1/ TIẾT 31: ÔN TẬP HỌC KỲ I Bài 1: Cho ABC vuông A, biết BC = 9cm, B = 300 a) Giải tam giác ABC b) Kẻ đường cao AH ABC Tính AH, BH b) Vẽ AD tia phân giác góc A (D BC) Tính AD Hướng dẫn B a) ABC (Â = 90 ) có: 30° 900 B 900 300 600 C D H AB = BC sin C = sin 60 7,79 (cm) AC = BC sin B = sin 300 = 4,5 (cm) A b) ABC (Â = 90 ), AH BC AH Ta có: AH BC = AB AC Suy ra: Lại có: AB2 = BH BC BH AB AC 7, 79.4,5 3,9 BC (cm) AB 7, 792 6, 74 BC (cm) 1 BAD BAC 900 450 2 c) Ta có: (AD tia phân giác Â) ADH ABH BAD 300 450 750 AH AH 3,9 sin ADH AD 4, 04 (cm) 0 ADH ( H 90 ) có: AD sin ADH sin 75 Bài 2: ABC vuông A, đường cao AH Biết AB = 6cm, AC = 8cm a) Tính BC, AH, B, C ? AB BH CH b) Chứng minh AC HE HF 1 HC c) Chứng minh BH Hướng dẫn NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ C 1/ a) 900 , AH BC ABC A A F +) BC2= AC2+AB2 => BC= 10 (cm) E +) AH.BC=AB.AC => AH= 4,8 (cm) C ˆ +) sin B = 10 B 53 B H ˆ = 900 Cˆ 37 ˆ +C +) B b) Ta có: AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC AB BH BC AB BH CH BC Vậy AC CH Suy AC c) +) +) sin B sin C HE HE sin B BH BH HF HF sin C CH CH HE HF HC Suy ra: sin2B + sin2C = BH Do đó: sin2B + cos2B HE HF HE HF 1 BH HC BH HC Bài Cho ABC vuông A (AB < AC) Đường trịn tâm O đường kính AC cắt BC H a) Chứng minh: AH BC b) Gọi M trung điểm AB Chứng minh HM tiếp tuyến (O) c) Tia phân giác HAC cắt BC E cắt (O) D Chứng minh: DA DE = DC2 Hướng dẫn a) AHC nội tiếp (O), AC đường kính Nên AHC vuông H B Vậy AH BC b) AHB vuông H, HM đường trung tuyến Suy ra: HM = AM (= AB) H D M E A NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ O C 1/ AMO HMO có: AM =HM, MO chung, OA=OH(=R) Nên: AMO =HMO (c.c.c) Suy ra: MHO = MAO = 90 Do đó: MH OH H, mà H(O) Vậy: MH tiếp tuyến (O) c) ADC nội tiếp (O), AC đường kính ADC = 90 Nên ADC vuông D => AHE CDE có: AEH = DEC (đối đỉnh), AHE = EDC (=90 ) Nên: HAE = DCE Mà: HAE = DAC (AD tia phân giác HAC ) Suy ra: DCE = DAC DAC DCE có: DCE = DAC ; ADC chung Nên: DAC ∽ DCE (g.g) DA DC = Suy ra: DC DE Vậy: DA DE = DC2 Bài 4: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R M điểm tuỳ ý đường tròn ( M A, M B) Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (Ax, By nửa đường tròn nằm nửa mặt phẳng bờ AB) Qua M kẻ tiếp tuyến thứ ba với đường tròn cắt Ax By C D a b c d Chứng minh: CD = AC + BD tam giác COD vuơng O Chứng minh: AC.BD = R2 Cho biết AM =R Tính theo R diện tích BDM x AD cắt BC N Chứng minh MN // AC y D M Hướng dẫn a/ CA = CM (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau) C N NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ A O B 1/ DB = DM (tính chât hai tiếp tuyến cắt nhau) CD = CM + MD = CA + DB Hay CD = AC + BD * Ta có: OC tia phân giác góc AOM OD tia phân giác góc BOM Mà góc AOM góc BOM hai góc kề bù Nên: CƠD = 900 Vậy tam giác COD vuông O b/Tam giác COD vuông O có OM CD OM2 = CM.MD (2) Suy ra: AC.BD = R2 c)Tam giác BMD => SBMD 3R = (đvdt) d) Chứng minh MN song song với AC Talet đảo Bài 5: Từ điểm A ngồi đường trịn (O) kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B tiếp điểm) Gọi I trung điểm đoạn AB, kẻ tiếp tuyến IM với đường tròn (O) (M tiếp điểm) a Chứng minh : Tam giác ABM tam giác vng b Vẽ đường kính BC đường tròn (O) Chứng minh điểm A; M; C thẳng hàng c Biết AB = 8cm; AC = 10cm Tính độ dài đoạn thẳng AM Hướng dẫn B a/Theo giả thiết IM,IB tiếp tuyến đường tròn (O) I =>IM = IB (T/c hai tiếp tuyến cắt nhau) O A AB Mà IA = IB (gt) suy MI = Vậy tam giác AMB vuông M M C BC b/Trong tam giác BMC ta có OM = OB = OC ( Bán kính đường trịn (O)) => MO = => BMC vng M NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ 0 Ta có AMB BMC 90 90 180 Vậy AMC 180 Nên điểm A,M,C thẳng hàng c/Ta có AB tiếp tuyến đường tròn (O) => AB OB ( T/c tiếp tuyến) ABC vng B ta có BM AC => AB AM AC ( Hệ thức lượng tam giác vuông) AM => AB AC Thay số AM = 6,4 Bài 6: Cho nửa đường trịn tâm O , đường kính AB = 2R Vẽ tiếp tuyến Ax By với nửa đường tròn ,từ điểm M nửa đường tròn( M khác Avà B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax ; By theo thứ tự D C Chứng minh : a) COD 90 b) DC = DA + BC c) Tích AD.BC khơng đổi M di chuyển nửa đường trịn tâm O d) Cho biết AM =R Tớnh theo R diện tớch BMC e) Gọi N giao điểm AC BD Chứng minh MN AB Hướng dẫn a) Ta có : D OD tia phân giác AOM C Tương tự : OC tia phân giác BOM Mà : AOM BOM hai góc kề bù M Nên : OC OD ( tính chất tia phân giác hai góc kề bù ) Hay : COD 90 D N b) DA = DM (t/c tiếp tuyến cắt ) CB = CM (t/c tiếp tuyến cắt ) A B Vậy : DA + CB = DM + CM = DC c ) AD.BC = R2 , mà R không đổi Do AD.BC khơng đổi M di chuyển nửa đường trịn tâm NhómchunđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ d)BMC => SBMC 3R đvdt = e ) Xét BNC có DA // CB ( vng góc với AB ) AD DN Suy : CB NB (hệ ĐL Talet ) Mà : DA = DM ( cmt ) CB = CM ( cmt ) DM DN Do : CM NB DM DN Trong tam giác BDC có CM NB (cmt) MN // CB ( ĐL Talet đảo ) Mà : CB AB ( CB tiếp tuyến ) Vậy : MN AB Bài 7: Cho hai đường trịn (O) (O’) có O; O’cố định ; bán kính thay đổi ; tiếp xúc ngồi A Kẻ tiếp tuyến chung DE, D (O), E (O’) (D, E tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến chung A, cắt DE I Gọi M giao điểm OI AD, N giao điểm O’I AE a/ Chứng minh I trung điểm DE b/ Chứng minh tứ giác AMIN hình chữ nhật.Từ suy hệ thức IM IO = IN.IO’ c/ Chứng minh OO’ tiếp tuyến đường trịn có đường kính DE d/ Tính DE, biết OA = 5cm , O’A = 3cm e) Khi D, E chuyển động (O) (O’) I chạy đường nào? Vì sao? Hướng dẫn a/ Tính ID = IA ; IE = IA ID = IE b/ Tứ giác có góc vng hình chữ nhật Suy ra: IA2 = IM IO IA2 = IN IO’ NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 1/ IM.IO = IN.IO’ c/ Do IA = ID = IE I tâm đường trịn ngoại tiếp ADE Nêu lí OO’ IA OO’ tiếp tuyến (I) d/ Tính IA = 15 (cm) Suy DE = 15 (cm) e/ IOO' vuông I , O, O’ cố định OO’ không đổi , nên I chạy đường trịn đường kính OO’ Bài 8: Cho đường trịn tâm (O;R) đường kính AB điểm M đường tròn cho MAB = 600 Kẻ dây MN vng góc với AB H Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM): Chứng minh MN2 = AH HB Chứng minh tam giác BMN tam giác điểm O trọng tâm Tia MO cắt đường tròn (O) E, tia MB cắt (B) F Chứng minh ba điểm N; E; F thẳng hàng Hướng dẫn M A 60 B H O N E wAMB nội tiếp đường tròn (O) có AB đường kính nên wAMB vng M Điểm M (B;BM), AM MB nên AM tiếp tuyến đường tròn (B; BM) Chứng minh tương tự ta AN tiếp tuyến đường trịn (B; BM) MN Ta có: AB MN H MH = NH = (1) (tính chất đường kính dây cung) wAMB vng B, MH AB nên: MH2 = AH HB ( hệ thức lượng tam giác vng) NhómchunđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ F 1/ MN 2 Hay AH HB MN 4 AH HB (đpcm) 3) Từ (1) suy AB là đường trung trực MN nên BM = BN MAB NMB 600 (cùng phụ với MBA ) Suy BMN OAM có OM = OA = R MAO 60 nên OAM OA OB MH AO nên HA = HO = = OB MBN có BH đường trung tuyến (vì HM = HN) OH = nên O trọng tâm tam giác 4) wMNE nội tiếp đường tròn (O) đường kính AB nên wMNE vng N MN EN wMNF nội tiếp đường trịn (B) đường kính MF nên vmg N MN FN Do ba điểm N, E, F thẳng hàng NhómchuyênđềKhối 6,7,8,9 ềKhối 6,7,8,9 https://www.facebook.com/groups/232252187522000/