợc tô màu xanh Ta chứng minh tƣơng tự trƣờng hợp 3, Trong cạnh AD, AE, AF có hai cạnh đƣợc tơ đỏ Khơng tính tổng qt giả sử AD, AE đƣợc tô đỏ 122 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục Khi đó, có cạnh CD, DE, EC đƣợc tơ đỏ D6 có thêm tam giác màu Ngƣợc lại cạnh CD, DE, EC đƣợc tơ xanh ta có thêm tam giác màu CDE 4, Trong cạnh AD, AE, AF có cạnh đỏ Giả sử cạnh AD đỏ ta có trƣờng hợp a, Một hai cạnh BD, CD đỏ Khi D6 có thêm tam giác màu 123 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục b, Cả hai cạnh BD, CD xanh Xét tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp ta suy đồ thị đầy đủ D6 có thêm tam giác màu ngồi tam giác màu ABC Vậy trƣờng hợp, D6 có hai tam giác màu Giả sử bổ đề với n  k Xét đồ thị đầy đủ Dk 1 với k  đỉnh đƣợc tô hai màu đỏ xanh Ta cần chứng minh Dk 1 có k  tam giác màu Giả sử đỉnh Dk 1 A1 , A2 , , Ak 1 tam giác màu đỏ A1 A2 A3 Ta loại A cạnh xuất phát từ A khỏi đồ thị Dk 1 , ta có đồ thị Dk với cạnh đƣợc tô hai màu xanh đỏ Theo giả thiết quy nạp Dk có k  tam giác màu khác tam giác A1 A2 A3 Do Dk 1 có k  tam giác màu Đến đây, bổ đề đƣợc chứng minh hồn tồn Quay trở lại tốn, dựa vào kết cho, học sinh xây dựng đồ thị cho toán nhƣ sau Gọi đỉnh cho A, B, C, D, E, F Xét tất tam giác có đỉnh điểm cho Vì khoảng cách điểm khác đôi nên tam giác có cạnh ngắn dài Do đó, với tam giác xét, ta dùng màu xanh cho cạnh ngắn trƣớc sau đoạn thẳng cịn lại ta tơ màu đỏ Đồ thị D nhận đƣợc đồ thị đầy đủ gồm đỉnh với cạnh đƣợc tô 124 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục hai màu xanh đỏ Theo kết trên, đồ thị D có hai tam giác màu Vì tam giác có cạnh ngắn đƣợc tô màu xanh trƣớc nên nên tam giác màu đƣợc tô màu xanh Khi đó, cạnh dài tam giác cạnh cần tìm, cạnh tơ màu xanh nên tam giác đóng vai trò cạnh ngắn Nhận xét: Dựa vào kết 3, giáo viên đƣa tốn tƣơng tự cho học sinh tìm hiểu rèn luyện tƣ sáng tạo Bài 3.1: Chứng minh n ngƣời tùy ý  n  6 chọn đƣợc n  ba, mà ba đôi quen đôi không quen Bài 3.2: Chứng minh n số nguyên dƣơng tùy ý  n  6 , chọn đƣợc n  ba mà ba cặp số có ƣớc nguyên tố chung cặp nguyên tố Bài 3.3: Chứng minh n  n  6 đối tượng tùy ý chọn n  ba mà ba cặp có quan hệ T1 cặp có quan hệ T2 3.4 Kết thực nghiệm sƣ phạm Qua buổi dạy đội tuyển toán trƣờng Trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên theo hƣớng phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh Các em cảm thấy thích thú say mê với mơn tốn nói chung với chun đề tổ hợp nói riêng Hầu hết buổi, giáo viên đƣa tập với mức độ từ dễ đến khó Phân tích đƣa câu hỏi gợi ý để học sinh tự tìm lời hƣớng đi, lời giải cho toán Qua đó, giúp em học sinh đội tuyển biến kiến thức tốn thành mình, từ em phát triển tƣ sáng tạo cách mở rộng, khái quát tốn cho Từ đó, giúp em tự tin gặp tốn khó nói chung tốn tổ hợp nói riêng bƣớc vào thi học sinh giỏi cách thoải mái, tự tin So sánh với việc dạy đội tuyển năm trƣớc, em học sinh khơng đƣợc học nhiều cảm thấy khó khăn phần nên em học không đều, thƣờng xuyên nghỉ học buổi tổ hợp Còn năm nay, có đầu tƣ, chuẩn bị kĩ 125 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục dạy, dạng toán phù hợp với em từ dễ đến khó, nên em đội tuyển cảm thấy thích thú hào hứng việc học tập, em học đầy đủ hơn, tích cực say mê Kết luận chƣơng Trong chƣơng 3, đề tài luận văn xây dựng kế hoạch dạy học cho buổi dạy đội tuyển toán trƣờng Trung học phổ thơng Chun Thái Ngun thuộc chun đề tốn tổ hợp thực giảng dạy theo hƣớng phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh Do đó, dạy mang lại khơng khí học tập vui vẻ, thoải mái sôi cho học sinh Việc trao đổi, tranh luận giáo viên với học sinh học sinh với học sinh diễn thƣờng xuyên đem lại hiệu tích cực Học sinh mạnh dạn nêu quan điểm, suy nghĩ cho tốn cụ thể, thể đƣợc sáng tạo riêng em Các học thu hút ý, ham học học sinh Học sinh đƣợc làm việc nhiều thông qua hƣớng dẫn câu hỏi gợi ý giáo viên cho toán hay vấn đề Qua đó, giúp em học sinh có hứng thú, tự giác học tập không thụ động tiếp thu giáo viên đƣa lời giải cho toán Điều cho thấy, việc áp dụng đề tài luận văn vào thực tiễn giảng dạy bƣớc đầu thu đƣợc kết khả quan, tích cực 126 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Sau khoảng thời gian dài tìm hiểu nghiên cứu đề tài Tác giả tiến hành làm việc, tham khảo nhiều nguồn tài liệu quý giá khác luận văn có, từ tổng hợp chỉnh sửa để có đƣợc đề tài Sau đó, tác giả đƣa vào áp dụng giảng dạy thực nghiệm cho đội tuyển toán dự thi học sinh giỏi Quốc gia trƣờng Đề tài luận văn thu đƣợc số kết sau: - Từ việc nghiên cứu phân tích sở lý luận thực tiễn, đề tài luận văn làm rõ đƣợc vai trò việc rèn luyện tƣ sáng tạo cho học sinh chuyên toán Trung học phổ thông cần thiết - Thực trạng vấn đề dạy học phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh chun tốn Trung học phổ thơng cịn đƣợc trọng, phần thời gian học tập trao đổi lớp cịn ít, bị hạn chế nên chƣa mang lại hiệu cho học sinh Việc giảng dạy chun đề tổ hợp cịn hạn chế phần khó chƣơng trình chun tốn Trung học phổ thơng đội ngũ dạy chun tốn trƣờng cịn mỏng - Qua thực tiễn nghiên cứu, đề tài luận văn đƣa hệ thống lý thuyết dạng thƣờng gặp chuyên đề tổ hợp, dạng tốn, tốn đƣợc đƣợc phân tích, hệ thống từ dễ đến khó có mối liên quan chặt chẽ với giúp cho học sinh dễ hiểu phát triển tƣ sáng tạo qua toán - Đề tài thiết kế kế hoạch dạy học cho buổi dạy đội tuyển thời gian tiếng buổi Trong buổi học, phƣơng pháp giúp em học sinh đội tuyển dễ dàng tiếp thu đƣợc học, giải toán cách tƣờng minh, cụ thể, từ phát triển tổng quát liên hệ sang toán liên quan khác Từ đó, khơi gợi đƣợc say mê, hứng thú học chuyên đề tổ hợp em, vốn chuyên đề khó Từ kết thu đƣợc trình làm thực đề tài luận văn, cho thấy nhiệm vụ luận văn đƣợc hoàn thành đầy đủ Giả thiết 127 Luận văn thạc sĩ Quản lý giáo dục khoa học đƣợc đặt luận văn tƣơng đối hợp lý, phù hợp với thực tiễn nghiên cứu giảng dạy Tuy nhiên, lực thân tác giả cịn có hạn chế ràng buộc Đây phần nghiên cứu khó khăn phức tạp, địi hỏi phải ngƣời viết phải có lƣợng kiến thức rộng, phong phú Do đó, đề tài nghiên cứu cịn có nhiều thiếu sót, vậy, tác giả mong nhận đƣợc góp ý quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp để đề tài đƣợc hoàn thiện Khuyến nghị Từ q thực tế q trình hồn thành nghiên cứu luận văn, tác giả xin đề xuất số khuyến nghị cho trƣờng Trung học phổ thông Chuyên Thái Nguyên nhƣ sau: - Cần có khung chƣơng trình đầy đủ, chi tiết dành cho khối chuyên tốn Trung học phổ thơng, với chun đề tổ hợp rời rạc, trƣờng Chuyên cần chia nhỏ thành mảng để dễ giảng dạy học sinh dễ dàng tiếp thu - Thời gian giảng dạy cần đƣợc tăng lên, với chuyên đề tổ hợp Để em học sinh có thêm thời gian tìm hiểu, nghiên cứu cách bản, chi tiết có tính hệ thống, qua giúp em hiểu sâu hơn, chắn - Nhà trƣờng nên trọng, khuyến khích giáo viên học sinh học lớp buổi đội tuyển để em có hứng thú niềm tin để phát huy đƣợc lực thân, tính tƣ sáng tạo Mong đề tài sau nhận đƣợc góp ý quý thầy cô bạn đồng nghiệp đƣợc hoàn thiện trở thành tài liệu tham khảo q giá cho thầy giáo q trình học tập giảng dạy 128