(Luận án) Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong một số hệ quang học phi tuyến

Lýdochọnđềtài

Sự pháv ỡ đối xứng tự phát (Spontaneous Symmetry Breaking- SSB) làhi ệntượngthườngthấytrongtựnhiênvàtrongnhiềulĩnhvựcvậtlýkhácnhaunhư:vậtlýhạtcơbả nvớiMôhìnhchuẩn[1],vậtliệutừvàhệngưngtụBose-Einstein(Bose-

Einsteincondensation-BEC),v.v…Tuynhiên,theođịnhnghĩachungSSB làm ột số trạng thái cơ bản của hệ vật lý nào đó bị“phá vỡ” đối xứngkhi thamsốđiều khiển vượtquágiátrị nhấtđịnh (gọi làgiátrị tớihạn),vídụnhưtrongmôhìnhchiếcmũMexico[2].Trongquanghọc,sựphávỡ đốixứngcóthểđượchiểunhưlàkếtquảcủasựtươngtácgiữacácsốhạngphituyếnvớicáccấutr úcốngdẫnsóng.Khithànhphầnphituyếnmạnh,nósẽtriệttiêucácliênkếttuyếntínhgiữacáclõitr ongố n g dẫnsóngsongsong,vídụtrongmôitrườngKerrtựhộitụ[2].Tronghệcộnghưởngvòn gquanghọc,SSBlàsựcạnhtranhgiữa hiệu ứng tuyến tính vàhiệu ứng phi tuyến, víd ụ như giữa khuếch đại tuyếntínhvàmấtmátphituyến,dẫntớixuấthiệntrạngtháikhôngđốixứng,thậm chídẫn tới trạng tháihỗnloạn[3].

SSB trongquang học có nhi ều ứng dụng trong công ngh ệ quang tử Hiệuứng chuyển đổi năng lượng quang giữa các kênh có thểđược sử dụng làm cơ sởcho việc thiết kế các thi ết bị chuyển mạchtoàn quang [ 4, 5] và cácứng dụngkhác, ch ẳng hạn như bộ khuếch đại phi tuyến [6], ổn định trong mạch phânchiabước sóng [7], cổng logic [8] và truy ền dẫnlưỡng ổn định [9] Bộ ghép hai s ợiquangphituyếndùngđể nénsolitonshi ệuquả bằng cách t ạo độ tán s ắc khácnhautronghaisợi[10].Tronghệcộnghưởngvòngquanghọccũngc ón hi ều ứng dụng trongcác thi ết bịquang tửnhư: chọn lọc bước sóng[11], trạng tháihỗnloạnđượcứngdụngtrongthôngtinquangnhưđồngbộvàbảomậtthôngtin [12, 13], phát tín hi ệu số ngẫu nhiên “0”, “1” [13] và đặc biệt động lực họcdao động hỗn loạn cực nhanh của laser giải quyết triệt để bài toán gi ả định ứngdụngvào trítuệ nhântạo (AI)[14].

Malomedđãnghiêncứurấtchitiếtkểtừhơnhaithậpkỷ qua.SSBđượcnghiêncứutrongnhiềuhệquanghọckhácnhaucảtronglýthuyếtvàthựcnghiệ m.Đốivớit r o n g ố n g d ẫ n só n g m à chủy ế u t r o n g m ô i t r ư ờ n g K e r r t ự h ộ i t ụ [ 2 ] , ả n hhưởngcủahiệuứngSSBlênsolitonsquanghọckhônggianđãđượcchứngminhbằngthựcn ghiệmtrongốngdẫnsóngphẳngphituyến[15].NghiêncứugiảitíchcủaSSBchocácmodesolit onsđượcthựchiệntrongcácmôhìnhlõiképcótníhchấtphituyếnKerr[16],vàcácốngdẫnsón gquanghọcphituyếnbậcba- năm[17].HiệuứngSSBtrongquanghọccóthểxảyratrongcấutrúccósựphânbốđốixứngcủac hiếtsuấtvớiphituyếntựhộitụ,hệđượcmụtảbởiphươngtrỡnhSchrửdingerphituyến(nonline arSchrửdingerequation-

NLSE)cóthêmthànhphầnthếtuyếntính[ 18].Trongcács ợiquanghọclõiképghéptuyếntínhv ớinhaucũngcóSSB,đólàthànhphầntrọngyếutrongchuyểnmạchtoànquangđiều khiểncôngsuất,vớihiệuứngphituyếnKerr[19].SSBcủatrạngtháisóngliêntục[20]vàsựhnìh thànhcácsolitonsbấtđốixứngtrongcácsợiquanglõikép[21]cũngđượcnghiêncứuchitiếtv ềmặtlýthuyết.GầnđâySSBtrongốngdẫnquangvớisựcạnhtranhcủaphituyếnbậcba -nămvàthếtuyếntínhđốixứngchẵnlẻthờigianđượcnghiêncứu[22].Qua đó chothấy, SSBvớisựcómặtcủathếtuyếntínhkhôngngừngquantâmnghiêncứuvàứngdụngbằngcáchxe mxétvớicácloạithếtuyếntínhmới.

Hầu hết những nghiênc ứu về SSB trước 2008 được đề cập ở trên được thựchiệntrongcáchệquanghọccóhệsốphituyếnlàhằngsố.Mộtcáchkhácđểthựchiện pháv ỡ đối xứng tự phát trong h ệ quang học đó là môi trường phi tuyếnbiếnđiệu Năm

2008 lần đầu tiên SSB đượcnghiên c ứu trong hệ với phi tuyến biếnđiệudạngképtươngđươngnhưthế phi tuyến kép d ạnghàm haideltađượcnghiên c ứu [23] và được mở rộng trong trườnghợp hai chiều [24], gần đây vàonăm 2017 phi tuyến biến điệu dạnghàm mũ cũng được nghiên c ứu có s ố đỉnhtăng dần từ hai đến năm đỉnh [25] Như vậy, chúng ta có th ể nghiênc ứu SSBtronghệmớivớiviệcthayđổidạngphituyếnbiếnđiệu.

Một loại hệ khác để thực hiện SSB đó là hệ cộng hưởng vòng quang.SSBtronghệnàygâyrasựbiếnđổitrạngtháicủahệ,trongđócódẫntớitrạngthái hỗnloạn Đây làtrạng thái đãcónhiều ứngdụng vàđược nhiềuq u a n t â m nghiênc ứu hiện nay Sau khi laser được phát minh, vào năm 1963, Lorenz làngười đầu tiên phátbi ểu khái ni ệm hỗn loạn Theo đó, hỗn loạn được hiểu là s ựmất trật tự, lộn xộn. Đến năm 1983 hỗn loạn quang được thực hiện trong phòngthínghi ệm bởi Gioggia and Abraham [26] Những năm 1990 hỗn loạn laserđược nghiên c ứu để ứng dụng vào thông tin quang, đồng bộ quang [27] và đếnnăm 2000 ứng dụng trở thành hi ện thực Sau đó hỗn loạnlaser không ng ừngđược nghiên c ứu ứng dụng vào n hiều lĩnh vực khác như trong các mạchtích h ợpquangtửđốivớithôngtinquang[28]nhưkỹthuậtphátsốngẫunhiên“0”,“1”

[29] ứng dụng trong kỹ thuật mật mã, bảo mật thông tin[30]và g ần đây vàonăm2 0 1 7 n h ó m c ủ a M a r e k T r i p p e n b a c h đ ã đ ề x u ấ t m ộ t h ệ c ộ n g h ư ở n g m ớ i gồm hai vòng quang h ọc kích thước cỡ micro métliên k ết tuyến tính v ới nhau,động lực học của hệ xuất hiện nhiều trạng thái và hi ện tượng thúv ị hứa hẹnnhiềuứngdụngtrongtươnglai[31].

Quatìm hi ểu SSB trong các h ệ quang học chúng tôi n hận thấy cómộtsố hệchưa được nghiên c ứu một cách đầy đủ hoặc có th ể mở rộng nghiênc ứu thêm.Việc nghiên c ứu SSB trong các h ệ quang học khác nhau m ộtcách đầy đủ, hệthống là r ất cần thiết, sẽ giúp định hướngtrong thực nghiệm và ứng dụng Đặcbiệt, trạngthái h ỗn loạn của SSB hứa hẹn có nhi ều ứng dụng trong cuộc cáchmạng 4.0 Vìv ậy chúng tôi ch ọn

“ Nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trongmộtsốhệquanghọcphituyến ”làmđềtàiluậnáncủamìnhgópphầnvàoh ệthốnglýthuyếtvềSSBcủamộtsốhệquanghọc. Động lựchọc của một hệ vật lý nói chung được mô t ả bằng các phươngtrìnhviphân.Trongđềtàinày,chúngtôinghiêncứucách ệquanghọcđóng(hệbảo toàn) và m ở (hệ không b ảo toàn) được mô t ả bằng các phương trình vi phõnđạohàmriờngphituyếnkiểuSchrửdinger.CỏcmụitrườngphituyếnkiểuKerrlàmộtvớdụđiể nhìnhcủacácphươngtrìnhkiểunày.Khókhănchungtrongmọibàitoán phi tuy ến làv ề mặt toán h ọc củachúng Các phương trình vi phân phi tuyếnkhógiảihơnnhiềusovớicácphươngtrnìhtuyếntính.Chỉcácphươngtrìnhviphântuyế ntínhmớichotanhữnglờigiảigiảitíchchínhxácquaviệcdùngphép biếnđổiFouriernổitiếng“phânlờigiảithànhcácsóngphẳ n g ” P h ư ơ n g phápgiải tíchchỉcóthểđưaratrongmộtsốrấtítcácbài toánphituyếnvàkhôngthểcó phương pháp giải chung cho tất cả các bài toán được Chẳng hạn, phương trỡnhSchrửdingerphituyếncúthểgiảibằngphươngphỏptỏnxạngượcnhưngkhụngỏpdụngđư ợcchophươngtrỡnhSchrửdingerphituyếnsuyrộng.Đểgiảiquyếtvấnđề,ngườitađóphảivậ ndụngnhiềuphươngpháp tínhtoán gầnđúngkhác nhau Phương pháp hữu hiệu nhất là phương pháp số cùngvới việc phát minh racácmáytínhthếhệbacósứctníhtoánkhổnglồ.Chúngđãđượcsửdụngtrongrấtnhiềubàitoá nthựctếkhácnhauvàhiệuquảtrongbàitoánlantruyềnxungvàxéttníhchấtổnđịnhcủacáctrạngth ái.Mụcđíchquantrọngcủađềtàinàylàtìmhiểuvàvậndụngmộtsốphươngphápsốđểnghiênc ứuSSBvàxéttníhchấtổnđịnhcủatrạngtháitrongmộtsốhệquanghọcđóngvàmở.Chúngtôisử dụngngônngữthôngd ụngcủacáctínhtoánb ằngsốlàngônngữMatlabđểviếtchươngtrìnhcho máytính.Nhữngkếtquảnàykhôngchỉmangtínhlýthuyếtmàcónhiềuhướngứngdụngtolớntro ngkỹthuậtvàcôngnghệnhưứngdụngcácsolitonsvàotruyềnthông.Cáchệquanghọcphituyếnt rởnên“phòngthínghiệm”cho cácnghiên c ứu giải tích vàs ố đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng phituyếnhiệnnay.

Mụctiêunghiêncứu

- Nghiêncứuảnhhưởngcủacôngsuấtxung,hằngsốlantruyềnlênsựphávỡđốixứng tựphát(SSB)tronghệốngdẫnsóngvớisựcómặtcủaphituyếnKerrvàthếtuyếntínhGauss kép,hệhaiốngdẫnsóngliênkếttuyếntínhvàphituyếnKerrbiếnđiệudạnghàmdelta(haih ệ này cóHamiltoniankhôngđổitheothờigian-gọitắtlàhệbảotoàn).

- Nghiêncứuảnhhưởngcủacácthamsốđiềukhiểnnhưcườngđộliênkết,thamsốkhu ếchđại,thamsốmấtmát,độrộngcủahàmliênkếtlênSSBvàquátrình động lực học của hệ hai vòng c ộng hưởng quanghọc liên k ết tuyến tính v ớisựcómặtcủakhuếchđạituyếntínhvàmấtmátphituyến(hệnàycóHamiltonianthayđổit heothờigian-gọitắtlàhệ khôngbảotoàn).

- Xác định các kho ảng tham số như công xuất xung, hằng số lan truyềnđểtồntạicácloạitrạngtháisolitonskhácnhautronghệbảotoàn.

- Xét tính chất ổn định của các lo ại trạng thái soliton s đồngthời xác địnhđặc trưngrẽnhánhcủaSSBtronghệbảotoàn.

- Xác định các vùng tham số điều khiển như: cường độ liên k ết, tham sốkhuếchđại,mấtmátđểtồntạicácloạitrạngtháidừng,trạngtháidaođộng,trạngtháihỗnl oạntronghệkhôngbảotoàn.

- Thiếtlậpsơđồ,giảnđồrẽnhánhvềSSBvàchuyểnđổigiữacáctrạngtháitrên,xácđị nhkịchbảndẫn tớitrạngtháihỗnloạncủahệkhôngbảotoàn.

Đốitượngvàphạmvinghiêncứu

3.1 Đốitượngnghiêncứu Đối tượng nghiên c ứu là các h ệ quang học có phi tuy ến kiểuKerr và h ệcộng hưởng vòng quang h ọc kíchthước cỡ micro mét v ới sự cóm ặt của khuếchđạituyến tínhvàmấ t m á t p h i tuyến.

Phạm vi nghiên c ứu là các h ệ quang học được xéttrongtrường hợp mộtchiềuvàphituyếnkiểuKerr.

Phươngphápnghiên cứu

- Phươngpháplýthuyết:Sửdụngphươngpháptáchbiếnđểgiảih ệ phương trình vi phân đạo hàm riêngbậc hai; Tiêu chu ẩn ổn địnhVakhitov -Kolokolov(V-K)để xác định tínhchấtổnđịnhcủa cáctrạngtháisolitons.

- Phương pháp số: Phương pháp thời gian ảo để tìmlời giải solitons trongmôi trường quang học phi tuyến Kerr Phương pháp tuyến tính hóatr ị riêng c ủacácmodenhiễuloạnvà phươngphápSplit-StepFourier(SSF)tiếntriểnsolitons dưới ảnh hưởng của nhiễu loạn để xác định tính ch ất ổn định củasolitons Đồng thời sử dụng phương pháp SSF để tìmtr ạng thái cu ối cùng tronghệcộnghưởng vòngquang.

Bốcụccủaluậnán

Phươngtrình đạohàmriêngmôtảmộtsố hệvậtlý

Hầuhếtcáchiệntượngvậtlýtrongthựctếđượcmôtảbởicácphươngtrình đạo hàm riêng Phươngtrìnhcó ch ứa các đạo hàm riêng của hàm hai ho ặcnhiềubiếnđượcgọilàphươngtrìnhđạohàmriêng.Tùytheo cách phân chiamàphươngtrìnhđạohàmriêngđượcchialàmcácloạikhácnhau.Nếuphânchiatheomức độphituyếnchúngtacóphươngtrìnhđạohàmriêngtuyếntínhvàphươngtrìnhđạoh àmriêngphituyến.Phươngtrìnhđạohàmriêngtuyếntínhlàphương trìnhđượcviết ởdạngchungnhưsau[32]:

𝑎,𝑏làcáchằngsố,𝑢⃗⃗và𝑣⃗làcáchàmriêng.Ngượclại,phươngtrìnhđạohàmriêngphi tuy ến là phương trình không tuyến tính nghĩa là𝐿không thõa mãntínhchất trên.

Nếu phân chia theosự phụ thuộc vào th ời gian,chúng ta có phương trìnhbiến đổi theo thời gian thì được gọi là phương trình tiến hóa, trái l ại thì được gọilà phương trình dừng Trong tình hu ống này người ta thường kíhi ệu biến thờigian là𝑡,cácbiếncòn lại làbiếnkhônggian.

Trongnghiêncứuvậtlý,bướcđầutiênchúngtathườngthựchiệnđólàtoán h ọc hóa các hi ện tượng vật lý.Dưới đây là m ột số phươngtrình đạo hàmriêngmôtảcác hệvậtlýmàchúngta thườnggặpđólà:

 Phương trình Poisson:∆𝑢 = 𝑓 Phương trình này thường xuất hiện khinghiên c ứu thế tĩnh điện, từ trường tĩnh, thủy động lực học,thế hấp dẫn,truyền nhiệt dừng Đặc biệt, khi𝑓 = 0thì phương trình Poisson trở thànhphương trìnhLaplace;

 PhươngtrinhD’Alember:∆𝑢= 1𝜕 2 𝑢 ,môtảquátrìnhl a n tr uy ề n só n g

 PhươngtrìnhSine-Gordon𝑢𝑡𝑡− 𝑢𝑥𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑢đượcứngdụngt r o n g h ì n h họcvi phân,trong v ật lý (miêut ảtrong nhiều bốicảnh lan truyềnsóngtrênmộtđườngthẳng,khôngđịaphươngtrongtinhthể, từ trườnghóa,…),

 Trong vật lý siêu d ẫn, Ginzburg-Landau đã đưa ra lý thuyết hiện tượngluận về chuyển pha siêu d ẫn (1951) Giả thuyết của Ginzburg- Landaulàtrạng thái siêu d ẫn trật tự hơn trạng thái thường nhưvậy từ lý thuy ếtchuyểnp h a c ó thểd i ễ n t ả đ ư ợ c b ằ n g m ộ t t h ô n g s ốt r ậ t t ự (𝜓),p h ư ơ n g trìnhnàycódạng:

𝜓𝑟⃗ +𝛼𝜓 𝑟⃗+𝛽𝜓 𝑟⃗ đõy là lần đầu tiờn phương trỡnh Schrửdinger phi tuyến xuất hiện, đúng vai trũquantrọngtrongcỏcnghiờnc ứuvậtlý hi ệnđạisaunày.P hươngtrỡnhSchrửdinger phi tuyến và các phương trình dạng của nó (chứa số hạng|𝜓|2𝜓)đượcsửdụngđểmôtảnhiềuhiệntượngvậtlýtrongnhiềulĩnhvựckhácnhau nhưtrongcơhọclượngtử,trongquanghọc,trongvậtchấtngưngtụ,….códạngnhưsau:

PhituyếnkiểuKerrvàphươngtrỡnhSchrửdingerphituyếnmụtảmộtsốhệquang học 9 1 Hiệuứngphituyến Kerr

1.2 Phi tuyếnkiểu Kerr và phương trỡnh Schrửdinger phi tuyến mụ t ả mộtsốhệquanghọc

PhituyếnkiểuKerrlàhiệntượngphituyếnliênquanđếnphâncựcphituyếnbậcbacủacư ờngđộđiệntrường[33].Dướitácdụngcủatrườngánhsángmạnh,chiếtsuấthiệudụngcủam ôitrườngphụthuộcvàocườngđộtrườngánhsángt h e o hệthức[33]:

𝑛=𝑛0+𝑛̅2〈𝐸̃(𝑡) 2 〉, (1.5) trongđó,𝑛0làchiếtsuấttuyếntính,𝑛̅2làhệsốmôtảtốcđộtăngchiếtsuấthiệudụngvớisựtăngc ủacườngđộánhsáng.Cườngđộtrườngánhsángcódạ n g :

(1.6)trong đókíhiệu𝑙ℎ𝑝nghĩa là liênhợpphức của sốhạngđầu.

Sựthay đổi chiết suất hiệu dụng mô t ả bởi phương trình (1.8) được gọi là hi ệuứng phi tuyến Kerr, trong đó chiết suất của môi trường thay đổi một lượng tỷ lệvới bình phương mô đun của cường độ trường ánh sáng Như vậy, nếu sự thayđốichiếtsuấthiệudụngđượcgâyrabởichínhánhsángđóthìhiệuứngđượcgọilàtựđiề ubiếnpha,cònsựthayđổichiếtsuấthiệudụngđượcgâybởichùm

Hình1.1.Haicáchlàmthayđổichiếtsuấthiệudụngcủamôitrường:(a)tựđiềubiếnphavà(b) điều biếnphachéo[ 3 3 ]

(1.9)trong đó𝜀0= 8.85×10 −12 𝐹/𝑚là ộđộ điệnthẩmcủachânkhông. Độlớnvéctơphâncựctoànphầncủamôitrườngđốixứngtâmđượcchobởi:

Thayphươngtrình(1.8)vàovếtráivàphươngtrình(1.11)vàovếphảicủaphương trình(1.12),chúngtađược:

𝑛 2 = 4𝑛0𝑛̅2|𝐸(𝜔)|2=(1+𝜒 (1) )+3𝜒 (3) |𝐸(𝜔)|2 (1.14) Từđây,cáchệthứcliênhệgiữachiếtsuấttuyếntínhvàphituyếnvớiđộcảmtuyếntínhvàphituyế n , tương ứngđượccho bởi:

Kết quả trên đây thu được đối với trường hợp tự điều biến pha như Hình 1.1a.Tuy nhiên, trong trường hợp điều biến pha chéo như Hình 1.1b, sự cómặtcủatrường ánh sáng m ạnh với biên độ𝐸(𝜔)dẫn tới sự thay đổi chiết suất đối vớitrườngánhsángdòvớibiênđộ𝐸(𝜔 ′ ).Thànhphầnphâncựcphituyếntácdụngbởi trườngánhsángdòđượcchobởi [33]:

Sosánh(1.15)với(1.18)chothấyhệsốphituyến𝑛̅ 𝑐ℎ trongđiềubiếnphachéolớngấphai lần hệ sốphi tuyến𝑛2trong tự iềuđộ biếnpha Do đó, trườngá n h sáng mạnh ảnh hưởng lên chiết suất hiệu dụng của trường ánh sáng dò có cùngtầnsố sẽlớn gấphailầnso vớiảnh hưởnglên chínhánh sángđó.

Mặtkhác, sựthayđổicủachiếtsuấthiệudụngtheocườngđộtrườngánhsáng có thểđược biểudiễnbởihệ thứcsauđây [33]:

𝑛=𝑛0+𝑛2𝐼, (1.19) trong đó,Ilà cường độ trường ánh sáng tới,𝑛0là chiết suất tuyến tính của môitrường và𝑛2là hệ số phi tuyến Kerr Cường ộ ánh sáng ược liên hệ vớiđộ độ bìnhphương của môđunbiênđộtheo hệthức[33]:

Sosánh cácphương trình (1.8)và(1.19),chúngtarútrađược:

Thay phương trình (1.15) vào phương trình (1.21), chúng ta thu được biểu thứccho hệsốphituyếnKerr(trườnghợptựđiềubiến pha):

Do chiết suất hiệu dụng trong biểu thức (1.21) là đại lượng không thứ nguyênnên đơn vị của𝑛2phải tỷ lệ nghịch với ơn vị của cường ộ Thông thường,độ độ độơnvịcủa hệsốphituyếnKerrđượcxácđịnhtheo[𝑚 2 /𝑊]hoặc[𝑐𝑚 2 /𝑊].

Hấp thụ hai photon (Two photon absorption - TPA) được định nghĩa là sựhấp thụ đồng thời của hai photon, có cùng năng lượng hoặc năng lượng khácnhau, dẫn đếnsự kích thích lêntrạng thái điện tử cao hơn Mặc dù hi ện tượngnàyđóđượcdựđoỏntronglýthuyếtvàonăm1931bởiMariaGửppert-Mayer

[34] và quan sátbằng thực nghiệm năm 1961 [35] VìTPAlà m ột quá trình phituyến bậc ba, trong đó sự hấp thụ trực tiếp tỷ lệ với bình phương cường độ ánhsáng t ới, vìv ậy một nguồn sáng m ạnh như laser là cần thiết Ở cường độánhsáng cao, xác su ất hấp thụ của hai vànhi ều photon cùngm ột lúc tăng lên. Chúngtahãyxemxétsựlantruyềnánhsángthôngquamộ t mẫucóđộdày𝑙.Nếu𝐼𝑖𝑛làcường độ ánhsángtrướcmộtmẫu,thìsaumẫu cườngđộ là[36],

𝐼 𝑖𝑛 (1−𝑅)(1−𝑒 −𝛼𝑙 ) trong đó𝑅làh ệ số phản xạ của mẫu,𝛼là h ệ số hấp thụ tuyến tính và𝛽là h ệ sốđặctrưngchosựhấpthụhaiphotonđượcgọilàhệsốhấpthụhaiphoton.Bỏqua sự phảnxạ ánh sáng c ủa mẫu và s ự hấp thụ tuyến tính c ủa mẫu người ta cóthể viết một phương trình đơn giản cho cường độ đầu ra trong trường hợp chỉ cóhấp thụhaiphoton:

𝐼 𝑖𝑛 1+𝛽𝑙𝐼 𝑖𝑛 1+(𝛽𝑙𝐼 𝑖𝑛 ) −1 Độhấpthụhaiphotonphụthuộcvàocườngđộánhsángvào.Kh i mà𝛽𝑙𝐼𝑖𝑛nhỏthì độ hấp thụ hai photon tỉ lệ thuận với cường độ ánh sáng, hay nói cách khác làxácsuấthấpthụtỉlệthuậnvớibìnhphươngcườngđộ,đâylàhiệntượngphi tuyến bậc ba.

Phương trỡnh Schrửdinger là một phương trỡnh cơ bản của vật lý lượng tửmụ t ả sự biến đổi trạng thái lượng tử của một hệ vật lý theo th ời gian, thay thế cho các định luậtNewton và bi ến đổi Galileo trong cơ học cổ điển. ErwinSchrửdingerlàngườiđầutiờnthiếtlậpnúvàonăm1926vàcúdạng:

Trongquanghọc, sựlan truyềncủa xung ánh sángđ ư ợ c b i ể u d i ễ n b ằ n g hàm bao bi ến thiên ch ậm Phương trình hàm bao trongmôi trường phi tuyếnKerr được miờu t ả bởi phương trỡnh Schrửdinger phi tuyến cúd ạng chuẩn hóa[37]:

2𝜕 𝑐 trong đó𝑠𝑖𝑔𝑛làhàmd ấu Phương trình này được áp d ụng cho sự lan truyền củaxung ngắn, sau khi đã bỏ qua các hi ệu ứng như tán sắc bậc ba, tựdụng xung vàtự dịch chuyển tần số do tính ch ất của xung ngắn (Lưu ý rằng, xung ngắn làxung có thời gian xung vào b ậcpicô giây ho ặc lớn hơn) Đối với các xung c ựcngắnthỡsựlantruyềnxungđượcmiờutảbởiphươngtrỡnhSchrửdingerphituyến mởrộngdạng chuẩnhóa[ 3 7 ] :

Khichùmánh sáng lantruyềntrongmôitrườngốngdẫnsóngképcóphi tuyến Kerr và có chiết suất thay đổi theo không giand ạ n g k é p , c h i ế t s u ấ t t h a y đổi đó được xem như tạo thànhm ộ t t h ế k é p b ẫ y á n h s á n g

Khi chúng ta có được dạng các phương trình toán học miêu tả các hiệntượng vật lý thì nhiệm vụ tiếp theo đó là: giải chúng như thế nào? Phương phápgiải nào là tối ưu, cho kết quả nhanh và chính xác nhất? Nghiệm của chúng rasao? Trong số cỏc lớp nghiệm của phương trỡnh Schrửdinger phi tuy ếncú mộtlớp nghiệm đặc biệt được gọi là “solitons” đã được quantâmnghiên c ứu vìsolitonscónhiềuứng dụngtrongkhoahọcvàcôngnghệ.

Solitonsvàlờigiảisolitons

Solitonsđãđượcquansáttrướcđóvàvàonăm1895G.DeVriesđãmôtảnól ầ n đ ầ u t i ê n trongp h ư ơ n g t r ì n h K o r t e w e g d e V r i e s ( K d V ) S a u n à y v à o nhữngnăms áumươicủathếkỷtrước,phươngtrìnhKdVđượcxemxétkỹhơnvàlớpcácsóngcôđơn(solit arywave)đượctậptrungsựchúý.“Sóngcôđơn”nghĩalàsựtiếntriểncủanóđượcmôtảnhưlà chuyểnđộngcủamộthìnhd ạng“cứng”k h ô n g b i ế n đ ổ i [ 3 9 ] D o l ú c đ ó c á c n h à v ậ t l ý có tiềmv ọ n g l à dùngchúngđểmôhìnhhóacáchạtcơbản,nênđãđưaratêngọilàsolitons[1].Th ựcrasolitonslàtrườnghợpriêngcủacácsóngcôđơn[32],songtrongquanghọchai thuật ngữ được hiểunghĩa là trạng thái gi ống nhau Solitons cómộttính ch ấtrất đặc biệt đó là khi chúng ta cho hai solitons tương tác với nhau, trong một thờigianngắnchậplàmmộtsauđólạitáchrathànhnhữnghìnhdángvàvậntốcbanđầucủachúng. Kruskalđãgiảithíchxuấtphátđiểmcủatêngọi“solitons”,nghĩalànóxemnhưcáchạtvậtchất Kểtừđósolitonsđãđượcquansáttrongnhiềulĩnhvựcvậtlýkhác nhau.Đặcbiệttron gquanghọcsolittonshứahẹncónhiềuứngdụngtrongviễnthông,vìchúngcóthểlantruyề ntrongquãngđườngdàimàkhôngbịméo.Chínhvìvậysolitonsvàứngdụngcủanóđãvàđangđ ượccácnhàkhoahọctrênthếgiớiquantâm nghiêncứumạnhmẽ.

Lời giải solitons lần đầu tiên cũng được đưa ra năm 1895 sau khi G DeVries dẫn ra phương trình KdV từ phương trình cơ bản của thủy động học [39].Lời giải solitons cũng đó được tỡm th ấy trong phương trỡnh Schrửdinger phituyến (1.27) bằng phương pháp tán xạ ngược (Inverse scattering method - ISM ).Lớp nghiệm đặc biệt đó được gọi là cácn g h i ệ m s o l i t o n s B ằ n g p h ư ơ n g p h á p ISMcácsolitonsbậcnhấtvàbậchaithuđượcnhưsau[40]:

(𝜉,𝑟)=4𝑒 −𝑖𝜉/2 cosh(3τ)+3e −4iξ cosh(τ) cosh(4τ)+4cosh(2τ)+3cosh(4τ) (1.32) Trongtrư ờnghợptánsắcdịthường((𝛽 ′′ (0) 0vàhaihiệuứnggồm:tựhộitụlàmnhọnxungvàsựmởrộ ngxungdohiệuứngnhiễuxạbùtrừlẫnnhaut h ì hìnhdạng(hayphânbốcườngđộtheotiếtdiệnn gang)củaxunglantruyềntrong môi trường sẽ không thay đổi và được gọi là solitons không gian[41] Đốivới môi trường có h ệ số chiết suấtphi tuyến𝑛2< 0, không bao gi ờ chúng ta thuđượcsolitonskhônggian.Bởivìkhiđóngoàisựphânkỳdonhiễuxạ,chùmtiacònbịphânkìd osựkếthợpgiữaphânbốkhônggiancủachùmtiavàsựphụthuộccủachiếtsuấtvàocườngđộcủat rườngngoài.Cónghĩalàtrongquátrìnhlantruyềnchùmtialuôn bịphânkỳ.

1.4 Mộts ố p h ư ơ n g p h á p s ố đ ể t í n h t o á n phươngt r ỡ n h S c h r ử d i n g e r p h i tuyến Đối với các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính việc giải dễ dàng hơnphương trình phi tuyến Chúng ta có thể giải chúng bằng các phương pháp giảitích như: phương pháp tách biến, phép biến đổi tích phân (tức là biến đổi cáctoán tử vi tích phân sang không gian ảnh để dễ tính toán hơn) đặc biệt là phépbiến đổi Fourier truyền thống chuyển chúng thành các phương trình đại số trongkhông gian Fourier [32] Đối với phương trình đạo hàm riêng phi tuyến việc giảichúngkhókhănhơnnhiều,bậccàngcaothìcàngkhóhơn.Phươngpháp giải tích c hỉ có thể đưa ra được trong một số rất ít các bài toán phi tuyến và khôngthể có phương pháp giải tích chung cho tất cả cỏc bài toỏn được Chẳng hạn,phương trỡnh Schrửdinger phi tuyến cú thể giải bằng phương pháp tán xạ ngượcnhưngkhụngỏpdụng đượcchop h ư ơ n g trỡnhSchrửdinger phituyếnsu yrộng hay phương trỡnh phương trỡnh Schrửdinger phi tuyến cú thờm thế tuyến tớnh.Điều đú lại càng khú hơn khi chỳng ta xộth ệ p h ư ơ n g t r ỡ n h S c h r ử d i n g e r p h i tuyến (sẽ được nghiên cứu trong Chương 3) Để giải quyết vấn đề trên người tađã phải vận dụng nhiều phương pháp tính toán gần đúng khác nhau. Nhưngphương pháp hữu hiệu nhất là phương pháp số Sau đây chúng tôi sẽ trình bàychi tiết một số phương pháp số có thể áp dụng để tính toánv à s ẽ đ ư ợ c d ù n g trong luận ánnày.

1.4.1 Phương pháp thời gian ảo để tìm kiếm lời giải solitons của phươngtrỡnhS c h r ử d i n g e r phituyến ĐểtỡmtrạngthỏisolitonscủaphươngtrỡnhSchrửdingerphituyếnchỳngtacúnhiềucỏchk hácnhaunhư:phươngphápPetviashvili,phươngphápSquared-

[ 4 2 ] M ỗ i phươngphápcónhữngưuđiểmriêngđốivớitừnghệvậtlýkhácnhau.Trongđềtà inày,chúngtôisửdụngphươngphápthờigianảo,chothấysựhộitụnhanhcủanó.C ụ thểphươ ngpháp nàyđượctrìnhbàynhưsau.Chúngtaxétmột phươngtrìnhnhiềuchiềusauđây[42]:

𝑖𝑈𝑡+∇ 2 𝑈+𝐹(|𝑈|2,𝒙)𝑈= 0, (1.34) ở đây𝐹( , )là hàm giá trị thực,𝒙“đậm” được hiểu là bi ến không gian nhi ềuchiều. Lưu ý rằng phươngtrình (1.27), (1.29) và (1.34 ) có d ạng giống nhau Dođó việc đi tìm trạng thái soliton s của phương trình (1.34) cũng tương tự nhưviệctìm tr ạng tháisoliton s của hai phương trình kia Sau đây chúng tôi trình bàyphương pháptheophươngtrình(1.34).

𝑈(𝒙,𝑡)= 𝑢 (𝒙)𝑒 𝑖𝜇𝑡 , (1.35) trong đó𝑢(𝒙)là hàm giá trị thực và𝜇là h ằng số lan truyền Hàm𝑢(𝒙)thỏamãn phươngtrình:

Phương trình (1.38) thu được bằng cách thay “𝑡” bằng “– 𝑖𝑡” trong phương trình(1.34) (chính vì vậy nên được gọi là th ời gian ảo),và sau đó chuẩn hóa cácnghiệm sau mỗi bước của thời gian tích phân để cốđịnh công su ất Công su ấtcủatrạngtháidừng𝑢(𝒙) ượcđộ địnhnghĩanhưsau:

Thực hiện đơn giản nhất đó là tích phân số theo thời gian phương trình (1.38) sửdụng thuậttoán Eulervàthờigian ảo

𝑛+1 〈𝑢̂ 𝑛+1 ,𝑢̂ 𝑛+1 〉] 𝑛+1 và𝑢̂𝑛+1= 𝑢𝑛+[𝐿00𝑢]𝑢=𝑢 𝑛 ∆𝑡 (1.41) Ởđây𝑢𝑛lànghiệmsau𝑛phéplặpvà∆𝑡 ộđộ dàibướccủathờigiantíchphânlàmột tham số ban đầu của thuật toán N ếu các bước lặp từ (1.36) đến(1.41) hội tụvềnghiệm𝑢(𝒙)cầntìm,thìnghiệ m𝑢(𝒙) óđộ thõamãnphươngtrình(1.36)vớicôn gsuấtcủanólà𝑃vàhằngsố lantruyền𝜇sẽđượctính:

Thuậttoáng ốcthìmáytínhtínhtoánrấtchậm,bởivìthờigiantíchphâncủaphương trình vi phân (1.38) phải rất nhỏ để thuật toán Euler hội tụ Một ý tưởngđó là sử dụng phương pháp ngầm định bước thời gian để tích phân theo thờ i gian ảo của phương trình (1.38) Trong ý tưởng tăng tốc độ đó, thay vì tiến triểntheophươngtrìnhthờigianảoởtrênchúngtathêmvàomộtsốhạngphíatrướcnhưsau:

𝑢𝑡= 𝑀 −1 [𝐿00𝑢−𝜇𝑢], (1.43) ở đây𝑀là m ột toán t ử dươngvà tự liên h ợp phức Trạng thái d ừng của phươngtrình (1.36 ) vẫn là𝑢(𝒙), áp d ụng phương pháp Euler cho phương trình mới, biểuthứctiếntriểnthờigian ảotăng tốclà:

Mộtsốphươngphỏpsố đểtớnhtoỏnphươngtrỡnhSchrửdingerphituyến.16 1 Phươngpháp thờigianảođểtìmkiếmlờigiảisolitonscủaphươngtrìnhSc hrửdingerphi tuyến

(1.46) Ởđây,𝑃 ượcđộ địnhnghĩaở(1.39)vẫngiữcốđịnh.Lưuýrằngbiểuthức(1.46)ởtrêncho𝜇

𝑛khácvớibiểuthức(1.42).Đểthuậttoáncủaphươngphápthờigianảohộitụnhanhchúngtacầ nchọn𝑀hợplý, thôngthường𝑀códạng:

𝑀=𝑐 −∇ 2 , (1.47) ở đây𝑐làh ằng số dươngtùy chọn sao cho hợp lý.Sai số của thuậttoánđượckiểmtra bằngđộlệchsau:

Cáckếtquảvềtínhtoáncáctrạngtháidừngcủahệquanghọcphituyếnvàgiếngt h ế k é p đãs ử dụngphương p h á p t h ờ i g i a n ả o sẽ đ ư ợ c trìnhbà ytrongChương2 của luậnán.

Phương pháp SSF là phương pháp tiến triển trạng thái dưới ảnh hưởng củanhiễuloạnnhỏ.Trongđềtàinày,chúngtôisửdụngphươngphápnàychocảhaimụcđích, cụ thể sử dụng để kiểm tra tínhổn định của trạng thái d ừng ở Chương2 và tìm tr ạng thái cu ối cùng(th ời gian đủ dài) trong h ệ quang học ở Chương 3.Sau đây, chúng tôi trình bày chitiết về phương pháp này Chúng ta xét phươngtrỡnhS c h r ử d i n g e r phituyếncúdạngsau[37]:

Nói chung, c ả hiệu ứng tuyếntính và phi tuy ến tác d ụng cùng nhau d ọc theochiều dài lan truy ền Phương pháp SSF thu đượcnghiệm gần đúng bằng cách gi ảsửrằng,trongsựlantruyềncủatrườngquanghọcquakhoảnglantruyềndàiℎ

𝑇 hiệu ứng tuyến tính vàphi tuy ến cóth ể tác d ụng độc lập Cụ thể hơn nữa, sự lantruyền từ𝑧đến𝑧 + ℎđược chia thành hai bước Trong bước thứ nhất chỉ có hiệuứngphituyếntácđộng,và𝐷̂=0ởtrongphươngtrình(1.49).Trongbướcthứ hai,chỉcóhiệuứngtuyếntínhtácđộngvà𝑁̂=0trongphươngtrình(1.49).Tính toánchúngta được:

𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐷̂)𝐵(𝑧,𝑇)=𝐹 −1 𝑒𝑥𝑝[ℎ𝐷̂(−𝑖)]𝐹𝑇𝐵(𝑧,𝑇), (1.53) ởđây,𝐹𝑇làkýhiệucủatoántửbiếnđổiFourier,𝐷̂(−𝑖)thuđượctừphươngtrình(1.49)bằngcá chthay⁄

𝑇bằng–𝑖vàlàtầnsốtrongmiềnkhông gianFourier.𝐷̂(−𝑖)trởthànhmộthàmsốtrongkhônggiantầnsố,chứkhông phảilàtoántửnữa.ĐâylàlýdomàthuậttoánSplit-StepFouriernhanhhơnthuật toánF i n i t e - Difference.

(1.56)Trước khi áp d ụng công th ức này, chúng ta lưu ý rằngmuốn mô tả tiến triển củaxungcàngchínhxáckhoảnglantruyềnℎcầnphảicàngnhỏ.Vìnếuℎ ángđộ kểthìcácphépbiế nđổigầnđúngsauđâysẽkhôngcònchínhxác.

Từ(1.56)cóthểthấy nếuℎnhỏthìlũythừabậccaocủanósẽnhỏhơnrấtnhiềuso với lũy thừa bậc nhất vàtrong phép g ần đúng bậc nhất chúng ta b ỏ các lũythừabậc caođi.Kếtquảthuđược:

𝐴(𝑧+ℎ,𝑇)≈𝑒𝑥𝑝(ℎ𝐷̂)𝑒𝑥𝑝(ℎ𝑁̂)𝐴(𝑧,𝑇), (1.58) vàphépgầnđúngnàyđượcgọilàgầnđúngbậcnhấtnênsaisố cóthểước lượnglàcùngbậc vớiℎ 2 ChúngtacóthểápdụngcôngthứcBaker-Campbell-Hausdorffđểtăngđộchính xác caohơnbiểuthức (1.57).

Trongnửabướcđầu,hiệuứngtuyếntínhtácdụng.Quátrìnhnàychúngtaxem như𝐴(𝑧,𝑇) ãđộ b i ế t Đ ế n v ị t r í𝑧+ ℎ thìhiệuứ n g p h i t u y ế n s ẽ t á c d ụng.N ử a

2 bướcsautừ𝑧+ℎthìhiệuứngtuyếntínhlạitácdụng.Sựmôtảcóvẻphứctạpnhưnggầnthực tếhơnvà chínhxác hơn.

Trênđâylàc ơ sở phươngpháp g ầ n đú ng đểgiải gầnđú ng phươngtrình đạ ohàmriêngphituyến(1.49)môtảlantruyềncủacácxungánhsáng.Nguyêntắccủanólàchianhỏ quãngđườnglantruyềnthànhnhiềubướcnhỏ,trênmỗibướclạisửdụnggầnđúngvềtácdụngđ ộclậpcủacáchiệuứng.NócótêngọilàphươngphápSplit-

Step.Cáccôngthứcgầnđúngởtrênvẫnmangtínhchấtlý thuy ếtvà chưa thểápd ụng để giải trênmáytính được Muốn giải được trênmáytínhchúngtacầnsửdụngphépbiếnđổiFouriervàbiếnđổiFourierngược.Chínhvìsựk ếthợpcảphươngphápSplit-StepvàcácphépbiếnđổiFouriernên đượcgọilàphươngphápSplit- StepFourier.

𝑒 −(𝑖𝐷̂ /2)𝑑𝑡 𝑒 −(𝑖𝐿̂ /2)𝑑𝑡 𝑒 −(𝑖𝑁̂ )𝑑𝑡 𝑒 −(𝑖𝐷̂ /2)𝑑𝑡 𝑒 −(𝑖𝐿̂ /2)𝑑𝑡 Ψ(𝑥,0) (1.65)Nếu biết trướcΨ(𝑥,0)thực hiện tiến triển thời gian theo công th ức (1.65) chúngta sẽbiếtđượcΨ(𝑥,𝑡).

Mộtsốphươngphápdùngđểxéttínhchấtổnđịnhcủacáctrạngthái

Tính ch ất ổn định của solitons rất quan trọng trong việc ứng dụng vào khoahọc và công ngh ệ như lan truyềnthông tin đường dài Vìv ậy, nghiên c ứu tínhchấtổn định của solitons là c ần thiết Ngoàiphương pháp tiến triển trực tiếptrạng thái d ừng ở trên s ử dụng thuật toán Split - Step Fourier, chúngta có th ể sửdụng hai phương pháp: phương pháp tuyến tính hóa trịriêng c ủa mode nhiễuloạn,tiêuchuẩnổnđịnh(V-K),đượctrình bàychitiếtsauđây.

Theo phương pháp này, chúng ta đưa vào trạng thái d ừng cácmode nhi ễuloạn có t ốcđộ nhiễu loạn𝜆, sau đó thay thế vào phương trình ban đầu, dẫn raphương trình trị riêng bằng cách tuyến tính hóa Sử dụng phần mềm matlab đểtìmphổtrịriêngcủacác modenhiễuloạn.Đểhiểurõphươngpháp nàychúngtôi xétvídụđãđượcnghiêncứutrongtài liệu[42].

(1.67)Trạngtháisolitonscódạng𝑈(𝑥,𝑡)=𝑢(𝑥)𝑒 𝑖𝜇𝑡 vàtrạngt há isol it on skh it hê m nhiễu loạncódạng:

𝑈(𝑥,𝑡)=[𝑢(𝑥)+𝑈̃(𝑥,𝑡)]𝑒 𝑖𝜇𝑡 ,𝑈̃≪1 (1.68) Thế trạng thái nhi ễu loạn vào phương trình(1.66) và tuy ến tính hóa (t ức là b ỏquacácsốhạngcủa𝑂(𝑈̃ 2 )vàbậccaohơn,chúngtathuđượcphươngtrìnhtuyếntínhhóacho nhiễuloạn𝑈̃:

𝑖𝑈̃ 𝑡+ 𝑈̃ 𝑥𝑥− 𝜇𝑈̃+[𝐹(𝑢 2 )+𝑢 2 𝐹 ′ (𝑢 2 )]𝑈̃+𝑢 2 𝐹 ′ (𝑢 2 )𝑈̃ ∗ =0 (1.69) Nghiệm của phương trình này có thể tách thành t ổng của các mode tùy ý códạng:

Thế(1.70)vàophươngtrìnhtuyếntínhhóa(1.69),chúngtasẽtìmđượccácmodechuẩn hóa xác địnhbởibài toán trịriêng tuyếntínhsau đây:

- Sử dụng phươngpháp số thời gian ảo để tìm tr ạng thái d ừng của hệ, kếthợpvớiphươngphápFourierCollocation đểtìmtrịriêngcủa toántử𝑳.

- Sử dụng phươngpháp số thời gian ảo để tìm tr ạng thái d ừng của hệ, kếthợpvớiphươngphápFinite-Differenceđểtìmtrịriêngcủatoántử𝑳.

Theo phương pháp này nếu như phần thực của tốc độ nhiễu loạn𝜆kháckhông thì tr ạngthái khôngổn định, phần thực của tốc độ nhiễu loạn𝜆bằngkhông thìtr ạng thái ổn định Vậy phương pháp Fourier Collocation như thế nào? Trongmiềnmộtchiều,chúngtabắtđầucắtngắntrục𝑥vôhạnthànhhữuhạn

𝐿.Thếnhữngkhaitriểnnày vàobàitoántrịriêng(1.75)và cânbằngcáchệsốcủacùngmodeFourier,hệtrịriêngđốivớicáchệsố{𝑎𝑗,𝑏𝑗} sẽthuđượcnhưsau:

𝑛 𝑛 ở đây,−∞ < 𝑗< +∞ Đối với tính toán số, chúng ta c ắt ngắn vớisố mode đủlớn−𝑁< 𝑗 < +𝑁,bàitoántr ịriêngcós ốchiềuvô h ạn trởthànhbàitoáncó sốchiềuhữuhạn:

Bàitoántrịriêng(1.81)cóthểđượcgiảibằngthuậttoánQR(GloubvàVanLoan(1996))hoặcthuật toánArnoldi (Arnoldi(1951)).

Sauđây,chúngtaxétmộtvídụápdụngphươngphápFourierCollocationởtrênđểxéttính chấ t ổnđịnhcủatrạngtháis o l i t o n s

Hình 1.4 Phổ ổn định tuyến tínhcủa cáctrạng thái soliton s của phương trỡnhSchrửdinger phi tuy ến (1.84) với hằng số lan truyền𝜇 = 1, tương ứngvới batrườnghợpphituyến(1.84a)-(1.84c)[42].

Nhưvậyquakếtquảthuđượcnhưởhình(1.4)chúngtathấytrườnghợp(a)và(b) có phần thực của𝜆luôn b ằng khôngnên trạng tháiứng với trường hợp đólàổnđịnh,còntrườnghợp(c)phầnthựccủa𝜆cógiátrịkháckhôngnêntrạngtháiứ n g v ớ i nókhôngổ n đ ị n h

𝑈(𝑥, 𝑡)= 𝑢 (𝑥)𝑒 𝑖𝜇𝑡 (1.85) Đại lượngđặctrưngcho công suấttrong quanghọcđượcđịnh nghĩa:

Thayphươngtrình(1 8 5) vào(1.84) ch ún g tacó𝑢 ( 𝑥 ) thõam ã n p hư ơn gtr ìn h sauđây:

∇ 2 𝑢−𝜇𝑢+𝐹(𝑢 2 )𝑢=0 (1.87) Để xét tínhổn định củatrạng thái ( 1.85) chúng ta s ử dụng tiêu chu ẩn (V-K) nhưsau: Trạng thái (1.85 ) ổn định nếu𝑃 ′ (𝜇)> 0vàb ất ổn định nếu𝑃 ′ (𝜇)< 0 Mộtvídụ được trình bàyở hình v ẽ sau Ở đây chúng ta xét tính chất ổn định củatrạngtháidừngcủaphươngtrình(1.84)vớiphituyếncódạng(1.84c).

Trờnđõy làmộtsốphươngphỏp sốdựng để tớnh toỏnphương trỡnhSchrửdingerphi tuy ến và xét tính chất ổn định của các trạng thái Mục tiếp theochúngtôis ẽtrìnhbàymộtsốkháiniệm chínhliênquanđếnđềtàinghiêncứuđólàsựphávỡđối xứngtựphát.

Sự phávỡđốixứngtựphát

Trướchếtchúngtacầnphânbiệthaiđiềuquantrọngkhibànluậnvềtínhđối xứng và phá v ỡ đối xứng: Một là định luật vật lý diễn tả bởi phương trình,hai là tr ạng thái c ủa hệ vật lý di ễn tảbởi các nghi ệm của phương trình trên Sựphá v ỡ tự phát c ủa tính đối xứng hàm ý là định luật (hay phươngtrình) cơ bảnmang một phép đối xứng nào đó, trong khi nghiệm của phương trìnhấ y l ạ i khôngđối xứng theo định luậtấy Phá v ỡ đối xứng tự phát là m ột hiện tượngthường thấy trong tự nhiên B ản chất của hiện tượng này được YoichiroNambulàm rõ trongbài giảng nhân d ịp ông nh ận giải thưởng Nobel năm 2008 (do pháthiện ra hiệntượng pháv ỡ đối xứng tự phát trong v ật lý siêu nh ỏ dưới nguyên t ử)như sau: Ta hãy tưởng tượng có một đoạn dây thép th ẳng đàn hồi đặt thẳng đứngtrongkhông gian Rõ ràng nó có tính đối xứng trục Ta có th ể quay nó xungquanhtrục đối xứng một góc b ất kỳ mànó v ẫn giữ nguyên hình d ạng Bây gi ờ taấnđoạndâynàyt ừtrênxuốngdọctheotrụccủanó.Rõrànghệ dâyvàlựcvẫncó tính đối xứng trục, khi lực ấn lành ỏ Khi ấnvới một lực mạnh thì đoạn dây b ịcong đi theomộthướngnào đómà ta khôngbiếtđược, songc h ắ c c h ắ n đ ố i tượng xem xét đã mất tính đối xứng trục Đó chính là SSB Nếu độ lớn của lựclàm ột tham số, thìh ệ được xem xét s ẽ mất đi đối xứng banđầu ở một giátr ị nàođócủathamsốđượcgọilàgiátrịtớihạn.

SSB phổ biến trong hầu hết các lĩnh vực vật lý Trong v ậtliệu từ, đườngcong từ nhiệt thể hiệnsự mất tính ch ất từ khi nhiệt độ vượt quá nhi ệt độ tới hạnnàođó(gọilànhiệtđộ Curi).TrongBEC làsựphânbố mấtđốixứngcủa mậtđộhạt boson (hạt có spin nguyên) khi nhi ệt độ của hệ thấp hơn nhiệt độ tới hạn.Trong quang học, SSB có th ể là ánh sáng bị bẫy trong một lõi này của ốngdẫnsóngd ạn g lõiképlớnhơntronglõikhác,hiệuứngxảyrakhihiệuứngphituyếnmạnh tương ứng với công su ất xung lớn [43] Hiệu ứng SSB thìph ổ biến đối vớicácmôhìnhkết hợpcủa hiệuứngphituyếntự hộitụvàcácthếbẫyđốixứng.

Trong nghiên c ứu sự phá v ỡ đối xứng thông thường chúngta c ần thiết lậpđược giản đồ rẽ nhánh (có khi g ọi là gi ản đồ pha) Giản đồ rẽ nhánh cũngcónhiềuloại khác nhau như: rẽ nhánh trên t ới hạn, rẽ nhánh dưới tới hạn tùy thu ộcvàođặc trưng rẽ nhánh c ủa hệ (sẽ đượcchúng tôi trình bày ngay sau đây) Quagiản đồ pha đó chúng ta sẽ biết được những thông tin gì? Hai m ục tiếp theochúngtôisẽtrìnhbàyvề giảnđồrẽnhánhvàmộtsốthôngtintừgiảnđồđó.

Trongmụcnàychúngtôis ẽtrìnhbàyhai loạirẽnhánhvànhữngthôngtinthu được từ giản đồ đó của sự pháv ỡ đối xứngtrong hệ quang học bảo toàn (t ứclàh ệ chỉ xảy ra các hi ện tượng tuyến tính vàphi tuy ến,không có khu ếch đại haymất mát) Để dễ hiểu chỳng ta xột vớ dụ cụ thể phương trỡnhSchrửdinger phituyến rỳt g ọn mụ t ả sự lan truyền xungánh sáng trong h ệ quang học phi tuyếnđồng nhất có c ấu trúc giếng thế tuyến tính kép (do chi ết suất thay đổi theo khônggian)códạng nhưsau[44,45]:

𝜕𝑧 2 ởđây,𝑧làkhoảngcáchlantruyềntheotrụclantruyền,σlàhệsốphituyến,σ+1 và σ = -1 tương ứng với trường hợp phi tuyến tự phân k ỳ và t ự hội tụ,𝑥𝑥l àđạo hàm b ậc hai của hàm bao bi ến thiên ch ậm(𝑥, 𝑧)theo𝑧,𝑈(𝑥)là th ế dạngbậc cód ạng giếng kép đối xứng qua trục lan truyền Bình thường, trạng tháisolitons của hệ tuân theo đối xứng của giếng thế Tuy nhiên, th ực tếrằng trạngtháisolitonscủahệlạiphụthuộcnhiềuvàocôngsuấtxungđượctínhtheomôđuncủahàmb aobiến thiên chậm:

−∞ −∞ với𝑢(𝑥)là hàm th ực của trạng thái d ừng(𝑥, 𝑧)=𝑢(𝑥)𝑒 𝑖𝜇𝑧 mà chúng ta s ẽphân tíchtrong Chương 2 Sự bất đối xứng của solitons được đặc trưng bởi độbấtđốixứngđược kýhiệu𝜈:

Tồn tại giá tr ị công su ất𝑁𝑏𝑖𝑓độượcgọi là giá tr ị tới hạn (hay gọi là giá tr ị côngsuất ngưỡng) mà khi công su ất xung có giá tr ị thấp hơn giátrị đó thì solitons códạng đối xứng.Nếu công su ất xung có giá tr ị lớn hơn giá tr ị này thìsoliton s sẽkhôngcònđốixứng nữa Tuy nhiêncũngcó trường hợpx u ấ t h i ệ n s o l i t o n s không đối xứng dướigiátr ị ngưỡng này Vìv ậy người ta chia thành hai loại đặctrưng rẽ nhánh phá v ỡ đối xứng đólà: đặc trưng rẽ nhánh trên t ới hạn và đặctrưng rẽ nhánh dưới tới hạn Sự xuất hiện các soliton s không đối xứngổn địnhvới điều kiện là công su ất xung vượt mức giá tr ị tới hạn,loại phá v ỡ đối xứngnàyđược gọi làtrêntới hạn [44].

Trong trường hợp thứ hai, các soliton s không đối xứng ổn định xuất hiện tại giátrị công su ất xung nhỏ hơn giá trị tớihạn, loại phá v ỡ này g ọi là r ẽ nhánh dướitới hạn

[44] Quá trình r ẽ nhánh dướitới hạn là điển hình cho soliton s trong ốngdẫnsónglõiképvớ i phituyếnKerrtựhộitụ[45].

Hình 1.8 Sự rẽ nhánh dưới tới hạn của các trạng thái soliton s trong mô hìnhhaichiều

Từ hai giản đồ rẽ nhánh ở trên chúng ta s ẽ thu được một số thông tin sauđây:loạirẽnhánhcủaSSB,giátrịtớihạn,tínhchấtổnđịnhcủacáctrạngtháivà vùngthamsốđiềukhiểntồntạicáctrạngtháikhácnhau.

Các h ệ vật lý trong th ực tế hầu hết là h ệ mở, hệ đóng chỉ là trườnghợpriênglýtưởngkhichúngtabỏquacácnhiễubênngoàitácđộngvàohệ.Chínhvì v ậy mà h ầuhết năng lượng của các h ệ vật lý thìkhông b ảo toàn. Trongnghiêncứuvậtlý,bằngcáchchúngtabùvàophầnnănglượngđãmấtmát,dođó mà năng lượng của hệ được duy trì Trong quang h ọc một hệ mở đã đượcnghiên c ứutrong công trình[31], đó là hệ cộng hưởng vòng quang h ọc liên k ếttuyến tính v ới nhau, với sự có mặt của khuếch đại tuyến tínhvà m ất mát phituyếntrongmỗivòng.Tronghệ đó có sự chuyển đổi giữa các tr ạng thái baogồm trạng thái d ừng, trạng thái dao động, trạngthái h ỗn loạn khi tham số điềukhiển thay đổi Sự thay đổi đó chínhlà k ết quả của sự pháv ỡ đối xứng của hàmsóngmôtảtrạngtháicủahệ.Đặcbiệtlàtrạngtháihỗnloạnđãvàđanghứahẹn córấtnhiềuứngdụngtrongkhoahọc,côngnghệ vàđờisống.Sauđâychúngtôisẽtrìnhbàymộtsốkháiniệmvềtrạngtháiđó.

Trongđó,𝑥tỉ lệ thuận với tốc độ đối lưu,𝑦là s ự biến đổi nhiệt độ theo chiềungang,𝑧là s ự biến đổi nhiệt độ theo chiều dọc,𝜎,𝜌và𝛽là các tham s ố dương.Bài toán này được gọi là bài toán Lorenz.Hình v ẽ 1.8mô t ả quỹ đạo của hệLorenztrongmộttrườnghợpgiátrịcủacác thamsố ρ(,σ ,β=8/3.

Trong quá trình thay đổi các tham s ố tronghệ, ông đã tìm thấy trạng thái“hỗn loạn” Trạng thái h ỗn loạnđược hiểu là trạng tháilộn xộn, không tr ật tự.Tuy nhiên,để hiểu một cách chính xác chúngta cần phân bi ệt hỗn loạn với ngẫunhiên.Theo đó, đối với hỗn loạn nếu biết hiện tại (có th ể là tr ạng thái đầu) thìtương lai (cóthể là tr ạng thái cu ối) sẽ xác định và n ếu cómộtnhiễu loạn nhỏ ởhiện tại (trạng thái đầu) thì tương lai (trạng thái cu ối) sẽ không xác địnhđượcnữa.Ngượclại,ngẫunhiênthìnếubiếttrướchiệntại(cóthểtrạngtháibanđầu) thìtươnglai(trạngtháicu ối)sẽ không xác định được, mangtínhch ất ngẫunhiên H ỗn loạn có tính chất rất quan trọng đó là tính ch ất nhạy cảm với điềukiện ban đầu “Hiệu ứng cánh bướm” là một víd ụ nói v ề tínhch ất này Hi ệu ứngcánh bướm đó là nếu chúng ta thực hiện một thay đổi nhỏ ở trạng thái ban đầucủahệphituyếncóthểdẫntới kếtquảlàthayđổilớncủa trạngtháisauđó.

 Mộtsố kịch bảndẫnđến hỗn loạn[46]

Kịch bản dẫn đến hỗn loạn là m ột sự biến đổi từ trạng thái d ừngđến trạngthái h ỗnloạn thông qua các tr ạng thái dao động hoặc gần dao động tùy t ừngtrường hợp, khi một giá tr ị tham số của hệ thay đổi Ba kịch bản dẫn đến hỗnloạn đã được Bergevà các c ộng sự miêu t ả năm 1984 Hình vẽ 1.9 miêu t ả bakịch bản dẫn tới hỗn loạn thường được quan sát trong nhi ều hệ động lựchọc khimột tham số củahệ thay đổi Hình (a) là k ịch bản nhân đôi tần số dẫn tới hỗnloạn; hình (b)là k ịch bản gần tuần hoàn d ẫn tới hỗn loạn; hình (c) là k ịch bảnkhôngliêntục(khôngtrơn)dẫnđếnhỗn loạn.

Tronghìnhv ẽ1.9,cáckí hi ệu“S”nghĩalàtrạngtháid ừng,“P1”,“P2”,…lần lượt làtr ạng thái dao động một tầnsố, hai tần số,…, “C” là trạng tháihỗn loạn, “QP”là trạng thái g ần tuần hoàn, “IM” là trạng thái không liên tục(khôngtrơn).

- Kịchbản nhân đôi tần số bắt đầu từ trạng thái d ừng, dao động một tần sốnàođó,daođộnggấpđôitầnsố,daođộnggấpbốntầnsố,

- Kịch bản gần dao động tuần hoàn d ẫn tới trạng thái h ỗn loạnbắt đầu từtrạng thái d ừng, trạng thái dao động nào đó, trạngthái dao động gần tuần hoàn,rồiđếntrạngtháidaođộnghỗnloạn.

- Kịchbảnkhôngliêntục(khôngtrơn)dẫnđếnhỗnloạncóđặctrưngnhưsau,khi thamsốđiềukhiểnvượtquagiátrịtớihạn,trạngtháidaođộngthườngvàtrạngtháidừ ng(đượcgọilà“phalaminar”)củađộnglựchọcxuấthiệntùyýsựgiánđoạntạicácthờigian ngẫunhiênđặctrưngbởihànhvibấtthường(“bùngnổpha”),nhưtronghình1.9c.Trongq uátrìnhphahỗnloạncũngkèmtheotrạngtháidaođộngthường(nhưngyếu)phụthuộcvào thamsốđiềukhiển,vàquátrình daođộngyếuđócủacácphalaminargiảmkhithamsốđiềukhiểntăng,vàcuốicùnglàcácp halaminarbiếnmấtđểtrởthànhmộttrạngtháihỗnloạn hoàn toàn Kịch bản không tu ần hoàn d ẫn đếnhỗn loạn là liên quan với cácrẽnhánhsaddle- node,HopfvàSubharmonic,vàcóthểtươngứngvớirẽnhánhcácloạikhôngliêntụcloại- I,-IIvà-III(Bergeetal.,1984).Kịchbảnnàycònđượcgọi là“kịchbảncủavụnổPom- Pomeau-Mannevilleđếnhỗnloạn”[46].

Sơ đồ ba kịch bản dẫn tới hỗn loạn được gọị là gi ản đồ rẽ nhánh Qua giảnđồ đósẽ cung cấp cho chúng ta m ột số thông tin sau đây: thứ nhất giátr ị ngưỡngcủatham số điều khiển màt ại đó có sự chuyển đổi trạng thái, thứ hai vùng thamsố điềukhiểnxuấthiệncáctrạngtháivàthứbalàloạikịchbản dẫntớihỗnloạn.

Kếtluận chương1

- Cáckháiniệmcơbảnvàmộtsốphươngpháptínhtoánvềphươngtrìnhviphânđạoh àmriờng.Đặcbiệt,phươngtrỡnhSchrửdingerphituyếnlàphương trình cơ sở mô t ả các h ệ quang học phi tuyến khác nhausẽ được chúng tôiápdụng tronghaichươngtiếptheo.

- Khái ni ệm về trạngthái soliton s và các tr ạng thái soliton s, đây là trạngtháimàchúngtôisẽnghiêncứutrongChương2.

- Phươngpháp SSF được trình bày chi ti ết dùng để tìm tr ạng thái soliton scủa hệ, cũng như sử dụngtrongkỹ thuật tiến triểnđể tìm tr ạng thái cu ối cùngcủa hệcộnghưởngvòngđượcnghiêncứutrongChương3.

K,phươngphápổnđịnhtuyếntínhhóatrịriêngcủacácmodenhiễuloạn,cáckháiniệmn hư:rẽnhánh dướitớihạn,rẽnhánhtrêntớihạn,trạng thái hỗn loạn,kịchbảndẫn tớihỗn loạncũngđượctrình bàychitiết.

Trong hai chươngtiếp theo chúng tôisẽ nghiên c ứu SSB và sự biến đổi cáctrạng thái của một số hệ phi tuyến trên cơ sở các phương pháp đã được trình bàyởtrên.

Chương này chúng tôixétảnh hưởng của côngsu ất xung và hằng số lantruyền lên s ự phá v ỡ đối xứng tựpháttrong hai hệ quang học bảo toàn Đồngthờixéttínhchấtổnđịnhcủacáctrạngtháisolitonstồn tạitronghaihệđó.

HệốngdẫnsóngcóphituyếnKerrđồngnhấtvàthếtuyếntínhkép

Chúngtôinghiêncứusựlantruyềnánhsángtrongốngdẫnsóngvớisựcómặtcủahiệuứngp hituyếnKerrđồngnhấtđồngthờibịbẫytrongốngdẫnsóngcóchiết suất biến đổi theo không gian Phương trỡnh Schrửdinger phituyến rỳt g ọn môtảsựlantruyềnánhsángcódạngsauđây:

𝜕𝑧 2 trongđó=(𝑥,𝑧)làhàmbaobi ế n thiên c h ậm;𝑥𝑥l àđạo hà m bậch a ic ủ a

(𝑥, 𝑧)theotọađộkhônggian𝑥;𝜎là h ệs ố p h i t u y ế n (𝜎 = −1ứngv ớ i p h i tuyến tự hộitụ,𝜎 = +1ứng với phi tuyến tự phân k ỳ); thế tuyến tính (do chi ếtsuấtcủaốngdẫnsóngbiếnđổi theokhônggian)códạnghàmGausskép:

Hình2.1.ThếtuyếntínhG a u s s képđượcchuẩnhóa𝑈 ( 𝑥 ) ⁄|𝑈(𝑥)|𝑚𝑎𝑥theotọa độkhônggian𝑥.

Hình v ẽ 2.1 mô t ả thế tuyến tính d ạnghàm Gauss kép(có bi ểu thức (2.2))với các độ rộng𝑎khác nhau Khi độ rộng của thế tăng lên chúng ta thấy rằnghàmthếGaussképdầntớihàmthếGaussđơnbắtđầutạigiátrịđộrộng𝑎≈

1.35 Lưu ý rằng sựpháv ỡ đối xứng không x ảy ra trong trường hợp một kênh.Chúngt ô i t ì m k i ếmc á c t r ạ n g t h á i s o l i t o n s c ủ a h ệ c ó d ạng( 𝑥,𝑧)𝑢(𝑥)𝑒 𝑖𝜇𝑧 trong ó𝜇độ là h ằng số lan truyền,𝑧là chi ều dài lan truy ền và𝑢(𝑥)làhàmt h ỏ a mãn phươngtrình:

−𝜇𝑢+ 1 𝑢𝑥𝑥− 𝑈(𝑥)𝑢−𝜎𝑢 3 = 0, (2.3) trong đó𝑢𝑥𝑥là ạo hàm b ậc hai của𝑢độ (𝑥)theo tọa độ không gian𝑥và𝑢 𝑢(𝑥).Côngsuấtcủaxungcủahệlàmộtđạilượngbảotoàncóbiểuthức:

N ∫ −∞ |𝑢(𝑥)| 2 𝑑𝑥 nóđặctrưng chosựbất đối xứng của solitons.

NếuΘ = 0thì solitons đối xứng vàΘ ≠ 0thì solitons bất đối xứng Tínhchất đối xứng solitons của hệ phụ thuộc vào độ rộng của thế Gauss képa, côngsuấtxung𝑁vàhằngsốlantruyền𝜇.Ởđây,độbấtđốixứngΘcóthểmangdấu

“-” hoặc “+” tùy thuộcvào s ự lệch đối xứng về phía bên trái hay bên phải củatrạngtháisolitons(xemhìnhvẽ2.2),điềuđóthểhiệnsựtựpháttrongphávỡđốixứngtùythu ộcvàohìnhdạngcủaxungvào.

Hình 2.2.Trạng thái soliton bất đối xứng trái (a) và bất đối xứng phải (b) (cácđường nét liền) nằm trong thế tuyến tính kép (đường nét đứt) Các th amsố: độrộngcủahàmthếGaussképlà𝑎=0.5,côngsuấtxunglà𝑁=2,trườnghợp nàylàp h i tuyếntựhộitụ𝜎=−1.

Lưu ý rằng, nguyên nhânsự phá v ỡ đốixứng tự phát c ủa hệ là do s ố hạngthứ hai trong phương trình (2.1), số hạng này đặc trưng cho phi tuyến tự hội tụhoặc tự phân k ỳ của xung ánh sáng trong môi trường phi tuyến Nếubỏ qua sốhạng nàychúng ta luôn có dạng đối xứng của solitons, có th ể đối xứng hoặcphảnđốixứng.Đốivớihệnhưvậychúngtacósựđốixứngvềcườngđộsángquaphươngla ntruyền.

Trong phần tiếptheo, chúng tôinghiên c ứu ảnh hưởng công su ất xung,hằng số lan truyền lên tính ch ất chất đối xứng và ổn định của solitons Cụ thểxác định các vùng tham s ố trên để tồn tại các lo ạitrạng thái: tr ạng thái soliton sđối xứngvàsoliton s không đối xứng Đồng thời trong mỗi trường hợp chúng tôixét tính ch ất ổn định của chúng Để thực hiện các nghiên c ứu trên chúng tôi s ửdụng các phương pháp số khác nhau. Phương pháp thời gian ảo để tìm l ời giảisolitons, phương phápSSF, phương phápổn định tuyếntính hóatrị riêngc ủacác mode nhi ễu loạn và phương pháp V-K để xét tính ch ất ổn địnhcủa solitons.Nhữngp h ư ơ n g p h á p n à y đã đ ư ợ c t r ì n h b à y tro ng c h ư ơ n g t r ư ớ c S a u đ â y , l ầ n

Xétt r ư ờ n g h ợ p p h i t u y ế n t r o n g ố n g d ẫ n s ó n g l à tựh ộ i t ụ t h ì𝜎=−1,phươn g trình mô tảhệtrởthành:

Lời giải solitons của phương trỡnh Schrửdinger phi tuyến (2.6) được tớnhtoỏn bằng phương pháp thời gian ảo Trạng thái ban đầu của phương trình (2.3)đượcgiảsửcódạngnhưsau:

𝑢(𝑥)=𝐴 ∙𝑠𝑒𝑐ℎ[(𝑥+1)]+ 𝐵∙𝑠𝑒𝑐ℎ[(𝑥−1)] (2.7) ở đây𝐴 = 𝐵ứng với trạng tháiđối xứng,𝐴 ≠ 𝐵ứng với trạng tháibất đối xứng.Kếtquảthuđượccácloạitrạngthái(trạngtháisolitonsđốixứngvàbấtđốixứng)đượcmiê utảtrêncáchìnhvẽ2.3trườnghợpphituyếntựhộitụ𝜎=−1vàcácthamsố:độrộngcủathếGauss képlàa=0.5,côngsuấtxunglà𝑁=2.Tronghình2.3đườngmàuxanhlàhìnhdạngsoliton,đườn gmàuđỏnétđứtlàdạngthếtuyếntínhkép.Từhìnhvẽ2.3achúngtathấysolitoncódạngđốixứngc hẵn

𝑥→−𝑥tươngứ n g v ớ i s o l i t o n đ ố i x ứ n g v à h ì n h v ẽ 2 3 b c h o t h ấ y t r ạ n g t h á i so litonbịlệchtráit ư ơ n g ứngvớitrạngtháik h ô n g đốixứng.

Hình 2.3 Các tr ạng thái soliton s của hệ vàth ế Gauss kép l ần lượt tương ứngcácđườngmàuxanhvàmàuđỏnétđứt:(a)trạngtháisolitonđốixứng,

Muốn xác định vùng các tham số tồn tại các trạng thái solitons, chúng tôixâydựnggiảnđồrẽnhánhΘ(𝑁)vàΘ(𝜇),bằngcáchcốđịnhđộrộngcủathế

Gauss kép, thay đổi hằng số lan truyền𝜇 Sử dụng phương pháp th ời gian ảo, mỗigiá tr ị𝜇chúng tôi xác định được một trạng tháisolitonvà tính được công su ấtxung𝑁theo công thức (2.4) Giản đồ sự phụ thuộc của độ bất đối xứngΘvàocụngsuấtxung𝑁vàhằngsốlantruyềnàđốivớitrườnghợpđộrộngthếGauss

𝑎 = 0.5được trình bày ở hình vẽ 2.4 dưới đây Trong hình vẽ 2.4, các đường nét liền tương ứng tập hợp các trạng thái của solitons ổn định, đường nét đứt là tậphợpcủacácsolitonskhôngổnđịnh(lưuý:tínhchấtổnđịnhcủachúngtôisẽxemxétởngaysauđ ây).Ởđây,chúngtôinhậnthấytồntạigiátrịcôngsuấttớihạn

𝑁𝑏𝑖𝑓= 0.925 (hay hằng số lan truyền tới hạn𝜇𝑏𝑖𝑓= 0.646), mà khi công su ấtxung𝑁>𝑁𝑏𝑖𝑓(hay hằng số lan truyền𝜇 > 𝜇𝑏𝑖𝑓) thì solitons của hệ trở nên bấtđối xứng Trên hình 2.4b, điểm A ứng với trạng thái soliton đối xứng (có độ bấtđốixứngbằngkhông),điểmC,Dtươngứnglàcáctrạngtháisolitonbấtđốixứnglệch phải và l ệch trái (có độ bất đối xứng khác không) Lưu ý rằng tại các giá trịcông su ất𝑁lớn hơn công suất tới hạn𝑁𝑏𝑖𝑓cũng tồn tại soliton ối xứng, tậpđộ hợpcáctrạngtháiđóđượcbiểudiễnbằngđườngnétđứtmàuđỏtrênhìnhvẽ2.4,mộttrường hợp trong số đó là trạng thái tại điểm B, hình dạng đối xứng của chúngcũng giống như trạng thái tại điểm A Điểm khác biệt ở đây là trạng thái solitoncủachúngkhôngổnđịnhkhilantruyềnvớinhiễuloạnnhỏ.

Hình 2.4 Hình (a), (b) l ần lượt là độ bất đối xứng như là hàm của hằng số lantruyền𝜇,vàcôngsuấtxung𝑁.

Tiếp theo, chúng tôi kiểm tra tính chất ổn định của các solitons bằng baphương pháp khác nhau: phương pháp tiến triển solitons trong không gian thựcvới nhiễu loạn nhỏ bởi phương pháp SSF, phương pháp tuyến tính hóa tr ị riêngcủam o d e n hi ễu l o ạ n , p h ư ơ n g p h á p V -

(b) z định của các trạng thái soliton s bằng phương pháp tiêu chuẩn ổn định V-K vàkếtquảtiếntriểncáctrạngtháisolitonstrongkhônggianthực.Tronghnìh2.5a,đồthịmôt ảsựphụthuộccủacụngsuấtxungvàoNtheohằngsốlantruyềnàvới trườnghợpđộrộnghàmthếGaussképa=0.5.TheotiêuchuẩnV-Kkhi 𝑑𝑁 >0

𝑑𝜇 khác nếu hệ số góc của đường cong(𝜇, 𝑁)dương thì trạng thái ổn định, hệ số gócđường cong(𝜇, 𝑁)âm thìtr ạng thái không ổn định Hình vẽ 2.5b mô tả tiếntriểncủatrạngtháisolitontạiđiểmAtheochiềudàilantruyền,chothấyhìnhdạngcủasolitonđư ợcgiữnguyêntrênquảngđườnglantruyềndài(tươngứngtrạngtháiổnđịnh).Hnìhvẽ2.5cmôtảtr ạngtháitạiB,chúngtathấyhìnhdạngsolitonchỉgiữnguyêntrênmộtquảngđườngngắnrồisau đóxungbịvỡ(tươngứngvớitrạngtháikhôngổnđịnh).Hìnhvẽ2.5dmôtảcáctrạngtháisolitons tạiCvàD,chothấyhìnhdạng soliton được giữ nguyên trên quảng đường lan truyền dài (trạng thái solitonbấtđốixứngổnđịnh).

(b) là t iến triển trong không gian tr ạngtháisoliton đối xứng với𝑁 = 0.5, 𝑎 =0.5;hình (c) , (d) lần lượt là ti ến triển trạng tháisoliton đối xứng và tr ạng tháisolitonđốixứng khi𝑁=2,𝑎=0.5.

Cáchth ứ ba để kiểm tra tínhchất ổn định của solitons đó là phương pháptuyến tính hóaổn định trị riêng c ủa các mode nhi ễu loạn Bằng phương phápnày,chúngtôithêmvàotrạngtháisolitonscácmodenhiễuloạncódạng:

𝜇,𝒱và𝖦là các thành phần của mode nhiễu loạn,𝜆≡ 𝜆𝑟+ 𝑖𝜆𝑖là trị riêng củamodenhiễuloạnliênquanđếntốcđộlàmmấttínhổnđịnhcủasolitons.Theoph ươngphápnày, nếuphầnthực củatốc độnhiễu loạn𝜆có giá tr ị khác khôngthìtrạngtháisolitonsđósẽkhôngổnđịnh,ngượclạicácphầnthựccủa𝜆luônluôn bằngkhôngthìtrạng tháisolitonsổnđịnh.

Thay biểu thức (2.8) vào phương trình (2.1) vàtuy ến tính hóa tr ị riêng (t ứclàtri ệt tiêu các s ố hạng có lũy thừalớn hơn hoặc bằng hai của trị riêng𝜆), chúngtathuđượchệphươngtrìnhtrịriêngsau:

Sử dụng phương pháp Fourier Collocation (như đã trình bày ở chương 2), chúngtôi tìm được trị riêng c ủa các mode nhiễu loạn của các trường hợp, kết quả hoàntoànphùhợpvớitiêuchuẩnV-Kđượctrìnhbàyởhìnhvẽ2.6dướiđây.

Hình 2.6 Hình (a), (b), (c) tương ứng là hình dạng solitons củacác tr ạng tháiứngvớicácđiểmA,B,C(hoặcD).Cáchình(a1),(b1),(c1)tươngứnglàphổtrịriêngcủa các mode nhiễu loạn khi tiến triển các soliton s ứng với (a), (b), (c) trong khônggianthực.

Hìnhvẽ 2.6a1và 2.6 c1cho thấy trị riêng th ực của các mode nhi ễu loạntrong trườnghợp này đều bằng không, ch ứng tỏ các tr ạng thái nàyổn định (ứngvớicáctrạngtháitạiđiểmA,C(hoặcD)).Hìnhvẽ2.6b1chothấytồntạimộtgiá tr ị riêng c ủa mode nhiễu loạn lớn hơn không, do đó trạng thái này khôngổnđịnh (ứng với trạngthái t ại điểm B) Như vậy, chúng tôi th ấy rằng cả ba phươngpháp xác định tínhch ất ổn định của trạng thái soliton s đều cho kết quả giốngnhau.Đâylàđiềukhẳngđịnhsựchínhxáccủ a cácphươngpháp.

Chúng tôi ti ếp tục xét v ới các trường hợp độ rộngakhác c ủa thếGauss kép ,cho thấy có k ết quả tương tự Hệ luôn t ồn tại giátr ị công su ất ngưỡng𝑁𝑏𝑖𝑓(haycủahằngsốlantruyềnngưỡng𝜇𝑏𝑖𝑓).Khicôngsuấtxung𝑁nhỏhơngi á trịtới

(a) (b) hạn (giá tr ị ngưỡng) thì tr ạng tháic ủa hệ đối xứng, khi công su ất xung𝑁lớnhơn giá trị công su ất tới hạnthìh ệ chuyển sang trạng thái b ất đối xứng Căn cứvàocácloạirẽnhánhchúngtôinhậnthấysự rẽnhánhc ủa hệthuộcloạitrêntớihạn (nghĩalà trạng thái soliton s bất đối xứng ổn định tồn tại tại các giá tr ị côngsuất lớn hơn giá trị côngsu ất tới hạn).Các kết quả tính toán về đồ thị rẽ nhánhvớicác độ rộng khác v ới𝑎=0.2và𝑎= 1được trình bàyở hình v ẽ 2.7 và 2.8dướiđây.

Hình 2.7 Hình (a), (b) l ần lượt miêu t ả sự phụ thuộc của độ bất đối xứng đượctớnh theo cụng th ức (2.5) vàoh ằng số lan truyềnàvà cụng su ất xung𝑁ứng vớitrườnghợp độrộng củathếGauss kép𝑎 =0.2.

Hệhaiốngdẫnsóngsongsongvớiphituyếnbiếnđiệuvàliênkếttuyến tính 48 1 Hệphươngtrìnhmộtchiềumôtảhệnghiêncứu

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu sự phá vỡ đối xứng tự phát trong hệhai ống dẫn sóng song song với phi tuyến biến điệu địa phương dạng hàm deltavà hai ống liên kết tuyến tính với nhau, mô hình nàyđượcđề xuất cụ thể trongcông trình[ 4 7 ] đ ố i v ớ i h ệ B E C S a u đ â y , c h ú n g t ô i s ẽ á p d ụ n g t ư ơ n g t ự t r o n g hệ quang học, đó là sự lan truyền ánh sáng trong hai ống dẫn sóng có phi tuyếnbiếnđiệuvàliênkếttuyếntínhvớinhau.

𝜕𝑧 2𝜕 𝑥 2 trong giới hạn ống dẫn sóng quang ,𝜙vàlàcác hàm bao biến thiên ch ậm củaxung ánh sánglan truyền trong hai ống,𝑥là t ọa độ ngang,𝑔(𝑥)là h ệ số phituyến địa phương phụt h u ộ c t ọ a đ ộ k h ô n g g i a n𝑥và𝑘là hệ sốl i ê n k ế t ,zkhoảngcáchlantruyền[47].Tổngcôngsuấtxungcủahệthìbảotoàn:

𝜙(𝑥,𝑡)= 𝑒 𝑖𝜇𝑡 𝑢(𝑥), (𝑥,𝑡)= 𝑒 𝑖𝜇𝑡 𝑣(𝑥) (2.15) vàthay(2.15)vàophươngtrình(2.11) thuđượcmộthệphươngtrìnhcho các h àmthực𝑢(𝑥)và𝑣(𝑥):

2 Ởmọivịt r í c ủ a 𝑥, ngoạit r ừ c á c đ i ể m 𝑥= ± 0(tại đóc ó g i á t r ị c ủ a h à m d e l t a là vô hạn), hệ phương trình (2.16) là tuyến tính và nó có thể được chéo hóa đốivới các trạng thái đối xứng và phản đối xứng𝑤1≡𝑢 + 𝑣 và𝑤2≡𝑢 − 𝑣 , thayvàoh ệ phươngtrình(2.16)chúngtathuđược:

−𝜇−𝑤2+𝑤 ′′ =0 ở đây,𝜇±= −2(−𝜇 ± 𝑘) Ta giới hạnx e m x é t đ ố i v ớ i c á c m o d e đ ị a p h ư ơ n g hóa với𝜇±> 0(hay𝜇 > 𝜅) để hệ phương trình (2.17) có các phương trình đặctrưng với hai nghiệm thực riêng biệt, điều này đã nghiên cứu với mô hình mộtthành phần ở tài liệu [23], ở đó các tác giả suy ra các nghiệm của phương trình(2.17)nhưsau:

(2.19) Đốivớitrạngtháib ấ t đốixứng,với𝐴≠0và𝐶≠ 0,biênđộlà:

(2.20) Điểmrẽnhánhphávỡđốixứngđượcxácđịnhbằngcách đặt𝐶=0trongbiểuthức(2.2 0),thuđượckếtquả: bif  5 

Lưu ý rằng khiliên k ết giữa các lõi không đáng kể, tức là𝜅= 0, các tr ạng tháikhông đối xứng có𝜇 > 0, do đó chúng tồn tại ở mọi nơi trong vùng mode b ẫy.Mặtkhác,sựphávỡđốixứngkhôngdiễnrakhicho𝑘→∞,nghiệmgiữdạng

Biên độ của các tr ạng thái đối xứng và ph ản đối xứng (𝑢 = 𝑣và𝑢 = −𝑣) cũngcóthểdễdàngtìmthấy.Cụthể,biênđộcủatrạngthái đốixứngbìnhphương

𝐴2=√𝜇+/2và𝐶2=√𝜇−/2 Hàm baocủa các tr ạng thái đối xứng, phản đốixứng và không đối xứng của trường hợp𝜅 = 1,𝜇 = 4được mô tả như hình vẽsau:

Hình 2.1 3.Các loại trạng thái solitons: hình (a) làtrạng thái đối xứng, hình

(b)trạngtháiphảnđốixứngvàhình(c)trạngtháikhôngđốixứngcủa hệtrong trườnghợphệsốliênkết𝜅=1vàhằngsốlantruyền𝜇=4.

Qua hình vẽ 2.13 chúng ta thấy rằng: đối với hình (a) thì hàm bao của haitrạng thái trong hai ống dẫnsóng trùng nhau nênđượcgọi làt r ạ n g t h á i đ ố i xứng, hình (b) thì hai hàm bao đối xứng nhau qua trục nằm ngang nên được gọilàt r ạ n g t h á i p h ả n đ ố i x ứ n g , c ò n đ ố i v ớ i h ì n h ( c ) c h ú n g t a t h ấ y h a i h à m b a o lệchnhaunênđượcgọilàtrạngtháikhôngđốixứng.

Tổng công suất xung dạng (2.12) của các trạng thái đối xứng và phản đốixứnglà𝑁𝑠𝑦𝑚𝑚= 𝑁𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑦𝑚𝑚= 2.Tổngcôngsuấtcủatrạngtháibấtđốixứnglà:

(2.22) với giá trị giới hạn𝑁𝑎𝑠𝑦𝑚𝑚(𝜇 → ∞)= 1 Cáct ổ n g c ô n g s u ấ t c ủ a c á c s o l i t o n s đối xứng và b ất đối xứng phụ thuộc vào h ằng số lan truyền𝜇, đượcvẽ ở hình2.14adướiđây.

Giá trị của năng lượng được tính dựa theo công thức (2.13), áp dụng tính cho tấtcảtrạngtháiđượcxemxét,c ó biểuthứctổngquátlà:

Hình2.14.Hình(a)miêutảcôngsuấtxungvàhình(b)miêutảnănglượngcủacáct r ạngt h á i đ ố i x ứ n g , p h ả n đ ố i x ứ n g v à k h ô n g đ ố i x ứ n g t h e o h ằ n g s ố l a n truyền𝜇.

Thếcácgiátrị𝑢(𝑥),𝑣(𝑥) ãđộ xácđịnhởtrênvào(2.25)vàtínhtínhphânchúngtasuy ra:

(2.26) Nóđượcvẽnhư làhàmcủatổngcô ng suấtv àhằngsốla ntruyềnt r o n g hình

 1 khih ằ n g s ố l a n t r u y ề n𝜇→+∞.T ấ t c ả c á c t r ạ n g t h á i bất đối xứng là không ổn định trong mô hìnhv ớ i p h i t u y ế n b i ế n đ i ệ u l à h à m deltadạng(2.14).

Hình2.15.Hình(a),(b)miêutảđộbấtđốixứngđ ư ợ c địnhnghĩatheobiểu thức(2.25)theohằngsốlantruyền𝜇vàtổngcôngsuất𝑁. Để xác định tính ch ất ổn định của các tr ạng tháichúng tôi s ử dụng tiêuchuẩn ổn định V-K Từ hìnhv ẽ 2.14a chúng ta th ấy hệ số góc c ủa đường congtổngcôngsu ất𝑁theohằngsốlantruyền𝜇luônluônâm ,do đótheotiêuchuẩn V-K các trạng thái không đối xứng luôn luôn không ổn định Trong cáchình vẽ trên, đường liềnnét và nét đứt tươngứng với trạng tháiổ n đ ị n h v à không ổn định Từ hình vẽ2 1 5 c h ú n g t ô i s u y r a đ ư ợ c : t h ứ n h ấ t c ô n g s u ấ t t ớ i hạn và hằng số lan truyền tới hạn lần lượt là𝑁𝑏𝑖𝑓= 2và𝜇𝑏𝑖𝑓= 1.25; thứ haisolitonsđ ố i x ứ n g v à solitonsp h ả n đ ố i x ứ n g c ủ a h ệ t ồ n t ạ i c h ỉ k h i c ô n g s u ất𝑁=2,hệtồntạisolitonsbấtđốixứngkhicôngsuất1 0 Tham số này đặc trưng chosố photon đivào bên trong và lan truyền mỗi vòng Mất mát trong mỗi vòng được đặc trưngbởi hằng sốΓ > 0 Sự định xứ của ánh sáng trong mỗi vòng được mô tả bởiphương trỡnhSchrửdingerp h i tuyến:

(3.1)trongđó𝑡làthờigiantiếntriển,𝑥làtọađộgóc(biếnthiêntrongkhoảng0đến2𝜋) xác địnhvịtrí tại mộtđiểm trênchuvi c ủa vòng ,=(𝑥, 𝑡)là hàm sóngmiêutảtrạngtháiánhsángtrongmỗivòng.C h o haivòngquanghọcnàyl i ê n kếtv ớinhau,sựliênkếtđóđượcđặctrưngbởihàmsốliênkết𝐽(𝑥),khiđóhệphươngtrìnhmiêut ả hệc ộnghưởnggiữahaivòngquanghọclà:

Trongđó1,2lầnlượtlà hàm sóngmiêu t ả trạng tháiánh sángtrong vòngthứ nhất và vòng thứ hai Tùy thu ộc vàov ị trí tương đối giữa hai vòngmà hàmsốliênkết𝐽(𝑥)cóthểlàhằngsố(gọitắtlàliênkếthằngsố)đượcnghiêncứubởi Nguyễn Việt Hưng và cộng sự, hàm liên kết dạng Gauss đơn [48] (gọi tắt làliên kết Gauss đơn) được nghiên cứu bởi Aleksandr Ramaniuk và cộng sự, hayhàm liên kết Gauss kép (gọi tắt là liên kết Gauss kép) đã được chúng tôi nghiêncứu và công bố trong các công trình[49, 50]. Hàm liên kết Gauss đơn và Gausskép gọi là liên kết địa phương tức là chúng tương ứng liên kết tại một điểm vàhaiđiểm.Các dạnghàmliênkếtđó được miêu tảbởicácbiểuthứcsauđây: vớiliênkếthằngsố:𝐽(𝑥)=𝑐=ℎằ𝑛𝑔𝑠ố, (3.3) vớiliênkếtGaussđơn:𝐽(𝑥)= 𝐽0 𝑒 𝑥 𝑝 (− 𝑥 2), (3.4)

(3.5) Trong đó𝐽0là cường ộ liên k ết ặc trưng cho liênđộ độ kết mạnh hay yếu giữa cácvòng;𝑎là độ rộng của hàm liên k ết, nó ph ụ thuộcvào độ nghiêng ti ếp xúccủacác vòng Độ rộng đó hẹp hay rộng khi so sánh v ới chu vi của các vòng quang,độ rộngrấthẹpnếu𝑎≪𝜋,độ rộngrấtrộngnếu𝑎≫𝜋.

Hnìh3.1.Môhìnhnghiêncứugồmhaivòngcộnghưởngquanghọcvớisựcómặtcủakhuếch đạituyếntính,mấtmátphituyếnvàliênkếttuyếntínhvớinhau[31].

Tronghình v ẽ 3.1, các ký hi ệu𝛾vàΓlần lượt là tham số khuếch đại và tham sốmất mát trong mỗi vòng;𝑗1,𝑗2,𝑗⊥lần lượt là mật ộ dòng trong vòngđộ 1, vòng 2vàmật độ dòngngangt r a o đổi giữahaivòng.

Mục đích của chương này là nghiên cứu SSB trong hai vòng cộng hưởngquang học nói trên Để nghiên cứu SSB của hệ chúng ta cần sử dụngmột số đạilượng vậtlýđặctrưngđượcđịnh nghĩasauđây:

𝑁𝑖(𝑡)= ∫ 2𝜋 |𝑖(𝑥,𝑡)| 2 𝑑𝑥, (3.6) với𝑖 = 1, 2là chỉ số chỉtương ứng công suất trong vòng 1 và vòng 2 mô tả bởihaihàmsóng1,2.

𝑁̃()=ℱ(𝑁(𝑡)) (3.8) vớiℱl àkíhiệu c ủ a p h é p b i ếnđ ổ i F o u r i e r ,làt ầ n s ố t r o n g m i ề n k h ô n g g i a n Fou rier.

𝑎𝑟𝑔(𝑖)𝑑𝑥 (3.12) Đâylàmộtđạilượngđượclượngtửhóa,nếu𝜅=0thì ứngvớitrạngtháikhôngxoáyvànếu𝜅nguyên kháckhôngthì ứngvới trạng thái xoáy

∫ −𝜋 |𝜓 𝑖 | 2 𝑑𝑥 với𝑖 = 1, 2là chỉ số tương ứng với vòng 1 và vòng 2 NếuΘ𝑖=0thìtr ạng tháicủa hệ có tính ch ất đối xứng chẵn𝑥 → −𝑥 , nếuΘ𝑖≠ 0thì trạng tháicủa hệ mấttínhchấtđốixứngtrênhaygọi là cóSSB. Γ Γ

Chúngt ô i s ử d ụ n g p h ư ơ n g p h á p S S F ( c ụ t h ể l à k ỹ t h u ậ t t i ế n t r i ể n ) đ ể nghiên cứu SSB của hệ Điều kiện đầu được chọn là trạng thái dừng trong mỗivòng khi không có liên kết Khi các vòngchưa liên kết với nhau (𝐽0= 0), trạngtháid ừ n g củahệcó dạngsau đây:

1,2(𝑡)=𝜌1,2𝑒 𝑖𝜅𝑥−𝑖( 𝛾 +𝜅 2 )𝑡 , (3.14) trongđó,𝜌1,2lầnlượtlàmôđuncủacáchàmsóng miêut ả trạng tháiánhsángtrongvòng1vàvòng2,𝜅 lànguồn tô-pô[31].

Vớiđiềukiệnđầukhôngxoáy(𝜅=0)vàthêmn h i ễ u vào(3.14)t h ì biểuthứcđó sẽtrởthành:

1,2(𝑥,𝑡= 0)=√ 𝛾 (1 ±𝛽sin(k𝑥)), (3.15) trongđó𝛽=0.01làhệ sốnhiễu,klà sốnguyên.

Khi các vòngl i ê n k ế t v ớ i n h a u , s ự b ấ t ổ n đ ị n h x ả y r a d ẫ n t ớ i x u ấ t h i ệ n nhiều loại trạng thái như: trạng thái dừng, trạng thái dao động, trạng thái hỗnloạn và các hiện tượng như hiện tượng phá vỡ đối xứng, hiện tượng xoáy Trướckhi chuyển sang phần nghiên cứu chính của chúng tôi về SSB của hệ trongtrường hợp liên kếtGauss kép, chúng tôisẽ trình bày chi tiết về các loại trạngtháivà hiệntượngxuấthiệntronghệ.

Mộtsố loại trạngtháivàhiện tượng xuất hiện trong hệcộng hưởng vòngquang 57 1 Trạngtháidừngvàsựphávỡđốixứng

Mộtsốtrạngtháiđặctrưngcủahệhaivòngcộnghưởngđượctìmthấylầnđầutiêntr ongtrườnghợpliênkếth ằ n g sốnhư: trạngthái đối xứng, phảnđốixứng,trạngt hái đồngnhất,trạngtháikhôngđồngnhất, hiệntượngphávỡđốixứng,hiệntượngx oáy[31].Một ví d ụtrongtrường hợpliên k ết hằngsốcáctrạngtháicuốicùngcủahệthuđượckhithựchiệntiếntriểntheothờigiancủatrạng thái đầu đối xứng với nhiễu loạn nhỏ (𝑐𝑜𝑠(3𝑥)) được miêu tả ở hình vẽ

3.2.Trongđó,vùngmàuxámlà vùngcótrạngtháicuốicùngổnđịnh Các điểmtrònmàu xanh tương ứng với các trạng thái phản đối xứng (antisymmetric); các điểmhìnhsaomàuđỏtươngứngvớicáctrạng thái daođộngcósốtầnsốgiớihạn( limitcycle);cácđiểmhìnhtamgiácmàuđỏtươngứngvớicáctrạngtháixoáy

(vortex); điểm hình tròn màu đỏ tương ứng với trạng thái hỗn loạn (chaoticbehavior);c á c đ i ể m h ì n h v u ô n g m à u đ ỏ t ư ơ n g ứ n g v ớ i c á c t r ạ n g t h á i k h ô n g đồng nhất (inhomogeneous); một vệt dài màu đen tương ứng với các trạng tháikhôngđốixứng(asymmetric state).

Hình3.2.Mộtsốloạitrạngtháicuốicùngcủahệkhiliênkếtgiữahaivònglàhằngsố,t hamsốmấtmátcốđịnhΓ=1[31]. Để hiểu rõ hơn, sau đây chúng tôi sẽ trình bày chi tiết một số trạng thái vàhiệnt ượ ng l i ê n q u a n đ ế n v i ệ c ng hi ên c ứ u v ề S S B c ủ a h ệ m à c h ú n g t ôi s ẽ s ử dụng trongtrườnghợpliên kếtGausskép.

Trạngtháidừnglàtrạngtháimàmôđunhàmsóngm ô tảtrạngtháikhôngthayđổith eothờigian.Trạngtháinàyxuấthiệntronghệquanghọcxemxétởcácvùng thamsố khác nhaun h ư n g h ầ u nhưluônxuấthiệntrong cáctrườnghợpliênkếtkhácnhau.TrongtrườnghợpliênkếtGaussđơnđãđượcnghiêncứutron g công trình[48], bằng kỹ thuật tiến triển với điều kiện đầu là trạng thái đốixứngcóbiểuthứcnhư(3.15),kếtquảthuđượccác loạitrạngthái thúvịkhác nh au trongđócótrạngtháidừngđượcmiêutảnhưhình vẽ

3.3.Hình(a)miêutảtổngcôngsuấtkhôngthayđổitheothờigiancủatrạngtháicuốicùng.Hình(b)làbiếnđổiFouriercủatổngcôngsuất,chúngtathấychỉcótầnsố= 0 cóbiếnđổi Fourier khác không,đóchínhlàdo tínhchấtcủatrạng tháidừng,haynóicác

√ khác trạng thái dừng thì biến đổi Fourier của tổng công su ất chỉthu được giá tr ịkhác không t ại tần số= 0, còn tại các tần số khác biến đổi Fourier đều bằngkhông Hình (c) là tiến triển của một hàm sóng theo thời gian, còn hình (d) là môđun của haihàmsóng.

Trong trường hợp liên kết Gauss đơn này, chúng tôi cũng tính toán lại kếtquảthuđượcởhình vẽ1 (Figure1.)củacôngtrình[48]vàthuđượcnhưhìnhvẽ

3.4 dưới đây Kết quả chúng tôi tính toán hoàn toàn giống với kết quả trước đó,điều đó khẳng định rằng thuật toán mà chúng tôi sử dụng để nghiên cứu là chínhxác.T r o n g hìnhv ẽ3.4,đ ư ờ n g m à u đ e n n ằm ngangt r o n g hìnhl à đ ư ờ n g nền chínhlàtrạngtháibanđầuthựchiệntiếntriển𝜌= 𝛾 ,cácđườngcongcómàu Γ sắc khác nhau ứng với các giá trị cường độ liên kết khác nhau Qua hình vẽ,chúng ta thấy rằng khi cường độ liên kết tăng thì cực đại của mô đun hàm sóngcũngtăngtheo.Mộtđặcđiểmthúvịchothấycómộtsốvùnggiátrịcủacường độ liên kết𝐽0sự phân b ố cườngđộ ánh sáng không đơn điệu tại các vùng𝑥 ∈[−𝜋, 0]và𝑥 ∈[0, 𝜋] Cụ thể là, giá trị cực tiểucủa mô đun hàm sóng đạt tại cácvị trí đối xứng𝑥 = ±𝑥𝑚của vòng, khác v ới ạt tại𝑥 = ±𝜋độ như thường thấy vớicácgiá trịcườngđộliênkếtkhác.

𝛾=3,Γ=1và𝑎=1,vớicườngđộliênkếtkhác nhaulà𝐽 0= 1,𝐽0=2,𝐽0 3.Hình(a)l à kếtquảtínhtoáncủaluậnán,(b)làkếtquảcủacôngtrình[48].

Trongtrạngtháidừng cònđ ư ợ c chiathànhc á c l o ạ i khác nhautùyt h u ộ c vàođộlệchphagiữahaihàmsóngmiêutảtrạngtháitronghaivòngnhư:trạngthái dừng đối xứng, trạng thái dừng phản đối xứng, trạng thái dừng bất đối xứng.Muốnx á c đ ị n h c á c l o ạ i trạ ng t h á i n à y chúngt a x á c đ ị n h đ ộ l ệ c h p h a c ủ a h a i hàmsóng:Δ𝜙=𝜙1−𝜙2với𝜙1,𝜙2lầnlượtlàphacủahaihàmsóng1,2.NếuΔ𝜙=0thìtrạn gtháidừnglàđốixứng,Δ𝜙=𝜋thìtrạngtháidừngphảnđốixứng,Δ𝜙biếnđiệutheotọađộ k hô ng gian𝑥 thìtrạngthái dừnglàkhông đốixứng.Đểhiểurõhơnvềcácloạitrạngthá idừngnày,chúngtôisẽtrìnhbàykếtquảđãcôngbố[50,51]trongtrườnghợpnàyliênkếtcũnglo ạiGaussđơnnhưngvớicácbộthamsốlà:cốđịnhcácthamsố𝛤=1,𝐽0=1.5vàthayđổithamsốk huếchđại𝛾,xéthaitrườnghợp𝑎=0.01và𝑎=1.Trạngtháidừng chúngtôit mì thấytrongcảhaitrườnghợp𝑎=0.01và𝑎=1độềucóquátrnìh biếnđổitrạngtháitươngtựnhaukhithamsốkhuếchđại𝛾thayđổi.Đólàtheochiềutăngcủatha msốkhuếchđại𝛾,quá trìnhbiếnđổitrạngthái từtrạngthái dừngđốixứngrồiđếntrạngtháidaođộngsauđólàtrạngtháidừngphảnđốixứng[52] Từ hình vẽ 3.5 và 3.6, chúng ta thấy cả hai loại trạng thái dừng đối xứng vàphản đối xứng thì mô đun của hai hàm sóng đều bằng nhau (biểu thị bằng đườngmàuxanhvàđườngmàuđỏnétđứttrùngnhau),nghĩalàtrạngtháicủahệvẫncótínhchấtđốix ứngvềsựđịnhxứánhsánggiữahaivòng.Sựkhácnhauđólà:độ lệchphatrongtrườnghợptrạngtháidừngđốixứngthìbằng0(hnìtrườnghợp phảnđốixứngthìbằng−𝜋(hnìh3.6b). h3.5b),trong

Hnìh3.5.Trạngtháidừngđốixứng,hình(a)làmôđuncủacáchàmsóng,hình(b)làđộlệch phacủahaihàmsóng,cácthamsốΓ=1,𝐽0=1.5,𝑎=0.01và𝛾0.55[50,51].

Hnìh3.6.Trạngtháidừngphảnđốixứng,hình(a)làmôđuncủacáchàmsóng,hình(b)làđ ộlệchphacủahaihàmsóng,cácthamsốΓ=1,𝐽0=1.5,𝑎=0.01 và𝛾=1.1[50, 51].

Mỗiđộrộngcủahàmliênkết,trạngtháidừngđốixứngthuđượcởcácvùngthamsốkhuếchđ ại𝛾khácnhau,cụthểvớiđộrộng𝑎=0.01thìtrạngtháidừng đối xứng xuất hiện khi𝛾 ≲ 0.55, trong khi độ rộng𝑎 = 1thì trạng thái đó xuấthiệnkhi𝛾≲0.35.Trạngtháidừngphảnđốixứng:đốivớiđộrộng𝑎=0.01thì

𝑥 (xemhnìhb).Trạngtháicủahệmàmôđunhàmsónglệchnhauvà gọi là trạng thái dừng bất đối xứng của hệ Trạng thái dừng bất đối xứng xuấthiệnđồngnghĩavớisựđịnhxứánhsánggiữahaivòngmấtđitínhđốixứng.

Hnìh3.7.Trạngtháidừngbấtđốixứng,hình(a)làmôđuncủacáchàmsóng,hình

Trường hợp độ rộng của hàm liên kế t 𝑎 = 0.01, khoảng tham số khuếch đại đểvề sựphânb ốcườngđộánhsáng(trạngtháidừng)tronghaivòngm ấttínhđốixứng là0.55 ≲ 𝛾 ≲ 1.05.Còn t rong trường hợp độ rộng của hàm liên k ết𝑎 1,hiệntượngđóxảyrakhikhoảngthamsốkhuếchđạilà0.35≲𝛾 ≲0.51[51].

Một loại phávỡ đối xứng khác màchúng tôi s ẽ nghiên c ứu trong hệ này đólà: s ự phânb ố cường độ ánh sáng không đối xứng bên trong m ỗi vòngở trạngthái d ừng, đó là trạng tháidừng mà mô đun hàm sóng không có tínhđối xứngchẵn𝑥 → −𝑥nữa Ví dụ ở hình 3.8miêu t ả sự tiến triển của trạng thái đối xứngvớinhiễuloạnnhỏtrongtrườnghợpliênkếthằngsốvớibộthamsố:Γ=1,𝛾1.5và𝑐=1.75.Q u a h ì n h v ẽ c h o t h ấ y t r ạ n g t h á i c u ố i c ù n g t h u đ ư ợ c l à tr ạ n g thái dừng không đồng nhất tức là mô đun hàm sóng biến đổi theo tọa độ góc𝑥(trạngthái ngược lại là đồng nhất nghĩa là mô đun hàm sóng nhận một giá tr ị cốđịnhtạimọitọađộgócx),cósự phânbốkhôngđốixứngquađườngthẳngđứngđiqua𝑥=0.

Trạng thái dao động là trạng thái mà mô đun hàm sóng biến đổi tuần hoàntheo thời gian Trạng thái này cũng tồn tại trong các trường hợp liên kết khácnhauở các vùng thamsố khác nhau Trong trường hợp liênkết đồng nhất, hìnhvẽ3.9miêutảtrạngtháidaođộngtronghệvớicácthamsốlàΓ=1,𝛾=1và

𝑐=1.25.Hình3.9amiêutảtổngcôngsuấtcủaánh sáng tronghaivòngbiếnđổi theo thời gian, hình nhỏ là kết quả trong công trình[31], hình lớn kết quả sửdụng thuật toán của chúng tôi, các kết quả thu được hoàn toàngiống nhau Sựtiến triển của một hàm sóng được miêu tả ở hình vẽ 3.9c Để biết số lượng tần sốcủa trạng thái dao động, chúng tôi thực hiện biến đổi Fourier của tổngcông su ấtđược miêu t ả ở hình 3.9b.Qua đó, chúng tôithấy rằng xuất hiện 7 tần sốtrongkhông gian Fourier có biến đổi Fourier của tổng công suất khác không Đây làtrường hợp trạng tháidao động với 7 tần số Hình 3.9dmiêu t ả mô đun hai hàmsón g tạicùng m ột thời điểm, cho thấy có s ự bất đối xứng chẵn𝑥 → −𝑥của cáchàm sóng Điều đó có nghĩa là sự phân bố cường độ ánh sáng bên trong mỗivòngt h ì khôngđốixứng.

(a) biểu diễn tổng công suất ánh sáng trong hai vòng theo thời gian [31], (b) làbiến đổi Fourier của tổng công suất, (c) làti ến triển của hàm sóng theo th ời gianvà(d)làmôđuncủacáchàmsóng.CácthamsốcủahệΓ=1,𝛾=1và𝑐1.25.

Sự mất đối xứng trong mỗi vòng cũng được tìm thấy trong trường hợp liênkết Gauss đơn [48] tùy thu ộc vào vùng giátrị của cường độ liên k ết Víd ụ, hìnhvẽ 3.10 mô t ả mô đun hàm sóng biến đổi theo thờigian vàs ự phân b ố cường độánhsángtheokhônggiantrongmộtvòngcủahệvớicácthamsố𝛾=3,Γ=1,

𝑎 = 1 Hình ( a) ứng với cường độ liên kết𝐽0= 4, chúng ta th ấy rằng sự phânb ốcường độ sáng có tính đối xứng chẵn𝑥 → −𝑥(đối xứng qua trục thẳng đứng điqua vị trí𝑥 = 0); hình ( b) ứng với𝐽0= 5, trường hợp này cũng là trạng thái daođộng tuần hoàn nhưng sự phân bố cường độ ánh sáng không có tínhchất đốixứng nhưtrườnghợp𝐽0= 4.

Hình 3.10 Sự tiếntriển của hàm sóng theo th ời gian trong một vòng quang h ọccủa hệ trong trường hợp liên k ết Gauss đơn với cáctham s ố:𝛾= 3,Γ = 1,𝑎

Trạng thái hỗn loạn được hiểu là sự phân bố cường độ ánh sáng trong cácvòng không đồng đều, lộn xộn và khôngtr ật tự Trạng thái này ch ắc chắn có sựphá v ỡ đốixứng𝑥 → −𝑥, nó đã được ứng dụng và hứa hẹn có nhiều ứng dụngkhác trong các thiết bị quang tử như bảo mật thông tin, kỹ thuật mật mạ Trongtrường hợp liên kết hằng số, trạng thái hỗn loạn đã được tìm th ấy Hình3.11miêu t ả một trường hợp của trạng tháih ỗn loạn của hệ trong trường hợp liên k ếthằng số, các thông s ốΓ

Sựphávỡđốixứngcủa hệvới hàmliênkếtGausskép

Hàm liên k ết Gauss kép củahệ có d ạng như biểu thức (3.5) Để nghiên c ứusự pháv ỡ đối xứng của hệ, chúng tôiđã sử dụng kỹ thuật tiến triển với điềukiệnđầu là trạng thái đối xứng với nhiễu loạn nhỏ cho bởi biểu thức (3.15) Với môhình lý thuyết này, chúng tôi đã kiểm tra với nhiều vùng tham số khác nhau vàquá trình động lực học của hệ về sự biến đổi các trạng thái của hệ có sự tương tựnhau Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày l ần lượt các trườnghợp đã được xem xét :trường hợp thứ nhất xét ảnh hưởng của cườngđộ liên k ết𝐽0, trường hợp thứ haiảnh hưởng của tham số khuếch đại𝛾và trường hợp thứ ba ảnh hưởng của thamsố mất mátΓlênsự phá v ỡ đối xứng của hệ Lưu ý rằng, bộcác tham số màchúngtôiđãsửdụngtrongcác trườnghợpcụthểsauđâycóthểđặctrưngđầyđủ các tínhchấtcủa hệ.

Trongmụcnàychúngtôinghiêncứuảnhhưởngcủacườngđộliênkếtlênsự phá v ỡ đối xứng của hệ với các b ộ tham số:cố định bộ cáctham số khuếchđại𝛾 = 3, tham số mất mátΓ = 1và thay đổi cường độ liên kết𝐽0 Các trườnghợp độ rộng hàm liên kết khác nhau đã được kiểm tra và cho thấy quá trình biếnđổi trạng thái tương tự nhau khi độ rộng của hàm liên kết lệch nhau không quálớn, chúng có sự khác nhau đáng kể khi độ rộng đó lớn gấp hàng trăm lần nhau.Vì v ậy, sau đây chúng tôi sẽ trình bày s ự phá v ỡ đối xứng của hệ trong haitrường hợp: độ rộng liên k ết hẹp (𝑎 = 0.01) và độ rộng liênk ết lớn (𝑎 = 1.0 ) làhaitrườnghợpđạidiệncủahailoạiđộrộngcủa hàmliênkết.

Trong trường hợp này, chúng tôixem xét độ rộng của hàm liên k ết Gausskép𝐽(𝑥)với𝑎= 0.01 (gọi là liên kết hẹp) Kết quả về SSB các trạng thái của hệđượctómtắttrongsơđồ3.1 sauđây:

 O-SSB nghĩa là không có sự phá vỡđối xứng

 Chaos:kýhiệucủatrạngtháihỗnloạn Đối vớic ư ờ n g đ ộ l i ê n k ế t𝐽0≲ 0.95, trạng thái cuối cùng thu được luônluôn là trạng thái phản đối xứng có cực đại tại hai vị trí liên kết của hai vòngquanghọc,tứclàmôđuncủahàmsóngvàcôngsuấtánhsángcủahaivòngbằng nhau nhưng ngược pha nhau (độ lệch pha của hai hàm bao b ằng𝜋) Khităng dần cường độ liên kết chúng tôi thấy bắt đầu𝐽0≃ 0.95vẫn thu trạng tháidừng nhưng bắt đầu có SSB ở trong mỗi vòng (tức là độ bất đối xứng trong mỗivòng k h á c k h ô n g Θ 𝑖≠ 0với𝑖 = 1,2như đã định nghĩa ở biểu thức (3.13)) vàtại các vị trí liên kết mô đun hàm sóng đạt cực tiểu [51] Như vậy, trạng tháidừngcóSSBbêntrongmỗivòngx u ấ t hiệntrongtrườnghợphàmliênkếtc ó

M ôđ un hà m só ng M ôđ un hà m só ng

(b) x dạng Gauss kép trong khi đó loại trạng thái dừng này không xuất hiện trongtrường hợp hàm liên kết Gauss đơn Khi cường độ liên kết𝐽0≃ 1.1, chúng tôinhận thấy vẫn có SSB nhưng tại hai vị trí liên kết mô đun của hàm sóng lại đạtcựcđạivàcósựđảotừtrạngtháidừngcóhaicựctiểusangtrạngtháidừngcó haicực đạitạihaivịtríliênkế t𝑥=± 𝜋

Hình3.13.Môđuncủacáchàmsóngứngvớicácgiátrịkhácnhaucủacườngđộliênk ết:hình(a),(b),(c)và(d)tươngứngvớicườngđộliênkết𝐽0= 0.9,

( a ) là t r ạ n g t h á i d ừ n g đ ố i x ứ n g v à k h ô n g c ó SSBb ê n trongmỗivòng;hình(b), (c)và(d)làcáctrạngtháikhôngđốixứngvàcóSSBbêntrongmỗivòng,loạitrạngthá inàyđượcduytrìtrongvùngcườngđộliênkết0.950≲𝐽0≲2.597.Tănggiá trịcủacư

M ôđ un hà m só ng M ôđ un hà m só ng ờngđộliênkết,chúngtôiquansát thấytrạngthái daođộngvớinhiềutầnsốtrongmộ tkhoảngnhỏcủacườngđộ liên kết2.598 ≲ 𝐽0≲ 2.61, trạng thái dao động trong trường hợp Gauss kép nàythì luôn cóS SB trong mỗi vòng (xem hình 3.14) Hình vẽ 3.14 miêu tả trạng tháidao động của hệ theo thứ tự từ trái sang phải ứng với ba tham số của cường độliên kết𝐽0= 2.598,𝐽0= 2.6,𝐽0= 2.610, các hình vẽ (a1), (b1) và(c1) miêut ả sự tiến triển theo thời gian của mô đun hàm sóng, hình vẽ (a2), (b2) và(c2) tươngứng là tổng công suất của hàm sóng theo thời gian tiến triển, hình vẽ (a3), (b3) và(c3) là biến đối Fourier của tổng công suất tiến triển theo thời gian Tiếp tục tăngcườngđ ộ l i ê n k ế t , k h i c ư ờ n g đ ộ l i ê n k ế t t r o n g k h o ả n g2.62≲𝐽0≲2.83, h ệ quaytrở lạitrạngtháidừngphảnđốixứng.

Hình3.14.Trạngtháidaođộngứng vớiba trườnghợpkhácnhaucủacườngđộliênkết𝐽0= 2.598,𝐽0= 2.6và𝐽0= 2.61.

Trạng thái hỗn loạn bắt đầu xuất hiện tại𝐽0≃ 2.84, trạng thái này duy trìcho đến giá trị cường độ liên kết𝐽0≃ 3.18 Tuy nhiên trong vùng hỗn loạn nàycó một vùng nhỏ của giá trị cường độ liên kết 3.03 ≲ 𝐽0≲ 3.05trong đó tồn tạitrạngtháidao động(xemhìnhvẽ3.16).Khitiếptụctăngcườngđộliênkếtthìhệ quay lại trạng thái dao động với nhiều tần số, càng tăng cường độ liên kết thìsố lượng tần số dao động càng giảm và đạt đến trạng thái dao động với một tầnsố duy nhất tại giá trị cường độ liên kết𝐽0≃ 3.20 Hìnhvẽ 3.15 mô tả một sốtrường hợp đại diện về trạng thái nhiễu loạn và trạng thái dao động trong trườnghợptrên,lầnlượttừtrênxuốngtươngứngvớicáccườngđộliênkết𝐽0=2.84,

𝐽0= 3.19,𝐽0= 3.20, các hình(a1), (a2) và (a3)là tổngcông suấtcủa hệtheothời gian, các (b1),(b2) và (b3) tương ứng là biến đổi Fourier đã được chuẩn hóacủa tổng công suất. Ở vùng cường độ liên kết𝐽0≳ 3.4trạng thái dừng đối xứnglạixuấthiện.

Hình 3.15 Tổng công suất và biến đổi Fourier của các trạng thái lần lượt tươngứng với các tham số cường độ liên kết𝐽0= 2.84,𝐽0= 3.19và𝐽0= 3.20; hình(a1- b1)mộttrạngtháihỗn loạn,(a2-b2)trạngthái daođộngnhiềutầnsố,(a3-b3) trạngtháidaođộng vớimột tầnsố. Để nhận biết sự thay đổi các trạng thái trên chúng tôi sử dụng biến đổiFourier của tổng công suất được mô tả trong hình 3.16, đây là hình ba chiềunhưngchúngtôiđãxoayđểnhìntrongmặtp h ẳ n g (𝐽0,)v ớ i t r ụ c h o à n h l à cường độ liên kết, trục tung là tần số, trục thứ ba là độ lớn của biến đổi Fouriercủa tổng công suất có độ lớn biểu thị bằng độ sáng của màu sắc Những vị trí cómàu càng sáng ứng với biên độ tần số càng lớn Những vùng màu xanh da trờiứng với biên độ của các tần số bằng không miêu tả các trạng thái dừng (vùng kýhiệu bằng chữ “S” - Stationary) Những vùng ký hiệu bằng chữ “O” - Oscillationứng với vùng tồn tại trạng thái dao động, trong đó có một vệt với các đốm sángkhá đềuđ ặ n ( v ị t r í k h u n g v u ô n g m à u đ ỏ ) v ớ i đ ộ s á n g m ờ d ầ n ở v ù n g t ầ n s ố lớn hơn chính là một trong những vùng trạng thái dao ộng mà chúng ta ã minhđộ độ họa ở hình 3.15, có các tần số khá đều đặn ứng với cường độ liên kết nằm trongkhoảng2.598 ≲ 𝐽0≲ 2.61 Vùng có vệts á n g r ộ n g k h ô n g đ ề u c h í n h l à v ù n g trạngtháihỗnloạn (kýhiệubằng“Chaos”).Vùngcócác vệtsánggiảm dầnv ềsốvạchchínhlàvùngt r ạ n g thái daođộng,giảmdầnchođếnkhicònmộtvệt sáng duy nhất ứng với trạng thái dao động chỉ có một tần số Đối chiếu với cáckịch bản dẫn tới hỗn loạn, chúng tôi nhận thấy đặc trưng rẽ nhánh trong trườnghợp này thuộc loại trên tới hạn, kịch bản dẫn tới hỗn loạn là từ trạng thái dừngđột nhiênchuyển sangtrạngthái hỗnloạntại𝐽0≈2.81.

Như vậy, quá trình biến đổi trạng thái trong trường hợp này được tóm tắtnhư sau: theo chiều tăng của cường độ liên kết thì hệ bắt đầu từ trạng thái dừngphản đối xứng rồi đến trạng thái dao động (chỉ một khoảng nhỏ của cường độliên kết), sau đó xuất hiện trạng thái hỗn loạn, quay trở lại trạng thái dao động,rồilạitrạngtháidừngđối xứng.

Khi độ rộng của hàm liên kếtlớn (gọi tắt là liên k ết lớn), nghĩa là độ rộngđóđượcsosánhvớichuvicủacácvòngquanghọccụthểđộrộngđượcchọnlà

𝑎 = 1 Tương tự như trường hợp độ rộng của hàm liên kết hẹp quá trình biến đổitrạngtháivà SSBđược môtảở sơ đồsauđây:

Sơđồ3.2.SựbiếnđổitrạngtháivàSSBdoảnhhưởngcủacườngđộliênkếtkhiđộrộnghàmli ênkết rộng𝑎=1.

Từsơ đ ồ 3 1 , c hú ng ta t h ấ y trạngt h á i d ừ n g phảnđ ố i xứngv à khôngc ó SSB trongmỗivòngxuấthiệnkhicườngđộliênkếttrongcáckhoảng𝐽0≲1.6và3.7≲𝐽0≲9 4.Trạngtháidừng khôngđốixứngvàcóSSBtrongmỗikênhxuấthiệnkhicườngđộ liênkếtthõamãn1.7≲𝐽0≲3.3.TrạngtháidừngphảnđốixứngđồngthờicóSSBbênt rongmỗivòngkhimàcườngđộliênkếtthõamãn3 4 ≲𝐽0≲3.6và9.5≲𝐽0≲10.5.

Hình3.17.Môđuncủacác hàmsóngtrongvùngtrạngthái dừngứngvớicác giátrịk hácnhaucủacườngđộliên kết.

Hình3.17miêutảmôđuncủacáchàmsóngtrongvùngtrạngtháidừngđốivới các giá trị khác nhau của cường độ liên kết Các hình (a),(g) và (h)tươngứng với𝐽0= 1.6, 𝐽03.7và𝐽0=9.4, cho thấy rằngmô đunhàm sóng có sựđối xứng qua trục thẳng đứng đi qua gốc tọa độ O tức làphân b ố cường độ sángcó tính đối xứng trong mỗi vòng.Còn các hình (b), (c), (d), (e), (i) và (k)tươngứngvới𝐽0= 1.7, 𝐽0= 3.3, 𝐽0= 3.4, 𝐽03.6,𝐽0= 9.5v à 𝐽 0= 10.5, cáctrườnghợpnàymôđunhàmsóngmấtđi tínhchấtđốixứngchẵn𝑥→−𝑥.

Trong trường hợp liên kết rộng này chúng tôi thấy rằng trạng thái dao độngvà trạng thái hỗn loạn xuất hiện đan xen không đều đặnở v ù n g c ư ờ n g đ ộ l i ê n kết lớn hơn trường hợp liên kết hẹp cụ thể ở vùng𝐽0≳ 10.5 Sự xuất hiện đanxen các trạng thái dao động và hỗn loạn đó chính là do tính chất của hệ khôngbảo toàn và tínhchất nhạy cảm của trạng thái hỗn loạn với các tham số đầu vàocủa hệ Hình 3.18m ô t ả b i ế n đ ổ i F o u r i e r c ủ a t ổ n g c ô n g s u ấ t c ủ a h ệ ở v ù n g cường độ liên kết lớn Những vùng vệt màu sáng ứng với biên độ của tần số lớn.Qua nghiên cứu chúng ta thấy rằng các tần số xuất hiện trong các trạng thái hỗnloạn ở vùng này không ổn định thể hiện qua các vệt sáng đứt đoạn, các trạng tháixuất hiện khôngcó trật tự, và có xuhướng dần về tần số cao khi cường độ liênkết lớn (các vệt sáng dốc lêntheo chiều trái sang phải) Đồng thời trong vùngtham số cường độ liên kết xuất hiện trạng thái hỗn loạn vẫn có một số vị trí củathamsốmàởđótồntạitrạngtháidừngđanxen.

Mục này, chúng tôi xem xét ảnh hưởng của tham số khuếch đại𝛾lên SSBcủahệtronghaitrườnghợpsauđây:trườnghợpthứnhấtthamsốmấtmấtΓ=1, cường độ liên kết được chọn𝐽0= 2.85, độ rộng của hàm liên k ết𝑎 = 0.01vàthay đổi𝛾; trường hợp thứ hai tham số mất mấtΓ = 1, cường độ liên kết đượcchọn𝐽0.75,độrộngcủahàmliênkết𝑎=1vàthayđổi𝛾.

Trường hợp thứ nhất, các trạng thái cuối cùng thu được trong quá trình tiếntriển theo thời gian với trạng thái ban đầu đối xứng có biểu thức như (3.15) vàSSBđượctómtắttronghình3.19 vàsơ đồ3.3 dướiđây.

Khi hệ số khuếch đại𝛾 ≲ 2.12chúng tôi thu được trạng thái dừng đối xứngkhông có SSB Tiếp đến là trạng thái bất đối xứng và không có SSB (lưuý SSBxảy ra trong mỗi vòngnghĩa là mỗi hàm sóng m ất đối xứng chẵn) xuất hiệntrong khoảng của tham số khuếch đại2.12 ≲ 𝛾 ≲ 2.38 Trạng thái dao động tồntại trong các vùng2 3 8 ≲ 𝛾 ≲ 2 5 4 ,2.80 ≲ 𝛾 ≲ 2.88 và2.94 ≲ 𝛾 ≲ 2.98vàtrạngtháihỗnloạnxuấthiệntrongcácvùng2.54≲𝛾≲2.8,2.88≲𝛾≲2.94và

2.98≲𝛾≲3.06.SauđótrạngtháidừngphảnđốixứngkhôngcóSSBxuấthiệnkhi𝛾≳3.06,trạng tháiđótồntạichođếnkhibắtđầuxuấthiệntrạngtháidừngbấtđốixứngcóSSBtại𝛾≳3.7.Hìnhvẽ 3.20biểudiễnmôđuncủahàmsóngvớicácgiátrịthamsốkhuếchđạikhácnhau,hình(a)ứngvới 𝛾≃2.12chothấyrằngmôđunhaihàmsóngtrùngnhau(miêutảtrạngtháiđốixứng)vàhình(b) ứngvới𝛾≃2.22chothấymôđuncác hàmsónglệchnhaum i ê u tảmộttrạngtháibất đốixứng.Mộtvídụtrongvùngdaođộngđượcmôtảtronghình3.21,hình(a1)l à t ổ n g c ô n g s u ấ t , h ì n h ( b1)l à b i ế n đ ổ i F o u r i e r c ủ a t ổ n g c ô n g s u ấ t tương ứng,đâylà trường hợpdaođộngvới nhiềutầnsố.

Hình3.20.Môđuncủacáchàmsóngtronghaivòngquanghọchình(a)khithamsố khuếchđại𝛾≃2.12môtảtrạngtháidừngđốixứngvàhình(b)khi thamsố khuếch đại𝛾≃2.22mô tả trạngthái khôngđốixứng.

Kếtluận chương3

Chương nàychúng tôi đã nghiên cứu SSB và quá trìnhbiến đổi các tr ạngtháitrong hệcộnghưởng hai vòng quang h ọc được liên k ết tuyến tínhkhônggianvớinhau,trongbatrườnghợphàmliênkếtkhácnhau.

- TrườnghợpliênkếthằngsốvàGaussđơn,chúngtôiđãthựchiệntínhtoán l ạimộtsốkết quả để vừa kiểm chứng thuật toánsử dụng vừa làm rõcáckhái ni ệm về các tr ạng tháivà hi ện tượng xuất hiện trong hệ Đặc biệt chỉ rarằng: trong trường hợp liên k ết hằng số tồn tại trạng tháih ỗn loạn và kịch bảnnhân đôi tần số dẫn đến hỗn loạn trong khi đó trường hợp Gauss đơn không xuấthiệntrạngtháihỗn loạn.

- Trường hợp hàm liên k ết Gauss kép chúng tôi xét hai trường hợp đại diệnvới hàm liên k ết có độ rộng hẹp𝑎 = 0.01và độ rộng rộng𝑎 = 1 Với mỗi độrộng, chúng tôi đã lầnlượt xét ảnh hưởng của các tham s ố điều khiển lên SSB vàquátrìnhb i ế n đổi trạngtháic ủ a hệ:

𝑎=0.01và𝑎=1,kếtquảthuđượccácgiátrịtớihạnvàkhoảngthamsốcủacườngđộliênkếtđ ặctrưngchoSSBvàvùngtồntạicácloạitrạngtháikhácnhau.Đặcbiệtkếtquảchothấyrằng khiđộrộng𝑎=0.01thìtồntạikịchbảnđộtnhiêndẫntớihỗnloạn,cònđốivớiđộrộng𝑎=1 trạngtháihỗnloạnxuấthiệntrongcácvùngnhỏcủavùng𝐽0≳10.5vàđanxenvớitrạngth áid ừ n g vàtrạngtháid a o đ ộ n g một cáchphứctạp.

+ Ảnh hưởng của tham số khuếch đại lên quá trình động lực học của hệ xétcố địnhcác tham s ốΓ = 1,𝐽0= 2.85và cũng hai trường hợp độ rộng như trên.KếtquảcũngthuđượccáckhoảngthamsốkhuếchđạitồntạiSSB,cũngnhưcác lo ại trạng thái khác nhau.Trạng thái h ỗn loạn xuất hiệnvới kịch bản khôngliêntụcdẫn đến trạngtháihỗn loạn.

+ Ảnh hưởng của tham số mất mát lên quá trình động lực học của hệ khi cốđịnh các tham số𝛾 = 3,𝐽0= 2.85, kết quả cho thấy rằng khi độ rộng𝑎 = 0.01kịch bản ộtđộ biến dẫn tới hỗn loạn giống như trường hợp ảnh hưởng của cườngđộ liên k ết đã xét ở trên , còn khi độ rộng𝑎 = 1sự xuất hiệncác trạng thái cũngchuyển đổi qualạiphức tạp.

Trong luận án này, chúng tôi đã nghiên cứu SSB trong một số hệ quang họckhácnhauv à thuđượccáck ế t quảnhưsau. ĐốivớihệốngdẫnsóngvớiphituyếnKerrđồngnhấtvàthếtuyếntínhdạngGausskép. TrườnghợpphituyếnKerrtựhộitụthìhệcósựphávỡđốixứng tự phát Chúngtôi đã xác định được vùng các tham số như công suất xung,hằngsốlantruyềncủahệđểtồntạicácloạitrạngtháisolitonsđốixứng,khôngđốixứn gcũngnhưvùngổnđịnh,khôngổnđịnhcủacáctrạngtháiđó.Đặctrưngrẽnhánhcủasựphá vỡđốixứngtrongtrườnghợpnàythuộcloạitrêntớihạn(supercritical).Còntrườnghợpphi tuyếnKerrtựphânkỳthìhệkhôngcósự phá v ỡđốixứng tự phát, cáctr ạng tháiđốixứngcủahệluônluôncó tínhchấtổnđịnhcao. Đối với hệ hai ống dẫn sóng có m ặt phi tuyến biếnđiệu dạng hàm delta vàliên k ết tuyến tính v ới nhau Chúngtôi đã xác định được vùng các tham s ố nhưcông su ất xung, hằngsố lan truyền để tồn tại các lo ại trạng thái solitonkhácnhau Đặc trưng rẽ nhánh c ủa sự phá v ỡ đối xứng của trườnghợp này là dướitới hạn (subcritical), các tr ạng tháisolitons bất đối xứng là khôngổn định, cáctrạngtháis o l i t o n s đ ố i xứng thìluônổ n định. Đối với hệ cộng hưởng vòng có liên kết tuyến tính dạng Gauss kép chúngtôixétb a trườnghợpảnhhưởngcủabathamsốđiềukhiểnkhácnhau( c ư ờ n g độliên kết,thamsốkhuếchđại vàthamsốmấtmát)lênSSBvàthuđược:

+Cácvùngthamsốcủacườngđộliênkết,thamsốkhuếchđại,thamsốmất mátđể tồn tại các lo ại trạng thái khác nh au như:trạng thái d ừng, trạng tháidaođộng,trạngtháihỗnloạnvàsựphávỡđốixứnghàmsóng.

+ Hai kịch bản khác nhau d ẫn đến trạng thái h ỗn loạnđó là: kịch bản từtrạng thái d ừng đột nhiên chuyển sang trạng thái h ỗn loạn và kịch bản từ trạngtháid ừ n g sangtrạngtháidaođộngkhôngliêntụcrồidẫnđếnhỗnloạn.

Cáckếtquảthuđượcởtrênlàcơsởrấtquantrọngđểnghiêncứutrongthựcnghiệm.Nócũ ngđịnhhướngứngdụngtrongcácthiếtbịquangtửnhư chuyển mạch quang, hệ tắt bật cực nhanh, trong thông tin quang vàđ ặ c b i ệ t trạng thái h ỗn loạn được ứng dụng trong bảo mật thôngtin quang , kỹ thuật mậtmạ,v.v.Đểcóthểhiểusâuhơnvềcáchiệntượngnàychúngtacóthểnghiêncứu chi tiết hơn phương trỡnh Schrửdingerp h i t u y ế n v ớ i n h i ề u đ i ề u k i ệ n v ậ t l ý cụ thể khác, víd ụ như: mở rộng mô hình nhi ều chiều hơn, thế năng phức tạphơn, tăng thêm s ốhạng phi tuyến hay tăng số vòng trong h ệ cộng hưởng vòngquang hoặc có th ể nghiên c ứu trong hệ các lĩnh vực vật lý khác nhưBEC,polariton,v.v.Đây là những nội dung mà chúng tôi định hướng nghiên c ứu trongtươnglai.

Những kết quả nghiên c ứu ở trên đã được trìnhbày trong các hội nghị khoahọc chuyên ngành , cũng như đã công bố trên các t ạp chí uy tín trong nước vànướcngoài.

[1].NguyenDuyC u o n g, Dinh Xuan Khoa, Cao Long Van, M. Trippenbach,BuiDinhThuan,andDoThanhThuy,SpontaneousSymmetryBreakingo fSolitons Trapped in a Double-Gauss Potential, Communications in Physics,

[2].DuyCuongNguyen; Xuan Khoa Dinh; Xuan The Tai Le; Viet HungNguyen; Marek Trippenbach,On the nonlinear dynamics of coupled micro-resonators, Proceedings 11204, 14th Conference on Integrated Optics: Sensors,Sensing Structures,and Methods,(2019),Szcyrk-Gliwice,Poland.

[3].Nguyen Duy Cuong, Bui Dinh Thuan, Dinh Xuan Khoa, Cao Long Van,Marek Trippenbach, and Do Thanh Thuy,Spontaneous Symmetry Breaking inCoupledRingResonatorswithLinearGainandNonlinearLoss,V i n h UniversityJ ournalofScience48,2A(2019),39-48.

[4].Nguyen Duy Cuong, Dinh Xuan Khoa, Cao Long Van, Le Canh Trung, BuiDinhThuan,MarekTrippenbach,TwoSpotCoupledRingResonators,Communications in Physics,Vol.29,No.4(2019),pp.491-500.

[5] Le Xuan The Tai,Nguyen Duy Cuong, Dinh Xuan Khoa, NguyenVietHung, and Marek Trippenbach,Local versus uniform coupling, preparing tosubmit inPhotonicsLettersof Poland.

[2].K H a y a t a a n d M K o s h i b a ,S e l f - l o c a l i z a t i o n a n d s p o n t a n e o u s s y m m e t r y breaking of optical fields propagating in strongly nonlinear channel waveguides:limitations of the scalar field approximation, J Opt Soc Am B 9, (1992) 1362.

[3].B M a e s , M S o l j a c i c , J D J o a n n o p o u l o s , P B i e n s t m a n , R B a e t s , S P Gorza,M H a e l t e r m a n ,S w i t c h i n g t h r o u g h s y m m e t r y b r e a k i n g i n c o u p l e d nonlinear micro-cavities,OpticsExpress 14,(2006)10678.

[4] W Królikowski, Y S Kivshar, Soliton-based optical switching inwaveguidearrays,J.Opt.Soc.Am.B13,(1996) 876-887.

[5] F Lederer, G I Stegeman, D N Christodoulides, G Assanto, M Segev,

[7].H.E.Nistazakis,D.J.Frantzeskakis,J.Atai,B.A.Malomed,N.Efremidis,

[8] Y D Wu,Coupled-soliton all-optical logic device with two parallel taperedwaveguides.Fiber Integr.Opt.23,(2004)405-414.

[9].D.Chevriaux,R.Khomeriki,J.Leon,Bistabletransmittingnonlineardirectional couplers.Mod.Phys.Lett.B20,( 2 0 0 6 ) 515-532.

[10].H.Hatami-Hanza,P.L.Chu,B.A.Malomed,G.D.Peng,Solitoncompression and splitting in double-core nonlinear optical fibers Opt Commun.134,(1997)

[11] D G Rabus, H Heidrich, M Hamacher, U Troppenz,Channel droppingfiltersbasedonringresonatorsandintegratedSOAs,OpticalSocietyo f Am erica130,(2003)3120.

[12] Y Senlin, C Zeying, C H Wenjian,Chaotic laser synchronization and itsapplicationin optical fiber securecommunication,Science inChinaSer.FInformation Sciences473,(2004)332-347.

[13] A Uchida,Optical communication with chaotic lasers: applications ofNonlinearDynamics andSynchronization, FirstEdition, (2012)Wiley-

[14].M.Naruse,Y.Terashima,A.Uchida,S.J.Kim,Ultrafastphotonicreinforcement learning based on laser chaos, Cientific Reports 7-8772, (2017)1-10.

[16].K H a y a t a a n d M K o s h i b a ,S e l f - l o c a l i z a t i o n a n d s p o n t a n e o u s s y m m e t r y breaking of optical fields propagating in strongly nonlinear channel waveguides:limitations of the scalar field approximation, J Opt Soc Am B 9, (1992) 1362.

[15].C.Cambournac,T.Sylvestre,H.Maillotte,B.Vanderlinden,P.Kockaert, Ph.E m p l i t , a n d M H a e l t e r m a n ,S y m m e t r y -

B r e a k i n g I n s t a b i l i t y o f M u l t i m o d e Vector Solitons,Phys.Rev.Lett.89,

[16] Y J Tsofe and B A Malomed,Quasisymmetric and asymmetric gapsolitons in linearly coupled Bragg gratings with a phase shift, Phys Rev E

Landau equations,Math.Comput.Simul.74,(2007)312.

[18].M.Ornigotti,G.D.Valle,D.Gatti,andS.Longhi,T o p o l o g i c a l suppressio n of optical tunneling in a twisted annular fiber, Phys Rev A 76,(2007)023833.

[19] S Trillo, S Wabnitz, E M Wright, G I Stegeman,Soliton switching infibernonlinear directional couplers.Opt.Lett.13,(1988)672-674.

[20].A.W.Snyder,D.J.Mitchell,L.Poladian,D.R.Rowland,andY.C h e n ,

Physicsof nonlinear fiber couplers,J.Opt.Soc.Am.B8,(1991)2102.

[21].B.A.Malomed,I.M.Skinner,P.L.Chu,andG.D.Peng,Symmetricandasym metric solitons in twin-core nonlinear optical fibers, Phys Rev E53, (1996)4084-

[22] P LI, D MIHALACHE,Symmetry breaking of solitons in PT- symmetricpotentialswithcompetingcubic- quinticnonlinearity,ProceedingsoftheRomanian Academy,SeriesA19,(2018)61-

[23] T Mayteevarunyoo, B A Malomed, and G Dong,Spontaneous symmetrybreaking in a nonlinear double-well structure, Physical Review A 78,

[24].N.V.Hung,P.Zin,M.Trippenbach,andB.A.Malomed,Two- dimensionalsolitonsinmediawithstripe-shapednonlinearitymodulation,Physical

[25] V Lutsky and B A Malomed,Solitons supported by singular modulationofthe cubic nonlinearity,J.Opt.Ex.25,(2017)12969.

[26] R S Gioggia and N B Abraham,Routes to chaotic output from a single- mode,de-excited laser,PhysicalReviewletters51,(1983) 650-653.

[27] P Colet and R Roy,Digital communication with synchronized chaoticlasers,OpticsLetters19,(1994) 2056-2058.

[28] A Argyris, M Hamacher, K E Chlouverakis, A Bogris, and D. Syvridis,Photonic integrated device for chaos applications in communications, PhysicalReviewLetters100,(2008) 194101.

[29] A Uchida1, K Amano, M Inoue, K Hirano, S Naito, H Someya, I.Oowada, T Kurashige, M Shiki, S Yoshimori, K Yoshimura, and P. Davis,Fast physical random bit generation with chaotic semiconductor lasers, NaturePhotonics 2, (2008) 728-732.

[30] N Jiang, C Xue, Y Lv, K Qiu,Secure key distribution applications ofchaoticlasers,Proc.of SPIE10026,(2016)100260H-2.

[31] N V Hung, K Zegadlo, A Ramaniuk, V V Konotop & M. Trippenbach,Modulationalinstabilityofcoupledringwaveguideswithlineargainan dnonlinearloss,Scientific RepoRts7,(2017) 4089.

[32].C.L.VanandP.Goldstein,Aconcisecourceonnonlinearpartialdiferential equations,UniversityofZielona GoraPress (2008).

[33] D X Khoa, L V Doai, D H Son, and Ng H Bang,Enhancement of self-Kerr nonlinearity via electromagnetically induced transparency in a five-levelcascade system: an analytical approach, J Opt Soc Am B., 31, N6 (2014),1330-1334.

[34].M.Gửppert‐Mayer,ĩberElementaraktemitzweiQuantensprỹngen,Annalen der Physik.6.(1931),Folge.9.

[35] W Kaiser and C G B Garrett,Two-photon excitation in CaF 2 :

[36] E W Van Stryland, H Vanherzeele, M A Woodall, M J Soileau,, A. L.Smirl, S Guha, Th F Boggess,Two photon absorption, nonlinear refraction,andopticallimitinginsemiconductors,OpticalEngineering24(4),

[37] G P Agrawal,Nonlinear fiber optics, Fifth Edition, New York: Academic,2013.

[38] R Li, Fei Lv, L Li, and Z Xu,Symmetry breaking and manipulation ofnonlinear optical modes in an asymmetric double-channel waveguide,

[39] C L Vân, Đ X Khoa, M Trippenbach,Nhập môn quang h ọc phi tuyến,NXBGiáo dục2011.

[41].Z C h e n , M S e g e v a n d D N C h r i s t o d o u l i d e s ,O p t i c a l s p a t i a l s o l i t o n s : historical overview and recent advances, Rep Prog Phys 75 (2012) 086401.

[42].J Y a n g ,N o n l i n e a r wa ve si ni nt eg ra bl e a n d n o n i n t e g r a b l e sy st e m s,monographson mathematical modeling andcomputation,(2010).

[43].B.A.Malomed,Spontaneoussymmetrybreakinginnonlinearsystems:anoverviewa nd asimplemodel,Springer: Heidelberg,(2016),97-112.

[44].M.Matuszewski,B.A.Malomed,andM.Trippenbach,Spontaneoussymmetry breaking of solitons trapped in a double-channel potential, Phys.

[45].P.L.Chu,B.A.Malomed,andG.D.Peng,Solitonswitchingandpropagation in nonlinear fiber couplers: analytical results, J Opt Soc Am B.10 (1993)1379-

[46] A Uchida,Optical communication with chaotic lasers: applications ofnonlineardynamicsandsynchronization,firstedition,(2012).

Tiêu đề	Nghiên Cứu Sự Phá Vỡ Đối Xứng Tự Phát Trong Một Số Hệ Quang Học Phi Tuyến
Tác giả	Nguyễn Duy Cường
Người hướng dẫn	GS.TS. Đinh Xuân Khoa, GS.TSKH. Marek Trippenbach
Trường học	Trường Đại Học Vinh
Chuyên ngành	Quang Học
Thể loại	luận án
Năm xuất bản	2020
Thành phố	Nghệ An

Định dạng
Số trang	124
Dung lượng	1,99 MB