7/7 HỌC KÌ II – TUẦN – TIẾT 31 – ÔN TẬP HỌC KỲ I Bài 1: Tam giác ABC cân A , gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA 2 5cm , IB 3cm Tính độ dài AB A A 900 ABC Bài 2: Tam giác cân , đường cao AD , trực tâm H Tính độ dài AD , biết AH 14cm , BH HC 30cm Bài 3: Tam giác ABC có BC 40cm , đường phân giác AD dài 45cm , đường cao AH dài 36cm Tính độ dài BD , DC Bài 4: Cho tan x cos x sin x Tính cos x sin x Bài 5: Tính tan15 mà khơng dùng bảng số, khơng dùng máy tính Bài 6: Cho tam giác ABC vng A có số đo góc C 15 , BC a Chứng minh AB AC a2 a b c Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh sin A sin B sin C Bài 8: Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn DC Cho ACD , ADC AB a Tính diện tích hình thang O Bài 9: Cho hai dây cung AB CD cắt điểm M nằm bên đường tròn Gọi H K theo thứ tự trung điểm AB CD Biết AB CD Chứng minh MH MK O Bài 10: Trong cho điểm A khác điểm O Tìm đường trịn điểm M cho góc AMO lớn O O Bài 11: Cho hai đường tròn tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung MN , M O1 N O2 OO , Gọi P điểm đối xứng với M qua , Q điểm đối xứng với N qua O1O2 Chứng minh rằng: a) MNPQ hình thang cân b) PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn c) MN PQ MP NQ Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 7/7 O O OH Bài 12: Cho H , K giao điểm hai đường tròn Đường thẳng cắt O1 A O2 B O2 H cắt O1 C O2 D Chứng minh ba đường thẳng BC , BD, HK đồng quy điểm HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Tam giác ABC cân A , gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA 2 5cm , IB 3cm Tính độ dài AB Hướng dẫn Dựng đường vng góc với AB A cắt BI K Ta có B 90 K B1 B2 K AIK AIK B 90 Vậy tam giác AIK cân A Kẻ AH BK Đặt IH HK x Xét tam giác vng ABK có AK KH KB x x 3 x 3x 20 0 x x 0 x 2, KB 2 x 2.2,5 8 AB KB AK 82 2 11 A A 900 ABC Bài 2: Tam giác cân , đường cao AD , trực tâm H Tính độ dài AD , biết AH 14cm , BH HC 30cm Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 7/7 Hướng dẫn Gọi E điểm đối xứng với H qua BC Ta có BHCE hình thoi, ABE vuông B nên BE ED.EA Đặt DE x Ta có x x 14 302 x x 450 0 x 18 x 25 0 x 18 AD 32cm Bài 3: Tam giác ABC có BC 40cm , đường phân giác AD dài 45cm , đường cao AH dài 36cm Tính độ dài BD , DC Hướng dẫn Đặt BD x , DC y Giả sử x y HD AD AH 452 362 27 Vẽ tia phân giác góc ngồi A , cắt BC E Ta có AE AD nên AD DE.DH Suy DE AD 452 75 DH 27 Theo tính chất đường phân giác tam giác: DB EB x 75 x DC EC y 75 y (1) Mặt khác x y 40 y 40 x thay vào (1) rút gọn x 115 x 1500 0 x 15 x 100 0 Do x 40 x 15 y 25 Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 7/7 Bài 4: Cho tan x cos x sin x Tính cos x sin x Hướng dẫn cos x sin x cot x 3 Chia tử mẫu cho sin x 0 , ta cos x sin x cot x Bài 5: Tính tan15 mà khơng dùng bảng số, khơng dùng máy tính Hướng dẫn Xét tam giác ABC có A 90 , B 30 , AC 1 Ta có B 30 BC 2 AC 2 tan 30 AC AB AB Kẻ đường phân giác BD Theo tính chất đường phân giác DA BA DA DC DA DC AC 2 DC BC BA BC AB BC AB BC 2 tan15 AD 2 AB 3 Bài 6: Cho tam giác ABC vng A có số đo góc C 15 , BC a Chứng minh a2 AB AC Hướng dẫn : Vẽ đường cao AH , đường trung tuyến AM Ta có AMC cân A nên AMH 30 AH AM BC a 2 AB AC AH BC a2 a b c Bài 7: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh sin A sin B sin C Hướng dẫn Nhóm Chuyên Đề Toán 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 7/7 Kẻ AH BC Đặt AH h ta có sin B AH AB sin C AH AC sin B AH AC AC b b c sin C AB AH AB c sin B sin C b a Chứng minh tương tự sin B sin A Bài 8: Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn DC Cho ACD , ADC AB a Tính diện tích hình thang Hướng dẫn Kẻ AA ' DC , BB ' DC Đặt AA ' h cot A' D A ' D AA '.cot h.cot AA ' cot A 'C A ' C AA '.cot h.cot AA ' Ta có AB A ' B ' A ' C B ' C A ' C A ' D a h cot cot h a cot cot CD A ' D A ' C h cot cot Vậy S 1 1 a a AB CD AA ' a h cot cot h a cot cot 2 2 cot cot cot cot a cot cot cot cot cot O Bài 9: Cho hai dây cung AB CD cắt điểm M nằm bên đường tròn Gọi H K theo thứ tự trung điểm AB CD Biết AB CD Chứng minh MH MK Hướng dẫn Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 7/7 Ta có OH qua trung điểm H dây AB không qua tâm nên OH AB Vậy OH khoảng cách từ O đến dây AB Ta có OK qua trung điểm K dây CD không qua tâm nên OK CD Vậy OK khoảng cách từ O đến dây CD MO OH HM OK KM 1 Do AB CD OH OK OH OK 2 Từ (1) (2) ta có HM KM MH MK O Bài 10: Trong cho điểm A khác điểm O Tìm đường trịn điểm M cho góc AMO lớn Hướng dẫn O O Lấy điểm M thuộc , MA cắt M ' Kẻ OI MM ' không qua tâm Xét tam giác vng OMI có cạnh huyền OI bán kính O khơng đổi, góc AMO lớn cạnh đối diện OI lớn Trong dây qua điểm A đường trịn, dây vng góc với bán kính qua A dây ngắn Vậy OI lớn dây cung qua A bé Vậy điểm M BC OA phải tìm hai điểm B, C O O Bài 11: Cho hai đường tròn tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung MN , M O1 N O2 OO , Gọi P điểm đối xứng với M qua , Q điểm đối xứng với N qua O1O2 Chứng minh a) MNPQ hình thang cân b) PQ tiếp tuyến chung hai đường tròn c) MN PQ MP NQ Hướng dẫn Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 7/7 OO OO a) P điểm đối xứng với M qua , Q điểm đối xứng với N qua nên MP O1O2 MP ∥ NQ NQ O1O2 Vậy MNPQ hình thang OO OO Ta có P đối xứng với M qua H nên HMN đối xứng HPQ qua Vậy HMN HPQ , nên MNPQ hình thang cân OO PQ O1P b) tương tự ta có O1 PQ đối xứng O1 MN qua nên O1 PQ O1MN 90 Vậy O O PQ tiếp tuyến Chứng minh tương tự PQ tiếp tuyến c) kẻ tiếp tuyến chung A cắt MN thứ tự R S Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có MR RA RN , PS SA SQ nên MN PQ 2 RS (1) Lại có RS đường trung bình hình thang MNQP , MP NQ 2 RS (2) Từ (1) (2) suy MN PQ MP NQ O O OH Bài 12: Cho H , K giao điểm hai đường tròn Đường thẳng cắt O1 A O2 B O2 H cắt O1 C O2 D Chứng minh ba đường thẳng BC , BD, HK đồng quy điểm Hướng dẫn Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/ 7/7 Gọi E AC BD Ta có tam giác ACH , AKH nội tiếp đường trịn O1 có cạnh AH đường kính nên tam giác ACH vng C tam giác AKH vuông K DC AE , HK AK (1) Chứng minh tương tự AB DE , HK KD (2) Từ (1) (2) suy thẳng hàng A, K , D Vậy HK AD Xét tam giác ADE có H trực tâm , mà HK AD nên HK qua E Vậy ba đường thẳng BC , BD, HK đồng quy E Nhóm Chun Đề Tốn 6, 7, 8, 9: https://www.facebook.com/groups/232252187522000/