Toán tử đơn điệu là khái niệm được mở rộng từ hàm số đơn điệu trong giải tích. Hàm số đơn điệu có vai trò rất quan trọng trong toán THPT. Nó là công cụ mạnh cho nhiều bài toán. Lên đến toán cao cấp, toán tử đơn điệu càng có ý nghĩa trong toán tối ưu, phương trình vi phân...Việc sử dụng toán tử đơn điệu để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán về phương trình vi phân là một vấn đề rất được quan tâm.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN —————————————– DƯƠNG THU HƯƠNG TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Hà Nội, tháng 05 năm 2023 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN —————————————– DƯƠNG THU HƯƠNG TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Giải tích Người hướng dẫn ThS Trần Thị Thu Hà Nội, tháng 05 năm 2023 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng cảm ơn tới thầy khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô mơn Giải tích thầy giảng dạy tận tình truyền đạt kiến thức tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ kính trọng biết ơn sâu sắc tới Cô Trần Thị Thu, người trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ bảo tận tình để em hồn thành khóa luận Do thời gian, lực thân điều kiệu ngoại cảnh nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp q báu thầy bạn Hà Nội, tháng 05 năm 2023 Sinh viên Dương Thu Hương LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận “Tốn tử đơn điệu ứng dụng phương trình vi phân” cơng trình nghiên cứu cá nhân em hướng dẫn giảng viên ThS Trần Thị Thu Đề tài kết hợp việc nghiên cứu, tìm tịi tổng kết tài liệu tham khảo nên nội dung khóa luận hoàn toàn trung thực Đề tài sử dụng số tài liệu tham khảo ghi rõ danh mục tài liệu tham khảo Nếu phát gian lận nào, em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm khóa luận nghiên cứu ! Hà Nội, tháng năm 2023 Sinh viên Dương Thu Hương MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN DANH MỤC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Cấu trúc khóa luận KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bổ đề Zorn 1.2 Không gian tuyến tính định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert 11 1.4 Một vài không gian hàm 15 1.5 1.4.1 Không gian C n [a, b] 15 1.4.2 Không gian Lp (Ω) 15 1.4.3 Không gian Sobolev 16 Phương trình vi phân 17 Toán tử đơn điệu ứng dụng phương trình vi phân 18 2.1 Toán tử đơn điệu 18 2.2 Một vài ứng dụng phương trình vi phân 27 KẾT LUẬN 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO 32 DANH MỤC KÝ HIỆU H Không gian Hilbert N Tập số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức Rn Không gian vectơ n chiều ∃ Tồn ∀ Với ∥.∥ Chuẩn intA Phần A 0H Phần tử khơng gian H ⟨., ⟩ Tích vơ hướng A∗ Tốn tử liên hợp A L(H) Không gian liên hợp H l2 Không gian dãy khả tổng bậc Lp (Ω) Khơng gian hàm khả tích bậc p L2 [0, 1] Khơng gian hàm khả tích bậc [0, 1] L(H) Không gian liên hợp H C[a, b] Không gian hàm liên tục [a, b] C n [a, b] Không gian hàm khả vi, liên tục cấp n [a, b] B(a, r) Hình cầu tâm a bánh kính r W 1,p (Ω) Không gian Sobolev Dn f (x) Đạo hàm cấp n f (x) ∂ nx Đạo hàm riêng cấp n theo biến x id Toán tử đồng xn → x Sự hội tụ mạnh {xn }∞ n=1 đến x xn ⇀ x Sự hội tụ yếu {xn }∞ n=1 đến x xn ⇒ x Sự hội tụ {xn }∞ n=1 đến x MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán tử đơn điệu khái niệm mở rộng từ hàm số đơn điệu giải tích Hàm số đơn điệu có vai trị quan trọng tốn THPT Nó cơng cụ mạnh cho nhiều tốn Lên đến tốn cao cấp, tốn tử đơn điệu có ý nghĩa tốn tối ưu, phương trình vi phân Việc sử dụng toán tử đơn điệu để chứng minh tồn nghiệm cho toán phương trình vi phân vấn đề quan tâm Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn, khn khổ khóa luận hướng dẫn ThS Trần Thị Thu, em chọn đề tài khóa luận về: “Tốn tử đơn điệu giải phương trình vi phân” Với nội dung này, hy vọng khóa luận tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên thầy cô quan tâm đến tốn tử đơn điệu Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm tính chất tốn tử đơn điệu phương trình vi phân Nghiên cứu vài ứng dụng toán tử đơn điệu Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng: Toán tử đơn điệu 3.2 Phạm vi: Phương trình vi phân Cấu trúc khóa luận Ngoại trừ phần Mở đầu, Lời cảm ơn, Lời cam đoan, Danh mục ký hiệu Kết luận Danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận tốt nghiệp cấu trúc sau: Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bổ đề Zorn 1.2 Khơng gian tuyến tính định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert 1.4 Một vài không gian hàm 1.5 Phương trình vi phân Chương Tốn tử đơn điệu ứng dụng phương trình vi phân 2.1 Toán tử đơn điệu 2.2 Ứng dụng phương trình vi phân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương em trình bày kiến thức sở bổ đề Zorn, khơng gian tuyến tính, khơng gian Hilbert, vài khơng gian hàm, phương trình vi phân cấp Các tài liệu trích dẫn [1], [2], [3], [4] 1.1 Bổ đề Zorn Trước phát biểu bổ đề Zorn, ta cần có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1.1 [1 − tr.56] Tập X quan hệ “ ≤” thỏa mãn (i) x ≤ x, ∀x ∈ H; (ii) x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y; (iii) x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z gọi tập thứ tự phận với quan hệ thứ tự “ ≤” Cho X tập thứ tự phận A ⊂ X Phần tử a ∈ X gọi cận A x ≤ a với x ∈ A Nếu a ∈ X cho không tồn x ∈ X, x ̸= a để a ≤ x a gọi phần tử cực đại X Tập A gọi thứ tự tuyến tính với x, y ∈ A x ≤ y y ≤ x Bổ đề 1.1.1 [1 − tr.56] (Bổ đề Zorn) Giả sử X tập thứ tự phận X ̸= ∅ Nếu tập thứ tự tuyến tính X có cận X có phần tử cực đại ′ (n) ∥f ∥ = sup |f (x)| , f (x) , , f (x) : x ∈ [a, b], f ∈ C[a, b] 1.4.2 Không gian Lp (Ω) Định nghĩa 1.4.3 [2 − tr.192] Cho không gian Ω độ đo µ σ -đại số F tập Ω Họ tất hàm số f (x) có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < ∞) mođun khả tích Ω, tức cho Z |f (x)|p dµ < ∞ X gọi khơng gian Lp (Ω, µ) Nhận xét 1.4.4 Khi Ω tập đo Lebesgue Rk µ độ đo Lebesgue ta viết Lp (Ω) Nếu Ω = [a, b] ∈ R1 µ độ đo ta viết Lp [a, b] Lp (a, b) Ω = [0, 1] ta viết đơn giản Lp Định lý 1.4.1 [2 tr.190] (Bt ng thc Hă older) Gi s < p < ∞ q thỏa mãn 1 + = Nếu f ∈ Lp (Ω, µ) g ∈ Lq (Ω, µ) f g ∈ L1 (Ω, µ) p q 15 Z Z p |f (x)g(x)| dµ ≤ p1 Z q |f (x)| dµ Ω |g(x)| dµ Ω 1q (1.4) Ω Định lý 1.4.2 [2 − tr.193] Cho (Ω, F, µ) không gian độ đo, ≤ p < +∞ Khi đó, hàm Z ∥f ∥ = p p1 |f (x)| dµ Ω xác định chuẩn Lp (Ω, µ) Lp (Ω, µ) khơng gian tuyến tính định chuẩn Định lý 1.4.3 [2 − tr.193] Khơng gian Lp (Ω, µ) , ≤ p < +∞ không gian Banach 1.4.3 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.4.4 [5 − tr.37] Cho α = (α1 , α2 , , αm ) với αi ∈ N, i = 1, m P m |α| := m i=1 αi Với hàm số f tập mở Ω ⊂ R ta định nghĩa Dα f (x) := ∂ α f (x) , ∂ α1 x1 ∂ αm xm đạo hàm cấp α hàm f Ta nói f ∈ C n (Ω) Dα f liên tục với αi , i = 1, m mà |α| ≤ n Ví dụ 1.4.1 Xét hàm f (x) = 2x1 x22 x33 với x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 Khi α = (1, 1, 2) ta có Dα f (x) = 24x2 x3 Định nghĩa 1.4.5 [5 − tr.38] Cho g hàm khả tích xác định tập compact Ω Khi đó, hàm g gọi đạo hàm yếu f Z Z f (x)Dα φ(x)dx = (−1)|α| Ω g(x)φ(x)dx, ∀φ ∈ D(Ω) Ω Chúng ta kí hiệu g = Dwα f Định nghĩa 1.4.6 [5 − tr.39] Với định nghĩa đạo hàm yếu nêu trên, ta định nghĩa khơng gian Sobolev W k,p (Ω) với tập mở Ω ⊂ Rm , p ∈ [1, ∞] 16 k ∈ N sau α f f thuộc Lp (Ω) với |α| ≤ k} W k,p (Ω) := {f ∈ Lp (Ω) : tồn đạo hàm DW với chuẩn ∥f ∥W k,p (Ω) := X α f ∥p ∥DW |α|≤k Định nghĩa 1.4.7 [5 − tr.39] Không gian W0k,p (Ω) bao đóng D(Ω) với chuẩn xác định 1.5 Phương trình vi phân Định nghĩa 1.5.1 [4 − tr.101] Phương trình vi phân cấp hai phương trình có dạng F (x, y, y ′ , y ′′ ) = 0, F hàm xác định miền G ⊂ R4 , x ∈ I = (a, b) hàm y = y(x) hàm số cần tìm, y ′ = y ′ (x) đạo hàm y , y ′′ đạo hàm cấp hai y Ví dụ 1.5.1 Phương trình y ′′ − 4y = phương trình vi phân cấp hai Định nghĩa 1.5.2 [4 − tr.101] Hàm y = φ(x) xác định khả vi cấp hai I = (a, b) gọi nghiệm phương trình vi phân bậc hai (i) (x, φ(x), φ′ (x), φ′′ (x)) ∈ G với x ∈ I, (ii) F (φ(x), φ′ (x), φ′′ (x)) = I Ví dụ 1.5.2 Phương trình vi phân y ′′ − 4y = Ví dụ 1.3.2 có nghiệm φ(x) = e2x + e−2x 17 Chương Toán tử đơn điệu ứng dụng phương trình vi phân Trong chương này, em trình bày số vấn đề toán tử đơn điệu bao gồm khái niệm toán tử đơn điệu, khái niệm mở rộng, số định lý quan trọng liên quan đến toán tử đơn điệu ứng dụng toán tử đơn điệu phương trình vi phân Nội dung chương tham khảo chủ yếu tài liệu [5] 2.1 Tốn tử đơn điệu Trong giải tích biến thực, có kết sau: Cho −∞ ≤ a < b ≤ +∞ Hàm số f : (a, b) → R gọi đơn điệu (theo nghĩa đơn điệu tăng) với x1 , x2 ∈ (a, b) ta có đẳng thức (f (x2 ) − f (x1 ))(x2 − x1 ) ≥ gọi đơn điệu chặt với x1 , x2 ∈ (a, b) x1 ̸= x2 đăng thức (f (x2 ) − f (x1 ))(x2 − x1 ) > Từ định nghĩa ta đưa kết sau Cho −∞ ≤ a < b ≤ +∞ f : (a, b) → R hàm số liên tục đơn điệu (a, b) Giả sử A = lim f (x) x→a+ B = lim− f (x) Khi đó, với y ∈ (A, B) phương trình f (x) = y có x→b nghiệm Hơn nữa, f hàm số đơn điệu chặt phương trình f (x) = y có nghiệm Các kết sử dụng nhiều THPT Mở rộng không gian Hilbert, ta thu kết sau Định nghĩa 2.1.1 [5 − tr.310] Cho H khơng gian Hilbert thực, tốn tử T xác định T : H → H thỏa mãn lim ∥T (x)∥ = ∞ ∥x∥ 18 gọi cưỡng chế yếu Định nghĩa 2.1.2 [5 − tr.310] Cho H khơng gian Hilbert thực, tốn tử T : H → H gọi toán tử đơn điệu ⟨T (x) − T (y), x − y⟩ ≥ 0, ∀x, y ∈ H Toán tử T gọi đơn điệu chặt ⟨T (x) − T (y), x − y⟩ > 0, ∀x, y ∈ H, x ̸= y Ví dụ 2.1.1 Cho tốn tử T xác định R cho công thức T (x) = x, ∀x ∈ R Khi T tốn tử đơn điệu với x, y ∈ R, ta có ⟨T (x) − T (y), x − y⟩ = ⟨x − y, x − y⟩ = ∥x − y∥2 ≥ 0, ∀x, y ∈ R Ví dụ 2.1.2 Cho tập D ̸= ∅ D ∈ H Toán tử T : H → H Lấy α ∈ [−1, 1] A = id + αT với id tốn tử đồng Khi ∀x, y ∈ D, ta có ⟨x − y, A(x) − A(y)⟩ = ⟨x − y, x + αT (x) − y − αT (y)⟩ = ⟨x − y, x − y + α(T (x) − T (y))⟩ = ∥x − y∥2 + α ⟨x − y, T (x) − T (y)⟩ ≥ ∥x − y∥ [∥x − y∥ − |α| | ∥T (x) − T (y)∥] ≥ Vậy A toán tử đơn điệu Định nghĩa 2.1.3 [5 − tr.310] Cho H khơng gian Hilbert thực, tốn tử T xác định T : H → H gọi toán tử đơn điệu mạnh ∃c ≥ cho ⟨T (x) − T (y), x − y⟩ ≥ c ∥x − y∥2 , ∀x, y ∈ H Ví dụ 2.1.3 Tốn tử T xác định Ví dụ 2.1.1 tốn tử đơn điệu mạnh với số c = 19 Bổ đề 2.1.1 [5 − tr.310] Tốn tử tuyến tính T : H → H đơn điệu ⟨T (z), z⟩ ≥ 0, ∀z ∈ H Chứng minh Theo định nghĩa, T toán tử đơn điệu ⟨T (x) − T (y), x − y⟩ ≥ 0, ∀x, y ∈ H; hay ⟨T (x − y), x − y⟩ ≥ 0, ∀x, y ∈ H Đặt z = x − y, ta có ⟨T (z), z⟩ ≥ 0, ∀z ∈ H Mệnh đề chứng minh Nhận xét 2.1.1 Toán tử đơn điệu mạnh T tốn tử đơn điệu hồn tồn Hơn nữa, tốn tử đơn điệu mạnh T cịn tốn tử đơn điệu cưỡng chế yếu Chứng minh Thật vậy, giả sử T toán tử đơn điệu mạnh Suy T thỏa mãn ⟨T (x) − T (0), x⟩ ≥ c ∥x∥2 , ∀x ∈ H Theo bất đẳng thức Schwartz, ta có ⟨T (x) − T (0), x⟩ ≤ [∥T (x)∥ + ∥T (0)∥] ∥x∥ Từ hai điều trên, ta nhận c ∥x∥2 ≤ [∥T (x)∥ + ∥T (0)∥] ∥x∥ ⇔ c ∥x∥2 ≤ ∥T (x)∥ ∥x∥ + ∥T (0))∥ ∥x∥ ⇔ ∥x∥ [c ∥x∥ − T (0)] ≤ ∥T (x)∥ ∥x∥ ⇔ ∥T (x)∥ ≥ c ∥x∥ − ∥T (0)∥ tính cưỡng chế yếu theo sau Định nghĩa 2.1.4 [5 − tr.38] Toán tử T : H → H gọi liên tục Lipschitz tồn số L > cho ∥T (x) − T (y)∥ ≤ L ∥x − y∥ , ∀x, y ∈ H 20 Định lý 2.1.1 [5 − tr.310] Cho H không gian Hilbert thực toán tử T : H → H liên tục, đơn điệu có tính cưỡng chế yếu Khi T (H) = H Hơn nữa, T đơn điệu chặt, với h ∈ H phương trình T (u) = h có nghiệm Chứng minh Giả sử T toán tử liên tục đơn điệu mạnh Từ toán tử Tn : H → H xác định Tn : u 7→ u + T (u) n Bước 1: Đầu tiên, ta chứng minh Tn đơn điệu mạnh Với u, v ∈ H ta có: ⟨Tn (u) − Tn (v), u − v⟩ = = = D1 n D1 n v + T (v), u − v n E (u − v) + T (u) − T (v), u − v E u − T (u) − ∥u − v∥2 + ⟨T (u) − T (v), u − v⟩ n Mà T đơn điệu mạnh nên ∃c ≥ cho ⟨T (u) − T (v), u − v⟩ ≥ c ∥u − v∥2 , ∀u, v ∈ H Từ đây, ta suy ⟨Tn (u) − Tn (v), u − v⟩ ≥ (c + ) ∥u − v∥2 n Vậy Tn đơn điệu mạnh Với n ∈ N, ta khẳng định với h ∈ H tùy ý cho trước, tồn un ∈ H cho Tn (un ) = h Bước 2: Tiếp theo, ta cần chứng minh {un }∞ n=1 dãy bị chặn H Chứng minh phản chứng, giả sử tồn dãy {un }∞ n=1 cho lim ∥un ∥ = ∞ n→∞ 21 Từ tính đơn điệu T ta có ∥h∥ ≥ suy dãy h, n1 n un ∥un ∥ un o∞ 1 ⟨Tn (un ), un ⟩ = un + T (un ), un ∥un ∥ ∥un ∥ n 1 = ∥un ∥ + ⟨T (un ), un ⟩ n ∥un ∥ 1 = ∥un ∥ + ⟨T (un ) − T (0), un ⟩ + ⟨T (0), un ⟩ n ∥un ∥ ∥un ∥ ≥ ∥un ∥ − ∥T (0)∥ , n E D = bị chặn Do đó, tồn dãy n=1 un nk k ∞ ⊂ {un }∞ n=1 k=1 hội tụ yếu, tức un ⇀ w nk k Ta có T (unk ) ⇀ h − w Từ đó, ta suy {T (unk )}∞ k=1 bị chặn (mâu thuẫn với tính cưỡng chế yếu T ) Kết luận {un }∞ n=1 dãy bị chặn H ∞ Khi đó, tồn dãy {umk }∞ k=1 ⊂ {un }n=1 cho umk ⇀ u0 , với lim ∥un ∥ = u0 n→∞ Bước 3: Ta cần chứng minh T (u0 ) = h Với v ∈ H k ∈ N, có ⟨T (umk ) − T (v), umk − v⟩ ≥ Chuyển qua giới hạn với k → ∞, với v ∈ H ta thu ⟨h − T (v), u0 − v⟩ ≥ Đặt v = u0 + λw, λ > 0, w ∈ H Bất đẳng thức trở thành ⟨h − T (u0 + λw), u0 − u0 + λw⟩ = −λ ⟨h − T (u0 + λw), w⟩ ≥ Với λ > 0, với w ∈ H, suy ⟨h − T (u0 + λw), w⟩ ≤ 22