i) (0R,0R,1R),(0R,1R,1R), (1R,1R,1R) ii) (1R,0R,1R),(0R,1R,1R), (1R,1R,0R).
Bài 5.3. Chứng minh rằng
i) Mọi nhóm con của nhóm cộng Z đều là một Z−mơđun tự do;
ii) Zn không phải là Z−môđun tự do nhưng là Zn−mơđun tự do.
§ 6 TÍCH TENXƠ CỦA MƠĐUN TRÊN VÀNH GIAO
HỐN
Trong mục này, ta ln giả sử K là vành giao hốn có đơn vị1K 6= 0K.
Định nghĩa 6.1. Cho các K−mơđun L, M và N. Khi đó, một ánh xạ f :L×M →N
được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu với mọi x, x0 ∈L, với mọi y, y0 ∈M và với mọi a∈K,
f(x+x0, y) = f(x, y) +f(x0, y) f(x, y+y0) =f(x, y) +f(x, y0) f(ax, y) = f(x, ay) = af(x, y).
Lưu ý 6.2.
i) Có thể nói ánh xạ song tuyến tính f là ánh xạ theo hai biến và tuyến tính theo mỗi biến.
ii) Với mọi ánh xạ song tuyến tính f :L×M →N, f(0L, y) = f(x,0M) = 0N.
Thật vậy, theo luật giản ước trong nhóm Aben N ta có f(0L, y) =f(0L+ 0L, y) =f(0L, y) +f(0L, y)
64 Chương 2. Môđun
⇓
f(0L, y) = 0N Lý luận tương tự ta cũng có f(x,0M) = 0N.
Định nghĩa 6.3. Tích tenxơ của hai K−môđun L và M là một cặp (τ, T) gồm mộtK−môđun T và một ánh xạ song tuyến tínhτ :L×M →T có tính chất: Với mọi K−mơđun N và ánh xạ song tuyến tính f : L×M →N, tồn tại một ánh xạ tuyến tính duy nhất f¯:T →N sao cho f¯◦τ =f.
Lưu ý 6.4.
i) Nếu (τ, T) và (τ0, T0) đều là tích tenxơ của hai K−mơđun L và M thì tồn tại một đẳng cấuK−môđun duy nhất θ:T ∼=T0 sao cho θ◦τ =τ0. ii) Nếu (τ, T)là tích tenxơ của haiK−mơđunL vàM thì τ(L×M) là tập
sinh củaK−mơđun T.
Định lý 6.5. Tích tenxơ của hai K−môđun bất kỳ L và M tồn tại
Chứng minh. Xét K−mơđun tự do j1 : L×M → K(L×M) và tập con S của KL×M gồm các phần tử có dạng j1(x+x0, y)−j1(x, y)−j1(x0, y) j1(x, y+y0)−j1(x, y)−j1(x, y0) j1(ax, y)−j1(x, ay),
với mọi a ∈ K, x, x0 ∈ L và y, y0 ∈ M. Ký hiệu [S] là mơđun con của KL×M sinh bởi S; khi đó ta có mơđun thương T =K(L×M)/[S] và phép chiếu chính tắc p:K(L×M) →T =K(L×M)/[S]. Vì pchuyển các phần tử của S thành 0T, nên
τ =p◦j1 :L×M →T
là một ánh xạ song tuyến tính. Cặp(τ, T)là tích tenxơ của haiK−mơđunLvà M.Thật vậy, với mọiK−mơđunN và ánh xạ song tuyến tínhf :L×M →N, tồn tại một ánh xạ tuyến tính duy nhất h : K(L×M) → N sao cho h◦j1 = f (do j1 : L ×M → K(L×M)là K−mơđun tự do). Vì f là song tuyến tính
§6. Tích tenxơ của mơđun trên vành giao hoán 65
nên từ h ◦j1 = f suy ra h(S) = 0N, tức S ⊂ Kerh, suy ra [S] ⊂ Kerh. Do đó, theo Định lý đồng cấu cơ bản, tồn tại duy nhất đồng cấu K−mơđun
¯
f :T =K(L×M)/[S]→N sao cho f¯◦p=h. Suy ra f¯◦p◦j1 =f, tức ¯
f◦τ =f.
Hơn nữa, giả sử đồng cấuK−mơđunf0 :T →N cũng thỏa mãnf0◦τ =f thìf0 vàf¯có cùng giá trị tại mọi phần tử của tập sinhτ(L×M)củaT =K(L×M)/[S], cho nên f0 = ¯f .
Lưu ý 6.6.
i) K−mơđun tích tenxơT của haiK−mơđunLvàM thường được ký hiệu T =L⊗KM
cịn ánh xạ song tuyến tính τ được ký hiệu
τ =⊗: L×M →T =L⊗KM (x, y)7→τ(x, y) = x⊗y, và x⊗y được gọi là tích tenxơ của x∈L vày ∈M.
ii) Vì τ(L×M) = { x⊗y | x ∈ L, y ∈ M } là tập sinh của K−môđun L⊗K M nên mỗi phần tử t ∈L⊗KM có thể viết dưới dạng tổng hữu hạn t= n X i=1 (xi⊗yi), xi ∈L, yi ∈M.
iii) Vì ⊗:L×M 7→L⊗KM là ánh xạ song tuyến tính nên ta có các đẳng thức sau
(x+x0)⊗y=x⊗y+x0⊗y, x⊗(y+y0) = x⊗y+x⊗y0, (kx)⊗y=x⊗(ky) = k(x⊗y), với bất kỳ k∈K, x, x0 ∈L và y, y0 ∈M.
66 Chương 2. Mơđun
Mệnh đề 6.7. (Tính giao hốn) Với hai K−môđun L và M bất kỳ
L⊗K M ∼=M ⊗KL
Chứng minh. Vì(x, y)7→y⊗xlà ánh xạ song tuyến tínhf :L×M →M⊗KL nên tồn tại ánh xạ tuyến tính duy nhất θ : L⊗K M → M ⊗K L sao cho với mọi (x, y)∈L×M,
θ(x⊗y) =f(x, y) =y⊗x (1).
Tương tự, vì (y, x)7→x⊗y là ánh xạ song tuyến tính g :M ×L →L⊗KM nên tồn tại ánh xạ tuyến tính duy nhất θ0 : M ⊗K L→ L⊗K M sao cho với mọi (y, x)∈M×L, θ0(y⊗x) =g(y, x) = x⊗y (2). Từ (1) và (2) suy ra θ0θ =IdL⊗KM và θθ0 = IdM⊗KL; tức θ là một đẳng cấu với θ−1 =θ0. Ta cũng có Mệnh đề 6.8. (Tính kết hợp) Với ba K−môđun L, M và N bất kỳ (L⊗KM)⊗KN ∼=L⊗K(M ⊗KN.
Chứng minh. Xem như bài tập.
Mệnh đề 6.9. Với mọi K−môđun M,
(K⊗KM)∼=M ∼=M ⊗ K K.
Chứng minh. Vì ánh xạf :K×M →M định bởif(k, x) = kxlà song tuyến tính, nên tồn tại ánh xạ tuyến tínhθ :K⊗KM →M sao cho
θ(k⊗x) =f(k, x) = kx.
Và ta cũng có ánh xạ tuyến tínhθ0 :M →K ⊗KM định bởi θ0(x) = 1K⊗x. Vì
§6. Tích tenxơ của mơđun trên vành giao hốn 67
cho nên θ0 ◦θ =IdK⊗KM; và vì
θ◦θ0(x) =θ(1K ⊗x) = 1Kx=x, nên θ◦θ0 =IdM.Vậy θ là một đẳng cấu với θ−1 =θ0.
Tổng quát, ta có thể chứng minh
Mệnh đề 6.10. Với mọi K−môđun M và số nguyên dương n,
(Kn⊗KM)∼=Mn.
Mệnh đề 6.11. Nếu L và M là hai K−mơđun tự do có cơ sở theo thứ tự là
{b1, . . . , bm} và {c1, . . . , cn} thì L⊗K M) cũng là mơđun tự do có cơ sở gồm m×n phần tử
{bi⊗cj | i= 1, . . . , m, j = 1, . . . , n}.
Chứng minh. Vì L có một cơ sở m phần tử nên L∼=Km; tương tự M ∼= Kn. Do đó theo Mệnh đề 6.10, ta có đẳng cấu
L⊗K M ∼=Km⊗K M ∼=Mm ∼= (Kn
)m,
nhưng(Kn)mlàK−mơđun tự do có cơ sở gồmn×mphần tử(0, . . . , bi,0, . . . ,0) của Km với các phần tử cơ sở bi của L ở vị trí thứ j.
Mệnh đề 6.12. Với hai đồng cấu K−môđun f :L→L0 và g :M →M0, tồn tại một đồng cấu K−môđun duy nhất
f ⊗g :L⊗K M →L0 ⊗K M0
sao cho f ⊗g(x⊗y) =f(x)⊗f(y) với mọi x∈L và mọi y∈M.
Chứng minh. Ta có ánh xạ ϕ : L×M → L0 ⊗K M0 xác định bởi ϕ(x, y) = f(x)⊗f(y)với mọi(x, y)∈L×M,là song tuyến tính, cho nên tồn tại một ánh xạ tuyến tính duy nhấth:L⊗KM →L0⊗KM0 sao cho với mọi(x, y)∈L×M,
h(x⊗y) =f(x)⊗f(y).
Ánh xạ tuyến tínhhtrong chứng minh thường được ký hiệuf⊗g và được gọi là tích tenxơ của hai đồng cấu f :L→L0 và g :M →M0.
68 Chương 2. Môđun
Bài tập Bài 6.1. Chứng minh rằng nếu (m, n) = 1 thì
Zm⊗ZZn={0}.
Bài 6.2. Cho hai K−môđun M và N. Chứng minh rằng có một tồn cấu nhóm Aben từM⊗ZN lênM⊗KN.Hãy lấy một thí dụ để chứng tỏM⊗ZN 6=
M ⊗KN.
Bài 6.3. Xét Z−môđun Z, môđun con 2Z và môđun thương Z2 =Z/2Z và ký hiệuj : 2Z→Zlà đồng cấu bao hàm và1Z2 :Z2 →Z2 là tự đẳng cấu đồng nhất. Chứng minh ánh xạ
j⊗1Z2 : 2Z⊗Z2 →Z⊗Z2 không phải là đơn cấu.
Bài 6.4. Chứng minh rằng nếu Alà một nhóm Aben hữu hạn vàQ là nhóm cộng các số hữu tỷ thì
A⊗ZQ={0}.