Số học trong miền nguyên

1 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Số học phân nhánh toán học lâu đời sơ cấp nhất, hầu hết người thường xuyên sử dụng từ công việc thường nhật tính tốn khoa học kinh doanh cao cấp, qua phép tính cộng, trừ, nhân, chia Người ta thường dùng thuật ngữ để phân nhánh tốn học trọng đến thuộc tính sơ cấp số phép tính số Những nhà tốn học đơi dùng chữ số học (cao cấp) để nhắc đến môn lý thuyết số, không nên nhầm lý thuyết với số học sơ cấp Số học cổ điển số học vành  số nguyên Vào thời tiền sử, người ta sử dụng số học qua số đồ vật để khái niệm cộng trừ, tiếng xương Ishango Trung Phi, có từ năm từ 20.000 đến 18.000 năm trước công nguyên Những người Babylon rõ ràng có kiến thức vững gần lĩnh vực số học sơ cấp từ năm 1800 TCN, dù sử gia đoán điều qua phương pháp dùng để tính kết số học - ví dụ miếng đất sét Plimpton 322, danh sách định lý Pytago, người ta nghĩ danh sách Cũng vậy, cuộn giấy Toán học Rhind người Ai Cập (có từ khoảng 1650 TCN, rõ ràng chép lại từ văn khoảng 1850 TCN) cho thấy chứng phép tính cộng, trừ, nhân, chia hệ phân số đơn vị Nicomachus (khoảng năm 60 - 120) tóm lược lại ý niệm triết học Pytago số, mối quan hệ chúng với nhau, Giới thiệu Số học ơng Vào thời điểm đó, phép tính số học cịn rắc rối; khác với phương pháp mà dùng gọi "Phương pháp người Ấn" (tiếng Latinh Modus Indorum) Số học Ấn Độ đơn giản nhiều so với số học Hy Lạp hệ số Ấn Độ đơn giản hơn, có số khơng giá trị theo vị trí số Người Ả Rập học phương pháp gọi hesab Fibonacci (hay biết đến với tên Leonardo xứ Pisa) giới thiệu "Phương pháp người Ấn" vào châu Âu năm 1202 Trong Liber Abaci, Fibonacci nói rằng, so với phương pháp mới, tất phương pháp khác sai lầm Vào thời Trung Cổ, số học bảy môn nghệ thuật tự dạy trường đại học Ngày nay, số học đại hay lý thuyết số thường nghiên cứu miền ngun, vành giao hốn khác khơng, có đơn vị khơng có ước khơng, khái qt hóa vành  số ngun Các miền ngun đóng vai trị quan trọng số học miền Euclid (thế kỷ thứ trước Cơng ngun), miền chính, miền nhân tử hóa hay miền Gauss (1777-1855), Vành Noether (18821935) vành Dedekind (1831-1916) Trong năm vành kể trên, có bốn mang tên nhà tốn học mà cơng trình có đóng góp lớn để khai sinh phát triển vành Trong bốn nhà tốn học đó, trừ Euclid người Hy Lạp, lại Gauss, Dedekind Noether người Đức trụ cột lớn đại số đại, có số học đại Ở đây, hỏi thời Euclid vào kỷ thứ ba trước Công ngun làm có khái niệm vành, Euclid biết cơng trình hình học Euclid mà ta gọi hình học sơ cấp chương trình THPT nước ta nhiều nước, ta Euclid nhà số học hay đại số, lại có vành mang tên Euclid? Các tác phẩm vào bậc thầy số nguyên Euclid đặt móng vững cho phát triển môn số học, cách thức tìm ước chung lớn hai số mà ta gọi “thuật toán Euclid” Sau nhà toán học gọi vành Euclid cho vành có phép chia với dư phép chia với dư dẫn đến thuật tốn Euclid thực phép chia liên tiếp để ước chung lớn hai số nguyên Xuất phát từ nhu cầu phát triển lý thuyết số ứng dụng nó, chúng tơi định chọn đề tài với tên: Số học miền nguyên để tiến hành nghiên cứu Chúng hy vọng tài liệu tham khảo tốt cho người bắt đầu tìm hiểu Lý thuyết số miền ngun đặc biệt trình bày số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm góp phần làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu khái niệm tính chất số học miền nguyên miền Euclid, miền chính, miền Gauss, vành Noether vành Dedekind Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài số học số miền nguyên quan trọng Phạm vi nghiên cứu đề tài tính chất số học miền nguyên miền Euclid, miền chính, miền Gauss, vành Noether vành Dedekind Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến Số học miền nguyên Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Đóng góp đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến Số học miền nguyên nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Lý thuyết số miền nguyên đặc biệt Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, đưa số ví dụ minh hoạ đặc sắc nhằm làm cho người đọc dễ dàng tiếp cận vấn đề đề cập Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, phần nội dung luận văn gồm chương: Trong Chương 1, chúng tơi trình bày vành đa thức, số học vành này, nghiệm đa thức đa thức đối xứng Trong Chương 2, trình bày tính chất số học miền nguyên miền Euclid, miền miền Gauss Tính chất số học vành Noether, vành Dedekind phân tích ngun sơ trình bày Chương CHƯƠNG VÀNH ĐA THỨC Các khái niệm kết chương tìm thấy tài liệu [1], [2], [3], [5], [6], [8] 1.1 VÀNH ĐA THỨC Trong toàn chương này, ký hiệu A để vành giao hoán có đơn vị Định nghĩa 1.1.1 Một đa thức x vành A biểu thức có dạng f= a0  a1 x    an x n , a0 , , an  A an  n  Phần tử gọi hệ tử x i f Nếu hệ tử x i hạng tử x i bỏ đi, an gọi hệ số cao (hoặc hệ số dẫn đầu) f Đa thức dạng axn gọi đơn thức Giả sử f= a0  a1 x    an x n với an0 Khi ta nói f có bậc n viết deg(f)=n Ta quy ước bậc đa thức  Tập hợp tất đa thức x vành giao hoán A ký hiệu A[x] phần tử A[x] gọi đa thức biến x Đối với hai đa thức A n m f   x i , g   bi x i i 0 i0 phép cộng nhân xác định s f  g   (ai  bi ) x i , với s=max(m,n); i0 mn fg   ci xi , ck  i0  ab i j i j k Ta kiểm tra tập hợp A[x] với hai phép toán lập thành vành giao hốn có đơn vị Đóng vai trị phần tử không đa thức không phần tử đơn vị đa thức Định nghĩa 1.1.2 Vành A[x] nói gọi vành đa thức biến x với hệ số (hoặc hệ tử) A Mỗi phần tử A[x] gọi đa thức biến x Đa thức dạng axn gọi đơn thức Bổ đề 1.1.1 Nếu A miền nguyên f ( x), g ( x) hai đa thức khác không vành A[x] deg( f ( x).g ( x))  deg f ( x )  deg g ( x ) Chứng minh: Giả sử f= a0  a1 x    an x n ( an  ), g= b0  b1 x    bm x m ( bm  ) Khi fg= a0b0  (a0b1  a1b0 ) x    (an bm ) x n m Do A miền nguyên nên từ an  0, bm  suy anbm  Đó điều phải chứng minh Hệ 1.1.1 Nếu A miền nguyên A[x] miền nguyên Chứng minh: Giả sử f g đa thức khác có bậc tương ứng n m: f= a0  a1 x    an x n ( an  ), g= b0  b1 x    bm x m ( bm  ) Theo định nghĩa tích hai đa thức, ta có fg= a0b0  (a0b1  a1b0 ) x    (an bm ) x n m Vì A miền nguyên nên an  bm  kéo theo an bm  Như deg(f.g)=deg(f)+deg(g) Nói riêng, f  g  kéo theo fg  Hệ 1.1.2 Nếu A trường vành A[x] khác không phần tử khả nghịch có chúng Chứng minh: Thật vậy, f ( x) khả nghịch tồn g ( x)  A[ x ] cho f ( x).g ( x )  , deg f ( x )  deg g ( x )   deg f ( x)  0, hay f ( x) Điều ngược lại hiển nhiên Định lý 1.1.1 Vành đa thức A[x] có tính chất “phổ dụng” theo nghĩa sau: với vành B, phần tử t  B , đồng cấu vành  : A  B , tồn đồng cấu vành  : A[ x]  B cho  ( x)  t  mở rộng  Chứng minh: Xem [5] Phép dựng vành đa thức biến x mở rộng cho đa thức n biến x1 , , xn với hệ tử vành A Chúng ta định nghĩa quy nạp: A[ x1 , x2 , , xn ]  A[x1 , x2 , , xn1 ][xn ] Định nghĩa 1.1.3 [5] Cho A vành giao hốn có đơn vị Ta đặt: A1=A[x1], A2=A1[x2], …, An=An1[xn] Vành An ký hiệu A[x1, x2, …, xn] gọi vành đa thức n biến x1, x2, …, xn lấy hệ số vành A Một phần tử An gọi đa thức n biến x1, x2, …, xn lấy hệ số vành A ký hiệu f, g, …, hay f(x1, x2, …, xn), g(x1, x2, …, xn) cần rõ biến x1, x2, …, xn Từ định nghĩa, ta có dãy vành: A0 = A  A1  A2  …  An, Ai vành Ai+1, i=0,1,2, , n1 Bây ta xét vành A2=A1[x2]=A[x1, x2] Đó vành đa thức biến x2 lấy hệ số A1=A[x1] Theo định nghĩa, phần tử A2 có dạng: f  b0  b1 x2    bk x2k , br  A1 br  ar  ar1 x1    arjr x1jr , r  0,1,  , k (1.1) (1.2) Thế (1.2) vào (1.1) ý vành A, phép nhân phân phối phép cộng, ta suy f viết dạng: f  c1 x1r11 x2r12  c2 x1r21 x2r22    cm x1rm1 x2rm (1.3) đó, ciA ri1, ri2 số tự nhiên cho (ri1, ri2)  (rj1, rj2) với ij Các ci gọi hệ số ci x1r x2r gọi hạng tử đa thức f Đa thức i1 f=0 ci=0 với i i2 Bằng quy nạp, ta chứng minh đa thức fA[x1, …, xn] viết dạng: f  c1 x1r11  xnr1n    cm x1rm1  xnrmn (1.4) Với ciA ri1, , rin, i=1, , m số tự nhiên cho (ri1, , rin)  (rj1, , rjn) ij Các cj gọi hệ số, ci x1r  xnr gọi hạng tử đa i1 in thức f Đa thức f=0 hệ số tất Do hai đa thức f g chúng có hạng tử y Cho hai đa thức f, g, ta viết chúng dạng có số hạng tử: f  c1 x1r11  xnr1n    cm x1rm1  xnrmn g  d1 x1r11  xnr1n    d m x1rm1  xnrmn (ri1, , rin)  (rj1, , rjn) ij Theo định nghĩa phép cộng phép nhân vành A[x1, …, xn], ta có tổng, hiệu tích f g là: m f  g   (ci  d i ) x1ri1  xnrin , i 1 r  rj fg   ci d j x1i1 r  r jn  xnin , i, j  1,  , m i, j Chẳng hạn vành đa thức hai biến R[x, y ]  R[x][y ] đa thức f ( x, y ) có dạng f  k0  k1 y  k2 y   kn y n ki  ki ( x ) đa thức biến x 1.2 PHÉP CHIA EUCLIDE Giả thiết A miền nguyên, theo hệ 1.1.1,khi A[x] miền nguyên Trong mục ta trình bày tính chất số học miền nguyên A[x] Định nghĩa 1.2.1 Cho f, gA[x] Ta nói f chia hết g, kí hiệu f | g tồn hA[x] cho g=fh Khi ta nói f ước g g bội f , ký hiệu g  f Từ định nghĩa ta kiểm tra A[x] ta có: a) f, f | 0; b) f, f | f ; c) f, g, h, f | g g | h  f | h; d) f, g, h, f | g  f | gh; e) f, g, h, f | g f | h  f | (g+h); f) f, g, p, q, f | g p | q  fp | gq Quan hệ chia hết A[x] có tính phản xạ bắc cầu Nó khơng phản đối xứng, nhiên ta có: Mệnh đề 1.2.1 Giả sử A miền nguyên, f g hai đa thức khác A[x] Khi ta có: f | g g | f  uA, u | 1, g=uf Trong điều kiện ta nói g f liên kết Chứng minh: Xem [5] Mệnh đề 1.2.2 f | g  gA[x]  fA[x] Định lý 1.2.1 Giả sử A miền nguyên, f g hai đa thức thuộc A[x], g khác có hệ số cao ước Khi tồn hai đa thức q, rA[x] cho f=gq+r, deg r < deg g Đa thức q gọi thương đa thức r gọi dư phép chia Euclid f cho g Chứng minh: Xem [5] Ví dụ 1.2.1: Trong vành đa thức [x] , ta thực phép chia đa thức f  x6  x5  x4  x  x  cho đa thức g  x  x3  x  x  sau: x6  x5  x4  x  x  x  x3  x  x   x6  3x4  x3  x  x x2 2 x5  x  x  x  x   2 x5  x3  x  x  x  x3  x  x  Khi ta có thương q  x  phần dư r  x  x  x  x  Hệ 1.2.1 f chia hết cho g dư phép chia Euclid f cho g đa thức Với đa thức f  A[x], c A, f(c) giá trị đa thức f điểm c Hệ 1.2.2 (Định lý Bezout) Giả sử A miền nguyên, phần tử c  A nghiệm đa thức f  A[ x] f chia hết cho x  c vành A[x] Trong trường hợp này, ta nói c nghiệm f n Ta tìm thương dư phép chia đa thức f   x i cho xc i 0 n 1 thuật toán sau đây, gọi lược đồ Horner Ta viết q   b j x j r  A j 0 Bằng cách đồng hệ số, ta suy hệ số bj r cho bảng sau: c an an1 … an=bn1 an1 + cbn1 = bn2 … a1 a0 a1 + cb1 =b0 a0 + cb0 = r 1.3 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Định nghĩa 1.3.1 Giả sử A vành V, f  A[ x] có dạng f= a0  a1 x    an x n Phần tử c  V gọi nghiệm f f (c )  a0  a1c    anc n  10 Phần tử u  V gọi đại số A u nghiệm đa thức g  A[x] Trái lại u gọi phần tử siêu việt A Ví dụ 1.3.1: (1) Các phần tử thuộc vành sở A đại số (2) 11 đại số trường  Nó nghiệm đa thức x  11  [x ] Định lý 1.3.1 (Định lý nhân tử) Giả sử A miền nguyên, c  A Khi x  c ước đa thức p  A[ x ] p (c)  Chứng minh: Chia p cho x  c ta p  ( x  c )q ( x)  r ( x) với deg r  r  , nghĩa r  A[ x] Từ p (c)  r Vậy x  c ước p r  p(c)  Định lý nói x  c nhân tử f c nghiệm f Định lý 1.3.2 Một đa thức bậc n miền nguyên A có nhiều n nghiệm A Chứng minh: Quy nạp theo bậc n đa thức Một đa thức bậc số khác không nên vô nghiệm Giả sử định lý với đa thức bậc n  A, giả sử f  A[ x] đa thức bậc n Nếu f vơ nghiệm định lý Nếu f có nghiệm, ta gọi  nghiệm Theo định lý nhân tử ta viết f  (x   )g, dễ thấy deg g  n  Do miền ngun A khơng có ước khơng nên f (c )  (c   )  g (c )  Do nghiệm f  nghiệm g Theo giả thiết quy nạp, g có nhiều n  nghiệm, f có nhiều n nghiệm 36 S 1p  { a s | a  p, s  S} iđêan S 1 A khơng chứa đơn vị 1, S 1p iđêan thực Giả sử a s , b t  S 1 A cho ab st  S 1p Theo định nghĩa, tồn c  p, u  S cho: ab st  c u  (abu  cst )v  , với v  S Từ đẳng thức ta suy abuv  p Vì uv  S S  p   , nên uv  p Như vậy, p nguyên tố, ab  p , a  p b  p Nếu a  p a s  S 1p Nếu b  p b t  p Như vậy, S 1p iđêan nguyên tố S 1 A Đảo lại, giả sử q iđêan nguyên tố S 1 A Gọi p phận A gồm phần tử a cho tồn s  S , a s  q Rõ ràng p iđêan A q  S 1 A nên p  A Tương tự lập luận ta chứng minh p iđêan nguyên tố p  S   Theo định nghĩa, q  S 1p Như tương ứng: p  S 1p q  p, S 1p  q ánh xạ nghịch đảo bổ đề chứng minh Mệnh đề 3.1.3 Nếu A miền nhân tử hóa S tập đóng nhân khơng chứa phần tử S 1 A miền nhân tử hóa Mệnh đề 3.1.4 Nếu A miền chính, S tập đóng nhân khơng chứa phần tử 0, S 1 A miền Chứng minh: Ta biết S 1 A miền nguyên Giả sử a iđêan A Nếu S  a   S 1a chứa đơn vị S 1a  S 1 A iđêan sinh đơn vị Nếu S  a   S 1a iđêan thực S 1 A Vì A vành nên a iđêan sinh phần tử a Khi S 1a iđêan sinh a 37 3.2 IĐÊAN NGUYÊN SƠ Khái niệm iđêan nguyên tố tổng quát hóa khái niệm phần tử nguyên tố Khái niệm iđêan nguyên sơ tổng quát hóa lũy thừa phần tử nguyên tố Giả sử A vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 3.2.1 Iđêan q vành A gọi nguyên sơ q  A với x, y  A ta có: xy  q  x  q y n  q với n nguyên dương Theo định nghĩa, iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ Điều đảo lại không đúng, chẳng hạn, vành số nguyên , iđêan 4 nguyên sơ mà nguyên tố Phần tử a vành A gọi lũy linh tồn m nguyên dương cho a m  Sau đặc trưng tính chất nguyên sơ Mệnh đề 3.2.1 Iđêan q vành A nguyên sơ A q  {0} ước không A q lũy linh Chứng minh: () Nếu x  a  q ước khác không khơng A q tồn phần tử khác không y  b  q  A q cho xy  ab  q  q Theo định nghĩa, ab q b q nên tồn n nguyên dương cho a n  q Khi x n  A q , nghĩa x lũy linh () Giả sử ab q a q Khi y  b  q ước không A q Theo giả thiết, tồn n nguyên dương cho y n  A q , nghĩa b n q Vậy q nguyên sơ Mệnh đề 3.2.2 Giả sử f : A  B đồng cấu vành, q iđêan nguyên sơ B Khi f 1 (q) iđêan nguyên sơ A Với iđêan q vành A, ký hiệu: 38 r (q)  {x  A | n  0, x n  q} gọi iđêan q Bổ đề 3.2.1 Căn q giao iđêan nguyên tố chứa q Khi r (q) iđêan nhỏ chứa iđêan nguyên tố chứa q Mệnh đề 3.2.3 Nếu q nguyên sơ q iđêan nguyên tố bé chứa q Mệnh đề 3.2.4 Nếu r (q) iđêan tối đại, q iđêan nguyên sơ Đặc biệt, lũy thừa iđêan tối đại m m  nguyên sơ Về mối quan hệ iđêan nguyên sơ vành A vành thương A, ta có: Mệnh đề 3.2.5 Giả sử S tập đóng nhân A, q iđêan p  nguyên sơ Khi đó, ta có: (a) Nếu S  p   , S 1q  S 1 A (b) Nếu S  p   , S 1q S 1p  nguyên sơ Suy từ (a) (b) iđêan nguyên sơ A mà chúng không giao với S tương ứng  với iđêan nguyên sơ vành S 1 A n Bổ đề 3.2.2 Nếu qi , i  1, , n iđêan p  nguyên sơ, iđêan q  qi i1 p  nguyên sơ n Chứng minh: Ta có r (q)  r (qi )  p Giả sử xy  q x q Khi tồn i để i 1 xy  qi x  qi Vì qi nguyên sơ nên y  r (qi )  p Do q nguyên sơ Với iđêan q vành A, x  A ta kiểm tra tập hợp: (q : x )  {a  A | ax  q} iđêan vành A chứa q Bổ đề 3.2.3 Giả sử q iđêan nguyên sơ A x  A Khi ta có: a) Nếu x q (q : x )  A b) Nếu x q (q : x ) p  nguyên sơ r (q : x )  p 39 c) Nếu x  p (q : x)  q Định nghĩa 3.2.2 Một phân tích nguyên sơ iđêan a vành A biểu diễn a giao hữu hạn iđêan nguyên sơ: n a  qi , qi nguyên sơ i1 Nếu r (qi ) đôi khác không tồn i cho qi chứa q j , j i phân tích ngun sơ gọi tối tiểu Ta ln quy phân tích nguyên sơ dạng tối tiểu Ta nói iđêan a phân tích có phân tích ngun sơ n Bổ đề 3.2.4 (a) Nếu p1 , , pn iđêan nguyên tố iđêan a  pi , tồn i1 i, a  pi n (b) Nếu q1 , , qm iđêan, p iđêan nguyên tố, p  qi p  qi i 1 với i Định lý 3.2.1 (Định lý thứ phân tích nhất) Giả sử a n iđêan phân tích giả sử a  qi phân tích nguyên sơ tối tiểu a i1 Giả sử r (qi )  pi , i  1, , n Khi iđêan nguyên tố pi thuộc vào tập hợp r (a : x ), x  A độc lập với phân tích a Trong phân tích nguyên sơ tối tiểu iđêan a trên, iđêan nguyên tố pi gọi liên kết với a Một iđêan a nguyên sơ có iđêan nguyên tố liên kết Trong tập hợp iđêan nguyên tố liên kết với a , iđêan tối tiểu gọi iđêan nguyên tố liên kết cô lập Mệnh đề 3.2.6 Giả sử a iđêan phân tích Khi iđêan nguyên tố chứa a chứa iđêan nguyên tố cô lập liên kết với a , iđêan ngun tố lập liên kết với a phần tử tối tiểu tập hợp iđêan nguyên tố chứa a 40 n Mệnh đề 3.2.7 Giả sử a  qi phân tích nguyên sơ tối tiểu r (qi )  pi i1 Khi đó: n p i  {x  A | (a : x)  a} i 1 Đặc biệt iđêan {0} phân tích tập hợp D ước khơng A hợp iđêan nguyên tố liên kết với {0} Định nghĩa 3.2.3 Giả sử a iđêan phân tích iđêan nguyên tố liên kết với a  tập hợp gọi cô lập với p' liên kết với  a p' chứa p   p'   Giả sử  S  A\  p Khi tập hợp lập iđêan nguyên tố liên kết với a S đóng nhân A, với iđêan nguyên tố p' liên  p kết với a , ta có: p'    p'  S   p'    p'  p  p '  p  S   n Giả sử a  qi phân tích nguyên sơ tối tiểu a Đánh số lại, ta giả i1 thiết   {p , , p m } tập hợp cô lập iđêan nguyên tố liên kết với a Khi ta có: m Định lý 3.2.2 (Định lý thứ hai tính nhất) Giao qi khơng phụ thuộc i1 vào phân tích a Hệ 3.2.1 Các thành phần nguyên sơ ( nghĩa thành phần nguyên sơ có nguyên tố tối tiểu ) xác định a 41 3.3 VÀNH NOETHER Định nghĩa 3.3.1 Một vành A vành Noether iđêan A hữu hạn sinh Mệnh đề 3.3.1 Các điều kiện sau vành A tương đương: (a) A vành Noether (b) Mỗi dây chuyền tăng iđêan a1  a   a n  dừng, nghĩa là, nghĩa tồn số n cho a n  a n1  (c) Mỗi tập hợp S không rỗng iđêan A chứa phần tử tối đại, nghĩa là, tồn iđêan S khơng thực chứa iđêan S Chứng minh: (a )  (b) : Đặt a  a i iđêan hữu hạn sinh, gọi a  (a1 , , ar ) Với n đó, a n chứa tất , a n  a n1   a (b)  (c ) : Lấy a1  S Nếu a1 không phần tử tối đại S , tồn phần tử a  S , a1  a Nếu a khơng tối đại tồn phần tử a , v.v Từ (b), ta thấy tiếp tục trình dẫn đến phần tử tối đại sau nhiều bước hữu hạn (c )  (a ) : Lấy a iđêan A S tập iđêan hữu hạn sinh chứa a Khi S khơng rỗng chứa iđêan khơng chứa phần tử tối đại gọi a '  (a1 , , ar ) Nếu a '  a tồn phần tử a a \ a ' (a1 , , ar , a ) iđêan hữu hạn sinh a thực chứa a ' Điều mâu thuẫn với định nghĩa a ' Một định lý tiếng Hilbert phân biệt K [ x1 , , xn ] Noether Trong thực hành, hầu hết tất vành xuất tự nhiên Lý thuyết số hình học đại số Noether, khơng phải tất Noether Chẳng hạn, vành K [ x1 , , xn , ] đa thức dãy vô hạn ký hiệu không 42 Noether dây chuyền iđêan ( x1 )  ( x1 , x2 )  ( x1 , x2 , x3 )  không dừng Mệnh đề 3.3.2 Mỗi phần tử khác đơn vị khác khơng miền ngun Noether phân tích thành tích phần tử bất khả quy Chứng minh: Giả sử với phần tử a, b miền nguyên A, (a )  (b)  b | a , với đẳng thức b  a  nhóm Sự khẳng định rõ ràng Tiếp theo ý a  bc b  ad a  bc  adc dc  Do c d đơn vị Giả sử phát biểu mệnh đề 3.3.2 sai miền nguyên Noether A Khi tồn phần tử a  A mâu thuẫn với giả thiết (a ) cực đại số iđêan sinh phần tử ( ta xét A Noether ) Vì a khơng thể phân tích thành phần tử bất khả quy a  bc , với b, c khác đơn vị Rõ ràng (b)  ( a ) iđêan c khác, đơn vị Từ tính tối đại (a ) ta suy b viết thành tích phần tử bất khả quy, tương tự cho c Do a tích phần tử bất khả quy, điều mâu thuẫn Mệnh đề 3.3.3 Vành thương vành Noether Noether Ảnh đồng cấu vành Noether vành Noether Chứng minh: Khẳng định thứ hai cách phát biểu khác khẳng định thứ Để chứng minh khẳng định thứ nhất, ta giả sử a iđêan vành A, iđêan vành thương A a có dạng b a , b iđêan vành A chứa a Theo giả thiết b sinh hữu hạn phần tử, chẳng hạn, a1 , , am Khi b a sinh ảnh phần tử vành thương A a Mệnh đề 3.3.4 Vành thương vành Noether vành Noether Chứng minh: Giả sử q iđêan vành S 1 A a tập hợp phần tử a  A , cho, tồn s  S , a s  q Khi a iđêan A ta có q  S 1a Theo giả thiết, a sinh hữu hạn phần tử, chẳng hạn, a1 , , am Khi q sinh phần tử a1 1, , am 43 Định lý sau kết quan trọng đại số giao hoán: Định lý 3.3.1 (Định lý Hilbert sở) Vành đa thức biến lấy hệ tử vành Noether vành Noether Chứng minh: Giả sử B iđêan A[ x] Với m , ký hiệu Qm phần tử a  A cho có đa thức a0  a1 x   am x m thuộc B Rõ ràng Qm iđêan A ta có dãy tăng iđêan: Q0  Q1   Qm  Vì A Noether nên dãy hữu hạn, chẳng hạn, Qr  Qr 1  Giả sử: Q0  ( a01 , , a0 n ) … Qr  ( ar , , arn ) r Đối với i  0, , r ; j  1, , n j , ta đặt f ij đa thức thuộc B bậc i với hệ tử cao aij Ta chứng tỏ f ij hệ sinh B Giả sử f  B , bậc d Bằng quy nạp theo d , ta chứng minh f nằm iđêan sinh f ij Nếu d  r , ý hệ tử cao đa thức: x d  r f r1 , , x d  r f rn r sinh Qd , tồn c1 , , cn  A cho đa thức: r f  c1 x d  r f r1   cn x d  r f rn r r có bậc  d Hơn đa thức thuộc B Nếu d  r , ta thu đa thức bậc  d nằm B cách trừ tổ hợp tuyến tính đó: f  c1 f d   cn f dn d d Chú ý đa thức mà ta lấy f trừ nó, nằm iđêan sinh f ij Theo quy nạp ta tìm đa thức g thuộc iđêan sinh f ij cho f  g  , nghĩa f  g thuộc iđêan sinh f ij 44 Hệ 3.3.1 Giả sử A vành Noether A[ x1 , , xn ] A  đại số hữu hạn sinh Khi A[ x1 , , xn ] Noether Chứng minh: Theo quy nạp, từ định lý 3.3.1, ta suy vành đa thức A[ x1 , , xn ] Noether Xem A[ x1 , , xn ] vành thương A[ x1 , , xn ] sử dụng mệnh đề 3.3.3, ta suy A[ x1 , , xn ] Noether 3.4 SỰ PHÂN TÍCH NGUYÊN SƠ TRONG VÀNH NOETHER Định nghĩa 3.4.1 Iđêan q bất khả quy nếu: q  b  c  q  b q  c Bổ đề 3.4.1 Trong vành Noether A, iđêan giao hữu hạn iđêan bất khả quy Bổ đề 3.4.2 Trong vành Noether A, iđêan bất khả quy nguyên sơ Chứng minh: Chuyển qua vành thương, cần chứng minh iđêan (0) bất khả quy ngun sơ Giả sử xy  y  Bộ phận: Ann( x)  {a  A | ax  0} iđêan vành A, chứa y Ta có dãy tăng iđêan: Ann( x)  Ann( x )  Vì A Noether, nên tồn n cho: Ann( x n )  Ann( x n1 )  Với a  ( x n )  ( y ) , ta có a  bx n a  cy Do bx n1  b  Ann( x n 1 )  Ann( x n ) Vậy a  ( x n )  ( y )  Vì (0) iđêan bất khả quy y  nên x n  (0) nguyên sơ Từ bổ đề 3.4.1 3.4.2 ta suy ra: Định lý 3.4.1 Trong vành Noether iđêan có phân tích ngun sơ Định lý 3.4.2 Giả sử A vành Noether a iđêan khác A Khi ta có: (a) Tồn phân tích nguyên sơ tối tiểu: a  q1   qr 45 (b) Nếu có phân tích ngun sơ tối tiểu khác a  q1'   q's r  s Tập hợp iđêan nguyên tố tương ứng với q1 , , qr q1' , , q'r Tập hợp gọi tập hợp iđêan nguyên tố liên kết với a (c) Nếu {p1 , , pm } tập hợp iđêan ngun tố lập liên kết với a qi  qi' , i  1, , m Nói cách khác, thành phần nguyên sơ thuộc vào iđêan nguyên tố cô lập xác định 3.5 VÀNH DEDEKIND Mệnh đề 3.5.1 Những điều kiện sau miền iđêan A tương đương: (a) A có iđêan ngun tố khác khơng (b) A có phần tử nguyên tố (c) A địa phương trường Định nghĩa 3.5.4 Vành thỏa mãn điều kiện gọi vành định giá rời rạc Ví dụ 3.5.1: Vành  ( p )  { m   | n không chia hết cho p} vành định giá rời rạc với n ( p ) iđêan nguyên tố khác không Phần tử đơn vị  ( p ) phần tử khác không m n với m n không chia hết cho p phần tử nguyên tố thành lập từ đơn vị  p Trong vành định giá rời rạc A với phần tử nguyên tố  , phần tử khác không A biểu diễn um với u đơn vị m  ( m  phần tử đơn vị) Mỗi iđêan khác khơng A có dạng (m ) với m   Do a iđêan A p iđêan tối đại A, a  pm với số nguyên m  Nhắc lại rằng, A  môđun M , m  M , làm không m : Ann(m)  {a  A | am  0} 46 iđêan A, điều thực m  Giả sử A vành định giá rời rạc c phần tử khác không A Đặt M  A (c ) Ta định nghĩa làm không phần tử khác không b  (c) M Cố định phần tử nguyên tố  A đặt c  u m , b  vn với u , v đơn vị Khi n  m (ngược lại b  (c)  M ) và: Ann(b  (c))  (m  n ) Do a, b Ann(b  (c)) tối đại, biểu diễn dạng vm 1 trường hợp Ann(b  (c)) iđêan nguyên tố sinh c Chúng ta nghiên cứu b vấn đề chứng minh mệnh đề tiếp theo, cho ta tiêu chuẩn vành để trở thành vành định giá rời rạc Mệnh đề 3.5.2 Một miền nguyên A vành định giá rời rạc khi: (a) A Noether, (b) A đóng nguyên, (c) A có iđêan nguyên tố khác không Chứng minh: Sự cần thiết ba điều kiện rõ ràng, A miền nguyên thỏa mãn (a), (b) (c) Ta cần iđêan A Đầu tiên, ta chứng iđêan nguyên tố khác khơng Chú ý từ (c) suy A vành địa phương Chọn phần tử c  A, c  0, c khác đơn vị xét A  mơđun M có dạng A (c) Với phần tử khác không m M , phận Ann(m)  {a  A | am  0} iđêan nguyên sơ A Vì A Noether, nên ta chọn m cho Ann( m) tối đại Viết m  b  (c ) p  Ann(b  (c)) Chú ý c  p p khác không p = {a  A | c | ab} Giả sử p nguyên tố Nếu không tồn phần tử x, y  A cho xy  p với x, y không thuộc p Khi yb  (c ) phần tử khác khơng M y  p Xét Ann( yb  (c)) Rõ ràng chứa p x , điều mâu thuẫn với tính 47 tối đại p số iđêan có dạng Ann( m) Do p nguyên tố Giả sử b b c c  A Mặt khác b  c  (c) , m  (trong M ) Giả sử  A p  ( ) c c b b b Theo định nghĩa pb  (c) p  A , iđêan A Nếu c b b b p  p , nguyên tố A (từ p hữu hạn sinh)  A (theo c c c điều kiện (b)), ta biết b b  A Do p  A (theo (c)) điều kéo c c c theo p  ( ) b Đặt   c , p  ( ) Xét a iđêan nguyên sơ A, xét dãy: b a  a1  a2  Nếu a r  a r 1 với r đó, 1 (a r )  a r 1 nguyên A nằm A, điều xảy (  không đơn vị A ) Do dãy tăng ngặt, A Noether nên khơng thể chứa A Xét m số nguyên nhỏ thỏa mãn a m  A a m 1  A Do a m  p a m  A Do a  (m ) Định nghĩa 3.5.5 Một vành Dedekind miền nguyên A, không trường, thỏa mãn: (a) A Noether, (b) A đóng nguyên, (c) iđêan nguyên tố khác không tối đại Do theo mệnh đề 3.5.2, ta thấy miền nguyên địa phương vành Dedekind vành định giá rời rạc Mệnh đề 3.5.3 Cho A vành Dedekind S tập đóng nhân A Khi S 1 A vành Dedekind trường 48 Chứng minh: Điều kiện (c) khơng có quan hệ bao hàm iđêan nguyên tố khác không A Nếu điều xảy A xảy S 1 A Điều kiện (a) (b) theo sau từ bổ đề Mệnh đề 3.5.4 Cho A miền nguyên S tập đóng nhân A (a) Nếu A Noether S 1 A Noether, (b) Nếu A đóng ngun S 1 A Chứng minh: (a) Cho a iđêan S 1 A Khi đó: a  S 1 (a  A) a sinh tập sinh (hữu hạn) a  A (b) Cho  phần tử trường thương A (  trường thương S 1 A ) nguyên S 1 A Khi đó:  m  a1 m 1   am  0, với  S 1 A Với i , tồn si  S cho si  A Tập s  s1 sm  S nhân s m vào phương trình ta có: ( s) m  sa1 ( s ) m 1   s m am  Phương trình cho thấy s nguyên A nằm A Do   ( s)  S 1 A s Hệ 3.5.1 Với iđêan nguyên tố khác không p vành Dedekind A, vành địa phương hóa Ap vành định giá rời rạc Chứng minh: Ta thấy Ap địa phương mệnh đề kéo theo Dedekind 49 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu số học miền nguyên, luận văn hoàn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: Trình bày cách chi tiết có hệ thống số học vành đa thức,nghiệm đa thức đa thức đối xứng Tổng quan hệ thống cách đầy đủ ví dụ minh họa đặc sắc  Số học miền nguyên;  Số học miền chính;  Số học miền Euclid;  Số học miền Gauss Trình bày cách đầy đủ chi tiết qua ví dụ minh họa chọn lọc  Vành thương tính chất nó;  Iđêan nguyên sơ, tổng quát hóa phần tử nguyên tố, phân tích nguyên sơ;  Số học vành Noether,đó tính chất vành Noether phân tích nguyên sơ vành Noether Với khảo sát được, luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu số học miền nguyên Trong điều kiện thời gian khuôn khổ luận văn, chưa đề cập đến việc nghiên cứu lớp vành Artin chưa có điều kiện nghiên cứu nhiều vành Dedekind Đó hướng phát triển luận văn Trong q trình thực luận văn, có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan lực có hạn nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả luận văn mong nhận góp ý chân thành q thầy bạn đọc để hồn thiện tốt hơn, tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] G Birkhoff, S Maclane (1979), Tổng quan đại số đại (Bản dịch tiếng Việt), NXB Đại học THCN, Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Việt Hưng (2004), Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Hồng Xn Sính (1995), Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Hoàng Xuân Sính (2001), Số đại số, NXB Giáo dục, Hà Nội [5] Phan Doãn Thoại (2002), Số học miền nguyên, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội TIẾNG ANH [6] M Hazewinkel, N Gubareni, V.V Kirichenko (2005), Algebras, Rings and Modules, Kluwer Academic Publishers [7] J.S Milne (2011), Algebraic Number Theory, www.jmilne.org/math/ [8] V Shoup (2005), A Computational Introduction Number Theory and Algebra, Cambridge University Press (www.cambridge.org/9780521851541) ... sắc  Số học miền nguyên;  Số học miền chính;  Số học miền Euclid;  Số học miền Gauss Trình bày cách đầy đủ chi tiết qua ví dụ minh họa chọn lọc  Vành thương tính chất nó;  Iđêan nguyên. .. chất số học miền nguyên miền Euclid, miền chính, miền Gauss, vành Noether vành Dedekind Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến Số học miền nguyên. .. khái niệm tính chất số học miền nguyên miền Euclid, miền chính, miền Gauss, vành Noether vành Dedekind Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài số học số miền nguyên quan trọng