Chuyên đề 19 giải toán bằng cách lập phương trình

Chun đề 19 GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức cần nhớ Bước 1: Lập phương trình:  Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;  Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết;  Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thỏa mãn điều kiện ẩn, nghiệm khơng, kết luận B Một số ví dụ Ví dụ Quãng đường AD gồm ba đoạn AB; BC CD Lúc sáng người ô tô từ A với vận tốc 60km/h đến B lúc 7giờ 30phút, sau tiếp đoạn đường BC vận tốc 50km/h Cùng lúc sáng người xe máy từ C với vận tốc 35km/h để đến D Biết thời gian người xe máy đến D nhiều thời gian người ô tô từ B đến c 24 phút quãng đường BC ngắn quãng đường CD 40km Tính qng đường AD * Tìm cách giải: Đây tốn chuyển động Có ba đại lượng: Quảng đường (s), vận tốc (v) thời gian (t) Quan hệ đại lượng sau: s = v.t ; v = s : t; t = s : v Đoạn đường AD gồm ba đoạn Đoạn AB biết độ dài (do biết vận tốc 60km/h thời gian 0,5 giờ) nên cần tính đoạn BD Do ta chọn ẩn sổ x (km) độ dài đoạn BD Do quãng đường BC ngắn quãng đường CD 40km mà tổng hai đoạn đường x km nên độ dài đoạn CD x + 40 x - 40 km BC km x Ta phải tìm thời gian xe máy đoạn đường CD thời gian ô tô đoạn đường BC để lập phương trình Giải Thời gian xe hết quãng đường AB 30 phút - = 30 phút = 0,5 h Ta có quãng đường AB dài 60 0,5 = 30(km) Gọi quãng đường BD x(km); x > 40 Do đoạn CD dài BC 40km; tổng hai đoạn đường x (km) nên: x - 40 x + 40 (km); đoạn đường CD dài (km) x  Đoạn đường BC dài  Thời gian ô tô đoạn BC x - 40 : 50 (h) x  Thời gian ô tô đoạn CD x + 40 : 35 (h) 24 phút = 1,4 Theo ta có phương trình:  x + 40 x - 40 =1, ( 1) 70 100 Giải phương trình: ( 1) Û 10x + 400 - x + 280 = 980 Û x = 300 Û x = 100 Giá trị phù hợp với điều kiện ấn vậy: Quãng đường BD dài 100 km quãng đường AD dài 100 + 30 = 130 (km) Chú ý: Cách khác: Gọi thời gian xe máy từ C đến D x (giờ) thời gian tơ từ B đến C x - 1, (giờ) Quãng đường CD dài 35x (km), quãng đường BC dài ( x - 1, 4) 50 Ta có phương trình ( x - 1, 4) 50 = 35 x - 40 Giải phương trình x = (bạn đọc tính tiếp) Ví dụ Trên qng sơng AB dài 48km, ca nô xuôi từ A đến B quay trở lại đỗ địa điểm C giũa A B Thời gian ca nô xuôi ngược dòng hết tất 30 phút Tính vận tốc riơng ca nơ biết bè nứa thả trơi sơng 15 phút trơi km * Tìm cách giải: - Đây toán chuyển động liên quan đến chuyến động xi, ngược dịng nước (hoặc xi gió, ngược gió) Nếu gọi vận tốc xuôi v x; vận tốc ngược v n ; vận tốc riêng động vr vận tốc dòng nước (hoặc giỏ) vx = vr + vdn ; = vr - vdn vx - = 2vdn  Quãng sông ca nô xuôi 48km ngược 48: = 24km Vận tốc bè nứa trơi vận tốc dịng nước  Chọn ẩn số x vận tốc riêng ca nô, ta tìm thời gian xi ngược để lập phương trình Giải 15 phút = 0,25 giờ; 30 phút = 3,5 Vận tốc bè nứa trôi 1: 0,25 = (km/h) vận tốc dịng nước Gọi vận tốc riêng ca nô x (km/h); x > Thì vận tốc ca nơ xi dịng x + (km/h), vận tốc ca nơ ngược dịng x - (km/h) Thời gian ca nơ xi dịng Theo ta có phương trình: 48 24 (h) ngược dịng (h) x +4 x- 48 24 + = 3,5 ( 1) x +4 x -  Giải phương trình (1): biến đổi thành 48 x - 192 + 24 x + 96 = 3,5 x - 56 Û 3,5 x - 72 x + 40 = Û x - 144 x +80 = éx = 20 ê Û x - 14 x - x + 80 = Û ( x - 2) ( x - 4) = Û ê êx = ê ë Trong hai giá trị x = 20 thỏa mãn điều kiện đầu Vậy vận tốc riêng ca nơ 20km/h Ví dụ Hai xưởng sản xuất làm sản phẩm, số sản phẩm xưởng thứ làm ngày nhiều số sản phẩm xưởng thứ hai làm ngày 140 sản phẩm Biết suất lao động xưởng thứ xưởng thứ hai 65 sản phẩm/ngày Tính suất lao động xưởng  Tìm cách giải: Bài toán thuộc loại toán Năng suất lao động Có ba đại lượng:  Khối lượng cơng việc: (K)  Thời gian hồn thành cơng việc (t)  Năng suất lao động: (lượng cơng việc hồn thành đơn vị thời gian) (N) Quan hệ dại lượng sau: K = Nt; t = K : N N = K: t Trong suất lao động xưởng số sản phẩm xưởng làm ngày, ta chọn ẩn X từ hai suất lao động Khối lượng công việc xưởng số sản phẩm xưởng thứ làm ngày, xưởng thứ hai làm ngày Lập phương trình từ việc so sánh hai khối lượng công việc Giải Gọi suất lao động xưởng thứ x (sản phẩm /ngày); ( x Ỵ  ; x > 65) suất lao động xưởng thứ hai ( x - 65) (sản phẩm/ngày) Trong năm ngày xưởng thứ làm 5x (sản phẩm), sáu ngày xưởng thứ hai làm ( x - 65) (sản phẩm) Theo ta có phương trình: x - ( x - 65) = 140 (1) Giải phương trình: (1) Û x - x + 390 = 140 Û x = 250 (thỏa mãn điều kiện) Vậy: Năng suất lao động xưởng thứ 250 sản phẩm /ngày Năng suất lao động xưởng thứ hai 250 - 65 = 185 (sản phẩm /ngày) Ví dụ Hai vịi nước chảy vào bể cạn thời gian 48 phút bể đầy Nếu vịi thử chảy giờ, vịi thứ hai chảy tiếp đầy 17 bể Hỏi 24 nêu vịi chảy sau bể đầy?  Tìm cách giải - Đây tốn cơng việc đồng thời (làm chung, làm riêng công việc) - dạng đặc biệt toán suất lao động Khối lượng công việc không cho dạng số lượng cụ thể Bởi ta quy ước cơng việc cần hồn thành Tùy nội dung toán cụ thể mà ta quy ước đại lượng làm đơn vị (1 bể nước, mương, cánh đồng, đường, ) Đơn vị suất lao động công việc / đơn vị thời gian Năng suất lao động chung tổng suất lao động riêng cá thể - Ở tốn trên, cơng việc cụ thể bể nước (lượng nước làm đầy bể) Nếu vòi chảy sau a đầy bể suất (lượng nước chảy giờ) đầy bể suất bể/giờ Năng suất chung b bể/giờ Nếu vòi khác chảy mỡnh sau b a ổ1 ỗ + ữ ữ ỗ ữ(b/gi) ỗ ốa b ứ Gii 24 đầy bể hai vòi chảy chung bể nước 24 Hai vòi chảy chung 48 phút = ỉ 24 x> ÷ ÷ Gọi thời gian vòi thứ hai chảy mỡnh y b l x gi ỗ , thỡ gi vũi th hai chy c b ỗ ữ ỗ è 5ø x nước ỉ5 - ÷ ÷ Vũi th nht chy mt mỡnh gi c ỗ ç ÷bể nước ç è24 x ø ỉ5 17 - ÷ + ÷ Ta có phương trình 3ỗ ỗ ữ x = 24 ỗ ố24 x ứ ( 1) Giải phương trình: (1) Û 15 x - 72 + 96 = 17 x Û x = 24 Û x = 12 Giá trị phù họp với điều kiện ẩn Vậy thời gian vòi thứ hai chảy đầy bể 12 ỉ5 1ư ÷ = 1: = (giờ) Thời gian vịi thứ chảy đầy bể 1: ỗ ữ ỗ ữ ỗ24 12 ứ ố Ví dụ Năm ngối sơ kg thóc thu hoạch ruộng thứ số kg thóc thu hoạch thứ hai Năm nhờ cải tiến kỹ thuật thứ thu hoạch tăng 20%; thứ hai thu hoạch tăng 30% hai thu hoạch 1320kg Tìm số tạ thóc thu hoạch năm  Tìm cách giải: Đây dạng tốn liên quan đến tỷ số tỷ số % Thu hoạch tăng a% tức thu hoạch (100 + a)% Ta phải tìm số thóc thu hoạch năm Ẩn sổ ta nên chọn số thóc thu hoạch hai năm trước đại lượng quan hệ: tỷ số sổ thóc thu hoạch hai ruộng năm trước tỷ số % tăng so với năm trước Giải Gọi số thóc thu hoạch năm ngối thứ hai x (kg) (x > 0) x (kg) Số thóc thu hoạch năm ngối thứ Số thóc thu hoạch năm thứ hai 130% x (kg) Số thóc thu hoạch năm thứ 120% x (kg) Theo ta có phương trình: 120% x +130% x =1320 ( 1) Giải phương trình: ( 1) Û 120 130 x + x = 1320 100 100 Û x +13 x = 13200 Û 22 x = 13200 Û x = 600 Giá trị x thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy số thóc thứ hai thu hoạch năm 130%.600 = 780 (kg) = 7,8 (tạ), số thóc thứ thu hoạch năm 1320 - 780 = 540 (kg) = 5,4(tạ) Chú ý: Ta chọn x số thóc thu hoạch năm thứ Khi ta có phương trình: x.100 ( 1320 - x ) 100 = 120 130 Giải x = 540 (bạn đọc tự giải) Ví dụ Một số có bốn chữ số có chữ số hàng đơn vị Nên chuyển chữ số lên đầu giữ ngun ba chữ số cịn lại số lớn số ban đầu 3222 đơn vị Tìm số có chữ số  Tìm cách giải: Bài toán liên quan đến cấu tạo số Số có chữ số abcd ( a, b, c, d Ỵ ;0 < a £ 9;0 £ b, c, d £ 9) có abcd = 1000a +100b+10c + d = 1000a + bcd = abc.10 + d Chuyển d lên khai đầu triển số dabc = 1000d + abc Trong chữ số abc khơng thay đổi thứ tự xếp nên ta chọn làm ẩn số x Giải Gọi số có ba chữ số trước chữ số hàng đơn vị x ( x Ỵ ;100 £ x 3) , số dãy ghế sau xếp lại x - Số ghế hàng ban đầu 300 (chiếc) x Số ghế hàng sau xếp lại Theo ta có phương trình: 300 + 23 (chiếc) x- 300 300 + 23 +4 = x x- ( 1) Giải phương trình: (1) Þ 300x - 900 + x - 12 x - 323x = Û x - 35 x - 900 = Û ( x - 20) ( x + 45) = éx - 20 = Û ê Û ê ë4 x + 45 = éx = 20 ê ê 45 êx =ê ë Ta thấy x = 20 thỏa mãn điều kiện ẩn, vậy: Số hàng ghế ban đầu 20; số ghế hàng ban đầu 300: 20 = 15 Ví dụ Biết 445g đồng tích 50cm 3; 175g kẽm tích 25cm Một hợp kim đồng kẽm nặng 1,4kg tích 181 cm3 Tính khối lượng đồng kẽm hợp kim  Tìm cách giải: Bài tốn có nội dung Vật lý Có ba đại lượng: Khối lượng (m); khối lượng riêng (D) thể tích (V) Khối lượng riêng khối lượng đơn vị thể tích Quan hệ ba đại lượng là: D = m: V; m = D.V; V = m:D Bài tốn u cầu tìm khối lượng đồng, khối lượng kẽm có hợp kim Khối lượng hợp kim tổng khối lượng đồng kẽm Thể tích hợp kim tổng thể tích khối đồng kẽm Ta chọn hai khối lượng đồng kẽm làm ẩn Giải Khối lượng riêng đồng là: 445: 50 = 8,9 (g/cm3); Khối lượng riêng kẽm là: 175: 25 = (g/cm3); 1,4kg = 1400g Gọi khối lượng đồng hợp kim x g (x < 1400) khối lượng kẽm hợp kim ( 1400- x ) g Thể tích đồng x 1400 - x (cm3); Thể tích kẽm (cm3); 8,9 Theo ta có phương trình: x 1400 - x + = 181 ( 1) 8,9 Giải phương trình: (1) Û x +12460 - 8,9 x = 11276,3 Û - 1,9 x =- 1183, Û x = 623  Giá trị x thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy khối lượng đồng 623 g kẽm 1400 - 623 = 777 (g) Ví dụ 10 Khối trường THCS có số lớp nhiều 2, tổ chức trồng cây: Lớp thứ trồng số lại Lớp thứ hai trồng tiếp 10 số lại Lớp thứ ba trồng tiếp 15 số lại Cử trồng đến lớp cuối vừa hết số số lớp trồng Tính số mà khối trồng số lớp khối tham gia trồng Tìm cách giải Đây tốn hay khó Cách phân bổ trồng: Lớpthứ trồng trồng tiếp 5.3 1 số cịn lại Lóp thứ hai trồng tiếp 5.2 lại Lớp thứ ba 5 số số lại Ta lưu ý lớp cuối vừa hết số đặc biệt số lóp trồng Vì ta chọn ẩn x toàn số mà khối trồng cần tìm số lóp thứ trồng, số lớp thứ hai trồng có phương trình Giải Gọi tổng số khối trồng là: x cây; ( x Ỵ  *) 1 Số lớp thứ trồng là: + ( x - 5) = x + (cây) 5 ỉ x + 4÷ ÷ Số cịn lại sau lp th nht trng : x - ỗ ç ÷= x - (cây) ç è5 ø ỉ4 36 x - - 10÷ = x+ ÷ Lớp thứ hai trồng là: 10 + ç ç ÷ ç ø 25 è5 Do số lóp trồng nên ta có phương trình: 36 x +4 = x + (1) 25 Giải phương trình ( 1) Û 16 x = Û x = 80 25 Giá trị thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy so khối trồng 80 Mỗi lớp trồng: 80 + = 20 (cây) Þ Số lớp tham gia trồng cây: 80: 20 = (lớp)  Nhận xét: Ta cách giải khác đơn giản hơn: Gọi số lớp tham gia trồng y ( y Ỵ ; y > 2) Do lớp cuối trồng hết số nên lớp cuối trồng 5y + (cây) Do số lóp trồng nên lóp trồng 5y y lớp trồng tất cà Số lớp thứ trồng + y2 - = y2 + Ta có phương trình y + = y Û y - y + = éy = Û ( y - 4) ( y - 1) = Û ê ê ëy = Trong hai giá trị có y = thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy số lớp tham gia trồng số khối trồng 42 = 80 (cây) C Bài tập vận đụng Dạng toán chuyến động 19.1 Lúc sáng người xe máy khởi hành từ A dể đến B Lúc 10 phút ô tô khởi hành từ A với vận tốc lớn vận tốc xe máy 10km/h Trên đường ô tô phải dừng đường 14 phút đến B lúc với xe máy Tính vận tốc xe biết quãng đường AB xe taxi với vận tốc 60km/h hết 20 phút Hướng dẫn giải – đáp số Xe taxi 20 phút (bằng giờ) với vận tốc 60km/h Ta tính quãng đường AB Xe ô tô khỏi hành sau 10 phút, nghỉ đường 14 phút đến B lúc với xe máy Như xe máy chậm ô tô 10 +14 = 24 (phút) = So sánh thời gian ô tô xe máy ta lập phương trình Ta có cách giải: Quãng đường AB dài 60 = 80 (km) Gọi vận tốc xe máy x km/h (x > 0), vận tốc tơ (x + 10) km/h Thời gian xe máy hết quãng đường AB đường AB (khơng tính thời gian nghỉ) Ta có phương trình: 80 (h); thời gian tơ quãng x 80 (h) x +10 80 80 = Giải phương trình x = 40 x x +10 Vận tốc xe máy 40 km/h ô tô 50km/h 19.2 Lúc sáng ô tô xe máy khởi hành từ A đến B Ơ tơ 30 phút 75km Vận tốc xe máy vận tốc tơ 10 km/h Ơ tơ đến B nghỉ phút sau quay trở lại A gặp xe máy địa điểm C cách B khoảng AB Tính đoạn đường AB thời điểm hai xe gặp 10 Hướng dẫn giải – đáp số Thời gian xe máy đoạn đường AC thời gian ô tô hết đoạn đường AB cộng với thời gian nghỉ thời gian đoạn BC Từ có cách giải sau: Vận tốc xe ô tô 75: 1,5 = 50 (km/h); Vận tốc xe máy 40 km/h; phút = Gọi độ dài quãng đường AB x km (x > 0) độ dài đoạn AC 10 x x 9x + + = x (km) Ta có phương trình: 50 10 500 400 10 Giải phương trình x = 200 thỏa mãn điều kiện ẩn Trả lời: Quãng đường AB dài 200km; Thời điểm gặp + 9.200 = + 4,5 = 11,5 (giờ) = 11 30 phút 400 19.3 Từ bến A dịng sơng, lúc thuyền xi dịng với vận tốc 10km/h Lúc ca nơ xi dịng với vận tốc 25 km/h Lúc 10 tàu thủy xi dịng với vận tốc 30km/h Hỏi lúc tàu thủy cách ca nơ thuyền? Hướng dẫn giải – đáp số Lúc tàu thủy cách ca nơ thuyền độ dài đoạn sông tàu thủy trừ độ dài đoạn sông thuyền với độ dài sông ca nô trừ độ dài đoạn sông mà tàu thủy Từ có cách giải sau: Gọi thời gian tàu thủy từ A đến cách ca nô thuyền x (x > 0) Đến 10 tàu thủy khỏi hành thuyền 20km ca nô 25km Ta có phương trình: 30 x - ( 20 +10 x ) = ( 25 + 25 x ) - 30 x Giải x = 9 thỏa mãn điều kiện ẩn ( = 48 phút) 5 Trả lời: Lúc 11 48 phút tàu thủy cách ca nơ thuyền 10 19.4 Quãng đường AE gồm bốn đoạn, hai đoạn đường AB DE Nếu từ A BC đoạn lên dốc, CD đoạn xuống dốc Biết AB = DE; BC = DE; DE = 2CD Vận tốc ô tô đường 40km/h, lên dốc 30km/h xuống dốc 60km/h Thời gian từ A đến E trở A 45 phút Tính quãng đường AE Hướng dẫn giải – đáp số Nếu từ E trở DC đoạn lên dốc, CB đoạn xuống dốc Vận tốc lên dốc 30km/h xuống dốc 60km/h Tổng thời gian lẫn 45 phút Từ có cách giải: Gọi quãng đường DE dài x km (x > 0) đoạn đường AB 2x km; đoạn đường CB dài x km; đoạn CD = 0,5x Thời gian 45 phút = 31 Ta có phương trình: x 3x x 3x x 3x 31 + + + + + = 40 240 120 40 60 480 Giải phương trình tìm x = 40 thỏa mãn điều kiện ẩn Từ tìm qng đường AE dài 155km 19.5 Một ca nơ xi dịng sơng từ A đến B hết Sau ca nơ quay trở lại ngược từ B đến bến C nằm cách A khoảng AB hết 24 phút Tính độ dài đoạn sơng từ A đến B biết khóm bèo trơi đoạn sơng 12 phút 400m Hướng dẫn giải – đáp số Vận tốc bèo trơi vận tốc dịng nước Nếu tính vận tốc riêng ca nơ ta tính độ dài qng sơng AB, nên ta chọn ẩn cách gián tiếp Ca nô ngược quãng sơng AB hết 24 phút, ta tính thời gian ca nô ngược hết quãng sông BA Qng sơng AB BA, ta dựa vào để lập phương trình có cách giải sau: Vận tốc bèo trơi vận tốc dịng nước Ta có 12 phút = 0,2 giờ; 400 m = 0,4km Vậy vận tốc dòng nước 0,4: 0,2 = 2(km/h) Gọi vận tốc riêng ca nô x km/h ( x > 2) Vận tốc ca nô xuôi ( x + 2) km/h ngược ( x - 2) km/h Ca nô ngược quãng sông AB hết 24 phút = 2,4 vận tốc ngược ca nô hết quãng sông AB hết (2,4: 2) = 3,6 (giờ) 11 Theo ta có phương trình: 3( x + 2) = 3,6 ( x - 2) Giải phương trình x = 22 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy quãng sông AB dài 3.(22 + 2) = 72 (km) * Chú ý: Cách khác: Ta biết vx - = 2vdn nên gọi qng sơng AB dài x km vận tốc ca nô xuôi x (km/h), vận tốc ca nô ngược 19.6 Một ô tô 12 x x 5x x: = ta có phương trình = Giải x = 72 18 18 đoạn đường MN với vận tốc 60km/h đoạn đường MN lại với vận tốc 3 40km/h Tính vận tốc trung bình ô tô đoạn đường Hướng dẫn giải – đáp số Vận tốc trung bình tơ đoạn đường bàng độ dài đoạn đường chia cho thời gian ô tô hết đoạn đường Thời gian ô tô hết đoạn đường tổng thời gian ô tô phần đoạn đường Ta có cách giải sau: Ta đặt đoạn đường MN a đoạn đường cịn lại 2a Đoạn đường MN 3a Gọi vận tốc trung bình tô đoạn đường x km/h (40 < x < 60) thịi gian tơ hết đoạn đường Thịi gian tơ 3a (giờ) x a đoạn đường MN đầu (giờ) 60 Thời gian tơ đoạn đường cịn lại Ta có phương trình: 2a (giờ) 40 a 2a 3a 1 + = Û + = Giải phương trình ta tìm x = 45 thỏa mãn điều kiện 60 40 x 60 20 x ẩn Vậy vận tốc trung bình tơ đoạn đường 45 km/h Dạng toán suất lao động 19.7 Ba tổ sản xuất giao làm số sản phẩm, số sản phẩm tổ II giao gấp đôi tổ 1, số sản phẩm tổ III giao gấp đôi tổ II Do cải tiến kỹ thuật nên tổ I sản xuất vượt mức 30% kế hoạch, tổ II sản xuất vượt mức 20% kế hoạch, tổ III sản xuất vượt mức 10% kế hoạch 12 Do số sản phẩm vượt mức kế hoạch ba tổ 220 sản phẩm Tính số sản phẩm tổ giao theo kế hoạch Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: Số sản phẩm vượt mức = Số % vượt mức x số sản phẩm theo kế hoạch Từ đó: Gọi số sản phẩm giao tổ I x sản phẩm (x > 0) số sản phẩm giao tổ II 2x sản phẩm, tổ III 4x sản phẩm  Số sản phẩm vượt mức tổ I 30% x, tổ II 20% 2x, tổ III 10% 4x Theo ta có phương trình: 30%x + 40% x + 40% x = 220 Giải phương trình x = 200 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy: Số sản phẩm giao: Tổ I: 200 sản phẩm; Tổ II: 400 sản phẩm; Tổ III: 800 sản phẩm 19.8 Một xí nghiệp khí giao sản xuất 500 máy bơm nước thời gian định Do cải tiến kỹ thuật tăng suất lao động, ngày xí nghiệp sản xuất thêm máy bơm nên xí nghiệp hồn thành cơng việc sớm ngày mà sản xuất thêm 70 máy bơm Hỏi số máy bơm dự định sản xuất ngày số ngày dự định theo kế hoạch ban đầu Hướng dẫn giải – đáp số Số máy bơm sản xuất = Số máy bơm sản xuất ngày x Số ngày sản xuất Từ đó: Gọi số máy bơm dự định sản xuất ngày x ( x Ỵ N *) số ngày dự định làm 500 (chiếc), số máy bơm thực làm 500 + 70 = 570 (chiếc) Số máy bơm thực sản xuất x ngày x + (chiếc), số ngày thực làm 570 500 570 = +1 (ngày) Ta có phương trình: x +5 x x +5 éx = 25 Giải phương trình: x + 75 x - 2500 = Û ( x - 25) ( x +100) ê ê ëx =- 100 Ta có x = 25 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy Số máy bơm dự định sản xuất ngày 25 Số ngày dự định làm 500 = 20 (ngày) 25 19.9 Hai đội công nhân dự kiến làm đường sau 20 ngày xong Hai đội làm chung ngày đội I chuyển sang làm việc khác Đội II tiếp tục làm 10 ngày điều động làm việc khác Đội trở lại tiếp tục làm 28 ngày xong đường Hỏi làm đội làm ngày xong đường Hướng dẫn giải – đáp số Đây loại toán suất lao động, khối lượng công việc đường 13 Ta biết: Khối lượng cơng việc (K) = Thời gian hồn thành công việc (t) x Năng suất lao động (N) Đoạn đường hai đội làm chung ngày cộng đoạn đường đội II làm 10 ngày tiếp đoạn đường đội I trở lại làm 28 ngày đường cần làm Ta có cách giải sau Hai đội làm chung ngày đường Gọi thời gian đội II làm xong đường X 20 ngày (x > 20) Thì ngày đội II làm đường; đội I làm x ổ1 ỗ - ữ ữ ỗ ữcon ng ç è20 x ø Ta có phương trình: ỉ1 10 + + 28ỗ - ữ ữ ỗ ữ= ỗ ố20 x ứ 20 x Gii phng trình tìm x = 30 thỏa mãn điều kiện Vậy thời gian làm xong đường đội II 30 ngày Từ tìm thời gian làm xong đường đội I 60 ngày 19.10 Hai vòi nước chảy vào bể cạn sau bể đầy Nhưng sau vịi thứ chảy giờ, vịi thứ hai chảy hai vịi chảy sau 20 phút bể đầy Hỏi vịi chảy sau bể đầy? Hướng dẫn giải – đáp số Khối lượng công việc cụ thể bể nước (lượng nước đầy bể) Hai vòi chảy Nếu vịi chảy sau x đầy bể lượng nước chảy bể nước bể Ta có lượng nước vịi x chảy + lượng nước vòi II chảy + lượng nước vòi chảy 20 phút = (bể) Ta có cách giải sau:  Giải 20 phút = Một hai vòi chảy bể Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể x (x > 4), vịi I chảy vịi II chảy Ta có phương trình bể; x 1 bể; x ö ổ 1ữ +ỗ - ữ + =1 ỗ ố4 x ữ ứ x ỗ Giải phương trình tìm x = thỏa mãn điều kiện Đáp số: Thịi gian chảy đầy bể cùa vòi I giờ, vòi II 12 19.11 Một bể nước có hai vịi nước chảy vào vòi chảy sau bể đầy Vòi III chảy 14 bể kể từ đáy.Vòi I chảy vào lượng nước bể Lúc đầu bể cạn, mở ba vịi 12 sau 48 phút bể đầy Hỏi vòi thứ hai chảy vào thỉ sau bể đầy? Hướng dẫn giải – đáp số Vòi III 1 bể nước (từ đáy) nên lúc đầu hai vòi I II chảy để đầy bể nước Sau vịi 3 chảy đầy bể lại lượng nước bể thêm tổng lượng nước hai vòi chảy vào trừ lượng nước chảy Thời gian hai vòi chảy đầy 48 phút = 1 bể nước thời gian ba vòi chảy đầy bể nước 3 14 Ta có cách giải sau Gọi thời gian vòi thứ hai chảy vào đầy bể x (x > 0) Suy vòi thứ hai chảy 1 bể Một vịi I chảy bể x Một hai vòi chảy 1 + bể x Ba vòi chảy lượng nước bể cịn Ta có phương trình : 1 1 + = + x 12 x ỉ ỉ 1ữ 1ử 14 :ỗ + ữ + :ỗ + ữ = ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ è4 x ø è6 x ø Giải phương trình ta có: 19 x - 30x - 504 = Û ( x - 6) ( 19 x + 84) = Tìm x = thỏa mãn điều kiện Vậy thời gian chảy đầy bể vịi II Dạng tốn có nội dung số học - Tốn cổ 19.12.Một số có hai chữ số, chữ số hàng chục lớn chữ số hàngđơn vị đơn vị Nếu đổi chỗ hai chữ số số lớn số ban đầu 37 đơn vị.Tìm số cho Hướng dẫn giải – đáp số Bài toán liên quan đến cấu tạo số Số có hai chữ số ab = 10a + b ; Đổi 15 chỗ số ba = 10b + a với a, b Î ; < a £ 9; £ b £ ) Ta có cách giải: Gọi chữ số hàng chục x ( x Ỵ ;3 < x £ 9) chữ số hàng đơn vị ( x - 3) Số cho: x ( x - 3) = 10 x +( x - 3) ; Đổi chỗ chữ số: ( x - 3) x = 10 ( x - 3) + x Ta có phương trình 10 ( x - 3) + x - 10 x +( x - 3) = 37 Giải phương trình x = phù hợp điều kiện ẩn Số cần tìm 96 19.13 Một số có bốn chữ số có chữ số hàng đơn vị Nếu chuyển lên đầu số có chữ số Tổng hai số có chữ số 8217 Tìm số cho Hướng dẫn giải – đáp số Bài toán liên quan đến cấu tạo số Số có bốn chữ số mà chữ số hàng đơn vị là abc6 = 10.abc + Chuyển lên đầu số 6abc = 6000 + abc với a, b, c Ỵ ; 0 0) tuổi cha x + 30 Trước năm tuổi tuổi cha x + 30 - = x + 26 Ta có phương trình: x + 26 = ( x - 4) Giải phương trình x = 14 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy tuổi 14 tuổi cha 44 b) Gọi y tuổi lúc tuổi cha gấp 2,5 tuổi (y > 0), cha 30 tuổi nên tuổi cha lúc y + 30 Ta có phương trình: y + 30 = 2,5y Giải phương trình tìm y = 20 thỏa mãn điều kiện ẩn Vậy sau 20 - 14 = năm tuổi cha gấp 2,5 lần tuổi  Ghi chú: a) Có thể chọn ẩn gián tiếp tuổi cha (hoặc con) tuổi cha gấp lần tuổi (bạn đọc tự giải) b) Nếu chọn z số năm từ đến tuổi cha gấp 2,5 lần tuổi (z > sau z năm, z < trước z năm) Ta có phương trình 2,5( 14 + z) = 44 + z ta tìm z = 19.22 Một người trồng quýt, sau thu hoạch để lại nhà 10 lại đem chợ bán Lần thứ bán 1 số quýt lại Lần thứ hai bán tiếp 12 số quýt lại Lần thứ ba bán tiếp 18 6 số quýt lại Cứ bán đến lần cuối vừa hết số quýt số quýt lớp trồng 19 số lần bán Tính qt mà người thu hoạch, số qt mồi lần bán Hướng dẫn giải – đáp số Tương tự ví dụ 10 Đáp số: số quýt đem bán: 150 quả, số lần bán lần Số quýt thu hoạch: 160 19.23 Một tơn hình chữ nhật có chu vi 114cm Người ta cắt bỏ bốn hình vng có cạnh 5cm bốn góc gấp lên thành hình hộp chữ nhật (khơng có nắp).Tính kích thước tơn cho Biết thể tích hình hộp bàng 1500cm2 (Thi học sinh giỏi lớp tỉnh Quảng Nam, năm học 2008 - 2009) Hướng dẫn giải – đáp số Nửa chu vi tơn 57cm Gọi kích thước thứ tôn x (cm); (10 < x < 57) Thì kích thước thứ hai 57 - x (cm) Sau gấp thành hình hộp chữ nhật, ba kích thước x - 10 (cm); 47 - x (cm); 5cm Ta có phương trình ( x - 10) ( 47 - x) = 1500 Û x - 57 x + 770 = Û ( x - 35) ( x - 22) = Û x = 35 x = 22 Cả hai giá trị thỏa mãn Vậy kích thước tam tôn 35cm 22 cm 19.24 Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 900m chu vi 122m Tìm chiều dài chiều rộng khu vườn (Thi học sinh giỏi lớp TP Đà Nẵng, năm học 2008 - 2009) Hướng dẫn giải – đáp số Nửa chu vi 61m Gọi chiều x (m) (0 < x < 61) chiều 61- x (m) Ta có phương trình x ( 61- x ) = 900 Û x - 61x + 900 = Û ( x - 25) ( x - 36) = Û x = 25 x=36 Cả hai giá trị thỏa mãn Vậy chiều dài chiều rộng khu vườn 36m 25m 19.25 Tháng thứ hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất chi tiết máy? (Đề thi vào lớp 10 trường THrT Chu Văn An Hà Nội - Amsterdam năm học 2008-2009) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi số chi tiết máy tháng thứ tổ I sản xuất x (chi tiết máy, < x < 900) tổ II sản xuất 900- x (chi tiết máy) Ta có phương trình: 115% x +110% ( 900 - x) = 1010 hay 115 x 110 ( 900 - x ) + = 1010 100 100 20 Giải phương trình tìm x = 400 Vậy tháng thứ tổ sản xuất 400 chi tiết máy tổ II sản xuất 500 chi tiết máy 19.26 Một máy bay trực thăng bay từ A đến B cách 960km với vận tốc 280 km/h Khi bay từ A đến B bị gió cản nên thời gian bay phải nhiều so với thời gian bay từ B đến A (do gió đẩy) Tìm vận tốc gió (Đề thi vào lớp 10 chun Tốn trường THPT chun Quang Trung, Bình Phước năm học 2009 - 2010) Hướng dẫn giải – đáp số