Giáo trình Đại số Đại cương nâng cao.

Lý thuyết về tác động nhóm, R-modun..

VĂN NAM - PHAN VĂN THIỆN

ĐẠI SỐ ĐẠI CƯƠNG

NÂNG CAO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - ĐẠI HỌC HUẾ

Huế, tháng 05, năm 2012.

Giáo trình này được viết bởi Văn Nam và Phan vănThiện, giảng viên Khoa Toán, Trường ĐHSP - Đạihọc Huế Giáo trình này được dùng để giảng dạy

và học tập học phần đại số đại cương nâng cao mãsố: TOAN4423 (theo mã học phần)

≡ (mod n) Đồng dư theo môđulô n

Zn Vành các lớp thặng dư theo môđulô n

Z∗n Nhóm các lớp khả nghịch của vành Zn

Zp Trường các lớp thặng dư theo môđulô p (p nguyên tố)

Gs Nhóm đẳng hướng của phần tử s trong G

Gs Quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G

Cx Cái chuẩn tắc hóa của x

SL(n, F ) Nhóm các ma trận vuông cấp n trên trường F với định thức bằng 1

⊕ Tổng trực tiếp

Rop Vành đối của vành R

[P ] Môđun con sinh bởi bộ phận P

[x1, , xn] Môđun con sinh bởi x1, , xn

[x] Môđun con cyclic sinh bởi x

T or(M ) Bộ phận gồm các phần tử xoắn của môđun M

M/M0 Môđun thương của môđun M trên môđun con M0

Im h Ảnh của đồng cấu môđun (đại số) h

Ker h Hạt nhân của đồng cấu môđun (đại số) h

Coim h Đối ảnh của đồng cấu môđun (đại số) h

Coker h Đối hạt nhân của đồng cấu môđun (đại số) h

Z(A) Tâm của K−đại số A

A/I Đại số thương của K−đại số A trên iđêan I

iii

LỜI NÓI ĐẦU

Học phần Đại số đại cương nâng cao đã được Trường Đại học Sư phạm-Đạihọc Huế đưa vào chương trình đào tạo, theo học chế tín chỉ, của Khoa Toán

từ năm 2008 − 2009 Đây là học phần đòi hỏi sinh viên phải nắm chắc các kiếnthức trong các học phần Đại số tuyến tính, Đại số đại cương

Giáo trình này viết trung thành với nội dung và tinh thần trong Đề cươngchi tiết, theo học chế tín chỉ, của học phần này, do Khoa Toán của Trường Đạihọc Sư phạm Huế biên soạn Các khái niệm cơ bản về nhóm Aben, về môđun

và đại số, được trình bày chính xác với các thí dụ minh họa Hầu hết các định

lý được chứng minh đầy đủ Giảng viên, tùy theo quỹ thời gian, có thể hướngdẫn cho sinh viên tự đọc và thuyết trình trên lớp một số phần, một số chứngminh Cuối mỗi chương, đều có phần tóm tắt với các định nghĩa chính, cácđịnh lý và các công thức chủ yếu Và phần bài tập đã được chọn lọc kỹ, kèmđáp số và hướng dẫn

Giáo trình gồm ba chương Trong chương 1, trình bày tác động của nhómtrên tập và từ đó khảo sát nhóm con Sylow, nhóm Aben tự do, nhóm Abenhữu hạn sinh Trong chương 2, trình bày các kiến thức cơ bản có liên quanđến môđun Trong chương 3, trình bày các kiến thức cơ bản về đại số và một

số kiểu đại số

Viết giáo trình này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồngnghiệp đã giảng dạy học các học phần có liên quan đến học phần Đại số đạicương nâng cao Chúng tôi xin chân thành cảm ơn các giảng viên đã đọc bảnthảo và đóng góp nhiều ý kiến xác đáng

Cuối cùng, chúng tôi rất mong được bạn đọc vui lòng chỉ cho những thiếusót của cuốn sách để góp phần xây dựng giáo trình Đại số đại cương nâng caonày được tốt hơn

Huế, ngày 10 tháng 02 năm 2011.Văn Nam - Phan văn Thiện

MỤC LỤC

1 Tác động của nhóm trên tập 1

2 Nhóm con Sylow 8

3 Nhóm Aben tự do 11

4 Nhóm Aben hữu hạn sinh 15

Tóm tắt chương 1 21 Hướng dẫn giải bài tập chương 1 23 Bài tập tổng hợp chương 1 28 2 Môđun 31 1 Môđun và môđun con 31

2 Đồng cấu môđun 40

3 Các cấu trúc trên tập hợp các đồng cấu 47

4 Tích và tổng của môđun 52

5 Môđun tự do 59

6 Tích tenxơ của môđun trên vành giao hoán 63

7 Song môđun 68

v

Hướng dẫn giải bài tập chương 2 82Bài tập tổng hợp chương 2 96

(xy)s = x(ys) và 1Gs = s.

Thí dụ 1.2

i) Liên hợp: Cho G là một nhóm; khi đó

f : G × G → G(x, y) 7→ f (x, y) = xyx−1

là một tác động của G trên chính nó, được gọi là tác động liên hợp.ii) Tịnh tiến: Cho G là một nhóm; khi đó

f : G × G → G(x, y) 7→ f (x, y) = xy

là một tác động của G trên chính nó, được gọi là tác động tịnh tiến

1

2 Chương 1 Nhóm Aben

iii) Cho G là một nhóm, S1 là tập tất cả các nhóm con của G, S2 là tập tất

cả các tập con của G Khi đó, ta có các tác động của G trên S1, S2 là

f1 : G × S1 → S1(x, H) 7→ f1(x, H) = xHx−1,

f2 : G × S2 → S2(x, A) 7→ f2(x, A) = xAx−1,lần lượt được gọi là tác động liên hợp của nhóm G trên tập các nhómcon của G, và tác động liên hợp của nhóm G trên tập các tập con củaG

iv) Cho G là một nhóm, H là nhóm con của G, và tập G/H = { xH | x ∈ G }.Khi đó, ta có tác động của G trên G/H là

§ 1 Tác động của nhóm trên tập 3Định nghĩa 1.4 Cho S là một G−tập Khi đó, với s ∈ S,

Gs = { x ∈ G | xs = s }

là một nhóm con của G, được gọi là nhóm đẳng hướng của phần tử s trong

G Và

Gs = { xs | x ∈ G }được gọi là quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G

đó f là một đơn ánh vì với mọi xGs, yGs ∈ G/Gs,

xGs= yGs ⇒ x−1y ∈ Gs

⇒ s = (x−1y)s = x−1(ys)

⇒ xs = ys,

.

Chứng minh Giả sử Gs1, Gs2 là hai quỹ đạo bất kỳ đối với nhóm G Khi

đó, nếu Gs1 ∩ Gs2 6= ∅, tức tồn tại s ∈ Gs1 ∩ Gs2, thì s = x1s1 = x2s2, với

x1, x2 ∈ G Và ta có

xs1 ∈ Gs1 ⇒ xs1 = x(x−11 s)

= x(x−11 (x2s2))

= (xx−11 x2)s2 ∈ Gs2,tức

Gs1 ⊂ Gs2 (1)Tương tự

i∈IGsi, với Gsi đôi một rời nhau

§ 1 Tác động của nhóm trên tập 5ii) Khi G tác động liên hợp trên chính nó, ta có

i) Theo Mệnh đề 1.7, ta có

S =[

i∈I

Gsi,với Gsi đôi một rời nhau Từ đó, theo Mệnh đề 1.6, ta có

m

Gx = {x}

m(G : Cx) = 1

6 Chương 1 Nhóm Aben

Định nghĩa 1.9 Cho G là một nhóm Khi đó

i) Dãy các nhóm con (lồng vào nhau)

Gm ⊂ · · · ⊂ G2 ⊂ G1 ⊂ G0 = G (1)được gọi là một tháp nhóm con của G

ii) Tháp nhóm con (1) được gọi là tháp chuẩn tắc nếu

iii) Cho H
G; khi đó nếu H và G/H đều giải được thì G giải được Thậtvậy, xét phép chiếu chính tắc

§ 1 Tác động của nhóm trên tập 7Lấy Gi = p−1(G0i); thì ta có tháp Aben

Định nghĩa 1.11 Cho p là một số nguyên tố Khi đó, nhóm hữu hạn G đượcgọi là một p− nhóm nếu G có cấp là một lũy thừa của p

Định lý 1.12 Cho G là một p−nhóm Khi đó

i) Nếu cấp G > 1 thì Z(G) 6= {1G},

ii) G giải được

Chứng minh i) Theo ii) Mệnh đề 1.8, ta có

.

8 Chương 1 Nhóm Aben

Bài tậpBài 1.1 Cho G là một nhóm hữu hạn cấp n, và p là ước nguyên tố bé nhấtcủa n, và H là một nhóm con của G sao cho (G : H) = p Chứng minh rằng

H
G

Bài 1.2 Chứng tỏ rằng tồn tại đúng hai nhóm cấp 8 không Aben không đẳngcấu với nhau (Một trong chúng cho bởi các phần tử sinh τ, σ và các hệ thức

σ4 = 1, τ2 = 1, τ στ = σ3.Nhóm kia là nhóm các quatecnion.)

Định nghĩa 2.1 Cho G là một nhóm hữu hạn, H là một nhóm con của G,

và p là một số nguyên tố Khi đó

i) H được gọi là một p−nhóm con của G nếu H là p−nhóm

ii) H được gọi là một p−nhóm con Sylow của G nếu H có cấp pn và pn làlũy thừa cao nhất của p chia hết cấp của G

[¯4 = { ¯0, ¯3, ¯6, ¯9 }

Và có một 3−nhóm con Sylow là

[¯3 = { ¯0, ¯4, ¯8 }

§ 2 Nhóm con Sylow 9

Bổ đề 2.3 Cho G là một nhóm Aben hữu hạn cấp m, và p là một số nguyên

tố chia hết m Khi đó, trong G chứa một nhóm con cấp p

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh bằng quy nạp: nếu G có số mũ n (tức

n ∈ N∗ sao cho an= 1G, với mọi a ∈ G) thì cấp của nhóm G chia hết một lũythừa nào đó của n Thật vậy, lấy b ∈ G, b 6= 1G và xét H = [b]; khi đó cấp

H | n vì bn= 1G Hơn nữa, vì G là nhóm Aben nên ta có nhóm thương G/H

và n cũng là số mũ của G/H; do đó cấp (G/H) chia hết một lũy thừa nào đócủa n (theo giả thiết quy nạp) Từ đó, suy ra cấp của G chia hết một lũy thừanào đó của n vì

cấp G = cấp (G/H)cấp H

Bây giờ, giả sử p | cấp G = m, khi đó theo điều vừa chứng minh, trong G tồntại một phần tử x có cấp là một bội khác không của p, tức ord x = ps, s 6= 0(vì nếu không thì lấy số mũ n của G là bội chung nhỏ nhất của các cấp củacác phần tử của G ta sẽ thấy cấp G = m không chia hết một lũy thừa nào của

n cả) Suy ra, ord xs = p, và vì vậy cấp [xs] = p

Định lý 2.4 Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố chia hếtcấp của G Khi đó, trong G tồn tại một p−nhóm con Sylow

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo cấp của nhóm G Khi cấp

G = p thì khẳng trên rõ ràng đúng Giả sử Định lý đã được chứng minh đốivới tất cả các nhóm có cấp bé hơn cấp của G; khi đó nếu trong G có một nhómcon thực sự H mà có chỉ số nguyên tố với p, thì p−nhóm con Sylow của Hcũng là p−nhóm con Sylow của G Còn nếu mọi nhóm con thực sự của G đều

có chỉ số chia hết cho p, thì xét tác động liên hợp của G trên chính nó ta có

cấp G = cấp Z(G) +X

x∈C

(G : Cx),

với p | (G : Cx) Từ đó suy ra p | Z(G), suy ra Z(G) 6= {1G}

Theo Bổ đề 2.3, trong Z(G) tồn tại một nhóm con cyclic H sinh bởi mộtphần tử cấp p Vì H ⊂ Z(G) nên H
G Xét phép chiếu chính tắc f : G →G/H, x 7→ xH; khi đó nếu pn là lũy thừa cao nhất của p chia hết cấp của Gthì pn−1 là lũy thừa cao nhất của p chia hết cấp của G/H, nên theo giả thiết

.

10 Chương 1 Nhóm Aben

quy nạp, tồn tại p−nhóm con Sylow K’ của G/H với cấp pn−1, và K0 ∼= K/Hvới K = f−1(K0) Do đó, K là nhóm con của G với cấp pn, tức K là mộtp−nhóm con Sylow của G

Định lý 2.5 Đối với mọi nhóm hữu hạn G

i) Mỗi p−nhóm con được chứa trong một p−nhóm con Sylow nào đó,ii) Tất cả các p−nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau,

iii) Số các p−nhóm con Sylow của G ≡ 1 (mod p)

Chứng minh

i) Đặt S là tập các p−nhóm con Sylow của G, và xét tác động liên hợp của

G trên S Lấy P là một p−nhóm con Sylow của G; khi đó nhóm đẳng hướng

GP chứa P, và do đó quỹ đạo GP có số phần tử nguyên tố với p (vì Card

GP = (G : GP))

Giả sử H là một p−nhóm con cấp lớn hơn 1 của G; khi đó H tác động liênhợp trên GP và GP được phân tích thành hợp của các quỹ đạo đối với H đôimột rời nhau Vì cấp của H là một lũy thừa của p nên chỉ số của một nhómcon thực sự bất kỳ của nó chia hết cho p, do đó có ít nhất một trong các quỹđạo đối với H trong GP gồm chỉ một phần tử,tức là gồm chỉ một nhóm conSylow P0 nào đó Khi đó, H chứa trong cái chuẩn tắc hóa của P0 và do đó

HP0 là một nhóm con của G Ngoài ra, P0
HP0 Vì

(HP0)/P0 ∼= H/(H ∩ P0

)nên cấp của (HP0)/P0 là một lũy thừa của p, suy ra cấp của HP0 là lũy thừacủa p Vì P0 là p−nhóm con tối đại trong G, nên HP0 = P0, và do đó H ⊂ P0.ii) Lấy H là một p−nhóm con Sylow của G; khi đó theo chứng minh trên,

H ⊂ P0, với P0 liên hợp với P vì cấp H=cấp P0 nên H = P0, tức H liên hợpvới P

iii) Lấy H = P ; khi đó chỉ có một quỹ đạo đối với H chứa đúng một phần

tử (chính P ,) còn các quỹ đạo khác có nhiều hơn một phần tử, tức số phần tửcủa các quỹ đạo đó đều chia hết cho p Vì vậy, số số các p−nhóm con Sylowcủa G ≡ 1 (mod p)

§ 3 Nhóm Aben tự do 11

Bài tậpBài 2.1 Cho G là một nhóm hữu hạn cấp n và p là một ước nguyên tố của

n, và n = mpk với (m, p) = 1 Chứng minh rằng số các p− nhóm con Sylowcủa G là một ước của m

Bài 2.2 Tìm số các 5−nhóm con Sylow của A5

Bài 2.3 Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 6 đều đẳng cấu với một trong hainhóm Z6 và S3

Bài 2.4 Chứng minh rằng

i) Mọi nhóm cấp pq (trong đó p, q là các số nguyên tố và p < q) hoặc lànhóm cyclic, hoặc là nhóm không Aben với một q− nhóm con Sylow chuẩn tắc.ii) Trường hợp sau xẩy ra khi và chỉ khi q − 1 chia hết cho p

iii) Mọi nhóm cấp 15 đều cyclic

Bài 2.5 Chứng minh rằng tập hợp P các ma trận

± ¯1 ¯

¯ ¯

!, ± ¯ −¯1

−¯1 −¯1

!, ± −¯1 −¯1

−¯1 ¯

!, ± ¯ ¯

−¯1 ¯

!,

với các phần tử trong Z3là một 2−nhóm con Sylow chuẩn tắc trong SL(2, Z3).Trong đó

SL(n, F ) = { A ∈ GL(n, F ) | det (A) = 1 },với F là một trường

Định nghĩa 3.1 Cho S là một tập khác rỗng Khi đó, nhóm Aben tự do trên

S là một cặp (f, F ), trong đó F là một nhóm Aben và f là một ánh xạ từ S

.

12 Chương 1 Nhóm Aben

đến F, sao cho

Với mỗi cặp (g, G), trong đó G là một nhóm Aben và g là một ánh xạ từ

S đến G, tồn tại duy nhất một đồng cấu nhóm h : F → G thỏa mãn g = hf.Định lý 3.2 Với mỗi tập S khác rỗng, nhóm Aben tự do trên S tồn tại vàduy nhất (sai khác đẳng cấu)

§ 3 Nhóm Aben tự do 13

⇓

kx = k0x, với mỗi x ∈ S

Xét ánh xạ f : S → Z(S), xác định bởi f (x) = 1.x, với mọi x ∈ S; khi

đó f là đơn ánh, nên ta thường đồng nhất S với ảnh f (S) ⊂ Z(S) Hơn nữa,(f, Z(S)) là một nhóm Aben tự do vì nếu G là một nhóm Aben và g : S → G,thì h : Z(S) → G xác định bởi

là đồng cấu nhóm duy nhất thỏa mãn g = hf

Ngoài ra, giả sử (f1, F1) và (f2, F2) là hai nhóm Aben tự do trên cùng mộttập S; khi đó tồn tại một đồng cấu nhóm h1 : F1 → F2 sao cho h1f1 = f2 vàtồn tại một đồng cấu nhóm h2 : F2 → F1 sao cho h2f2 = f1 Từ đó

Định nghĩa 3.3 Nhóm G được gọi là nhóm Aben tự do nếu G ∼= Z(S), vớimột tập S nào đó Và khi đó, S được gọi là một cơ sở của nhóm Aben tự doG

Quy ước: nhóm 0 được coi như là nhóm Aben tự do sinh bởi tập rỗng

Bổ đề 3.4 Giả sử h : G → G0 là một toàn cấu từ nhóm Aben G lên nhómAben G0, và Ker h = H Khi đó, nếu G0 là tự do thì trong G tồn tại một nhómcon K sao cho h|K là một đẳng cấu từ K lên G0 và G = H ⊕ K

.

14 Chương 1 Nhóm Aben

Chứng minh Giả sử {x0i}i∈I là một cơ sở của G0 và với mỗi i ∈ I, giả sử xi làmột phần tử nào đó của G sao cho h(xi) = x0i Đặt K là nhóm con của G sinhbởi tất cả các phần tử xi, i ∈ I Nếu

X

i∈I

nixi = 0với ni là những số nguyên sao cho chỉ có một số hữu hạn khác 0, thì

h(x) =X

i∈I

nix0i.Suy ra

Định lý 3.5 Cho G là một nhóm Aben tự do và H là một nhóm con của

G Khi đó, H cũng là một nhóm Aben tự do và lực lượng của cơ sở của H béhơn hoặc bằng lực lượng của cơ sở của G Hai cơ sở bất kỳ của H có cùng lựclượng, gọi là hạng của H

Chứng minh Ta chỉ chứng minh bằng quy nạp theo n, trong trường hợp Ghữu hạn sinh với cơ sở {x1, , xn}, n ≥ 1 (trong trường hợp G không hữuhạn sinh, có thể lý luận tương tự bằng quy nạp siêu hạn) Thật vậy, ta có

G = Zx1⊕ · · · ⊕ Zxn.Xét phép chiếu p : G → Zx1, xác định bởi p(m1x1 + · · · + mnxn) = m1x1, vàđặt H1 = Ker p|H Khi đó H1 chứa trong nhóm con tự do sinh bởi {x2, , xn}.Theo giả thiết quy nạp, H1 là tự do và cơ sở có lực lượng bé hơn hoặc bằng

§ 4 Nhóm Aben hữu hạn sinh 15

n − 1 Theo Bổ đề 3.4, trong H tồn tại một nhóm con K1 đẳng cấu với mộtnhóm con của Zx1 sao cho

H = H1⊕ K1

Vì Zx1 là nhóm cyclic vô hạn nên K1 hoặc bằng {0} hoặc cyclic vô hạn (tức

là nhóm Aben tự do với một phần tử sinh) Do đó, H là Aben tự do có cơ sở

S = {y1, , ym}, với m ≤ n Như vậy, ta chỉ còn cần chứng minh hai cơ sởbất kỳ của H có cùng lực lượng

Thật vậy, giả sử T là một cơ sở khác của H chứa ít nhất r phần tử z1, , zr.Xét p là một số nguyên tố; khi đó vì

Bài 3.2 i) Chứng minh rằng nhóm (Z, +) là nhóm Aben tự do, nhưng (Q, +)không phải là nhóm Aben tự do

ii) (R, +) và (C, +) có phải là nhóm Aben tự do không?

Nhóm Aben hữu hạn sinh, tức là nhóm Aben có một tập sinh hữu hạn, làmột loại nhóm thường gặp Trong mục này ta sẽ mô tả một cách hoàn chỉnhcấu trúc của loại nhóm này

Định nghĩa 4.1 Cho G là một nhóm Aben (phép toán ký hiệu +) Khi đó

.

16 Chương 1 Nhóm Aben

i) Phần tử x ∈ G được gọi là phần tử tuần hoàn nếu ord x hữu hạn.ii) Bộ phận tất cả các phần tử tuần hoàn của nhóm G lập thành một nhómcon của G, được gọi là nhóm con xoắn của G

iii) Nhóm G được gọi là nhóm tuần hoàn nếu G trùng với nhóm con xoắncủa nó

Lưu ý 4.2 i) Nếu ord x = n và ord x = m thì ord (x ± y) | mn Và rõràng mọi nhóm Aben tuần hoàn hữu hạn sinh đều hữu hạn

ii) Với p là số nguyên tố, ta ký hiệu G(p) là bộ phận gồm các phần tử x ∈ Gsao cho ord x = pn, với n ∈ N nào đó Khi đó, theo i), G(p) là một nhómcon tuần hoàn của G; và hơn nữa G(p) là một p−nhóm nếu G(p) hữuhạn (theo Bổ đề 2.3 của §2)

Định lý 4.3 Cho G là một nhóm Aben hữu hạn Khi đó, G là tích trựctiếp của các nhóm con G(p) của nó theo tất cả các số nguyên tố p sao choG(p) 6= {0}

Chứng minh Trước hết, nếu cấp G = n là một lũy thừa của một số nguyên

tố p, thì rõ ràng G = G(p) Còn nếu trái lại thì n = mm0, với m, m0 là các

số nguyên lớn hơn 1 và (m, m0) = 1 Và theo Định lý Bezout, tồn tại r, s ∈ Zsao cho

rm + sm0 = 1

Vì vậy, G = rmG+sm0G ⊂ mG+m0G ⊂ G, từ đó suy ra G = mG+m0G Ngoài

ra, nếu x ∈ mG ∩ m0G thì m0x = 0 và mx = 0, và từ đó x = rmx + sm0x = 0.Như vậy, G là tích trực tiếp của hai nhóm con mG và m0G

Hơn nữa, nếu ký hiệu Gklà nhóm con của G gồm tất cả các x mà kx = 0, thì

Gm = m0G và Gm0 = mG Thật vậy, rõ ràng m0G ⊂ Gm (do mm0G = {0}); vàngược lại nếu x ∈ Gm thì x = rmx + sm0x = m0sx ∈ m0G Do đó, m0G = Gm,

và tương tự mG = Gm0 Như thế

G = Gm× Gm0,trong đó |Gm| = m và |Gm0| = m0 (do (|Gm|, m0) = 1, (|Gm0|, m) = 1 và

|Gm||Gm0| = n = mm0) Và bằng quy nạp ta có được kết luận của Định lý

§ 4 Nhóm Aben hữu hạn sinh 17Định nghĩa 4.4 Cho G là một nhóm Khi đó

i) G được gọi là nhóm không xoắn nếu đơn vị là phần tử duy nhất trong G

có cấp hữu hạn

ii) Giả sử G là một p−nhóm hữu hạn và r1, , rs là các số nguyên ≥ 1.Khi đó, được gọi là nhóm kiểu (pr 1, , pr s) nếu nó đẳng cấu với tíchtrực tiếp của các nhóm cyclic cấp pr i, i = 1, , s

Bổ đề 4.5 Giả sử G là một p−nhóm Aben hữu hạn, a1 ∈ G là một phần tửnào đó có ord a1 = pr 1 tối đại, G1 = [a1], và ¯b ∈ G/G1 với ord ¯b = pr Khi đótồn tại một đại diện a của ¯b với ord a = pr

Chứng minh Vì ord ¯b = pr nên prb ∈ G1, tức prb = na1, n ∈ Z Giả sử

n = pkm, (m, p) = 1; khi đó ma1 cũng là phần tử sinh của G1, và vì vậyord (ma1) = pr 1 Ta có thể giả sử k ≤ r1, và khi đó ord (pkma1) = pr 1 −k Từ

đó suy ra

ord b = pr+r1 −k

.Suy ra r + r1 − k ≤ r1, và do đó r ≤ k Điều này chứng tỏ tồn tại c ∈ G1sao cho prb = prc (do n = pkm và prb = na1 = pkma1 = prpk−rma1) Đặt

a = b − c, khi đó a là một đại diện của ¯b Vì

pr= ord ¯b ≤ ord a

và pra = prb − prc = 0, nên ord a = pr

Định lý 4.6 Mọi p− nhóm Aben hữu hạn đều đẳng cấu với tích trực tiếp cácp− nhóm cyclic Và nếu nó là nhóm kiểu (pr 1, , pr s), với r1 ≥ · · · ≥ rs≥ 1,thì dãy (r1, , rs) được xác định duy nhất

Chứng minh Giả sử G là một p−nhóm Aben hữu hạn, khi đó trước hết nếu

0 6= b ∈ G, k ∈ N sao cho pkb 6= 0, và pm = ord (pkb), thì ord b = pk+m Và ta

sẽ chứng minh định lý bằng quy nạp theo cấp của G Theo giả thiết quy nạpnhóm thương

G/G1 = G2× × Gs,trong đó Gj là các nhóm con cyclic cấp prj của G/G1, với r2 ≥ rs

.

18 Chương 1 Nhóm Aben

Giả sử aj là phần tử sinh của Gj (j = 2, , s) với ord aj = ord aj (xem

Bổ đề 4.5) Giả sử Gj là nhóm con cyclic sinh bởi aj Ta sẽ chứng minh

G = G1× × Gs

Thật vậy, với mỗi ¯x ∈ G/G1 tồn tại các mj ∈ Z (j = 2, , s) sao cho

¯

x = m2¯2+ · · · + ms¯s.Suy ra x − m2a2 − · · · − msas∈ G1, tức tồn tại m1 ∈ Z sao cho

§ 4 Nhóm Aben hữu hạn sinh 19Hơn nữa, cấp của G là

pr1 +···+r npν = pr1 +···+r npµ,cho nên ν = µ

Định lý 4.7 Cho G là một nhóm Aben hữu hạn sinh không xoắn Khi đó, G

tự do

Chứng minh Có thể giả sử G 6= {0} Giả sử S là một tập sinh hữu hạn của G

và x1, , xn là tập con tối đại của S có tính chất: Nếu m1x1+ · · · + mnxn = 0,với mj ∈ Z, thì mj = 0, j = 1, , n (lưu ý rằng n ≥ 1 vì G 6= {0} )

Giả sử H = [x1, , xn]; khi đó H tự do Từ tính tối đại của x1, , xn, ta

có đối với mỗi y ∈ S, tồn tại các số nguyên m1, , mn, my không bằng 0 tất

H của G sao cho G = Gt⊕ H

Chứng minh Giả sử G sinh bởi n phần tử và F là nhóm Aben tự do trên nphần tử; khi đó có một toàn cấu nhóm h : F → G (xem chứng minh của Định

lý 3.2) Và theo Định lý 3.5, nhóm con h−1(Gt) của F cũng hữu hạn sinh, và

do đó Gt cũng hữu hạn sinh Như vậy, Gt vừa tuần hoàn vừa hữu hạn sinh,

và do đó Gt hữu hạn

.

20 Chương 1 Nhóm Aben

Ngoài ra, giả sử ¯x ∈ G/Gt sao cho m¯x = ¯0 với một số nguyên m 6= 0 nào

đó Khi đó, ta có mx ∈ Gt, từ đó qmx = 0 với một số nguyên q 6= 0 nào đó Do

đó, x ∈ Gt, và như thế ¯x = ¯0 Vậy G/Gt không xoắn, theo Định lý 4.7, G/Gt

tự do

Cuối cùng, theo Bổ đề 3.4, từ toàn cấu chính tắc p : G → G/Gt (Ker

p = Gt) tồn tại nhóm con tự do H (H ∼= G/Gt) của G sao cho G = Gt⊕H

Bài tậpBài 4.1 Giả sử G là một nhóm Aben tuần hoàn Chứng minh rằng G là tổngtrực tiếp các nhóm con G(p) của nó theo tất cả các p nguyên tố

Bài 4.2 Xét các nhóm cộng Z, Q; hãy chứng tỏ rằng Q/Z là một nhóm tuầnhoàn có một và chỉ một nhóm con cấp n đối với mỗi số nguyên n ≥ 1, và mỗinhóm con đó đều cyclic

Bài 4.3 Chứng minh rằng mọi phép thế chẵn đều có thể phân tích thành tíchcủa những vòng xích độ dài 3 Hơn nữa

An = [ (1 2 3), (1 2 4), , (1 2 n) ]Bài 4.4 Cho G là một nhóm cyclic cấp n và H là một nhóm cyclic cấp m.Chứng tỏ rằng trong trường hợp m, n nguyên tố cùng nhau, nhóm G × H làcyclic (cấp mn)

§ 4 Nhóm Aben hữu hạn sinh 21

Tóm tắt chương 1

Cho G là một nhóm và S là một tập Khi đó,tác động của nhóm G trêntập S là một ánh xạ

f : G × S → S(x, s) 7→ f (x, s)k/h= xs,sao cho với mọi x, y ∈ G, với mọi s ∈ S,

(xy)s = x(ys) và 1Gs = s

Nếu có một tác động của G trên S thì S được gọi là một G−tập

Cho S là một G−tập Khi đó, với s ∈ S,

Gs = { x ∈ G | xs = s }

là một nhóm con của G, được gọi là nhóm đẳng hướng của phần tử s trong G.Và

Gs = { xs | x ∈ G }được gọi là quỹ đạo của phần tử s đối với nhóm G

i∈IGsi, với Gsi đôi một rời nhau

Khi G tác động liên hợp trên chính nó, ta có

cấp G = cấp Z(G) +X

x∈C

(G : Cx),

.

-Tháp nhóm con (1) được gọi là tháp chuẩn tắc nếu

-H được gọi là một p−nhóm con của G nếu H là p−nhóm

-H được gọi là một p−nhóm con Sylow của G nếu H có cấp pn và pn làlũy thừa cao nhất của p chia hết cấp của G

Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố chia hết cấp của G.Khi đó, trong G tồn tại một p−nhóm con Sylow

Đối với mọi nhóm hữu hạn G

-Mỗi p−nhóm con được chứa trong một p−nhóm con Sylow nào đó,-Tất cả các p−nhóm con Sylow đều liên hợp với nhau,

-Số các p−nhóm con Sylow của G ≡ 1 (mod p)

Cho S là một tập khác rỗng Khi đó, nhóm Aben tự do trên S là một cặp(f, F ), trong đó F là một nhóm Aben và f là một ánh xạ từ S đến F, sao cho:

§ 4 Nhóm Aben hữu hạn sinh 23

Với mỗi cặp (g, G), trong đó G là một nhóm Aben và g là một ánh xạ từ Sđến G, tồn tại duy nhất một đồng cấu nhóm h : F → G thỏa mãn g = hf.Với mỗi tập S khác rỗng, nhóm Aben tự do trên S tồn tại và duy nhất (saikhác đẳng cấu)

Nhóm G được gọi là nhóm Aben tự do nếu G ∼= Z(S), với một tập S nào

đó Và khi đó, S được gọi là một cơ sở của G

Cho G là một nhóm Aben tự do và H là một nhóm con của G Khi đó, Hcũng là một nhóm Aben tự do và lực lượng của cơ sở của H bé hơn hoặc bằnglực lượng của cơ sở của G Hai cơ sở bất kỳ của H có cùng lực lượng, gọi làhạng của H

Cho G là một nhóm Aben (phép toán ký hiệu +) Khi đó

-Phần tử x ∈ G được gọi là phần tử tuần hoàn nếu ord x hữu hạn

-Bộ phận tất cả các phần tử tuần hoàn của nhóm G lập thành một nhómcon của G, được gọi là nhóm con xoắn của G

-Nhóm G được gọi là nhóm tuần hoàn nếu G trùng với nhóm con xoắn củanó

Cho G là một nhóm Aben hữu hạn Khi đó, G là tích trực tiếp của cácnhóm con G(p) của nó theo tất cả các số nguyên tố p sao cho G(p) 6= {0}.Cho G là một nhóm Khi đó

-G được gọi là nhóm không xoắn nếu đơn vị là phần tử duy nhất trong G

có cấp hữu hạn

-Giả sử G là một p−nhóm hữu hạn và r1, , rs là các số nguyên ≥ 1 Khi

đó, được gọi là nhóm kiểu (pr 1, , pr s) nếu nó đẳng cấu với tích trực tiếp củacác nhóm cyclic cấp pr i, i = 1, , s

Mọi p− nhóm Aben hữu hạn đều đẳng cấu với tích trực tiếp các p− nhómcyclic Và nếu nó là nhóm kiểu (pr 1, , pr s), với r1 ≥ · · · ≥ rs ≥ 1, thì dãy(r1, , rs) được xác định duy nhất

Cho G là một nhóm Aben hữu hạn sinh không xoắn Khi đó, G tự do.Cho G là một nhóm Aben hữu hạn sinh và Gt là nhóm con xoắn của G.Khi đó, Gt là hữu hạn và G/Gt tự do, và tồn tại một nhóm con tự do H của

G sao cho G = Gt⊕ H

Hướng dẫn giải bài tập chương 1

.

Nếu (G : NH) = 1 thì NH = G, nhưng H là nhóm con chuẩn tắc của NHnên trong trường hợp này H là nhóm con chuẩn tắc của G

m, (q < p), mâu thuẩn với p là ước nguyên tố bé nhất của cấp của G Vì vậy,Ker h = H, và do đó trong trường hợp này H cũng là nhóm con chuẩn tắc củaG

Bài 1.2

§ 4 Nhóm Aben hữu hạn sinh 25

Trước hết, với K là một nhóm con chuẩn tắc Aben của G, ta có G/K tác

động lên K

f : (G/K) × K → K

(xK, a) 7→ (xK)a = xax−1Thật vậy,

xK = yK ⇒ x−1y ∈ K ⇒ x−1ya = ax−1y (do K Aben)

suy ra

xx−1yay−1 = xax−1yy−1

⇓yay−1 = xax−1

Vì vậy,f là một ánh xạ Ngoài ra, với mọi xK, yK ∈ G/K, a ∈ K,

((xK)(yK))a = ((xy)K)a = (xy)a(xy)−1 = x(yay−1)x−1= x((yK)a)x−1 = (xK)((yK)a)

Và (K)a = (1GK)a = 1Ga1−1G = a

Từ tác động này ta có đồng cấu nhóm

T : G/K → AutK

xK 7→ T (xK),với T (xK) : K → K xác định bởi T (xK)(a) = xax−1

Cho G là một nhóm cấp 8 và K là một nhóm con cấp 4 của G Khi đó, K

Aben (do mọi nhóm có cấp < 5 đều Aben) và vì (G:K)=2 là ước nguyên tố

bé nhất của 8 nên K là nhóm con chuẩn tắc của G Và từ đó ta có đồng cấu

nhóm

T : G/K → AutK

Nếu cấp của Ker T bằng 2 thì cấp của Im T bằng 1, cho nên trong trường

hợp này với mọi x ∈ G, a ∈ K, xax−1 = a ⇔ xa = ax ⇔ a ∈ Z(G), tức

K ⊂ Z(G) Ngoài ra, cấp của G/K bằng 2 nên G/K cyclic, và do đó G Aben

Nếu cấp của Ker T bằng 1 thì cấp của Im T bằng 2 Ta có hai trường hợp

xẩy ra:

.

Thật vậy, xét tác động bằng liên hợp của G trên tập S1 gồm các nhóm concủa G;

mpk(NP : P )cấp P =

m(NP : P ).

Từ đó suy ra sp là một ước của m

Với G = A5, ta có s5 ≡ 1 (mod 5) và s5 | 3.4 = 12, nên s5 = 1 hoặc s5 = 6.Hơn nữa, lấy σ = (1 2 3 4 5) ∈ A5 thì

[σ]5 = {e, ((1 2 3 4 5), (1 3 5 2 4), (1 4 2 5 3), (1 5 4 3 2)}

là 5−nhóm con Sylow của A5 Và ngoài các vòng xích độ dài 5 trong [σ]5 tacòn có các vòng xích độ dài 5 khác Vì vậy, s5 > 1, và do đó s5 = 6

§ 4 Nhóm Aben hữu hạn sinh 27Bài 2.3.

Cho G là một nhóm có cấp 6 Khi đó vì 6 = 2.3 nên trong G có một nhómcon cấp 2 là [a]2 và một nhóm con cấp 3 là [b]3

Nếu ab = ba thì vì ord a = 2, ord b = 3, (2, 3) = 1, nên ord ab = [2, 3] =2.3 = 6 Vì vậy, trong trường hợp này

G = [ab]6 ∼= Z6.Còn nếu ab 6= ba thì

G = { 1G, b, b2, a, ab, ba } ∼= S3.Bài 2.4

Xét G là một nhóm cấp pq, với p, q nguyên tố và p < q; khi đó trong G tồntại một nhóm con K có cấp q với (G : K) = p, là ước nguyên tố bé nhất củacấp của G Vì vậy, K là nhóm con chuẩn tắc của G và K Aben (do K cyclic)

Từ đó ta có đồng cấu

G/K → Aut K,G/K có cấp p và Aut K có cấp q − 1

Bài 2.5

Kiểm chứng P là nhóm con chuẩn tắc của SL(2, Z3) Vì nhóm này có cấp

6 + 9 + 9 = 24 = 23.3 và cấp của P bằng 8 = 23 nên P là 2−nhóm con Sylowchuẩn tắc của SL(2, Z3)

§3 Nhóm Aben tự do

Bài 3.1 Nói chung nhóm cyclic không phải là nhóm Aben tự do

Bài 3.2

i) Rõ ràng (Z, +) là nhóm Aben tự do sinh bởi 1 Nhưng (Q, +) không phải

là nhóm Aben tự do vì hai phần tử tùy ý của Q là phụ thuộc tuyến tính trên

Z và nếu Q có một cơ sở trên Z gồm một phần tử thì dẫn đến vô lý

ii) Từ i) suy ra (R, +) và (C, +) không phải là nhóm Aben tự do

§4 Nhóm Aben hữu hạn sinh

.

28 Chương 1 Nhóm Aben

Bài 4.1

Nếu G hữu hạn thì theo Định lý 4.3 ta thấy đúng

Còn nếu G vô hạn thì kiểm chứng

i) Chứng minh rằng trong nhóm nhân Z∗p, cấp của ¯2 là 2h

ii) Dùng Định lý Fermat suy ra rằng 2h chia hết p − 1 = 2h

§ 4 Nhóm Aben hữu hạn sinh 29

iii) Từ đó suy ra h là một lũy thừa của 2

Giả sử G là một nhóm và H là một nhóm con chỉ số hữu hạn của nó Chứng

tỏ rằng trong G tồn tại một nhóm con chuẩn tắc N chứa trong H và cũng cóchỉ số hữu hạn [Hướng dẫn: nếu (G : H) = n, thì hãy tìm một đồng cấu từ Gvào Sn mà hạt nhân của nó chứa trong H.]

.

30 Chương 1 Nhóm Aben

Chương 2

Môđun

Định nghĩa 1.1 Cho R là một vành có đơn vị 1R 6= 0R; một R− môđun trái(hay môđun trái trên vành R) là một nhóm cộng Aben M cùng với một ánhxạ

f : R × M → M(a, x) 7→ f (a, x)k/h= axthỏa mãn các điều kiện:

32 Chương 2 Môđun

ii) Cho R là một vành có đơn vị 1R6= 0R; một R− môđun phải (hay môđunphải trên vành R) là một nhóm cộng Aben M cùng với một ánh xạ

f0 : M × R → M(x, a) 7→ f0(x, a)k/h= xathỏa mãn các điều kiện:

iv) Nếu M là một R−môđun trái với phép nhân bên trái vectơ với vô hướng

là (a, x) 7→ ax; khi đó với ánh xạ

M × Rop → M(x, a) 7→ xa = ax,

M là một Rop−môđun phải Và ngược lại, nếu M là một Rop−môđunphải với phép nhân bên phải vectơ với vô hướng là (x, a) 7→ xa; khi đóvới ánh xạ

f : R × M → M(a, x) 7→ ax = xa,

§ 1 Môđun và môđun con 33Thí dụ 1.3.

i) Mọi nhóm cộng Aben M đều là một Z−môđun với phép nhân vectơ với

vô hướng (m, x) → mx (mx là bội nguyên m của x ∈ M )

ii) Mọi không gian vectơ trên trường F đều là một F −môđun

iii) Iđêan trái I của vành R có đơn vị 1R 6= 0R là một R−môđun với phépnhân vectơ với vô hướng (a, x) → ax (ax là nhân của vành R) Đặc biệt,

với mọi (a1, · · · , an), (b1, · · · , bn) ∈ Rn, và với mọi a ∈ R

Mệnh đề 1.4 Cho M là một R−môđun; khi đó với mọi a ∈ R và với mọi