Đs chuyên đề 19 giải toán bằng cách lập phương trình

Chun đề 19 GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH A Kiến thức cần nhớ Bước Lập phương trình • Chọn ẩn số đặt điều kiện thích hợp ẩn • Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn số đại lượng biết • Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước Giải phương trình nói Bước 3.Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thích hợp với tốn trả lời B Một số ví dụ Ví dụ Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 2400 sản phẩm thời gian dự định Trong ngày đầu họ thực mức đề ra, muốn hồn thành sớm ngày nên ngày lại họ phải làm vượt mức ngày 20 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch ngày họ cần sản xuất sản phẩm? Giải Tìm cách giải Để giải dạng toán này, nên nhớ: Năng suất = khối lư ợng công việc khối lư ợng công việc Thi gian = thời gian suất Sau gi ẩn suất, biểu diễn thời gian dự định thời gian thực tế theo ẩn số số biết Phương trình lập phương trình thời gian Trình bày lời giải Gọi số sản phẩm theo kế hoạch ngày cần sản xuất x (sản phẩm / ngày, x  Z *) Suy ngày đầu họ làm x (sản phẩm), thời gian làm số sản phẩm lại 2400  x ngày x  20 Thời gian làm theo kế hoạch 2400 ngày x Theo đề nhóm thợ hồn thành sớm ngày so với dự định, ta có phương trình 5 2400  x 2400 5   x  40 x  9600 0 x  20 x Giải ta x1 80 (thỏa mãn điều kiện), x2  120 (loại) Vậy theo kế hoạch ngày cần sản xuất 80 sản phẩm Ví dụ Một tổ chức có kế hoạch sản xuất 350 sản phẩm theo xuất dự định Nếu tăng xuất lên 10 sản phẩm ngày tổ hồn thành sớm ngày so với giảm suất 10 sản phẩm ngày Tính xuất dự kiến Giải Gọi suất dự kiến x ( x  N*, x sản phẩm) Nếu suất ngày tăng thêm 10 sản phẩm thời gian hết Nếu suất ngày giảm 10 sản phẩm thời gian hết là: 350 ngày x  10 350 ngày x  10 Theo đề bài, tăng xuất lên 10 sản phẩm ngày tổ hồn thành sớm ngày so với giảm suất 10 sản phẩm ngày, ta có phương trình 350 350  2 x  10 x 10  350 x  3500  350 x  3500 2 x  200  x 7200  x1 60 (thỏa mãn), x2  60 (không thỏa mãn) Vậy suất dự kiến 60 sản phẩm ngày Ví dụ Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bế sau 1h48 phút Nếu chảy riêng vịi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ 1h30 phút Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lâu? Giải Đổi 1h48 phút = h , 1h30 phút = h Gọi thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể x (giờ, x  ) 3  Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể  x   2  suy l vòi thứ chảy đuợc bể x 1 vòi thứ hai chảy x bể Theo đầu bài, hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước đầy bể sau 1h48 phút 1    10 x  51x  27 0    h   , ta có phương trình x x    Giải ta x1 4,5 (thỏa mãn điều kiện), x2 0, (không thỏa mãn điều kiện) Vậy chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể hết 4,5h vòi thứ hai chảy đầy bể hết 4,5  1,5 3h Ví dụ Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720m 2, tăng chiều dài thêm 6m giảm chiều rộng 4m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tìm kích thước mảnh vườn Giải Gọi chiều dài mảnh vườn x  m x   Chiều rộng mảnh vườn 720  m x Chiều dài mảnh vườn tăng thêm 6m x   m  Chiều rộng mảnh vườn giảm 4m 720   m x Theo đề bài, diện tích mảnh vườn khơng đổi, ta có phương trình:  720    x    x   720  x  24 x  4320 0  Giải ra, ta x1 30 (thỏa mãn), x2  36 (không thỏa mãn) Vậy chiều dài mảnh vườn 30 m, chiều rộng mảnh vườn 720 24m 30 Ví dụ Một phòng họp chứa 300 chỗ ngồi chia thành dãy có số ghế Nếu thêm hai chỗ vào dãy ghế bớt dãy ghế phịng bớt 11 chỗ ngồi Hỏi phịng họp lúc đầu có dãy ghế, dãy có ghế? Giải Tìm cách giải Dạng toán lưu ý: số ghế phòng = số dãy x số ghế dãy Lời giải tương tự dạng toán hình chữ nhật biết diện tích thay đổi kích thước Trình bày lời giải Gọi số dãy ghế phòng họp lúc đầu x ( x  N , x dãy) Và số ghế dãy 300 (ghế) x Số dãy ghế lúc sau x  dãy Số ghế dãy lúc sau 300  (ghế) x  300    300  11 Theo đề bài, ta có phương trình:  x  3   x   300  x  900  289  x  x  900 0 x Giải ra, ta x1 20 (thỏa mãn), x2  22,5 (không thỏa mãn) Vậy số dãy ghế 20 dãy dây có 300 15 ghế 20 Ví dụ Cùng thời điểm, ô tô X A xuất phát từ thành phố A hướng thành phố B xe khác X B xuất phát từ thành phố B hướng thành phố A Chúng chuyển động với vận tốc riêng không đổi gặp lần đầu điểm cách A 20km Cả hai xe sau đến B A tương ứng, quay trở lại chúng gặp lần thứ hai địa điểm C Biết thời gian xe X B từ C đến B 10 phút thời gian hai lần gặp Hãy tính vận tốc tơ (Tuyển sinh lớp 10, THPT khiếu ĐHQG TP Hồ Chí Minh, năm học 2004 - 2005) Giải Gọi M chỗ gặp lần đầu; vận tốc ô tô từ A x từ B y  km / h, y   Thời gian xe từ A đến M Thời gian thời gian xe XB từ B đến M Khoảng cách BM 20 20 y y   km  x x Quãng đường AB 20  Khoảng cách CB 20 y  km  x 10 y y   km  60 Khoảng cách AC 20  20 y y   km  x 20  h x  km / h, x   ; vận tốc ô tô 20 y y   km  Theo đầu bài, ta có phương trình: x Tổng khoảng cách MB BC 20 y y   x  1 x Tổng khoảng cách MA AC là: 20  20  Theo đầu ta có phương trình 40  20 y y 20 y y  40    km  x x 20 y y   y  2 x   20   y  x    x  1    Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:   y  20    40     x   20   20  Từ (1) (2) ta có:  40     x     x  160  4800 0  x 6  x 6 Giải ta x1 40 (thỏa mãn), x2  17 (không thỏa mãn)  y 60 Vậy vận tốc ô tô XA 40 km/h, vận tốc ô tô XB 60 km/h C Bài tập vận dụng 19.1 Hai vịi nước chảy vào bể đầy sau 7h12 phút Nếu vòi chảy riêng mà đầy bể tổng thời gian 30 Hỏi vịi chảy riêng đầy bể thời gian bao lâu? Hướng dẫn giải – đáp số Gọi thời gian vòi thứ chảy riêng đầy bể x   x  30  Thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể  30  x  Trong vòi thứ chảy Trong vòi thứ hai chảy (bể) x (bể) 30  x Theo đề bài, hai vòi chảy mà đầy bể sau 7h12 phút ( giờ) Ta có phương trình: 1 1     1  x  30 x  216 0  x 30  x  Giải ta có x1 12; x2 18 (thỏa mãn) Vậy vòi thứ chảy riêng 12(giờ) vịi hai chảy riêng đầy bể 30  12 18 (giờ) ngược lại 19.2 Một tổ dự định sản xuất 720 sản phẩm theo suất dự định Nếu sản xuất tăng 10 sản phẩm ngày nhanh giảm suất 20 sản phẩm Tính suất dự kiến Hướng dẫn giải – đáp số Gọi suất dự kiến x ( x  N *, x sản phẩm) Nếu suất ngày tăng thêm 10 sản phẩm thời gian hết Nếu suất ngày giảm 10 sản phẩm thời gian hết là: Theo đề bài, ta có phương trình 720 ngày x  10 720 ngày x  20 720 720  4 x  20 x  10  720 x  7200  720 x  14400 4 x  40 x  800  x  40 x  22400 0  x1 80 (thỏa mãn), x2  70 (không thỏa mãn) Vậy suất dự kiến 80 sản phẩm ngày 19.3 Một hợp tác xã dự kiến thu hoạch 200ha lúa thời gian định Song thực tế ngày thu hoạch nhanh so với kế hoạch nên hồn thành cơng việc nhanh dự kiến ngày Hỏi theo dự kiến ngày thu hoạch ha? Hướng dẫn giải – đáp số Gọi ngày theo dự kiến thu hoạch x  ha, x   Thời gian thu hoạch theo kế hoạch Thời gian thu hoạch thực tế 200 ngày x 200 ngày x 5 Theo đề bài, ta có phương trình 200 200  2 x x 5  200 x  1000  200 x 2 x  10 x  x  10 x  1000 0  x1 20 (thỏa mãn), x2  25 (không thỏa mãn) Vậy theo dự kiến ngày thu hoạch 20 19.4 Hai đội công nhân làm công việc làm xong 4h Nếu đội làm xong cơng việc đội thứ cần thời gian đội thứ hai 6h Hỏi đội làm xong cơng việc bao lâu? Hướng dẫn giải – đáp số Gọi thời gian đội thứ làm xong cơng việc hết x (giờ, x > 4) Suy thời gian đội thứ hai làm xong cơng việc hết ( x + 6) công việc x Trong 1h đội thứ làm Trong 1h đội thứ hai làm công việc x 6 Theo đầu bài, ta có phương trình 1   x x 6  x  x  24 0  x1 6 (thỏa mãn), x2  (khơng thỏa mãn) Vậy làm riêng đội hồn thành cơng việc 6h đội hồn thành cơng việc + 6=12h 19.5 Hai xe máy khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 90km, ngược chiều gặp sau 1,2 (Xe thứ khởi hành từ A xe thứ hai khởi hành từ B) Tìm vận tốc xe Biết thời gian để xe thứ hết quãng đường AB thời gian để xe thứ hai hết quãng đường AB Hướng dẫn giải – đáp số Gọi vận tốc xe từ A xe từ B x; y  km / h, x, y   Thời gian xe hết quãng đường AB 90 h x Thời gian xe hết quãng đường AB 90 h y 1, x  1, y 90   Theo đề bài, ta có hệ phương trình  90 90   y x   x  150 Giải ta  (không thỏa mãn)  y 225  x  y 75   90 90  75  x  x 1  x 45 (thỏa mãn)   y 30 Vậy vận tốc xe từ A, xe từ B 45 km/h, 30 km/h 19.6 Một xuồng máy xi dịng sơng 30km ngược dịng 28km hết thời gian thời gian mà xuồng 59,5km mặt hồ yên lặng Tính vận tốc xuồng hồ, biết vận tốc nước chảy sông 3km/h Hướng dẫn giải – đáp số Gọi vận tốc xuồng mặt hồ x (km/h, x > 0) Vận tốc xuồng xi dịng x  km/h Vận tốc xuồng ngược dòng x  km/h Theo đề bài, ta có phương trình 30 28 59,5   x 3 x  x  1,5 x  x  535,5 0  x  x  357 0  x1 17 (thỏa mãn), x2  21 (không thỏa mãn) Vậy vận tốc ca nô mặt hồ yên lặng 17km/h 19.7 Một bè nứa trôi tự (với vận tốc vận tốc dịng nước) ca nơ dời bến A để xi dịng sơng Ca nơ xi dịng 96km quay lại bến A Cả lẫn hết 14 Trên đường quay A cịn cách bến A 24km gặp bè nứa nói Tìm vận tốc riêng Ca nơ vận tốc dịng nước Hướng dẫn giải – đáp số Gọi vận tốc ca nô vận tốc dòng nước x; y (x > y >0, x y km/h) Thời gian ca nô xuôi dòng 96 h x y Thời gian ngược dòng 96 h x y Thời gian bè trôi 24km 24 24 14   h y x y 96  96  x  y  x  y 14   Theo đề bài, ta có phương trình   24 14  24  y x y 96 x 7  x  y   x  y   1  12 x 7 y  x  y    Từ (1) (2) suy 56 y  x  y  7  x  y   x  y   y  x  y (vì x  y )  x 7 y Thay vào phương trình (2) ta 12.7 y 7 y  y  y   y 2 (thỏa mãn), x 14 (thỏa mãn) Vậy vận tốc dòng nước km/h ca nô 14 km/h 19.8 Một phịng họp có 360 chỗ ngồi chia thành dãy có số chỗ ngồi Nếu thêm cho dãy chỗ bớt dãy số chỗ phịng họp khơng thay đổi Hỏi ban đầu phịng họp có dãy? Hướng dẫn giải – đáp số Gọi số dãy ghế phòng họp lúc đầu x ( x  N *, x dãy) Số ghế dãy 360 ghế x Số dãy ghế lúc sau x  dãy Số ghế dãy lúc sau 360 ghế x Theo đề bài, ta có phương trình 360 360  4  x  12 x  1080 0 x x Giải ta x1 18 (thỏa mãn), x2  15 (không thỏa mãn) Vậy số dãy ghế 18 dãy dãy có 360 20 ghế 18 19.9 Một ô tô dự định từ A đến B cách 120km thời gian quy định Sau ô tô bị chắn đường xe 10 phút Do để đến B hẹn, xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h Tính vận tốc lúc đầu ô tô Hướng dẫn giải – đáp số Đổi 10 phút = Gọi vận tốc ban đầu ô tô x ( x km, x > 0) Thời gian dự định 120 (giờ) x Thời gian quãng đường lúc sau Theo đầu ta có phương trình  120  x (giờ) x6 120  x 120    x  42 x  4320 0 x 6 x Giải ta x1 48 (thỏa mãn), x2  90 (không thỏa mãn) Vậy vận tốc ban đầu ô tô 48 km/h 19.10 Một người xe máy từ A đến B cách 120km với vận tốc thời gian dự định Sau quãng đường AB với vận tốc người ta tăng vận tốc thêm 10km/h qng đường cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đường biết người đến B sớm dự định 24 phút Hướng dẫn giải – đáp số Đổi 24 phút = 0,4 Gọi vận tốc dự định x (km/h, x > 0) Thòi gian dự định từ A đến B 120 (giờ) x Thời gian xe quãng đường Thời gian xe quãng đường lại 40 (giờ) x 80 (giờ) x  10 Theo đề bài, người đến B sớm dự định 24 phút, ta có phương trình: 120 80 40 80 80   0,   0,  x  10 x  2000 0 x x  10 x x x  10 Giải ta x1 40 (thỏa mãn) x2  50 (không thỏa mãn) Vậy vận tốc xe 40km/h thời gian xe lăn bánh đường là: 120  0, 2, 40 19.11 Một xí nghiệp giao cho cơng nhân làm 120 sản phẩm thời gian quy định Sau làm giờ, người cải tiến kĩ thuật nên tăng sản phẩm so với dự kiến Vì thời gian qui định khơng hồn thành kế hoạch trước mà cịn vượt mức 16 sản phẩm Tính suất làm lúc đầu Hướng dẫn giải – đáp số Gọi suất lúc đầu x (sản phẩm/ giờ, x  N) Suy thời gian dự định 120 x Thực tế, đầu làm x sản phẩm suất tăng thêm sản phẩm/giờ nên suất thực tế x  sản phẩm/ Số sản phẩm thực tế tăng suất 120  16  x 136  x sản phẩm nên thời gian thực tế 136  x x4 Theo đầu bài, ta có phương trình:  136  x 120  1 x4 x  x  28 x  480 0 Giải ta x1 12 (thỏa mãn), x2  40 (không thỏa mãn) Vậy suất lúc đầu là: 12 sản phẩm 19.12 Một nhóm học sinh du khảo nguồn xe đạp từ thành phố Cao Lãnh đến khu địa cách mạng Xẻo Quýt cách 24 kilômét (km) Khi trở thành phố Cao Lãnh, ngược gió nên vận tốc trung bình nhóm học sinh bị giảm km/giờ thời gian di chuyển từ khu địa cách mạng Xẻo Quýt thành phố Cao Lãnh lâu thời gian di chuyển từ thành phố Cao Lãnh đến khu địa cách mạng Xẻo Quýt Hãy tính vận tốc trung bình lượt từ thành phố Cao Lãnh đến khu địa cách mạng nhóm học sinh nói (Thi học sinh giỏi tốn lớp 9, tỉnh Đồng Tháp, năm học 2014 - 2015) Hướng dẫn giải – đáp số Gọi thành phố Cao Lãnh A, khu địa cách mạng Xẻo Quýt B Gọi vận tốc trung bình lượt nhóm học sinh nói là: x (km/giờ) Điều kiện x4 Vận tốc trung bình trở là: x  (km/giờ) Thời gian nhóm học sinh từ điểm A đến điểm B 24 (giờ) x Thời gian nhóm học sinh từ điểm B đến điểm A 24 (giờ) x Theo đề ta có 24 24  1  x  x  96 0  x1 12; x2  x x Kết hợp với điều kiện ta có x1 12 thỏa mãn Vậy vận tốc trung bình lượt từ thành phố Cao Lãnh đến khu địa cách mạng nhóm học sinh nói 12 (km/giờ)