Toán thực tế ứng dụng đường tròn

TUYỂN TÂP BÀI TỐN THỰC TẾ ỨNG DỤNG ĐƯỜNG TRỊN (CÓ BÀI GIẢI CHI TIẾT) Bài 1: Ở nước xứ lạnh, vào mùa Đơng thường có tuyết rơi dày đặc khắp đường, trẻ em thích đắp hình dạng người tuyết Có thể xem phần thân thân người tuyết hai hình cầu tiếp xúc Em tính kích thước hai viên tuyết cần đắp để người tuyết cao 1,8m biết đường kính phần thân phải gấp đơi đường kính phần thân người tuyết Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: A O' O B  Ta có: 1,8m = 180cm  Gọi r (cm) bán kính đường trịn nhỏ ⇒ Đường kính đường trịn nhỏ 2r (cm) (r > 0) ⇒ Đường kính đường tròn lớn là: 2.2r = 4r (cm)  Ta có: 2r + 4r = 180 (vì (O) tiếp xúc với (O’)) ⇔6r=180⇔r =30cm 19  Vậy để đắp người tuyết có chiều cao 1,8m ta cần đắp hai cầu tuyết có đường kính 60cm 120cm Bài 2: Một vệ tinh nhân tạo địa tĩnh chuyển động theo quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 36000km , tâm quỹ đạo vệ tinh trùng với tâm O Trái Đất Vệ tinh phát tính hiệu vơ tuyến theo đường thẳng đến vị trí mặt đất Hỏi vị trí xa Trái Đất nhận tín hiệu từ vệ tinh cách vệ tinh khoảng km? (ghi kết gần xác đến hàng đơn vị) Biết Trái Đất xem hình cầu có bán kính 6400km Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: A E C O B  Ta có: CO = CE + EO = 36000 + 6400 = 42400km  Xét ∆COA vuông A (vì CA tiếp tuyến (O) nên CA ¿ OA) ⇒CO 2=CA +OA (định lí Pytago) ⇒CA =CO 2−OA =42400 2−6400 ⇒CA =√ 424002 −64002≈41914,2km  Vậy vị trí xa Trái Đất nhận tín hiệu vệ tinh cách vệ tinh khoảng 41914,2km 20 Bài 3: Khí cầu túi đựng khơng khí nóng, thường có khối lượng riêng nhỏ khơng khí xung quanh nhờ vào lực đẩy Ác-si-mét bay lên cao Giả sử xem khinh khí cầu khối cầu dây nối tiếp xúc với khối cầu Hãy tính chiều dài dây nối để khoảng cách từ buồng lái đến điểm thấp khí cầu 8m Biết bán kính khối cầu 10m Bài giải:  Hình vẽ minh họa toán: O B C D A  Ta có: OB = OC = OD = R = 10m ⇒ OA = AD + DO = + 10 = 18m  Xét ∆ABO vng B (vì AB tiếp tuyến (O)) ⇒OA =OB2 + AB (định lí Pytago) ⇒ AB2 =OA 2−OB2 =182 −102 =224 ⇒ AB= √224=4 √ 14≈15m  Vậy chiều dài dây nối thỏa yêu cầu toán 15m Bài 4: Người ta muốn xây dựng cầu bắc qua hồ nước hình trịn có bán kính 2km Hãy tính chiều dài cầu để khoảng cách từ cầu đến tâm hồ nước 1732m 21 Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: A H B O  Ta có: OA = OB = 2km (gt)  Gọi H trung điểm AB, dây AB không qua tâm O ⇒ OH ¿ AB H (liên hệ đường kính dây cung) ⇒ OH = 1732m = 1,732km (gt)  Xét ∆OHA vuông H ⇒OA =OH +AH (định lý Pytago) ⇒ AH2 =OA −OH2 =22 −( 1,732 )2 ⇒ AH=√2 2−( 1,732 )2 ≈1km  Ta có: AB=2AH=2 1=2km (vì H trung điểm AB)  Vậy chiều dài cầu khoảng 2km Bài 5: Một bánh xe có dạng hình trịn bán kính 20cm lăn đến tường hợp với mặt đất góc 600 Hãy tính khoảng cách ngắn từ tâm bánh xe đến góc tường 22 Bài giải:  Khi bánh xe chạm tới tường di chuyển vào thêm Điều có nghĩa khoảng cách tâm bánh xe đến góc tường ngắn bánh xe tiếp xúc với tường mặt đất  Hình vẽ minh họa toán: B O 300 A 600 C  Ta có: OB = OC = 20cm (gt) B A^ C=60 (gt) 1 O A^ B= B A^ C= 600=30 2 (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)  Xét ∆OAB vng B (vì AB tiếp tuyến (O) nên AB ¿ OB) ⇒sinB { A^ O= ⇒OA= OB ¿ OA (tỉ số lượng giác góc nhọn) OB 20 O= =40cm ¿ ^ sinB { A sin300  Vậy khoảng cách ngắn từ tâm bánh xe đến góc tường 40cm 23 Bài 6: Đường hầm vượt eo biển Măng-sơ nối hai nước Anh Pháp có chiều dài khoảng 51km Giả sử vị trí hai đầu đường hầm thuộc Anh Pháp nằm kinh tuyến bề mặt Trái Đất (Trái Đất xem hình cầu có bán kính 6400km) Hãy tính độ sâu đường hầm so với bề mặt Trái Đất Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: H P A C O  Ta có: AP = 51km, OP = 6400km (gt)  Kẻ OH ¿ AP C ⇒ C trung điểm AP (liên hệ đường kính dây cung) ⇒ PC=CA= AP 51 = =25,5km 2  Xét ∆OCP vuông C ^ ⇒sinP { OC= PC 25,5 = =0,398 ¿ OP 6400 (tỉ số lượng giác góc nhọn) ^ ⇒ P OC≈23 30' ^ OC ¿ cosP { OC= OP  Và: (tỉ số lượng giác góc nhọn) 24 ⇒OC=OP cosPOC=6400 cos23 30'≈5869km ⇒CH=OH−OC=6400−5864=53,1km  Vậy độ sâu đường hầm so với bề mặt Trái Đất 531km Bài 7: Một cầu gỗ có bán kính R = 5cm đặt đế gỗ có dạng nửa mặt cầu bán kính R Hãy tính khoảng cách từ mặt đất đến điểm cao mặt cầu gỗ Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: E O A H B D  Gọi H trung điểm AB dây AB không qua tâm O ⇒ OH ¿ AB (liên hệ đường kính dây cung) R AB=2 =R  Ta có: (vì AB đường kính)  Xét ∆OAB có: OA = OB = AB = R ⇒ ∆OAB ⇒O A^ B=600 hay O A^ H =600 25  Xét ∆AHO vuông H OH ⇒cosO { A^ H = ¿ OA (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒OH=OA cosO { A^ H =R.cos60 =R √ ¿ ⇒ ED=OE+OH+ HD=R+ R √ R R ( 3+ √3 ) ( 3+ √3 ) + = = ≈11,83cm 2 2  Vậy chiều cao cầu gỗ 11,83cm Bài 8: Dây Cu-roa truyền sử dụng rộng rãi công nghiệp Chiều dài dây cu-roa xác định theo công thức: L=2a + π ( d1 + d ) + ( d −d ) 4a Trong đó: L: Chiều dài dây cu-roa a: Khoảng cách tâm pu-ly d : Đường kính pu-ly (hình trịn nhỏ màu vàng) d : Đường kính pu-ly (hình trịn lớn màu vàng) Cho d =10cm,d 2=20cm,a=60cm a) Tính chiều dài dây cu-roa b) Gọi AB chiều dài đoạn dây cu-roa, A, B tiếp điểm dây cu-roa với đường tròn tạo mặt cắt pu-ly Tính AB Bài giải: a) Thay d1 = 10, d2 = 20, a = 60 vào công thức 26 L=2a + π ( d1 + d ) + ( d −d ) 4a , ta được: L=2 + π ( 10+20 ) ( 20−10 ) 1445+180π + = ≈68094cm 4.6 12 b)  Hình vẽ minh họa toán: A C B O' O  Vẽ O’C vng góc với OB (C thuộc OB) ^ A= ^ B=90 ^  Xét tứ giác CABO’ có: C= ¿ (vì AB tiếp tuyến chung (O), (O’) O’C OB) ⇒ Tứ giác O’ABC hình chữ nhật ⇒ AC = BO’ ⇒ OC = OA – AC = OA – O’B = R – r = 20 – 10 = 10cm  Xét ∆OCO’ vuông C ⇒OO' 2=OC +O'C2 (định lý Pytago) ⇒O'C2 =OO'2 −OC 2=60 2−10 2=3500 ⇒O'C=√ 3500=10 √ 35cm ⇒ AB=O'C=10 √ 35cm (vì O’ABC hình chữ nhật) Bài 9: Vinasat-1 vệ tinh viễn thông địa tĩnh Việt Nam phóng vào vũ trụ lúc 22 17 phút ngày 18 tháng năm2008 (giờ UTC) Dự án vệ tinh Vinasat-1 khởi động từ năm 1998 với tổng mức đầu tư khoảng 300 triệu USD Việt Nam tiến hành đàm phán với 27 quốc gia vùng lãnh thổ để có vị trí 132 độ Đơng quỹ đạo địa tĩnh Hãy tìm khoảng cách từ vệ tinh Vinasat-1 đến mặt đất Biết vệ tinh phát tín hiệu vô tuyến đến điểm xa mặt đất từ lúc phát tín hiệu đến mặt đất lúc vệ tinh thu lại tín hiệu phản hồi khoảng thời gian 0,28s Trái đất xem hình cầu có bán kính khoảng 6400km (ghi kết gần xác đến hàng đơn vị), giả sử vận tốc sóng vơ tuyến 3.108 m/s 27 Bài giải:  Hình vẽ minh họa toán: M A H O  Do thời gian từ lúc truyền tín hiệu đến lúc nhận lại tín hiệu 0,28s, nên thời gian tín hiệu truyền từ A đến M là: 0,28 : = 0,14 (s)  Độ dài đoạn AM quãng đường tín hiệu truyền 0,14s S = AM = v.t = 3.108.0,14 = 42.106m = 42000km  Vị trí xa trái đất nhận tín hiệu từ vệ tinh vô số điểm M (với AM tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn tâm O)  Vì AM tiếp tuyến (O) ⇒OM ⊥ AM M  Xét tam giác vuông AMO, áp dụng định lý Py-ta-go ta có: OA 2=OM2 +MA =64002 + 420002=1804960000 ⇒OA=42485km  Khoảng cách từ vệ tinh Vinasat-1 đến mặt đất độ dài đoạn AH: AH=AO−OH=42485−6400=36085km Bài 10: Sóng cực ngắn có tần số 30 - 30000MHz Năng lượng lớn, không bị tầng điện ly hấp thụ, truyền xa (> 2200km) theo đường thẳng Dùng thông tin liên lạc vũ trụ, đa truyền hình Tại thời điểm có hai vệ tinh hai vị trí A B cách mặt đất 230km, 28 tín hiệu (truyền sóng cực ngắn) truyền từ vệ tinh A truyền đến vệ tinh B theo phương AB Hỏi vệ tinh B có nhận tín hiệu khơng? Biết khoảng cách A B theo đường thẳng 2200km bán kính Trái Đất 6400km Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: H A M B N O  Kẻ OH  AB  H  AB   Gọi M, N giao điểm OA, OB với đường tròn (O)  Ta có: AM BN 230 km (gt) OM ON R 6400  km   OA OB AM  OM 230  6400 6630  km   AOB có OA = OB nên tam giác cân O  OH vừa đường cao vừa đường trung tuyến  H trung điểm AB 29  HA HB  AB 2200  1100 km 2  Ta có: ∆AOH vng H ⇒OA =OH +AH (định lý Pytago) ⇒OH =OA 2−AH2 ⇒  Do vị OH  OA  AH  6630  1100 6538 km OH  R  6538 km  6400 km  nên vệ tinh vị trí B nhận tín hiệu vệ tinh trí A truyền tới theo phương AB Bài 11: Để giúp xe lửa chuyển từ đường ray từ hướng sang đường ray theo hướng khác, người ta làm xen đoạn đường ray hình vịng cung (hình bên) Biết chiều rộng đường ray AB 1,1m , đoạn BC 28, 4m Hãy tính bán kính OA = R đoạn đường ray hình vịng cung? Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: 30  Thanh ray trùng với BC tiếp xúc với đường tròn (O, OB) B nên tiếp tuyến đường tròn (O, OB)  BC  OB  OA cắt đường tròn (O, OA) điểm D  D A   AD 2R  ∆ACD nội tiếp đường tròn (O, OA) có đường kính AD nên tam giác vng C  Xét ∆ACD vuông C, đường cao BC, ta có: CB AB.BD (hệ thức lượng tam giác vuông) ⇔CB 2=AB ( AD−AB ) ⇔CB =AB ( 2R−AB ) ⇔ ( 28,4 ) =1,2 ( 2R−1,1 ) ⇔2R=807,77 ⇔ R=367,2m Bài 12: Một cầu thiết kế hình bên có độ dài AB = 40m, chiều cao MK = 3m Hãy tính bán kính đường trịn chứa cung AMB, (MK qua tâm đường tròn chứa cung AMB) Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: 31 M 3m A 20m B K O N  Gọi đường tròn (O; R) đường trịn chứa cung AMB (như hình vẽ)  Do MK chiều cao ⇒ MK ¿ AB K  Gọi MN đường kính đường tròn (O)  MK qua tâm O ⇒ N, O, K, M thẳng hàng  MN ¿ AB K ⇒ K trung điểm AB ⇒ KA=KB= AB 40 = =20m 2  Ta có: ΔAMN nội tiếp đường trịn (O), có cạnh MN đường kính AMN nội tiếp đường trịn (O), có cạnh MN đường kính ⇒ ΔAMN nội tiếp đường trịn (O), có cạnh MN đường kính AMN vng A  Xét ΔAMN nội tiếp đường trịn (O), có cạnh MN đường kính KAN ΔAMN nội tiếp đường trịn (O), có cạnh MN đường kính KMA, ta có: A K^ N =M K^ A=900 M A^ K =A N^ K (vì phụ góc AMN) ⇒ ⇒ ΔAMN nội tiếp đường trịn (O), có cạnh MN đường kính KAN ∽ ΔAMN nội tiếp đường trịn (O), có cạnh MN đường kính KMA (g.g) KA KN = ⇔KA KA=KN KM ⇔KA =( MN−KM ) KM ⇔ KA2 =( 2R−KM ) KM KM KA ⇔202 =( 2R−3 ) ⇔ 400=6R−9 ⇔6R=409⇔ R≈68 , 17 m  Vậy bán kính đường trịn chứa cung AMB 68,17m Bài 13: Một đèn hải đăng cao 85m đặt bờ biển có góc nâng đèn không 85 so với phương thẳng đứng Biết ánh sáng đèn hải đăng phát xem đường thẳng đèn xoay tròn xung quanh hải đăng Một cầu bắc qua biển (rất dài) cách đèn hải đăng 750m Hỏi ánh sáng đèn hải đăng có chiếu sáng đoạn cầu hay khơng? Nếu có tính độ dài đoạn cầu chiếu sáng 32 cầu biển 850 đất liền Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: A B H 850 O B C O  Xét ∆OBC vuông O OC ⇒ tanO { B^ C= ¿ OB (tỉ số lượng giác góc nhọn) ⇒OC=OB.tanO { B^ C=85.tan850≈971,6m ¿  Ta có: 971,6 > 750 đèn chiếu sáng đoạn cầu  Xét ∆OHD vuông H ⇒OD 2=OH2 + HD2 2 (định lý Pytago) ⇒ HD =OD −OH =971,6 −750 ⇒ HD=√ 971,62 −7502 ≈617,7m ⇒ AD=2HD=2 617,7=1235,4m  Vậy độ dài đoạn cầu chiếu sáng khoảng 1235,4m 33 Bài 14: Ở nước nọ, có hịn đảo hình trịn ngồi biển Hãy xác định vị trí để làm cầu AB (A điểm đất liền, B điểm đảo) cho độ dài cầu ngắn Bài giải:  Hình vẽ minh họa toán: d H A B O  Xét điểm O, A, B ta có: AB≥OA−OB (bất đẳng thức tam giác) Vì OH ¿ AB nên OA ¿ OH (quan hệ đường vng góc đường xiên) ⇒ AB≥OH−OB Dấu “=” xảy A ¿ H B nằm A O  Vậy để độ dài cầu ngắn nhất, ta đặt vị trí A B sau: A hình chiếu O lên d, B giao điểm OH (O) Bài 15: Hai đảo xem hình trịn có khoảng cách từ tâm đảo đến tâm đảo khoảng 950m Biết đảo lớn có bán kính khoảng 500m, cịn đảo nhỏ có bán kính khoảng 200m Người ta cần xây dựng cầu bắc từ đảo sang đảo Em chọn vị trí để xây cầu cho chiều dài cầu ngắn nhất, tính chiều dài 34 Bài giải:  Hình vẽ minh họa tốn: A B O O'  Xét điểm O’, A, B ta có: AB≥O'A−O'B Xét điểm O’, O, A ta có: O'A≥OO'−OA ⇒ AB≥OO'−OA−O'B=950−500−300=150m Dấu “=” xảy O, A, B, O’ thẳng hàng theo thứ tự  Vậy ta nên đặt cầu đoạn nối tâm hai đảo cầu có chiều dài ngắn 150m 35