Định nghĩa 2.1. Cho hai môđun M, N trên cùng một vành R. Khi đó, một ánh xạ h:M →N thỏa mãn
h(x+y) = h(x) +h(y) (1) và h(ax) =ah(x) (2),
với mọi x, y ∈ M và với mọi a ∈ R, được gọi là một đồng cấu R−môđun từ M vàoN (hay cịn được gọi là mộtánh xạ R− tuyến tính từM vào N).
Lưu ý 2.2.
i) Từ điều kiện (1) ta thấy rằng nếu h là một đồng cấu R−môđun từ M vàoN thì hcũng là một đồng cấu nhóm cộng, và do đó
h(0M) = 0N; h(−x) =−h(x),
với mọix∈M.
ii) Các điều kiện (1) và (2) có thể gộp lại:
h(ax+by) = ah(x) +bh(y) (3), với mọix, y ∈M và với mọi a, b∈R.
iii) Đồng cấu R−mơđun h được gọi là đơn cấu, tồn cấu hay đẳng cấu tùy theo ánh xạ h là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh. Một đồng cấu R−mơđun từM vào chính nó được gọi là một tự đồng cấu củaR−mơđun M.Một đồng cấu từR−môđunM vào vànhR,xem nhưR−môđun, được gọi là một dạng tuyến tính trên R−mơđun M.
iv) Hợp thành của hai đồng cấuR−mơđun cũng là một đồng cấuR−môđun. Nếu h :M → N là một đẳng cấu R−mơđun thì h−1 :N → M cũng là một đẳng cấu R−môđun. Nếu tồn tại một đẳng cấu R−mơđun từ M lên N thì ta gọi M đẳng cấu vớiN, ký hiệuM ∼=N.
§2. Đồng cấu mơđun 41 i) ChoR là một vành có đơn vị 1R6= 0R,và R2, R3 là cácR−mơđun. Khi
đó, ánh xạ h :R3 →R2 (x, y, z)7→(x−y, z−2y) là một đồng cấuR−môđun. Và ánh xạ h:R3 →R (x, y, z)7→x−3y+ 2z là một dạng tuyến tính trênR−mơđun R3.
ii) Cho N là một mơđun con của R−mơđun M. Khi đó ánh xạ j : N →M
x 7→j(x) =x
là một đơn cấu R−môđun, được gọi là phép nhúng chính tắc. Đặc biệt ánh xạ đồng nhất IdM :M →M là một tự đẳng cấu R−môđun.
iii) Cho N là một mơđun con của R−mơđun M. Khi đó ánh xạ p: M →M/N
x 7→p(x) =x+N
là một tồn cấuR−mơđun, được gọi là phép chiếu chính tắc. iv) Cho hai R−mơđun M và N. Khi đó, ánh xạ
0 : M →N
x 7→0(x) = 0N
là một đồng cấuR−môđun, được gọi là đồng cấu tầm thường.
Mệnh đề 2.4. Cho đồng cấu R−môđun h:M →N. Khi đó
i) Với mọi mơđun con M0 của M, h(M0) là một môđun con của N.
42 Chương 2. Môđun
ii) Với mọi môđun con N0 của N, h−1(N0) là một môđun con của M. Đặc biệt,h(M) là một môđun con của N, được gọi là ảnh của h và được ký hiệu là
Im h.
Vàh−1(0N)là một môđun con của M,được gọi là hạt nhân của hvà được ký hiệu là
Ker h.
Chứng minh.
i) Vì 0M ∈ M0 nên 0N = h(0M) ∈ h(M0), và do đó h(M0) 6= ∅. Ngoài ra, với mọi z, t ∈ h(M0) và với mọi a ∈ R, tồn tại x, y ∈ M0 sao cho z =h(x), t=h(y). VìM0 là một mơđun con nênx+y, ax∈M0,và do đó
z+t=h(x) +h(y) = h(x+y)∈h(M0), az =ah(x) =h(ax)∈h(M0).
Vì vậy, theo Mệnh đề1.6, h(M0)là một mơđun con của N.
ii) Vì h(0M) = 0N ∈ N0 nên 0M ∈ h−1(N0), và do đó h−1(N0) 6= ∅. Ngồi ra, với mọi x, y ∈h−1(N0) và với mọi a ∈R, ta có h(x), h(y) ∈N0. Vì N0 là một mơđun con nên
h(x+y) = h(x) +h(y)∈N0, h(ax) = ah(x)∈N0. Từ đó suy ra
x+y∈h−1(N0), ax∈h−1(N0).
Vì vậy, theo Mệnh đề1.6, h−1(N0)là một môđun con của M.
Mệnh đề 2.5. Cho đồng cấu R−môđun h : M → N. Khi đó, h là đơn cấu nếu và chỉ nếu Ker h={0M}.
§2. Đồng cấu mơđun 43
Chứng minh.
(⇒).Giả sử h là đơn cấu. Khi đó, vì h đơn ánh và h(0M) = 0N nên Ker h={0M}.
(⇐).Giả sử Ker h ={0M}. Khi đó, với mọi x, y∈M h(x) = h(y) ⇓ h(x)−h(y) = 0N ⇓ h(x−y) = 0N ⇓ x−y ∈Ker h={0M} ⇓ x−y = 0M ⇓ x=y. Vì vậy, h là đơn cấu.
Định lý 2.6. (Định lý cơ bản về đồng cấu môđun)
Cho N là một môđun con của R−môđun M, và p : M → M/N là phép chiếu chính tắc. Khi đó, với mọi đồng cấu R−mơdun h : M → P sao cho N ⊂Ker h, tồn tại duy nhất một đồng cấu R−môđun ¯h:M/N →P sao cho ¯
h◦p=h. Và hơn nữa
Im ¯h=Im h và Ker ¯h= (Ker h)/N.
44 Chương 2. Môđun
Chứng minh. Đặt tương ứng ¯
h: M/N →P
x+N 7→¯h(x+N) = h(x); khi đó ¯h là một ánh xạ, vì với mọi x+N, y+N ∈M/N,
x+N =y+N ⇓ x−y∈N ⊂Ker h ⇓ h(x)−h(y) = h(x−y) = 0P ⇓ h(x) = h(y) ⇓ ¯ h(x+N) = ¯h(y+N).
Ngoài ra, ¯h là một đồng cấu R−mơđun, vì với mọi x+N, y +N ∈M/N và với mọia∈R,
¯
h((x+N)+(y+N)) = ¯h((x+y)+N)) =h(x+y) =h(x)+h(y) = ¯h(x+N)+¯h(y+N), ¯
h(a(x+N)) = ¯h(ax+N) =h(ax) = ah(x) =a¯h(x+N).
Và với mọi x∈M, ¯h◦p(x) = ¯h(p(x)) = ¯h(x+N) = h(x),cho nên ¯h◦p=h. Giả sử đồng cấu R−môđun g :M/N →P cũng thỏa mãn g◦p = h. Khi đó, với mọix+N ∈M/N
g(x+N) = g(p(x)) = h(x) = ¯h◦p(x) = ¯h(p(x)) = ¯h(x+N), cho nên g = ¯h. Hơn nữa,
Imh¯ ={ z ∈P | ∃ x+N ∈M/N, ¯h(x+N) = z }
§2. Đồng cấu mơđun 45 Và Ker ¯h ={x+N ∈M/N | ¯h(x+N) = 0P } ={x+N ∈M/N | h(x) = 0P } ={x+N ∈M/N | x∈Ker h }= (Ker h)/N. .
Hệ quả 2.7. Với mọi đồng cấu R−môđun h : M → P, ta có đẳng cấu R−mơđun
M/Ker h∼=Im h.
Chứng minh. Trong Định lý cơ bản, nếu lấyN =Ker h thì Ker ¯h= (Ker h)/Ker h={Ker h},
và do đóh¯ là đơn cấu. Vì vậy,¯hlà đẳng cấu từM/Kerhlên Im¯h=Imh.
Lưu ý 2.8.
i) M/Ker h được gọi làđối ảnh của h, ký hiệu Coim h; còn N/Im h được gọi là đối hạt nhân của h, ký hiệu Coker h.
ii) Với hai R−môđun M và N, ta ký hiệu HomR(M, N)
là tập tất cả các đồng cấuR−môđun từM vào N.Và ký hiệu EndR(M)
là tập tất cả các tự đồng cấu củaR−môđun M.
Bài tập
Bài 2.1. Cho Z là vành các số nguyên, và Z2, Z3 là các Z−môđun. Xét ánh
xạ:
h: Z2 →Z3
(a, b)7→(a, a−b, a). . i) Chứng minh rằng h là một đơn cấu Z−môđun,
46 Chương 2. Môđun
ii) Xác định Im h,
iii) Xét bộ phận N ={ (x, y, x) ∈Z3 | x, y ∈Z }. Chứng minh rằng N là môđun con củaZ3 và Z2 ∼=N.
Bài 2.2. Cho R−môđun M và a∈R cho sẵn, xét ánh xạ λa : M →M
x 7→λa(x) =ax. .
Hỏi phải chọn a thế nào để λa là một tự đồng cấu của R−môdun M.
Bài 2.3. Cho R−môđun R2. Chứng minh rằng mọi dạng tuyến tính trên R2 đều có dạng
(x1, x2)7→x1a1+x2a2, với các vơ hướnga1, a2 ∈R chọn thích hợp.
Bài 2.4. Xét Z−mơđun Z, mơđun con nZ (n > 1) của Z và môđun thương Zn=Z/nZ. Chứng minh rằng chỉ có một đồng cấuZ−mơđun từ Zn vào Zlà đồng cấu tầm thường.
Bài 2.5. Cho R và S là hai vành có đơn vị khác 0, vàρ:S →R là đồng cấu vành chuyển đơn vị thành đơn vị. Chứng minh rằng mỗi R−mơđun M cũng là mộtS−mơđun M, trong đó phép nhân vectơ với vô hướng định bởi
bx =ρ(b)x, với mọib ∈S và với mọi x∈M.
Áp dụng: Chứng minh rằng mọi nhóm cộng Zm các số nguyên mod m đều có thể xem như một Zn−môđun, với Zn là vành các số nguyên mod n và n là một bội số củam.
Bài 2.6. Cho R−môđun M và hai môđun con M1 và M2. Chứng minh rằng mỗi môđun thươngM/Mi, i= 1, 2là ảnh đồng cấu của môđunM/(M1∩M2).
Bài 2.7. Cho R−môđun M và hai môđun con M1 và M2 sao cho M1 ⊂M2. Chứng minh đẳng cấuR−môđun
(M/M1)/(M2/M1)∼=M/M