I 15 được Hơnnǎa,chúngtagiảsảrangEI ′ cháah à m E I batb i e n m ũ ,n g h ĩ a l à vớihàm’≥0và> 0 cođịnhhàmh νđ ư ợ c x ácđịnhbởi t h u ® c E I hν(t) =ǁ e−ν| t− |’( )ǁE′ vớit∈I 1 1 2 Batđangthfícnón Đị[.]
được.Hơnnǎa,chúngtagiảsảrangEI′ cháah m E I-batb i e n m ũ ,n g h ĩ a l vớihàm’≥0và> cođịnhhàmh νđ ợ c x ácđịnhbởi I t h u ® c E I 1.1.2 h ν (t):=ǁ e−ν| t−·| ’(·)ǁE ′ vớit∈I Batđangthfícnón Địnhn g h ĩ a M ® t t pđ ó n g K trongk h n g g i a n B a n a c h W đ ợ c g o i lànónneuthỏamãncácđ ieukinsau: (i) x∈Kthìx ∈Kvớimoi≥ 0, (ii) x1;x2∈ Kth ì x 1+x2∈ K, (iii) ±x∈Kthìx=0 Chon ó n K trongk h ô n g g i a n B a n a c h W.V i x ; y∈Wt a x c đ ị n h q u a n hx ≤yn e u y −x∈K.Q u a n h n y l q u a n h t h t ự b ® p h nt r ê n W Địnhlý1.1.10(Batđȁng thác nón).Cho nónKtrong không gian BanachWsaochoKlàbatb i e n v i t o n t ủ A ∈L(W),Acób n k í n h p h ő r A ! M Reλ−ωt +∞ ∫ Chúý r a n g , c ô n g t h c R(; A)x= e−λsT(s)xdsgoil b i e u d i e n tí c h phâncủagiảithác.TíchphânởđâylàtíchphânRiemannsuyr®ng ∫+∞ e −λs T(s)xds= t→+∞ 1.2.2 lim ∫t e−λsT(s)xds: Tínho n đ ị n h v n h ị p h â n m ũ Trong phan này, điem lại m®t so khái ni m ve őn định mũ, nhịphânm ũ c ủ a n ả a n h ó m l i ê n t ụ c m n h , đ ct r n g p h ő c h o tí n h ő n đ ị n h v nhịphânmũc ủanảanhómđó(xem [15, 16]) Trướchetlàkháinimőnđịnhmũđeu: Địnhnghĩa1.2.6.N ả a n h ó m l i ê n t ụ c m n h (T(t)) t≥0 v i t o n t ả s i n h (A;D(A))đ ợ c g o i l ő n đ nhm ũ đ e u n e u t o n t i > c h o lime ϵttT(t) ǁ =0: t→∞ Tiept h e o l k h i n i mn h ị p h â n m ũ c ủ a n ả a n h ó m Định nghĩa 1.2.7.Nảa nhóm(T(t)) t≥0 khơng gian BanachXđược goilàcó nh phân mũ(ho chyperbolic)neuXcó the viet thành tőng trực tiepX=X ⊕X ,c c k h ô n g g i a n c o n đ ó n g X ;X b a t b i e n đ o i v i (T(t)) t≥0 s a o cho hạn che(T1(t))t≥0của(T(t)) t≥0 trênX ,và(T2(t))t≥0của(T(t)) t≥0 trênX thỏamãncác đieukin: (i) Nảan h ó m ( T 1(t))t≥0l ő n đ ị n h m ũ đ e u t r ê n X ; (ii) Nảan h ó m ( T 2(t))t≥0c ó n g h ị c h đ ả o t r ê n X v ( T 2(t) −1 )t≥0ő n đ ị n h m ũ đeutrên X Đe xây dựng đ c trưng phő cho tính őn định mũ đeu nhị phân mũcủan ả a n h ó m , t a c a n đ e n k h i n i mc np h ő c ủ a t o n t ả đ ó n g v c nt ă n g củanảanhómđượcxácđịnhtrongcácđịnhnghĩasauđây Địnhn g h ĩ a C h o A : D(A)⊆ X→ Xlàt o n t ả đ ó n g t r ê n k h ô n g gia nBanachX.Khiđó s(A):=s u p {Re:∈ ( A ) } đượcgoilàc¾nphőcủaA Địnhn g h ĩ a C h o n ả a n h ó m l i ê n t ụ c m n h T = ( T(t)) t≥0 v i t o n t ả sinh(A;D(A)).Khiđó,sothực !0:=! 0( T ):=!0(A) :=i n f !∈ R:∃M> saoc h o ǁT(t)ǁ≤Meωtt;∀t≥ đượcg oilà c¾ n t ă n g T Chúý N ả a nhóm(T(t)) t≥0 őnđịnhmũđeukhivàchỉkhi! 0(A)0,t r o n g đ ó D l đ n g t r ò n đ n v Trườngh ợ p (T(t)) t≥0 t h ó a m ã n Đ nhl ý Á n h x p h ő ( S M T ) v A l t o n t ủ sin hc n ó , t h ì cá c m nhđ e t r ê n t n g đ n gv i (iii) (A)∩iR=∅ Trongđ ị n h l ý t r ê n , l u ý r a n g g i ả t h i e t (T(t)) t≥0 t h ỏ a m ã n Đ ị n h l ý Á n h xạphőcóthethaybanggiảthietnhehơn,đólà:( A ) v à(T(t))t h ỏ a mãn (T(t))⊂ D:etσ(A): = { z:etλ: ∈(A);|z|=1 };∀t≥ 0: Chúý:Cho(T(t)) t≥0 lànảanhómliêntụcmạnhtrênkhơnggianBanachX, neu ta thayt∈R+bangt∈Rthì(T(t)) t∈R nhóm liên tục mạnh trênkhơnggianBanachX,vàcácketquảtrênvanđúng 1.3 Hoti e n h o , n h ị p h â n m ũ M®t nhǎng moi quan tâm hàng đau ve dáng u ti m c n nghi mcủaphươngtrìnhviphântuyentính dx A(t)x; t∈ I;x∈ X (1.6) dt= đóA(t)là tốn tả tuyen tính khơng gian BanachXvới moitcođịnh, tìm đieu ki n đe nghi m phương trình őn định ho c có nhị phânmũ Trong trường hợpA(t)là hàm nh n giá trị ma tr n liên tục, Perronđãtì m đ ợ c s ự l i ê n h g i ǎ a d n g đ i uti mc nn g h i mc ủ a p h n g trình (1.6)vàcáctínhchat củatốntảviphân d − A(t)x c địnhtrênkhông gian d n Cb(R+;R ).K e t q u ả n y l s ự k h i đ a u cth o n h i e u c n g t r ì n h v e l ý t h u y e t định tính phương trình vi phân Trong sỏch chuyờn kho ca MasseravSchăaffer[13],DaleckiivKrein[14]óchratớnhnhphõnmcanghi mbi ieu ki n ton ánh toán tả vi phân d−A(t)trong trường d t hợpA(t)bịchn.LevitanvàZhikov[3]đãmởr®ngketquảchotrườnghợpvơhạ nchieu với lớp phương trình xác định tồn đường thȁng Với phương trình xácđịnht r ê n n ả a đ n g t h ȁ n g , đ e đ ả m b ả o tí n h n h ị p h â n m ũ n g o i đ i eukin toàná n h c ủ a t o n t ả v i p h â n d − d A(t)c h ú n g t a c a n t h ê m đ i e u k i nl tí n h t đủcủakhơnggianconőnđịnh(xem[14,26,28]).[ ] N.T.Huyđãđưarađ c trưng tính nhị phân mũ nghi m dựa vào không gian hàm chap nh nđượctrênnảađườngthȁng trongtrườnghợpA(t)k h ơn g bịchn XétbàitốnCauchy ( x_(t)=A(t)x(t); (1.7) t≥ s;t;s∈I;x(s)=x; trongđó(A(t);D(A(t)));t∈ I ,l h o c c t o n t ả t u y e n tí n h t r ê n k h ô n g gianB a n a c h X K h i đ ó , n g h i m( c ő đ i e n ) c ủ a b i t o n C a u c h y ( ) l h m u:=u(·;s;x)∈C ([s;∞);X)saochou(t)∈D (A(t))vàuthoảmãnbàitoánCauchy (1.7) với moi t ≥s Địnhnghĩa1.3.1.BàitốnCauchy(1.7)đượcgoi cáckhơnggianYt;t∈I;neuthỏamãncácđieukinsau: làđ¾t chínhtrên (i) Yt⊂D(A(t))l c c k hôn g g i a n co n t r ù m tt ro ng X , (ii) moix ∈YsthìbàitốnC a u chy(1.7)c ó duynhatnghimu(·;s;x), (iii) nghimphụthu ®c li ê nt ục ođ ie uk i nba nđ au ,tá c , neu sn → s vàYsnsx n→x∈Ysthìu~(t;sn ;x n )→u~(t;s;x )đeutheottrên moiđ oạ n c o mp a c t t ro ng I ,tr on g đ u~(t;s;x ):=xvớit