Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

ÔN TẬP HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TRONG TAM GIÁC VNG A Tóm tắt lý thuyết Khi giải toán liên quan đến cạnh đường cao tam giác vng, ngồi việc nắm vững kiến thức định lý Talet, trường hợp đồng dạng tam giác, cần phải nắm vững kiến thức sau: Tam giác ABC vuông A , đường cao AH , ta có: A 1) Hệ thức cạnh góc vng hình chiếu b cạnh huyền c h Định lí 1: Trong tam giác vng, bình phương cạnh góc vng tích cạnh huyền B c' b' H C a hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền 2 Ta có: AB BH BC ; AC HC.BC 2) Hệ thức liên qua tới đường cao Định lí 2: Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền tích hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền Ta có: AH BH HC Định lí 3: Trong tam giác vng, tích hai cạnh góc vng tích cạnh huyền đường cao tương ứng Ta có: AB AC  AH BC Định lí 4: Trong tam giác vng, nghịch đảo bình phương đường cao ứng với cạn huyền tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vng Ta có: 1   AH AB AC *) Tóm tắt công thức 2 1) a = b + c ';c2 = ac ' 2) b = ab 3) h2 = b'.c ' = bc 4) ah 1 = 2+ 2 b c 5) h 1 S = ab Chú ý: Diện tích tam giác vng: B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng tam giác vng Cách giải: Bước 1: Xác định vai trị đoạn thẳng biết đoạn thẳng cần tính tam giác vuông Cụ thể, xác định xem đoạn thẳng +) Là cạnh góc vng +) Là đường cao +) Là cạnh huyền +) Là hình chiếu Bước 2: Từ lựa chọn cơng thức tính phù hợp (trong công thức phần lý thuyết) Xác định vai trị đoạn thẳng Lựa chọn cơng thức tính phù hợp *) Lưu ý: Đơi phải dùng kĩ thuật đại số hóa để giải Chẳng hạn: - Nếu có AB m  AC n đặt AB AC  k  m, n, k    AB km m n AC kn - Nếu có BH x  CH BC  BH BC  x Bài 1: Tính x, y hình vẽ sau A A B x H y B C Lời giải AH  H  BC  a) Xét ABC vuông A, đường cao , ta có: x H y C  x 3,  cm    BC 10  cm   y 6,  cm  Dùng định lý Pytago tính AH  H  BC  b) Xét ABC vuông A, đường cao , ta có: Dùng định lý Pytago tính  35 74  cm  x    74  y  74  cm  BC  74  cm   Bài 2: Tính x, y hình vẽ sau A A y x y B H C B H x C Lời giải AH  H  BC  a) Xét ABC vuông A, đường cao , ta có: AH HB.HC  AH 4  AH 2  x   cm  ; y 2  cm  AH  H  BC  b) Xét ABC vng A, đường cao , ta có: AH HB.HC  HC  AH 25 25 41   x   cm  ; y   cm  HB 4 Bài 3: Tính x, y hình vẽ sau A A 10 x B y H x 30 C B Lời giải AH  H  BC  a) Xét ABC vng A, đường cao , ta có: y H 32 C Áp dụng hệ thức cạnh ta có: b b '.a , ta được: 102 8  y    y  2 9   15  15 x        x   x   2 2   Áp dụng hệ thức cạnh: c c '.a , ta được: 2 b) Áp dụng hệ thức cạnh: c c '.a , ta được: 302  y  y  32    y  18   y  50  0  y 18  y  50   Áp dụng hệ thức cạnh: Cho ABC b b '.a , ta được: x 32  32  18  x 402  x 40  x   Bài 4: Tính x, y hình vẽ sau vuông A , đường cao A AH  H  BC  a) Cho biết AB 3  cm  , BC 5  cm  Tính BH CH , AC , AH b) Cho biết BH 9  cm  , CH 16  cm  B Tính độ H C dài đoạn thẳng AB, AC , BC , AH Lời giải AH  H  BC  a) Xét ABC vng A, đường cao , ta có: +) AB BH BC  BH  1,8(cm)  CH 3, 2(cm) 2 +) AC CB.BC  AC 5.3, 16  AC 4(cm) +) 1 1 1        AH 2, 4(cm) 2 AH AB AC 16 AH  H  BC  b) Xét ABC vuông A, đường cao , ta có: AB 15cm, AC 20cm, BC 25cm, AH 12cm A y Bài 5: B x y 5cm H x C Tính x, y hình vẽ sau, biết AH 5cm Lời giải Xét ABC vuông A , đường cao AH Áp dụng hệ thức cạnh đường cao ta có: + + AH BH CH  52 x.x  x 5  cm  1 1 1     2 2   y 50  y 5  cm  2 AH AB AC y y 25 y Cho ABC AH  H  BC  vuông Bài 6: A , đường cao A , có AC 10cm, AB 8cm Tính B Lời giải AH  H  BC  a) Xét ABC vuông A, đường cao , ta có: BC  AB  AC ( pytago)  BC 2 41(cm) + + AB BH BC  BH  10 BC , BH , CH , AH + AB 64 32   (cm) BC 41 41 CH BC  BH 2 41  32 50  (cm) 41 41 1 1 1    2    AH 6, 4(cm) 2 AH AB AC 10 64 100 Bài 7: H C Cho ABC AH  H  BC  vuông A , đường cao A , có BH 10cm, CH 42cm Tính BC , AH , AB, AC B 10 H 42 C Lời giải AH  H  BC  a) Xét ABC vuông A, đường cao , ta có: - BC BH  HC 10  42 52  cm  Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: +) AB BH BC 10.52 520  AB 2 130(cm) 2 +) AH  AB  BH  AH 2 105(cm) 2 +) AC  AH  HC ( pytago)  AC 2 546(cm) Cho ABC AH  H  BC  vuông Bài 8: A , đường cao A , có BH 10cm, CH 42cm Tính BC , AH , AB, AC 12 B H Lời giải AH  H  BC  a) Xét ABC vuông A, đường cao , ta có: Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta có: AH 122 AH BH CH  CH   16  CH 4(cm) BH +) 2 +) AB BH BC 9.13 112  AB 3 13(cm); AC BC.CH 13.4 52  AC 2 13(cm) +) 1 S ABC  AH BC  12.13 78(cm ) 2 C +) Chu vi ABC  AB  BC  CA 3 13  13  13 13  13(cm) Cho tam giác ABC có AB 6cm, AC 8cm Bài 9: B BC 10cm M a) Chứng minh tam giác ABC vuông H b) Tính đường cao AH c) Gọi M , N hình chiếu H AB, AC A Tính HM , HN N C Lời giải 2 2 2 a) ABC có BC  AB  AC (vì 10 6  )  ABC vng A (định lí pitago đảo) b) Xét ABC vng A , đường cao AH có: AB AC  AH BC (hệ thức cạnh đường cao)  AH  AB AC 6.8  4,8  cm  BC 10 c) Xét ABC vuông A , đường cao AH có: AH BH BC (hệ thức cạnh đường cao)  BH  AB 62  3,  cm  BC 10  CH BC BH 10  3, 6,  cm  + Vì M , N hình chiếu H AB, AC  HM  AB, HN  AC   + AH  BC  AHB  AHC Do tam giác ABH , ACH vuông H + Xét ABH vng H , đường cao HM , có MH AB BH AH (hệ thức cạnh đường cao)  MH  BH AH 3, 6.4,8  2,88  cm  AB + Xét ACH vng H , đường cao HN , có HN AC  AH CH (hệ thức cạnh đường cao)  NH  CH AH 6, 4.4,8  3,84  cm  AC Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao A AH AC 16cm, a) Biết AB  AC Tính AB, BC , AH BH , CH b) Biết B AH 14cm, HB  HC H C Tính BC Lời giải a) Có AB 3   AB  AC  16 12  cm  AC 4 2 Xét ABC vuông A , đường cao AH có BC  AB  BC (định lí pitago)  BC 122  162 400  BC 20  cm  Hơn lại có AB BH BC (hệ thức cạnh đường cao)  BH  AB : BC 122 : 20 7,  cm  HC BC  BH 20  7, 12,8  cm  Mặt khác AH BH HC 7, 2.12,8 92,16  AH 9,  cm  Vậy AB 12cm, BC 20cm, AH 9, 6cm, BH 7, 2cm, HC 12,8cm b) Ta có HB   CH 4 BH HC  1 Xét ABC vng A , đường cao AH , có AH HB.HC Từ (1)(2) suy Vậy (2) AH 4 HB.HB  142 4 HB  BH 49  BH 7  cm   CH 4.7 28  cm  BC BH  HC 7  28 35  cm  Bài 11: Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH Biết BC 26cm, AB  AC 12 A Tính AB, AC Và AH , BH , CH B H 26 C Lời giải AB AB AC AB AC      12 25 144 Cách 1: Từ giả thiết AC 12 AB AC AB  AC BC 262     4 25  144 169 169 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có 25 144  AB AC  2  AB 10  cm  , AC 24  cm  12 Xét ABC vuông A , đường cao AH , có  HC BC  BH 26  Mặt khác Vậy AB BH BC  BH  AB : BC 102 : 26  50 288   cm  13 13 AH BH CH  50 288 14400 120   AH  13 13 13 13 (cm) 120 50 288 AB 10cm, AC 24cm, AH  cm, BH  cm, HC  cm 13 13 13 Cách 2: Dùng phương pháp đại số Từ giả thiết Đặt AB AB AC    AC 12 12 AB AC  k  k    AB 5k , AC 12k 12 2 Xét ABC vng A , có BC  AB  AC (định lí pitago) Hay 2 26  5k    12k   k 4  k 2  k   Suy AB 10cm, AC 24cm Bài 12: Cho ABC vuông A , đường cao AH A Biết AH 12cm, AB  AC Tính AB, AC , BC , BH , CH B Lời giải H C 50  cm  13 Từ giả thiết Đặt AB AB AC    AC 4 AB AC  k  k    AB 3k  cm  ; AC 4k  cm  Xét ABC vuông A , đường cao AH có 2 BC  AB  AC  BC  3k    4k  25k  BC 5k  cm  + AH BC  AB AC (hẹ thức cạnh đường cao)  12.5k 3k 4k  60k 12 k  12k  60k 0  k 5 Do AB 3.5 15  cm  ; AC 4.5 20  cm  ; BC 5.5 25  cm  Mặt khác + AB BH BC  BH  AB 152  9  cm  BC 25 CH BC  BH 25  16  cm  Vậy AB 15  cm  , AC 20  cm  , BH 9  cm  , CH 16  cm  Bài 13: Cho ABC vuông A , đường cao, phân A giác AD Biết BD 75cm, DC 100cm Tính BH , CH 16 12 B H D C Lời giải Cách 1: Ta có BC BD  DC 75  100 175  cm  ABC có AD phân giác   BD AB  DC AC (tính chất đường phân giác) AB 75 AB AC AB AC       AC 100 4 16 Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có:  AB AC AB  AC BC 175     1225 16 25 25 25 AB AC  35  AB 3.35 105  cm  ; AC 4.35 140  cm  10