Giáo trình Đại số Đại cương nâng cao.

Lý thuyết về tác động nhóm, R-modun..

VĂN NAM - PHAN VĂN THIỆN ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG NÂNG CAO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUẾ Huế, tháng 05, năm 2012. Giáo trình này được viết bởi Văn Nam và Phan văn Thiện, giảng viên Khoa Toán, Trường ĐHSP - Đại học Huế. Giáo trình này được dùng để giảng dạy và học tập học phần đại số đại cương nâng cao mã số: TOAN4423 (theo mã học phần) . CÁC KÝ HIỆU THÔNG DỤNG Ký hiệu Nghĩa ký hiệu N Tập hợp các số tự nhiên Z Tập hợp các số nguyên Q Tập hợp các số hữu tỷ R Tập hợp các số thực C Tập hợp các số phức ≡ (mod n) Đồng dư theo môđulô n Z n Vành các lớp thặng dư theo môđulô n Z ∗ n Nhóm các lớp khả nghịch của vành Z n Z p Trường các lớp thặng dư theo môđulô p (p nguyên tố) G s Nhóm đẳng hướng của phần tử s trong G Gs Quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G Z(G) Tâm của nhóm G Card S Bản số của tập S cấp G Cấp của nhóm G (G : H) Chỉ số của nhóm con H trong nhóm G ✁ Nhóm con chuẩn tắc C x Cái chuẩn tắc hóa của x SL(n, F ) Nhóm các ma trận vuông cấp n trên trường F với định thức bằng 1 ⊕ Tổng trực tiếp R op Vành đối của vành R [P ] Môđun con sinh bởi bộ phận P [x 1 , . . . , x n ] Môđun con sinh bởi x 1 , . . . , x n [x] Môđun con cyclic sinh bởi x T or(M) Bộ phận gồm các phần tử xoắn của môđun M M/M  Môđun thương của môđun M trên môđun con M  Im h Ảnh của đồng cấu môđun (đại số) h Ker h Hạt nhân của đồng cấu môđun (đại số) h Coim h Đối ảnh của đồng cấu môđun (đại số) h ii Coker h Đối hạt nhân của đồng cấu môđun (đại số) h S n Nhóm đối xứng cấp n A n Nhóm thay phiên cấp n Hom R (M, N) Tập các đồng cấu R−môđun từ M vào N End R (M) Tập các tự đồng cấu R−môđun của M GL R (M) Nhóm tuyến tính tổng quát  i∈I M i Tích của họ R−môđun (M i ) i∈I  i∈I M i Đối tích của họ R−môđun (M i ) i∈I ⊗ Tích tenxơ Z(A) Tâm của K−đại số A A/I Đại số thương của K−đại số A trên iđêan I iii LỜI NÓI ĐẦU Học phần Đại số đại cương nâng cao đã được Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế đưa vào chương trình đào tạo, theo học chế tín chỉ, của Khoa Toán từ năm 2008−2009. Đây là học phần đòi hỏi sinh viên phải nắm chắc các kiến thức trong các học phần Đại số tuyến tính, Đại số đại cương. Giáo trình này viết trung thành với nội dung và tinh thần trong Đề cương chi tiết, theo học chế tín chỉ, của học phần này, do Khoa Toán của Trường Đại học Sư phạm Huế biên soạn. Các khái niệm cơ bản về nhóm Aben, về môđun và đại số, được trình bày chính xác với các thí dụ minh họa. Hầu hết các định lý được chứng minh đầy đủ. Giảng viên, tùy theo quỹ thời gian, có thể hướng dẫn cho sinh viên tự đọc và thuyết trình trên lớp một số phần, một số chứng minh. Cuối mỗi chương, đều có phần tóm tắt với các định nghĩa chính, các định lý và các công thức chủ yếu. Và phần bài tập đã được chọn lọc kỹ, kèm đáp số và hướng dẫn. Giáo trình gồm ba chương. Trong chương 1, trình bày tác động của nhóm trên tập và từ đó khảo sát nhóm con Sylow, nhóm Aben tự do, nhóm Aben hữu hạn sinh. Trong chương 2, trình bày các kiến thức cơ bản có liên quan đến môđun. Trong chương 3, trình bày các kiến thức cơ bản về đại số và một số kiểu đại số. Viết giáo trình này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy học các học phần có liên quan đến học phần Đại số đại cương nâng cao. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các giảng viên đã đọc bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến xác đáng. Cuối cùng, chúng tôi rất mong được bạn đọc vui lòng chỉ cho những thiếu sót của cuốn sách để góp phần xây dựng giáo trình Đại số đại cương nâng cao này được tốt hơn. Huế, ngày 10 tháng 02 năm 2011. Văn Nam - Phan văn Thiện iv MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU THÔNG DỤNG ii LỜI NÓI ĐẦU iv 1 Nhóm Aben 1 1 Tác động của nhóm trên tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Nhóm con Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Nhóm Aben tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4 Nhóm Aben hữu hạn sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Tóm tắt chương 1 21 Hướng dẫn giải bài tập chương 1 23 Bài tập tổng hợp chương 1 28 2 Môđun 31 1 Môđun và môđun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 Đồng cấu môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 Các cấu trúc trên tập hợp các đồng cấu . . . . . . . . . . . . . . 47 4 Tích và tổng của môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5 Môđun tự do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6 Tích tenxơ của môđun trên vành giao hoán . . . . . . . . . . . . 63 7 Song môđun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Tóm tắt chương 2 74 v Hướng dẫn giải bài tập chương 2 82 Bài tập tổng hợp chương 2 96 3 Đại số 103 1 Đại số và đại số con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2 Đồng cấu đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3 Một số kiểu đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Tóm tắt chương 3 129 Hướng dẫn giải bài tập chương 3 132 Bài tập tổng hợp chương 3 138 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Chỉ mục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 vi Chương 1 Nhóm Aben § 1 TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM TRÊN TẬP Định nghĩa 1.1. Cho G là một nhóm và S là một tập. Khi đó, tác động của nhóm G trên tập S là một ánh xạ f : G ×S → S (x, s) → f(x, s) k/h = xs, sao cho với mọi x, y ∈ G, với mọi s ∈ S, (xy)s = x(ys) và 1 G s = s. Thí dụ 1.2. i) Liên hợp: Cho G là một nhóm; khi đó f : G ×G → G (x, y) → f(x, y) = xyx −1 là một tác động của G trên chính nó, được gọi là tác động liên hợp. ii) Tịnh tiến: Cho G là một nhóm; khi đó f : G ×G → G (x, y) → f(x, y) = xy là một tác động của G trên chính nó, được gọi là tác động tịnh tiến. 1 2 Chương 1. Nhóm Aben iii) Cho G là một nhóm, S 1 là tập tất cả các nhóm con của G, S 2 là tập tất cả các tập con của G. Khi đó, ta có các tác động của G trên S 1 , S 2 là f 1 : G ×S 1 → S 1 (x, H) → f 1 (x, H) = xHx −1 , f 2 : G ×S 2 → S 2 (x, A) → f 2 (x, A) = xAx −1 , lần lượt được gọi là tác động liên hợp của nhóm G trên tập các nhóm con của G, và tác động liên hợp của nhóm G trên tập các tập con của G. iv) Cho G là một nhóm, H là nhóm con của G, và tập G/H = { xH |x ∈ G }. Khi đó, ta có tác động của G trên G/H là f : G ×(G/H) → G/H (x, yH) → f(x, yH) = (xy)H. Lưu ý 1.3. i) Nếu có một tác động của G trên S thì S được gọi là một G− tập. ii) Cho S là một G− tập; khi đó với mỗi x ∈ G, ánh xạ T x : S → S s → T x (s) = xs là một song ánh, với ánh xạ ngược là T x −1 . Và x → T x là một đồng cấu từ nhóm G đến nhóm các phép thế của tập S. iii) Cho G tác động liên hợp trên chính nó; khi đó với mỗi x ∈ G, ánh xạ σ x : G → G y → σ x (y) = xyx −1 là một tự đẳng cấu của nhóm G, với σ −1 x = σ x −1 . Và x → σ x là một đồng cấu từ nhóm G đến nhóm các tự đẳng cấu của G. ✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê §1. Tác động của nhóm trên tập 3 Định nghĩa 1.4. Cho S là một G−tập. Khi đó, với s ∈ S, G s = { x ∈ G | xs = s } là một nhóm con của G, được gọi là nhóm đẳng hướng của phần tử s trong G . Và Gs = { xs | x ∈ G } được gọi là quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G. Thí dụ 1.5. i) Cho nhóm G tác động liên hợp trên chính nó; khi đó với mỗi x ∈ G, nhóm đẳng hướng của x trong G là G x = { y ∈ G | yxy −1 = x }, đó chính là cái tâm hóa C x của x. Và quỹ đạo của x đối với G là Gx = { yxy −1 | y ∈ G }. ii) Cho nhóm G tác động liên hợp trên tập S 1 các nhóm con của G. Khi đó, với mỗi H ∈ S 1 , nhóm đẳng hướng của H trong G là G H = { x ∈ G | xHx −1 = H }, đó chính là cái chuẩn tắc hóa N H của H trong G. Và quỹ đạo của H đối với G là GH = { xHx −1 | x ∈ G }. Mệnh đề 1.6. Cho S là một G−tập và s ∈ S. Khi đó Card Gs = (G : G s ) Chứng minh. Xét tương ứng f : G/G s −→ Gs xác định bởi f(xG s ) = xs, khi đó f là một đơn ánh vì với mọi xG s , yG s ∈ G/G s , xG s = yG s ⇒ x −1 y ∈ G s ⇒ s = (x −1 y)s = x −1 (ys) ⇒ xs = ys, ✎ Văn Nam - Phan văn Thiện -Trường ĐHSP Huê [...]... con tối đại trong G, nên HP = P , và do đó H ⊂ P ii) Lấy H là một p−nhóm con Sylow của G; khi đó theo chứng minh trên, H ⊂ P , với P liên hợp với P vì cấp H=cấp P nên H = P , tức H liên hợp với P iii) Lấy H = P ; khi đó chỉ có một quỹ đạo đối với H chứa đúng một phần tử (chính P ,) còn các quỹ đạo khác có nhiều hơn một phần tử, tức số phần tử của các quỹ đạo đó đều chia hết cho p Vì vậy, số số các... cấp m, và p là một số nguyên tố chia hết m Khi đó, trong G chứa một nhóm con cấp p Chứng minh Trước hết, ta chứng minh bằng quy nạp: nếu G có số mũ n (tức n ∈ N∗ sao cho an = 1G , với mọi a ∈ G) thì cấp của nhóm G chia hết một lũy thừa nào đó của n Thật vậy, lấy b ∈ G, b = 1G và xét H = [b]; khi đó cấp H | n vì bn = 1G Hơn nữa, vì G là nhóm Aben nên ta có nhóm thương G/H và n cũng là số mũ của G/H; do... cấp n và p là một ước nguyên tố của n, và n = mpk với (m, p) = 1 Chứng minh rằng số các p− nhóm con Sylow của G là một ước của m Bài 2.2 Tìm số các 5−nhóm con Sylow của A5 Bài 2.3 Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 6 đều đẳng cấu với một trong hai nhóm Z6 và S3 Bài 2.4 Chứng minh rằng i) Mọi nhóm cấp pq (trong đó p, q là các số nguyên tố và p < q) hoặc là nhóm cyclic, hoặc là nhóm không Aben với một q− nhóm... cả các phần tử xi , i ∈ I Nếu n i xi = 0 i∈I với ni là những số nguyên sao cho chỉ có một số hữu hạn khác 0, thì 0= ni h(xi ) = i∈I n i xi , i∈I từ đó ni = 0, với mọi i ∈ I Do đó, {xi }i∈I là một cơ sở của nhóm con K Lý luận tương tự, nếu z ∈ K và h(z) = 0 thì z = 0, và do đó H ∩ K = {0} Ngoài ra, với mỗi x ∈ G, vì h(x) ∈ G nên tồn tại các số nguyên ni , i ∈ I sao cho n i xi h(x) = i∈I Suy ra h(x −... tử z1 , , zr Xét p là một số nguyên tố; khi đó vì H ∼ Zy1 ⊕ · · · ⊕ Zym = nên H/pH ∼ Zp y1 ⊕ · · · ⊕ Zp ym = Và vì T cũng là một cơ sở của H nên Zp z1 ⊕ · · · ⊕ Zp zr đẳng cấu với một nhóm con của H/pH có pr phần tử Suy ra pr ≤ pm , tức r ≤ m, và do đó số phần tử của T bé hơn hoặc bằng m Do vai trò của S và T như nhau, nên lý luận tương tự ta có m bé hơn hoặc bằng số phần tử của T Bài tập Bài 3.1... một p−nhóm hữu hạn và r1 , , rs là các số nguyên ≥ 1 Khi đó, được gọi là nhóm kiểu (pr1 , , prs ) nếu nó đẳng cấu với tích trực tiếp của các nhóm cyclic cấp pri , i = 1, , s Bổ đề 4.5 Giả sử G là một p−nhóm Aben hữu hạn, a1 ∈ G là một phần tử b b nào đó có ord a1 = pr1 tối đại, G1 = [a1 ], và ¯ ∈ G/G1 với ord ¯ = pr Khi đó ¯ với ord a = pr tồn tại một đại diện a của b Chứng minh Vì ord ¯ =... sử G = {0} Giả sử S là một tập sinh hữu hạn của G và x1 , , xn là tập con tối đại của S có tính chất: Nếu m1 x1 + · · · + mn xn = 0, với mj ∈ Z, thì mj = 0, j = 1, , n (lưu ý rằng n ≥ 1 vì G = {0} ) Giả sử H = [x1 , , xn ]; khi đó H tự do Từ tính tối đại của x1 , , xn , ta có đối với mỗi y ∈ S, tồn tại các số nguyên m1 , , mn , my không bằng 0 tất cả sao cho my y + m1 x1 + · · · + mn... Giả sử Định lý đã được chứng minh đối với tất cả các nhóm có cấp bé hơn cấp của G; khi đó nếu trong G có một nhóm con thực sự H mà có chỉ số nguyên tố với p, thì p−nhóm con Sylow của H cũng là p−nhóm con Sylow của G Còn nếu mọi nhóm con thực sự của G đều có chỉ số chia hết cho p, thì xét tác động liên hợp của G trên chính nó ta có cấp G = cấp Z(G) + (G : Cx ), x∈C với p | (G : Cx ) Từ đó suy ra p |... một p−nhóm con Sylow nào đó, ii) Tất cả các p−nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau, iii) Số các p−nhóm con Sylow của G ≡ 1 (mod p) Chứng minh i) Đặt S là tập các p−nhóm con Sylow của G, và xét tác động liên hợp của G trên S Lấy P là một p−nhóm con Sylow của G; khi đó nhóm đẳng hướng GP chứa P, và do đó quỹ đạo GP có số phần tử nguyên tố với p (vì Card GP = (G : GP )) Giả sử H là một p−nhóm con cấp lớn... sinh đều hữu hạn ii) Với p là số nguyên tố, ta ký hiệu G(p) là bộ phận gồm các phần tử x ∈ G sao cho ord x = pn , với n ∈ N nào đó Khi đó, theo i), G(p) là một nhóm con tuần hoàn của G; và hơn nữa G(p) là một p−nhóm nếu G(p) hữu hạn (theo Bổ đề 2.3 của §2) Định lý 4.3 Cho G là một nhóm Aben hữu hạn Khi đó, G là tích trực tiếp của các nhóm con G(p) của nó theo tất cả các số nguyên tố p sao cho G(p) =