Luận văn miền dedekind và miền nguyên

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– LÊ THỊ HIÊN MIỀN DEDEKIND VÀ MIỀN NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA, 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— LÊ THỊ HIÊN MIỀN DEDEKIND VÀ MIỀN NGUYÊN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 8.46.01.04 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.NGUYỄN TIẾN QUANG THANH HÓA, 2020 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số ngày tháng năm Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng Chủ tịch Phản biện Phản biện Ủy viên Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng năm 2020 (ký ghi rõ họ tên) PGS TS Nguyễn Tiến Quang LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Lê Thị Hiên i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn Thầy PGS TS Nguyễn Tiến Quang Trường Đại học sư phạm Hà Nội Thầy hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo giúp tơi hồn thành luận văn Qua xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc lòng yêu quý tới Thầy Tôi xin cảm ơn tới tất thầy cô giảng dạy cảm ơn tất bạn bè giúp đỡ chân tình người, Tơi xin gửi lời cảm ơn tới phòng Sau đại học, Trường Đại học Hồng Đức giúp đỡ mặt thủ tục để hồn thiện luận văn Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới gia đình, quan nơi công tác động viên, tạo điều kiện cho yên tâm học tập nghiên cứu Xin trân trọng cảm ơn! Thanh Hóa, tháng 12 năm 2020 Lê Thị Hiên ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Vành giao hoán 1.2 Mơđun vành giao hốn Chương : MỘT SỐ LỚP VÀNH ĐẶC BIỆT 13 2.1 Vành nhân tử hóa 13 2.2 Vành 14 2.3 Vành Artin 2.4 Vành Noether 11 2.5 Vành địa phương 13 Chương : MIỀN DEDEKIND VÀ MIỀN NGUYÊN 19 3.1 Mở rộng nguyên 19 3.2 Miền Dedekind 22 KẾT LUẬN 30 Tài liệu tham khảo 32 iii CÁC KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên Z Tập số nguyên Q Tập số hữu tỉ R Tập số thực (a1 , a2 , , an ) iđêan sinh a1 , a2 , , an ⊆ (⊇) Chứa (chứa) ⊂ (⊃) Chứa (chứa) thật B|A iđêan B ước iđêan A S−1 R Vành thương vành R theo tập nhân S < p> iđêan sinh p A [x], A [x1 , x2 , , xn ] Vành đa thức miền ngun A Khi nói đến vành vành giao hốn, cịn nói đến miền miền nguyên iv MỞ ĐẦU Trong đại số nói chung đại số giao hốn nghiên cứu lý thuyết vành nói riêng, đặc trưng miền Dedekind miền ngun lớp vành ln đề tài rộng hấp dẫn nhà nghiên cứu, Miền Dedekind lớp miền ngun có nhiều tính chất thú vị có liên hệ với nhiều lớp miền nguyên khác: vành chính, vành nhân tử hóa (vành Gauss), vành Noether, vành địa phương Tùy trường hợp cụ thể mà người ta lấy tính chất tương đương miền Dedekind để làm định nghĩa cho Trong luận văn này, tơi xin trình bày cách tiếp cận đến miền Dedekind nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển theo hướng khác Đặc biệt [1] tác giả nghiên cứu khái niệm mở rộng miền nguyên miền Dedekind, khai thác cấu trúc miền nguyên miền Dedekind, tìm kiếm ứng dụng, Có thể nói, kể từ đời đến nay, miền nguyên miền Dedekind đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực toán học, lý thuyết đại số, đại số đại, đại số giao hoán Hiện nay, miền nguyên miền Dedekind xem cấu trúc đại số Việc tìm hiểu tiếp tục nghiên cứu sâu miền nguyên miền Dedekind vấn đề liên quan đến miền nguyên miền Dedekind có ý nghĩa mang tính thiết thực Do để làm rõ vấn đề, chứng minh tính chất kết miền nguyên miền Dedekind yêu cầu tự nhiên, nghiên cứu nhiều tác giả, (xem [1], [2], [3]) Cho đến nay, kết miền nguyên miền Dedekind phong phú hoàn thiện Tuy nhiên, kết tương ứng trường hợp mối liên hệ miền Dedekind với số lớp vành giao hoán đặc biệt cịn Các tính chất miền xuất cách tự nhiên nhiều toán sinh từ vấn đề miền nguyên miền Dedekind thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Trong tài liệu tham khảo số [1] (Beachy, John A Introductory lectures on rings and modules London Mathematical Society Stundent Texts 47, Cam1 bridge University Press, 1999) tác giả nghiên cứu tính chất vành giao hốn, mở rộng miền nguyên, miền Dedekind Trong luận văn này, chúng tơi tìm hiểu nhân tử hóa vành giao hốn Sự nhân tử hóa hphần tử thành tích phần √ i tử bất khả quy xảy vành Z − Dedekind đưa khái niệm iđêan để có nhân tử hóa tương tự Ông ta chứng minh vành quan trọng tập số phức, iđêan viết thành tích iđêan nguyên tố Chúng ta nghiên cứu vành với tên gọi chung miền Dedekind miền nguyên, mối liên hệ miền Dedekind miền nguyên với số lớp vành giao hoán đặc biệt Mục đích luận văn trình bày cách hệ thống lí thuyết tính chất miền nguyên miền Dedekind, sử dụng kết để nghiên cứu mối liên hệ miền Dedekind với số lớp vành giao hoán đặc biệt Cấu trúc luận văn gồm ba chương sau: – Chương 1, Kiến thức chuẩn bị: Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết tổng qt vành giao hốn, mơđun vành giao hốn kết khái niệm tính chất vành giao hốn, mơđun vành giao hốn sử dụng luận văn số kiến thức bổ trợ khác Đây kiến thức sở cần thiết cho việc trình bày chương sau – Chương 2, Một số lớp vành đặc biệt: Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa tính chất vành nhân tử hóa, vành chính, vành Noether, vành Artin, vành địa phương – Chương 3, Miền Dedekind miền ngun: Trong chương này, chúng tơi trình bày định nghĩa miền Dedekind, miền nguyên tính chất chúng sử dụng phân tích iđêan thành tích iđêan nguyên tố trình bày mối liên hệ miền Dedekind, miền nguyên với số lớp vành giao hoán đặc biệt Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tơi trình bày tóm tắt số kiến thức vành giao hốn mơđun vành giao hốn thường dùng nhằm phục vụ cho chương 1.1 1.1.1 Vành giao hoán Vành giao hoán Định nghĩa 1.1.1 ([2]) Cho tập hợp R với hai phép tốn hai ngơi, gọi phép cộng kí hiệu (+) phép nhân kí hiệu (.) R gọi vành thỏa mãn điều kiện sau: i) (R, +) nhóm giao hốn (nhóm Abel) ii) (R, ) nửa nhóm iii) Phép nhân phân phối với phép cộng, nghĩa là: ∀a, b, c ∈ R : a(b + c) = ab + ac (b + c)a = ba + ca Phần tử trung hòa phép cộng kí hiệu Phần tử đối phần tử x kí hiệu −x Nếu nửa nhóm nhân (R, ) có đơn vị ta nói R vành có đơn vị kí hiệu đơn vị phép nhân Nếu nửa nhóm nhân (R, ) giao hốn ta nói R vành giao hốn Ta giả thiết vành xét vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.2 ([2]) Giả sử X vành, A phận X ổn định hai phép toán X nghĩa ∀x, y ∈ A : x + y ∈ A, xy ∈ A, A vành vành X A với hai phép toán cảm sinh A vành Định nghĩa 1.1.3 ([2]) Cho R vành Phần tử a 6= R gọi ước không tồn 6= b ∈ R cho a.b = Ví dụ 1.1.4 Trong vành số nguyên Z , phần tử không ước không Định lý 1.1.5 ([3]) Cho A tập khác rỗng vành R Các điều kiện sau tương đương: i) A vành R ii) ∀ x, y ∈ A : x + y ∈ A, xy ∈ A, −x ∈ A iii) ∀ x, y ∈ A : x + y ∈ A, xy ∈ A √  Z Q i A, với:   a b√ + i : a, b ∈ Z a, b có tính chẵn lẻ A= 2 Định lý 3.1.6 Mọi trường miền nguyên Mọi miền nguyên hữu hạn trường Chứng minh: Ta cần chứng minh trường R khơng có ước không Thật giả sử xy = x 6= x khả nghịch nên tồn x−1 ∈ R cho x−1 x = e Do y = ey = x−1 xy = x−1 = Điều chứng tỏ R khơng có ước khơng, R miền ngun Giả sử R miền nguyên hữu hạn Cho a ∈ R \ {0} Ta chứng minh a khả nghịch Thật vậy, xét ánh xạ: f : R \ {0} −→ R \ {0} x 7→ ax Vì miền ngun R phép nhân có tính giản ước nên ta thấy f đơn ánh Theo giả thiết R \ {0} hữu hạn nên f phải song ánh Suy tồn b ∈ R \ {0} cho f (b) = e nghĩa ab = e Điều chứng tỏ a khả nghịch Do R trường  Hệ 3.1.7 Cho A vành vành giao hoán R Nếu R tạo dạng môđun A, R mở rộng nguyên A Bây cung cấp nhiều ví dụ phần mở rộng vành nguyên Các vành số nguyên Gaus Z [i] phần mở rộng nguyên Z, √  Z −5 , hai hữu hạn tạo dạng mô-đun Z Gọi A vành R cho R tạo hoàn toàn dạng môđun A, n n giả sử R = ∑ Ati Khi rõ ràng R [x] = ∑ A [x]ti vành đa thức R [x] i=1 i=1 mở rộng nguyên A [x] Ví dụ cuối cùng, lưu ý vành đa thức phần mở rộng ngyên vành A [x] tạo X Để thấy điều này, cần lưu ý tạo dạng  A [xn ] -module tập 1, x, , xn−1 21 Định nghĩa 3.1.8 Cho A vành vành giao hoán R (a) Vành A tất phần tử nguyên A gọi đóng nguyên A R (b) Nếu A = A, nói A nguyên đóng R Nếu D miền nguyên đóng ngun trường thương nó, nói D đóng ngun Ví dụ 3.1.9 Chúng ta miền iđêan đóng nguyên trường thương Thật vậy: gọi D miền iđêan với trường thương Q a với a, b ∈ D, a, b 6= a, b Khi q ∈ Q, q 6= 0, ta viết q = b a a a nguyên tố Ta có nguyên D ⇔ ∈ D Nếu b b b đa thức xn + cn−1 xn−1 + + c0 xn + cn−1 xn−1 + + c0 = ý b ước an Điều trừ a đơn vị, trường hợp a Tức ∈ D ⇒ D = D b Ví dụ trước cho thấy khơng thể tìm thấy phần mở rộng nguyên R Z với Z ⊂ R ⊂ Q Các ví dụ đưa trước phần mở rộng nguyên Z chuỗi R C Mệnh đề cho thấy Q phần mở rộng nguyên vành Mệnh đề 3.1.10 Cho R vành miền nguyên D, giả sử D mở rộng nguyên R Khi ta có D trường R trường Chứng minh (⇒) Điều kiện đủ: Giả sử R trường, D mở rộng nguyên R Lấy u 6= 0, u ∈ D và: f (x) = xn + an−1 xn−1 + + a0 đa thức "monic" có bậc nhỏ R [x] nhận u làm nghiệm Khi đó: un + an−1 un−1 + + a0 = Nếu a0 = giản ước u để đa thức có bậc ≤ n − nhận u làm nghiệm (⇒) mâu thuẫn Do a0 6= Do: u(un−1 + an−1 un−2 + + a1 ) = −a0 22 a0 khả nghịch R (vì R trường) nên u khả nghịch D Vậy D trường ( ⇐) Điều kiện cần: Giả sử D trường Lấy a ∈ R, a 6= ⇒ ∃a−1 ∈ D Vì D mở rộng nguyên R nên a−1 nguyên R, tồn đa thức "monic" f (x) = xn + an−1 xn−1 + + a0 ∈ R [x] nhận a−1 làm nghiệm, tức là: f (a−1 ) = hay an−1 + an−1 (a−1 )n−1 + + a0 = Nhân hai vế với an ta có: + an−1 a + + a1 an−1 + + a0 an = Điều cho thấy a−1 = −an−1 − − a0 an−1 Vậy R trường Từ mệnh đề ta thấy Q không mở rộng nguyên Z Z không trường  Hệ 3.1.11 Cho A vành vành giao hoán R giả sử R mở rộng nguyên A Nếu Q iđêan nguyên tố R Q iđêan cực đại R Q ∩ A iđêan cực đại A Chứng minh: Lấy Q iđêan nguyên tố R P = Q ∩ A Xác định f hợp thành bao hàm: h:A→R r 7→ r phép chiếu tự nhiên p : R → RQ r 7→ r + Q Khi f đồng cấu vành với Ker f = Q ∩ A = P Do theo định lý đồng cấu vành tồn tại: f : AP → RQ 23 đẳng cấu Vì đồng AP với ảnh RQ Vì R mở rộng nguyên A nên RQ mở rộng nguyên AP Ta có: Q cực đại RQ trường nên AP trường Do P iđêan cực đại  Mệnh đề 3.1.12 Gọi R vành miền nguyên D, giả sử D mở rộng nguyên R Nếu s tập nhân R, Ds mở rộng nguyên Rs u u Chứng minh Lấy ∈ Ds u ∈ D, s ∈ S, 6= Vì D mở rộng s s nguyên R nên tồn đa thức f (x) = xn + an−1 xn−1 + + a0 ∈ R [x] để f (u) = u Khi g( ) = với s g(x) = xn + a1 a0 an−1 n−1 x + + + ∈ Rs [x] s sn−1 sn Vậy nên Ds mở rộng nguyên Rs  Định lý 3.1.13 Cho R vành miền nguyên D Giả sử D mở rộng nguyên R Khi ta có: a) Cho Q, Q0 iđêan nguyên tố D cho Q ⊆ Q0 Khi Q 6= Q0 kéo theo Q ∩ R 6= Q0 ∩ R b) Với iđêan nguyên tố P R, tồn iđêan nguyên tố Q D để Q ∩ R = P c) Nếu P ⊆ P0 iđêan nguyên tố R Q iđêan nguyên tố D với Q ∩ R = P tồn iđêan nguyên tố Q D cho Q ⊆ Q0 Q0 ∩ R = P0 Chứng minh a) Lấy Q, Q0 iđêan nguyên tố D cho Q ⊆ Q0 Q ∩ R = P Khi RP đẳng cấu với vành DQ Vì Q iđêan nguyên tố D nên DQ miền ngun Do RP miền ngun Vì nên P iđêan nguyên tố R D Khi ta có: S = RP tập đóng nhân R D 24 Theo mệnh đề 3.1.12, địa phương hóa DS D S mở rộng nguyên địa phương hóa RS R S Dễ thấy Qs ∩ Rs = Ps nên theo hệ 3.1.11 có Qs iđêan tối đại Ds Ps iđêan tối đại Rs Nếu Q0 ∩ R = Q ∩ R = P Q0 ∩ S = φ mà Q0S iđêan nguyên tố Ds Qs ⊆ Q0s , Qs tối đại nên suy Qs = Q0s , tức Q = Q0 ⇒ mâu thuẫn Vậy Q ∩ R 6= Q0 ∩ R b) Lấy P iđêan nguyên tố R S = RP tập đóng nhân Ta lại có địa phương hóa Rs ⊆ Ds Ta lấy iđêan tối đại Ds có dạng Qs với Q iđêan tối đại D Tương tự phần a), Ds mở rộng nguyên Rs nên Qs ∩ Rs iđêan tối đại Rs Vì Rs vành địa phương nên Ps = Qs ∩ Rs iđêan tối đại Rs Xét biểu đồ sau, ánh xạ thẳng đứng tương ứng − R −−−→   y D −−−→   y D/Q   y Rs −−−→ Ds −−−→ Ds /Qs f : R → DQ, fs : Rs → Ds Qs Ta có: Ker fs = Qs ∩ Rs = Ps , Ker f = P Do Q ∩ R = P c) Lấy P ⊆ P0 iđêan nguyên tố R Q iđêan nguyên tố D với Q ∩ R = P Ánh xạ tắc từ RP vào DQ tương ứng − Q ∩ R = P, đồng RP với ảnh DQ Do DQ mở rộng nguyên RP, theo phần b) ta tìm iđêan ngun tố Q0 Q DQ nằm iđêan nguyên tố P0 P RP Xét biểu đồ sau, mũi tên thẳng đứng toàn cấu R   y −−−→ D   y −−−→ D/Q’   y R/P −−−→ D/Q −−−→ (D/Q)/( Q’/Q) 25 g : R → D/Q, h : R/P → (D/Q)/(Q0 /Q) Do (Q0 Q) ∩ (RP) = P0 P nên Kerh = P0 P Do Kerg = P0 Vậy Q0 ∩ R = P0 Trong định lý trên, ta thêm giả thiết R đóng ngun ta có kết ngược với mệnh đề b): Cho R vành miền nguyên D Giả sử D mở rộng nguyên R R đóng nguyên Nếu P0 ⊆ P iđêan nguyên tố R Q iđêan nguyên tố D cho Q ∩ R = P Khi tồn iđêan nguyên tố Q0 D cho Q0 ⊆ Q Q0 ∩ R = P0  3.2 Miền Dedekind Trong phần này, chúng tơi tìm hiểu cách tiếp cận để phân tích nhân tử nhất, sử dụng iđêan thay phần tử Nếu D iđêan chính, iđêan khác I D có dạng I = aD số khác a ∈ D với a = P1 P2 Pn phần tử bất khả quy P1 , P2 , , Pn D Nó theo I giao iđêan nguyên tố, aD = Πni=1 pi D Chúng sử dụng điều kiện làm định nghĩa miền Dedekind Định nghĩa 3.2.1 Miền nguyên D gọi miền Dedekind iđêan D viết dạng giao số hữu hạn iđêan nguyên tố D Ta Định lý 3.2.5 miền Dedekind có số đặc tính iđêan Cụ thể, miền Dedekind phải Noether iđêan số nguyên tố khác miền Dedekind phải số thập phân tối đa Điều cho thấy miền nhân tử hóa khơng phải miền Dedekind, ví dụ, miền nhân tử hóa Q [x, y] chứa iđêan nguyên tố khác khơng Chúng tơi chứng minh số tính chất miền Dedekind cách sử dụng khái niệm khả nghịch iđêan Điều đòi hỏi đời khái niệm sau Định nghĩa 3.2.2 Gọi D miền nguyên với trường thương F A iđêan phân D môđun I khác không D F cho tồn 6= d ∈ D với 26 dI ⊆ D Nếu I iđêan phân D, Ta định nghĩa I −1 = {q ∈ F : qI ⊆ D} nói I khả nghịch I −1 I = D Khi I −1 gọi nghịch đảo I Định nghĩa dựa quan sát sau Nếu D miền ngun với trường thương F, khơng khó để kiểm tra xem I1 , I2 có phải iđêan phân D hay khơng, I1 + I2 , I1 ∩ I2 I1 I2 vậy, ) ( n I1 I2 = ∑ uivi | ui ∈ I1 vi ∈ I2 i=1 Ví dụ 3.2.3 Trong trường số hữu tỉ Q, tập tất bội 1/2 iđêan phân Z Trong thực tế, iđêan phân Z khả nghịch, với Z nghịch đảo Nói cách tổng quát hơn, D miền nguyên với trường thương F, giả sử I mô-đun D khác không tạo F Nếu d tích mẫu số I, dI ⊆ D , chứng tỏ I iđêan phân Nếu I tạo phần tử q ∈ F, q−1 D.qD = D, trường hợp này, I khả nghịch Bổ đề 3.2.4 Gọi D miền nguyên với trường thương F I iđêan D khả nghịch coi iđêan phân Các điều kiện sau giữ nguyên (a) iđêan I hữu hạn sinh (b) Nếu I tích iđêan nguyên tố, I Chứng minh (a) Cho I iđêan phân từ I −1 I = D , tồn phần n tử ui ∈ I −1 , vi ∈ I, với ≤ i ≤ n, với ∑ ui vi = Với phần tử x ∈ I ta có n i=1 x = ∑ (ui x)vi = 1, ui x ∈ D, điều cho thấy v1 , v2 , , phần tử i=1 sinh cho I (b) Giả sử I = P1 P2 Pn = Q1 Q2 Qm iđêan nguyên tố P1 P2 Pn Q1 Q2 Qm Vì I −1 I = D, ta có (I −1 P2 Pn )P1 = D chứng tỏ iđêan nguyên tố Pi Q j khả nghịch Vì P1 số nguyên tố P1 ⊇ Q1 Q2 Qm , theo P1 chứa số nguyên tố Q j , (sau đánh số lại cần) giả sử P1 ⊇ Q1 Bây P1−1 Q1 ideal D P1−1 Q1 ⊆ P1−1 P1 = D, P1 (P1−1 Q1 ) = Q1 ý P1 ⊆ Q1 27 P1−1 ⊆ Q1 Trường hợp thứ hai khơng thể P1−1 ⊆ D, chúng tơi kết luận P1 = Q1 Nhân I với P1−1 , ta P2 Pn = Q2 Qm (Trong trường hợp n = 1, có D = Q2 Qm , điều không thể.) Một lập luận quy nạp hoàn thành chứng minh  Định lý 3.2.5 D miền Dedekind điều kiện sau tương đương (a) Mọi iđêan khác không D khả nghịch (b) Mọi iđêan D viết (theo thứ tự) dạng tích số hữu hạn iđêan nguyên tố D; (c) D miền Noether (d) Mọi iđêan nguyên tố khác không D cực đại Chứng minh (a) Vì iđêan khác khơng D tích vơ số iđêan ngun tố, nên điều đủ để chứng minh iđêan khác nguyên tố khả nghịch Gọi P nguyên tố khác gốc D, gọi p nguyên tố khác P Khi pD = P1 P2 Pn iđêan nguyên tố P1 P2 Pn iđêan nguyên tố khả nghịch pD khả nghịch Vì P số nguyên tố P1 P2 Pn ⊆ P nên phải có Pi ⊆ P i Nếu chứng minh Pi cực đại, phải có Pi = P , P khả nghịch Để hồn thành chứng minh, iđêan nguyên tố khả nghịch D cực đại Gọi Q iđêan nguyên tố khả nghịch D đặt a ∈ DQ ta chứng minh aQ + Q2 = Q , Q khả nghịch nên ta thu aD + Q = D, chứng tỏ aD + Q khả nghịch phần tử khả nghịch DQ , DQ trường Để chứng minh khẳng định aQ + Q2 = Q, trước tiên thấy DQ phải miền Dedekind Điều xuất phát từ thực tế iđêan khác khơng DQ có dạng IQ I iđêan D với I ⊃ Q, việc biểu diễn I dạng tích I = P1 P2 Pn iđêan nguyên tố D tạo biểu diễn IQ dạng tích (IQ) = (P1 Q) (Pn Q) iđêan nguyên tố DQ Cho I = aD + Q = P1 P2 Pn J = a2 D + Q = Q1 Qm biểu diễn hai iđêan dạng tích số nguyên tố iđêan D Trong DQ ta có I Q = JQ , JQ iđêan DQ nên khả 28 nghịch, bổ đề trước cho thấy thừa số nguyên tố I Q JQ DQ phải giống (tùy theo thứ tự) Sự tương ứng 1-1 iđêan nguyên tố DQ D cho thấy phải có P12 P22 Pn2 = Q1 Q2 Qm , I = J Do Q ⊂ I = a2 D + aQ + Q2 ⊆ aD + Q2 , với phần tử x ∈ Q có x = ad + y, với số a, d ∈ Q y ∈ Q2 Khi ad = x − y ∈ Q , đó, d ∈ Q a ∈ / Q , thực tế có Q ⊆ aQ + Q2 ⊆ Q Điều chứng minh hoàn thành chứng phần (a) Các chứng minh (b) (c) tuân theo bổ đề trước, thực chứng minh (d) trình chứng minh phần (a)  Trước đưa số đặc điểm miền Dedekind, cần thông tin bổ sung iđêan phân Trong miền iđêan chính, iđêan khác khơng mơ-đun trình tạo Chúng ta khái quát điều cho miền Dedekind cách iđêan khác không xạ ảnh, tạo hoàn toàn Trên thực tế, iđêan tạo nhiều hai yếu tố Mệnh đề 3.2.6 Cho D miền nguyên iđêan phân I D khả nghịch xạ ảnh môđun D Chứng minh Trước tiên, giả sử I iđêan thương khả nghịch D n Tồn ui ∈ I −1 vi ∈ I, với ≤ i ≤ n , với ∑ ui vi = với x ∈ I bất i=1 n kỳ ta có x = ∑ (ui x)vi = với ui x ∈ D Do ta định nghĩa D- đồng cấu i=1 n f : Dn → I f (d1 , , dn ) = ∑ di vi = g : I → Dn g(x) = (xu1 , , xun ) i=1 Vì f g = 1I , theo I đẳng cấu với triệu hồi trực tiếp mô-đun tự Ngược lại, giả sử I phép xạ ảnh, với phép đồng cấu f : M → I từ môđun D tự M thành I phép đồng cấu D tách g : I → M Để cho πα : M → D phép chiếu M α, đặt fα : D → I thành phần f lập α Nếu thành phần đặt fα (1) = vα 6= q ∈ I, phần tử g(q) có nhiều thành phần khác nhau, q = f g(q) = Σα∈J fα (πα g(q)) = Σα∈J πα g(q) fα (1) = Σα∈J πα g(q).vα 29 Bây ta xét πα g : I → D Có tồn 6= d ∈ D với dI ⊆ D cho q ∈ I chúng tơi có phương trình dvα (πα g(q)) = (πα g(dvα q)) = dq(πα g(vα )) D Điều dẫn đến phương trình πα g(q) = (v−1 α q)(πα g(vα ) −1 cho thấy trường thương D, cho thấy v−1 α πα g(vα ) ∈ I v−1 α q ∈ D từ πα g(q) ∈ D πα g(vα ) ∈ D Chúng ta có q = Σα∈J fα (πα g(q)) = Σα∈J πα g(q)vα = Σα∈J (v−1 α q)(πα g(vα )).vα việc hủy bỏ q thu tổng sau đây, lấy thành phần khác không g(q) n = ∑ (v−1 i πi g(vi )).vi i=1 Từ vi−1 πi g(vi ) ∈ I −1 vi ∈ I với ≤ i ≤ n ta chứng tỏ I khả nghịch  Định lý 3.2.7 Các điều kiện sau tương đương với miền nguyên D: (1) D miền Dedekind; (2) iđêan khác không D khả nghịch; (3) iđêan phân D khả nghịch; (4) iđêan D xạ ảnh mô-đun D Chứng minh (1) ⇒ (2) Điều tuân theo Định lý 3.2.5 (2) ⇒ (4) Điều thể Định lý 3.2.6 (4) ⇒ (3) Gọi I iđêan D, với dI ⊆ D với 6= d ∈ D Khi I đẳng tích với iđêan dI qua phép đồng cấu f (q) = dq , với q ∈ I , I xạ ảnh dI xạ ảnh Theo Định lý 3.2.6, I khả nghịch (3) ⇒ (2) Điều hiển nhiên (2) ⇒ (1) Giả sử tồn iđêan khác không D mà viết dạng tích hữu hạn iđêan ngun tố D Vì iđêan khác khơng D khả nghịch nên iđêan khác không D tạo D Noether Do đó, tập hợp iđêan ngun tố khơng thể biểu diễn dạng tích hữu hạn iđêan nguyên tố khác rỗng, nên 30 phải có phần tử cực đại I iđêan I khơng thể tự ngun tố, khơng thể cực đại, tồn P D iđêan cực đại với I ⊂ P ⊂ D Sử dụng giả thiết iđêan khác không D khả nghịch, có IP−1 ⊆ D kể từ I ⊂ P Hơn nữa, tồn ui ∈ P−1 vi ∈ P, với ≤ i ≤ n , n cho ∑ ui vi = Từ nhận dạng mà I ⊆ IP−1 I = (IP−1 )P Nếu I = IP−1 i=1 P−1 = D, mâu thuẫn với thực tế P iđêan phù hợp, đó, lựa chọn I ngụ ý IP−1 biểu thị dạng tích hữu hạn iđêan nguyên tố Ta kết luận I = (IP−1 )P tích hữu hạn iđêan nguyên tố, điều mâu thuẫn Điều hoàn thành chứng Nếu D miền Dedekind, iđêan khác thích hợp I D, có I −1 I = D , I −1 phải lớn D Kết tương tự có tính tổng qt hơn, cần phần để đưa mơ tả bổ sung miền Dedekind  Mệnh đề 3.2.8 Gọi D miền nguyên với trường thương F Giả sử D Noether iđêan nguyên tố khác khơng D cực đại Khi iđêan khác thích hợp I D tồn q ∈ F\D với qI ⊆ D Chứng minh Giả sử I iđêan khác khơng D Nếu I iđêan chính, giả sử I = aD, sau a−1 ∈ F\D a−1 I ⊆ D Nếu I nguyên tố chính, đặt a phần tử khác không D, cho P iđêan cực đại D với I ⊆ P Sử dụng lập luận tương tự Định lý 3.2.7, iđêan khác không vành Noether chứa tích iđêan nguyên tố khác không (Nếu điều kiện không thành công, chọn iđêan lớn Nó khơng thể số ngun tố, chứa tích iđêan lớn hơn, tích chứa tích số nguyên tố điều mâu thuẫn với giả thiết) Do tồn iđêan ngun tố khác khơng P1 Pn D với P1 Pn ⊆ aD, iđêan phải chứa P, chẳng hạn P1 ⊆ P, P số nguyên tố Theo giả thiết, iđêan nguyên tố khác không D cực đại, đó, P1 = P Do đó, có PP2 Pn ⊆ aD ⊂ I ⊆ P ⊂ D cách bỏ qua iđêan nguyên tố không cần thiết, giả sử P1 Pn khơng chứa aD Nếu chọn phần tử b ∈ 31 P2 Pn \aD, a−1 b ∈ / D, kể từ b ∈ / aD Chúng ta có a−1 bI ⊆ a−1 bP ⊆ a−1 PP2 Pn ⊆ a−1 aD = D điều hoàn thành chứng minh  Định lý 3.2.9 Các điều kiện sau tương đương với miền nguyên D: (1) D miền Dedekind; (2) D Noether, đóng nguyên trường thương nó, iđêan ngun tố khác khơng D cực đại Chứng minh Đầu tiên giả sử D miền Dedekind với trường thương F Khi đó, Định lý 3.2.5 D Noether, iđêan nguyên tố khác không D cực đại Để chứng tỏ D nguyên đóng F, đặt u ∈ F nguyên nguyên tố D giả sử u một đa thức monic f (x) D [x] bậc n Gọi I mô-đun D F tạo   1, u, , un−1 Nó tuân theo quan hệ f (x) cho trước mà I chứa tất lũy thừa u, I ⊆ I Kể từ I mô-đun D tạo hồn tồn F, iđêan phân, phải khả nghịch D miền Dedekind Điều ngụ ý I ⊆ D u ∈ D Ngược lại, giả sử D Noether, đóng nguyên, iđêan nguyên tố khác không D cực đại Giả sử I iđêan D, giả sử I −1 I chứa D Khi I −1 I ideal D, theo Mệnh đề 3.2.8, tồn u ∈ F\D với u(I −1 I) ⊆ D Cho phần tử q ∈ I −1 a ∈ I, có (uq)a = u(qa) ∈ u(I −1 I) ⊆ D, điều cho thấy uq ∈ I −1 , uI −1 ⊆ I −1 Bởi D Noether, iđêan I tạo hoàn toàn, đặt d tích tạo này, dI −1 ⊆ D, chứng tỏ I −1 iđêan phân Hơn nữa, dI −1 iđêan D, tạo cách hữu n n i=1 i=1 hạn, nói dI −1 = ∑ Dai Có thể kiểm tra I −1 = ∑ Dai d −1 Do I −1 mô-đun D [u] trung thành F tạo hồn tồn dạng mơ-đun D, u nguyên D Vì D giả sử đóng nguyên, điều ngụ ý u ∈ D, mâu thuẫn với lựa chọn u Chúng kết luận I −1 I không chứa D, I −1 I = D, I khả nghịch  32 Kết luận Chương Trong chương chứng minh số tính chất lớp miền ngun có tính chất ”nhân tử hóa” đặc biệt sử dụng iđêan làm nhân tử, thay cho phần tử Từ chúng tơi tìm mối liên hệ lớp miền nguyên với lớp vành xét 33 KẾT LUẬN Những kết mà tác giả đạt trình nghiên cứu là: Lớp miền ngun có tính chất ”nhân tử hóa” đặc biệt sử dụng iđêan làm nhân tử, thay cho phần tử Định nghĩa tính chất miền Dedekind Định nghĩa tính chất miền nguyên mở rộng miền nguyên Hướng phát triển: Có thể nghiên cứu tính chất miền ngun miền Dedekind theo hướng khác Phát triển kết nghiên cứu sang dạng có tính chất tương đương Rất mong nhận ý kiến đóng góp q báu nhà khoa học, quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp 34 Tài liệu tham khảo [1] Beachy, John A Beachy, John A Introductory lectures on rings and modules London Mathematical Society Stundent Texts 47, Cambridge University Press 1999 [2] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận Cơ sở lý thuyết môđun vành Nhà xuất giáo dục 2001 [3] Hoàng Xuân Sính Đại số đại cương Nhà xuất giáo dục 2000 35