Đs9 c4 b1 hàm số và đồ thị hàm số

2 ÔN TẬP HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y ax (a 0) A Các kiến thức cần nhớ Tính chất hàm số y ax (a 0) - Nếu a  hàm số đồng biến x  nghịch biến x  - Nế a  hàm số đồng biến x  nghịch biến x  *) Nhận xét: - Nếu a  y  với x 0; y 0 x 0 Giá trị nhỏ y - Nếu a  y  với x 0; y 0 x 0 Giá trị lớn y 2 Đồ thị hàm số y ax (a 0) Đồ thị hàm số y ax (a 0) đường cong qua gốc tọa độ nhận Oy làm trục đối xứng Đường cong gọi Parabol với đỉnh O - Nếu a  (P) nằm phía trục hồnh O điểm thấp - Nếu a  (P) nằm phía trục hồnh O điểm cao B Bài tập áp dụng Dạng 1: Tính giá trị hàm số điểm cho trước 2 Cách giải: Giá trị hàm số y ax điểm x x0 y ax0 Bài 1: Cho hàm số y  f ( x)  x a Tìm giá trị hàm số x nhận giá trị  2;0  2 b Tìm giá trị a, biết f (a)  10  c Tìm điều kiện b biết f (b) 4b  Lời giải a) Ta có: f ( 2)  8; f (0) 0; f (3  2)  34  24 b) Ta có: f (a)  10   a (  2) 2 c) Ta có: f (b) 4b    2b 4b   b  2b   b  Bài 2: Cho hàm số y  f ( x) 3 x a Tìm giá trị hàm số x nhận giá trị  3; 2;3  2 f (a) 12  a b Tìm giá trị , biết c Tìm b biết f (b) 6b 12 Lời giải a) Ta có: b) Ta có:     f   3 27; f 2 24; f  39  12   f (a ) 12   3a 12   a    b 1  f (b ) 6b  12  3b 6b  12  3b  6b  12 0    b 1  c) Ta có: Bài 3: Cho hàm số y (2m  1) x (m tham số) Tìm giá trị tham số m để:  4 A ;  a Đồ thị hàm số qua điểm  3  b Đồ thị hàm số qua điểm ( x0 ; y0 ) với ( x0 ; y0 ) nghiệm hệ phương trình 2 x  y    x  y 2 Lời giải  4  2 A ;  y  2m  1 x   2m  1    m 1  3 a Thay  3  vào phương trình 2 x  y   x  3     2;1   m  b  x  y 2  y 1 nghiệm hệ phuương trình Bài 4: Cho hàm số y (2m  1) x (m tham số) a Tìm giá trị m để y  x  b Tìm giá trị m biết ( x; y ) thỏa mãn  x  y 2  +)  x  y   x  y 1  +) 2 x  y 3 Lời giải a) Thay y  x  vào hàm số y (2m  1) x (m : tham.so) ta được:  (2m  1)   1  m  1 b) Ta giải hệ phương trình  x  y 1   x  y  +)  +)  x 2  m   y 1   x 0   x  y 2 2 x  y 4  x  x 0  x      m 1  x  y  x  y  x  y  y         y 4  Dạng 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số Cách giải: Xét hàm số y ax  a 0  Ta có: - Nếu a  hàm số nghịch biến x  đồng biến x  - Nếu a  hàm số nghịch biến x  đồng biến x  Bài 1: 2  y (3m  2) x  m    Tìm giá trị tham số m để hàm số:  Cho hàm số a Đồng biến với x  b Nghịch biến với x  c Đạt giá trị nhỏ d Đạt giá trị lớn Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: 3m    m  2 2 m Vậy giá trị cần tìm 3m    m  2 2 m Vậy giá trị cần tìm 3m    m  2 2 m Vậy giá trị cần tìm 3m    m  2 2 m Vậy giá trị cần tìm Bài 2: 4  y (3m  4) x  m    Tìm giá trị tham số m để hàm số:  Cho hàm số a Nghịch biến với x  b Đồng biến với x  c Đạt giá trị lớn d Đạt giá trị nhỏ Lời giải a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: d) Ta có: 3m    m  4 m Vậy giá trị cần tìm 3m    m  4 m Vậy giá trị cần tìm 3m    m  4 m Vậy giá trị cần tìm 3m    m  4 m Vậy giá trị cần tìm Bài 3: Cho hàm số   y   m  2m  x a) Chứng minh với tham số m, hàm số nghịch biến với x  đồng biến với x  b) Tìm giá trị tham số m để x 1  11 x  y Lời giải a) Ta có: b) Ta có: a  m  2m    m  1   0m   m  2m  đpcm  14   411  m    4; 2 Bài 4: Cho hàm số  y  2m   x m  ;m  2 Tìm giá trị tham số m để hàm số đồng với biến với x  nghịch biến với x  Lời giải  2m      m m  2 giá trị cần tìm Yêu cầu toán 2m  0 Vậy Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số y ax (a 0) Cách giải: Ta lập bảng giá trị sau: x -2 -1 y ax -2a a a 2a - Biểu diễn điểm đặc biệt mặt phẳng tọa độ vẽ đồ thị dạng Parabol hàm số qua điểm đặc biệt Bài 1: Cho hàm số y ax (a 0) có đồ thị Parabol (P) a Xác định a để  P  qua điểm A( 2;4) b Với giá trị a vừa tìm được, hãy: - Vẽ  P  mặt phẳng tọa độ - Tìm điểm  P  có tung độ - Tìm điểm  P  cách hai trục tọa độ Lời giải a A( 2; 4)  ( P)  a 2 Vậy a 2 giá trị cần tìm b Ta có y 2 x Cho y 2  x 1   1;  ;   1;  - Ta có: M ( x0 ; y0 )  ( P)  y0 2 x0   1 x0  y0  x0 2 x0  x0  0; ;   2 M cách Ox, Oy nên ta có: 1 1  1 1  M (0;0); M  ;  ; M  ;   2  2 Bài 2: Cho hàm số y (m  1) x (m 1) có đồ thị Parabol (P) a Xác định m để  P  qua điểm A( 3;1) b Với giá trị m vừa tìm được, hãy: - Vẽ  P  mặt phẳng tọa độ - Tìm điểm  P  có hồnh độ - Tìm điểm  P  có tung độ gấp đơi hồnh độ Lời giải a) Ta có (P) qua điểm   A  3;1   m  1 32  m  4 y  x2 b) Ta có 4  y   1 12  y   3  Vì điểm có hồnh độ nên ta có: điểm cần tìm  1  1;   3 +) Các điểm  P  có tung độ gấp đơi hồnh độ là:  0;  ;  6;12  Bài 3: Cho hàm số y  x có đồ thị Parabol (P) a) Vẽ  P  hệ trục tọa độ b) Trong điểm A  1;  ; B   1;  1 ; C  10;  200  , điểm thuộc  P  , điểm không thuộc  P Lời giải b) Thay x 1; y 1 vào  P  , ta đẳng thức ln điểm A thuộc  P  - Tương tự ta có điểm B, C không thuộc vào  P  Dạng 4: Sự tương giao  P   d  Cách giải: Cho  P  : y ax  d  : y mx  n(m 0) Để tìm tọa độ giao điểm (nếu có)  P  d ta làm sau: Bước 1: Xét phương trình hồnh độ giao điểm  P  d : ax mx  n  * Bước 2: Giải phương trình (*) ta tìm nghiệm (nếu có) Từ ta tìm tọa độ giao điểm  P  d *) Chú ý: Số nghiệm (*) số giao điểm  P  d , cụ thể - Nếu (*) vơ nghiệm d khơng cắt  P  - Nếu (*) có nghiệm kép d tiếp xúc với  P  - Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt d cắt  P  hai điểm phân biệt Bài 1: d:y x Cho ( P) : y x đường thẳng a) Vẽ  P  d hệ trục tọa độ b) Xác định tọa độ giao điểm  P  d x2  x c) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình: Lời giải  x 0  1 x  x    0;0  ;  ;  x  4 P   d b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm : c) Dựa vào đồ thị, ta thấy x 0 x 1 x2  x nghiệm bất phương trình Bài 2: Cho ( P) : y 2 x đường thẳng d : y x 1 a) Vẽ  P  d hệ trục tọa độ b) Xác định tọa độ giao điểm  P  d c) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình: x  x   Lời giải  x 1  1 1 x x 1     1;  ;  ;   x  2  b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) d: 2 1  x 1 c) Dựa vào đồ thị, ta thấy nghiệm bất phương trình x  x   Bài 3: Cho hàm số y 2 x có đồ thị  P  a) Vẽ  P  hệ trục tọa độ b) Tìm điểm thuộc  P  thỏa mãn: - Có tung độ - Cách hai trục tọa độ c) Dựa vào đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình x  2m  0 theo m Lời giải b) Thay y 4 vào hàm số y 2 x ta điểm thỏa mãn toán là: - Các điểm cách hai trục tọa độ là:   2; ;  2;  1  1 1 ; ; ;   2  2  0;0  ;  c) Ta có: x  2m  0 Đường thẳng d : y 2m  song song với trục hồnh Dựa vào đồ thị ta có: m : Phương trình có nghiệm x 0 - Với - Với - Với m 2m  3 x1,2  : 2 Phương trình có hai nghiệm m : Phương trình vơ nghiệm Bài 4: ( P) : y  x 2 Cho có đồ thị (P) a) Vẽ (P) hệ trục tọa độ b) Dựa vào đồ thị, biện luận theo m số nghiệm phương trình x  2m  0 theo m Lời giải b) Với m 2 : Phương trình có nghiệm x 0 - Với m  : Phương trình có hai nghiệm x1,2  2m  - Với m  : Phương trình vơ nghiệm Bài 5: Cho hàm số y  x ( P) y x  2(d ) a Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục tọa độ b Gọi A B giao điểm  P   d  Tính S AOB Lời giải a) Xét hàm số y x ( P) x y -2 -1 0 10 1 - Xét hàm số y x  2( d ) x y -2  x  x2 x      x 2 b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm:  y 1  y 4  d  P  hai điểm phân biệt A( 1;1); B (2; 4) 1 M (d )  Oy; N BN  Oy; S AOB S AOM  S OMB  OM  OM 2 - Gọi 3  S AOB  OM  3 2 (đvdt) Bài 6: Cho hàm số y ax (a 0) có đồ thị hàm số  P  a Tìm hệ số a biết  P  qua điểm M ( 2; 4) b Viết phương trình đường thẳng d qua gốc tọa độ qua điểm N (2; 4) c Vẽ  P  d xác định câu a b hệ trục tọa độ d Tìm tọa độ giao điểm d  P  câu a b Lời giải a) Tìm a 1 b) Ta có d qua O nên d : y mx d qua N (2; 4) nên 2m 4  m 2  d : y 2 x  x 0 x 2 x    P  x   d d) Xét phương trình hồnh độ giao điểm :  y 0  y 4  (0;0);(2; 4)  Bài 7: Cho ( P) : y x ;(d ) : y 2 x  m  Tìm m cho (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B cho: a A B hai phía Oy b A B phía Oy c A B bên phải Oy d A B bên trái Oy Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm: x  x  m  0(1) 11 Để (d) (P) cắt hai điểm phân biệt (1) phải có hai nghiệm phân biệt:   ' 1  m    m   x1  x2 2(1)  a Theo Viet:  x1.x2 2  m(2) Để A B hai phía Oy x1 , x2 trái dấu  x1.x2    m   m  2(tm) b x1.x2   m   x1  x2 2  x  0; x2     m2 x1.x2 2  m   c  x1  x2  x1  0; x2     x1.x2   d 2  (vo.nghiem)  2  m  Bài 8: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2011 - 2012 Cho ( P) : y  x ;(d ) : y mx  a Chứng minh rằng: với m (P) ln cắt (d) hai điểm phân biệt 2 b Gọi x1 , x2 hồnh độ cuả A B Tìm m cho: x1 x2  x2 x1  x1.x2 3(*) Lời giải 2 a) Xét phương trình: x  mx  0;  m    dpcm b Theo Viet, ta có: (*)  x1 x2 ( x1  x2  1) 3  m 2  m 2  x1  x2  m   x1.x  Bài 9: Tuyển sinh vào 10 Hà Nội, năm học 2011 - 2012 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d ) : y  x  6, ( P) : y x a Tìm tọa độ giao điểm d (P) b Gọi A, B hai giao điểm d (P) Tính S AOB Lời giải a Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) x  x   x   2;  3  A( 3;9); B(2; 4) b Gọi A’, B’ hình chiếu A B xuống trục hồnh Ta có: SOAB S A ' AB ' B  S A '0 A  SOBB ' ; A ' B '  xB '  xA' xB '  x A ' 5; A ' A  y A 9; BB '  y B 4 12 Diện tích hình thang: S A ' AB ' B  A ' A  BB ' 94 65 A ' B '   2 27 65 27 S A ' AO  A ' A A ' O  ; SOBB '  BB '.B ' O 4  S AOB S A ' AB ' B  SOA ' A   (  4) 15(dvdt ) 2 2 Bài 10: 2 Cho ( P) : y x ; (d ) : y 2mx  m  a Xác định tọa độ giao điểm (d) (P) m = b Tìm m cho (d) cắt (P) điểm phân biệt A, B có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn: x12  x22 26 Lời giải 2 a Xét phương trình: x  2mx  m  0(1)  x1  m 1  (1)    (d )  ( P ) x2 3  Khi hai điểm phân biệt A, B +) x1   y1 1  A( 1;1) +) x2 3  y2 9  A(3;9) b (1) phải có hai nghiệm phân biệt   '    0(dung )  x1  x2 2m  x x m  Theo Viet:  2 2 Ta có: x1  x2 26  ( x1  x2 )  x1 x2 26  m 3 c Thỏa mãn: x13  x23 28  ( x1  x2 )3  3x x2 ( x1  x2 ) 28  8m3  3.2m(m  4) 28  m3  12m  14 0  Bài 11: Cho ( P) : y x ;(d ) : y mx  m 1 a Tìm m cho d cắt P hai điểm phân biệt b Gọi x1 , x2 hồnh độ hai giao điểm Tìm m để +) x 9 x1 +) x2  x1 2 +) 3x1  x2 7 +) x1  x2 3 13 Lời giải a x  mx  m  0(1) 2 (1) phải có hai nghiệm phân biệt   m  4(m  1)   (m  2)   m 2  x1  x2 m(1)  b Theo Viet, ta có:  x1.x2 m  1(2) m 9m x 9 x1  x1  x1 m  x1   x2  10 10 +) Do  m1 10 m 9m  m   9m  100m  100 0    m2 10 10 10  Từ (2) +) 3x1  x2 7  x1  2( x  x2 ) 7  x1  2m 7  x1 7  2m  x2 m  x1 3m   m1 3  (7  2m)(3m  7) m    (tm)  m2 8  Từ (2)  m1 0 x2  x1 2  ( x2  x1 ) 4  x12  x22  x1 x2 4  ( x1  x2 )  x1 x2 4    m2 4 +) x1  x2 3  ( x1  x2 ) 9  x12  x22  x1 x2 9  ( x1  x2 )  x1 x2  x1 x2 9 +)  m  2(m  1)  m  9(*) - Nếu m 1(m 2), (*)  m 3(m 3.thoa.man)  m  1(thoa.man) m  1(*)    m 5(loai ) - Nếu Bài 12: Cho ( P) : y x ; (d ) : y ax  1; K (0;1) a Chứng minh với a, d cắt P hai điểm A B b Gọi E F hình chiếu vng góc A B Ox, Chứng minh tam giác KFE vuông Lời giải a  a    dpcm 14 b Gọi x1 , x hoành độ A B E ( x1 ; 0); F ( x2 ; 0)  OE  x1 ; FO  x2 Theo Viet, ta có: x1.x2  1; OE.FO OK  OE OK         tan OKE tan KFO  OKE KFO  KEO  KFO 900 KO FO +) Hoặc dùng tam giác đồng dạng (Lưu ý: Nên vẽ hình minh họa ) Bài 13: Chuyên Sư Phạm 2 Cho ( P) : y x ; (d ) : y mx  m  Tìm m để d cắt P điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền Lời giải 2 2 Xét phương trình: x  mx  m  0(1);   3m    m     m  Theo định lý Viet:  x1  x2 m(a)   x1.x2 m  3(b)   x1  x2 m    x1  0; x2  0; x12  x22    x1.x2 m      x12  x22   Yêu cầu toán  m   m   ( x1  x2 )  x1 x2  (*)  7 (*)  m  2( m  3)   m   m  ( m  0) 2 Bài 14: Cho ( P) : y 2 x ;(d ) : y 4 x  m  Tìm m để d cắt P điểm phân biệt A( x1 ; y1 ); B( x2 ; y2 ) thỏa mãn: a x1  x2 4 b y1  y2 22 c y1 y2  Lời giải 15 Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: x  x  m  0(1)  ' m    m    x1  x2 2    m  x1.x2  Theo định lý Viet:  x1  x2 2   x1  x2 4  a Ta có:  x1 2  m  2.0  m  2(tm)   x2 0 b y1 4 x1  m  2; y2 4 x2  m   y1  y2 22  x1  m   2(4 x2  m  2) 22 16  3m  x1  x2  Kết hợp: x1  x2 2, ta.co : x1  3m  3m  m 3m(8  3m)  m  ; x2  ; x1.x2    4 16  m 4  9m  32m  16 0    m  c  y1 y2   (4 x1  m  2)(4 x2  m  2)   16 x1 x2  4(m  2)( x1  x2 )  (m  2)   16 x1 x2  4(m  2)( x1  x2 )  (m  2)    8(m  2)  8(m  2)  ( m  2)   ( m  2)  m2   m2     m2   m 0 m    Vậy m > giá trị cần tìm Bài 15: Chuyên Hùng Vương Phú Thọ, năm học 2014 - 2015 Trong mặt phẳng cho hệ trục tọa độ Oxy điểm A(1;3), ( P) : y x , (d ) : y ax   a a Chứng minh d cắt (P) điểm phân biệt b Giả sử B C hai giao điểm d (P) Tìm a, biết AB = 2AC Lời giải 2 a Phương trình hồnh độ giao điểm d (P) là: x ax   a  x  ax  a  0(1)  ( a  2)   0a b Theo Viet, có:  x1  x2 a  x1.x2 x1  x  3(*)   x1.x2 a  16 Ta có: B( x1; ax1   a); C ( x2 ; ax2   a) AB 2 AC  ( x1  1)  (ax1  a) 2 ( x2  1)  (ax2  a )  (a  1)( x1  1) 4( a  1)( x2  1)  x  2( x2  1)  ( x1  1) 4( x2  1)2     x1   2( x2  1)  x1 2 x2   x  x   2 +) x1 2 x2   (*) : x2  x2  0(vo.nghiem)  x2 0 x1  x2   (*)    x2 2 +) - x2 0  x1 3  a 3 - x2 2  x1   a 1 Vậy a = 1, a = giá trị cần tìm Bài 16: Chuyên Sư Phạm Hà Nội, năm học 2014 - 2015 Trong mặt phẳng ( P ) : y  x , (d ) : y  cho hệ trục tọa độ Oxy điểm 2 (m 1) x  (m : tham.so) 3 a Chứng minh với giá trị m d cắt (P) điểm phân biệt b Gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm (P) d, đặt f ( x)  x  (m  1) x  x Chứng minh rằng: f ( x1 )  f ( x2 )  1 ( x1  x2 )3 Lời giải a x2  2 (m  1) x   3x  2(m  1) x  0(1) 3 Ta có: a.c   (1) ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 2   x  x2  (m  1)     x x  b Theo Viet, ta có:  3   m   ( x1  x2 )    3x1 x2 f ( x )  f ( x2 ) x13  x23  (m  1)( x12  x22 )  x2  x1 ( x1  x2 )  x12  x1 x2  x22  (m  1)( x1  x2 )  1   ( x1  x2 )  x12  x1 x2  x22  ( x1  x2 )  x1 x2   ( x1  x2 )  x12  x1 x2  x22  3( x1  x2 )    17 A(1;3), 1  ( x1  x2 )( x12  x1 x2  x22 )  ( x1  x ) (dpcm) 2 Bài 17: Chuyên Tiền Giang, năm học 2014-2015 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( P) : y x , (d ) : y x Tìm (P) điểm A B cho AB 3 đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng d, biết điểm A có hồnh độ dương Lời giải Vì AB  d  (d ) : y  x  m 2 Hồnh độ A, B nghiệm phương trình: x  x  m  x  x  m 0(1) Vì A, B phân biệt nên (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 hay:  1  4m   m  1 2 Khi A( x1 ;  x1  m); B( x2 ;  x2  m)  AB 3  AB 18  ( x2  x1 )  ( x2  x1 ) 18  x 1  y 1  A(1;1)  ( x1  x2 )2 9  ( x1  x2 )  x1 x2  0   4( m)  0  m 2    x   y 4  B ( 2; 4) BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1: không vẽ đồ thị tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số sau (m tham số) a) y  x y x 2 b) y  x y 2 x  c) y  x y 2 x  d) y  Hướng dẫn giải 18 y mx  m  x 2  x 0 x  x    x 1  a) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d là:  y 0  1    0;0  ;  ;  y  4  b) Ta tìm tọa độ giao điểm (P) d là: A  1;1 c) Không tồn giao điểm   m2 B   m  4;  4m   d) Ta tìm tọa độ giao điểm (P) d là:    m2  ; C   m;  4m    Bài 2: y  x2 Cho hàm số Xác định giá trị tham số m để điểm sau thuộc đồ thị hàm số a) A  2; m  b)  B  2; m  3 C  m;  c)    Hướng dẫn giải a) Ta có b) Ta có A  2; m   m  2  m 1 thuộc đồ thị hàm số Vậy m 1 giá trị cần tìm  B  2; m 1  thuộc đồ thị hàm số  m   m  Vậy m  giá trị cần tìm  3 C  m;    m  m  c) Ta có   thuộc đồ thị hàm số 4 Vậy  giá trị cần tìm Bài 3: Cho hàm số   y  m2  2m  x (m tham số) a) Chứng minh hàm số nghịch biến với x  đồng biến với x  b) Tìm giá trị m biết x 1 x  y 4 Hướng dẫn giải a) Ta có: m  2m   m  1   0m  đpcm  m   m  2m  4    m   Vậy m    2;   b) Ta có:  Bài 4: 19   8  Cho hàm số  y  3m   x m với 4 ;m  3 Tìm giá trị tham số m để hàm số: a) Nghịch biến với x  b) Đồng biến với x  Hướng dẫn giải a) Hàm số nghịch biến với x 0  4 m  3 x 0 m  b) Hàm số đồng biến với Bài 5: Cho hàm số y  3m  1 x với m 1 Tìm giá trị tham số m để hàm số:  1 A ;  a) Đi qua điểm   b) Đi qua điểm B  x0 ; y0  với  x0 ; y0  3x  y 2  nghiệm hệ phương trình:  x  y  Hướng dẫn giải 1 1 A  ;   m 0 a) Hàm số qua điểm   3 x  y 2    x  y   b)  2;1  m  12 x  16 y 8     12 x  y  15  y     x  y   x 2   y 1 Hàm số qua điểm có tọa độ 1 Bài 6: Cho Parabol  P  : y 2 x d:y x Tìm giá trị tham số m để hàm số: a) Vẽ (P) d hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ gia điểm (P) d 2x2  x c) Dựa vào đồ thị, giải bất phương trình: 20