1 1 don dieu

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A CHUẨN KIẾN THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA Định nghĩa : Giả sử K khoảng , đoạn nửa khoảng Hàm số f xác định K gọi :  Đồng biến K với x1 , x2  K , x1  x  f  x1   f  x2   Nghịch biến K với x1 , x2  K, x1  x  f  x1   f  x2  Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I  Nếu hàm số f đồng biến khoảng I f '  x  0 với x  I  Nếu hàm số f nghịch biến khoảng I f '  x  0 với x  I Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý : Giả sử I khoảng nửa khoảng đoạn , f hàm số liên tục I có đạo hàm điểm I ( tức điểm thuộc I đầu mút I ) Khi :  Nếu f '  x   với x  I hàm số f đồng biến khoảng I  Nếu f '  x   với x  I hàm số f nghịch biến khoảng I  Nếu f '  x  0 với x  I hàm số f không đổi khoảng I Chú ý :  Nếu hàm số f liên tục  a; b  có đạo hàm f '  x   khoảng  a; b  hàm số f đồng biến  a; b   Nếu hàm số f liên tục  a; b  có đạo hàm f '  x   khoảng  a; b  hàm số f nghịch biến  a; b   Ta mở rộng định lí sau Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng I Nếu f '(x) 0 với x  I ( f '(x) 0 với x  I ) f '(x) 0 số hữu hạn điểm I hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) I Chú ý Vận dụng định lí vào hàm số thường gặp chương trình http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word *Nếu hàm số f hàm đa thức (không kể hàm số hằng) f(x) = P(x) (trong P(x) đa Q(x) thức bậc hai , Q(x) đa thức bậc P(x) không chia hết cho Q(x) hàm số f đồng biến (nghịch biến ) K  x  K,f '(x) 0 (f '(x) 0) ax  b *Nếu hàm số f hàm biến , f(x)  với a,b,c,d số thực ad – bc 0 cx  d hàm số f đồng biến (nghịch biến ) K  x  K,f '(x)  0(f '(x)  0) B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số Bài tốn 01: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp B1.Tìm tập xác định hàm số f B2 Tính đạo hàm f ’(x) tìm điểm x cho f '(x ) = f '(x ) không xác định B3 Lập bảng xét dấu f '( x) ,dựa vào định lí ,nêu kết luận khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số B4 Kết luận Các ví dụ Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số:  4x y  1 x 2x  x 1 Lời giải Tập xác định : D ¡ \ 1 Ta có: y'  2 (x  1)2  x  D ,suy hàm số nghịch biến khoảng xác định Giới hạn lim y 4 , lim y 4; x   x   lim y   , lim y  x   1 x   1 Bảng biến thiên: x + - + - y' y - http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Hàm số nghịch biến khoảng (  ;1) ( 1; ) Tập xác định : D ¡ \  1 Ta có: y'  (x  1)2  x  D , suy hàm số đồng biến khoảng xác định Giới hạn lim y 2 , lim y 2; x   x   lim y   , lim y  x   1 x   1 Bảng biến thiên: x -1 - + + + y' + y - Hàm số đồng biến khoảng (  ;  1) (  1; ) Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y  x2 1 x y   x2  x  x2 Lời giải Tập xác định : D ¡ \ 1 Ta có: y'   x2  2x (1  x)2  x 0 , y 0 x  D: y' 0    x 2 , y  Giới hạn lim y  , lim y  ; x x lim y  , lim y   x   x   Bảng biến thiên: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x - - y' y 0 + + + - + + CT CÑ -4 - - Hàm số nghịch biến khoảng (  ; 0) ( 2; ) ; Hàm số đồng biến khoảng (0;1) (1;2) Tập xác định : D ¡ \  2 Ta có: y'   (x  2)2  x  D, suy hàm số nghịch biến khoảng xác định Giới hạn lim  y   , lim  y ; lim y   , lim y   x  x   x  x   Bảng biến thiên: x + - y' y -2 - + + - - Hàm số nghịch biến khoảng (  ;  2) (  2; ) Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: f(x)  x3  4x  x Lời giải Tập xác định : D ¡ \ 2 Ta có: f '(x)  (3x  4)(x  2)  (x  4x  8) (x  2)2  2x  6x (x  2)2 x  D: f '(x) 0  2x  6x 0  x 0 x 3 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Giới hạn: lim f(x)   , lim f(x) ; lim f(x)  , lim f(x)  x x   x x   Bảng biến thiên: x - - f'(x) f(x) - - + + + + + 23 CT -4 - Hàm số nghịch biến khoảng   ;   2;  ; Hàm số nghịch biến khoảng  3;  Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x3 – 3x2  y  x3  x2  3x  Lời giải Tập xác định : D ¡ Ta có: y' 3x2 – 6x  x 0 , y(0) 4 x  D: y' 0    x 2 , y(2) 0   3 3 Giới hạn: lim y  lim x     , lim y  lim x       x   x   x   x   x x  x x    Bảng biến thiên: x - + y' y - + + yCÑ + yCT - Hàm số đồng biến khoảng (  ; 0) (2 ; ) ; Hàm số nghịch biến  0;  Tập xác định : D ¡ Ta có: y' x  2x   x  1   x  D , suy hàm số đồng biến ¡ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Giới hạn: lim y  , lim y   x   x   Bảng biến thiên x - + + y' + y - Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y  x4  2x  y x4  2x – Lời giải Tập xác định : D ¡ Ta có: y' 4x  4x 4x(x  1) x  D: y' 0  x 0 , y(0)  4  4 Giới hạn: lim y  lim x     ; x   x    x x  Bảng biến thiên x - + - y' y   lim y  lim x      x   x    x x4  + + + -4 CT Hàm số đồng biến khoảng (0;  ); Hàm số nghịch biến khoảng (  ; ) Tập xác định : D ¡ Ta có: y' x  4x x(x  4)  x 0 , y(0) 2 x  D: y' 0    x 2 , y( 2)  Giới hạn: lim y ; lim y  x   x   Bảng biến thiên 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word x - y' y -2 - + - + + + + CÑ -2 -2 CT CT Hàm số đồng biến hai khoảng (- 2;0) (2;+  ); Hàm số nghịch biến hai khoảng (-  ; - 2) (0;2) Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: 3 y 9x7  7x6  x  12 y  x  x4  x  2x  5 Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y' 7x4  3x  1 1 y'  với x 0 , x  3  1 Hàm số đồng biến nửa khoảng   ;  , đoạn  0;  nửa khoảng  3 suy hàm số đồng biến ¡ Hàm số cho xác định ¡ y' 0 với x 0 x    1   ;   Từ    2 Ta có: y'  x  2x  3x  y' 0  x  x 1 2x  3x   0, x  ¡ Từ bảng biến thiên suy hàm số đồng biến khoảng   ;  1  1;  , nghịch biến khoảng   1;1 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: x 2x  1 y  y  x x 2x  3x  y  y  x  4x Bài 2: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y  x2  4x  x 1 y  4x  5x  x 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 11 x2  x   x  2x  y  x x2 Bài 3: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y  y  x  3x2  3 y  x  2x  x  3 y  x3 3x   2x  4 y x3  6x2  9x  y   x3  3x2  24x  26 Bài 4: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y  2x  4x x  x  4x  Bài 5: Chứng minh hàm số sau đồng biến ¡ : y  x9  x6  2x  3x  6x  Bài toán 02: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC Phương pháp Nhận xét:  Bài tốn xét tính đơn điệu hàm số chuyển toán xét dấu biểu thức ( y' )  Khi tính đạo hàm hàm số có dạng y  f(x) ta chuyển trị tuyệt đối vào y  x  x 1 2 y x4  6x  8x  y  thức y  f (x) , điểm mà f(x) 0 hàm số khơng có đạo hàm Các ví dụ Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y   x3 Lời giải Hàm số cho xác định nửa khoảng Ta có: y'    ;1 3x2  x3 y' 0 x 0 y'  x    ;1 x 0 Do hàm số nghịch biến nửa khoảng   ;1 Chú ý: y' 0 x 0 hàm số không đổi nửa khoảng   ;1 Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y  x    2x  x Lời giải Hàm số cho xác định liên tục đoạn   3;1 12 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word  2x  x   Ta có: y'   2x  x , hàm số khơng có đạo hàm x  3, x 1    x 1  x 0 Với x    3;1 : y' 0    2x  x   0 Bảng biến thiên x y' 3  0  3 y Hàm số đồng biến hai khoảng   3;  ,hàm số nghịch biến hai khoảng  0;1 CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y  x  2x y  x  2x y x  x y  3x  x3 Bài 2: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y x  2x  x 2 y  2x  1  x 2 y  x  x  20 y x   x  3x  Bài 3: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: x x3 y  2 y  x 1 x 1 Bài 4: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y  x  y  x  2x  Bài 5: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y  x  2x  2 y  x  4x   2x  Bài toán 03: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ KHÁC Ví dụ Ví dụ Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y  x2 x4  Lời giải Hàm số cho xác định ¡  2x  x Ta có: y'   x4    Với x  ¡ : y' 0  x  x 0 x 1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 13 Bảng xét dấu: x y'   1 0     Trên khoảng x    ;  1   0;1 : y'   y đồng biến khoảng   ;  1  0;1 ; Trên khoảng x    1;    1;   : y'   y nghịch biến khoảng x    1;   1;  CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài tập: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: 4x  12x  3x2  x  1 y  2 y  y  4x  12x2  x2  x  Bài tốn 04: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Phương pháp Vì y' 0 vơ hạn điểm nên ta chưa thể kết luận hàm số nghịch biến ¡ Ta chứng minh hàm số nghịch biến ¡ định nghĩa Với x1 , x2  ¡ , x1  x , ln tồn khoảng (a; b) chứa x1 , x2 Do y' 0 hữu hạn điểm khoảng (a; b) nên hàm số nghịch biến khoảng (a; b)  y(x1 )  y(x )  hàm số nghịch biến Chú ý:  Khi xét tính đơn điệu hàm số chứa hàm lượng giác cần lưu ý đạo hàm hàm số triệt tiêu vơ hạn điểm Khi để xét tính đơn điệu hàm số TXĐ, ta chuyển xét tính đơn điệu khoảng chứa hữu hạn điểm mà đạo hàm triệt tiêu  Đối với hàm đa thức tất hệ số khơng đồng thời triệt tiêu hữu hạn điểm Ví dụ Ví dụ Chứng minh hàm số : y cos 2x  2x  nghịch biến ¡ Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y'  sin 2x     s in2x  0, x  ¡ y' 0   k, k  ¢ Vì y' 0 vơ hạn điểm nên chưa thể kết luận hàm số nghịch biến ¡ x  14 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Với x1 ,x  ¡ x1  x2 , ln tồn khoảng  a; b  chứa x1 , x2 Do y' 0 hữu hạn điểm khoảng  a; b  nên hàm số nghịch biến khoảng  a; b  y  x1   y  x   hàm số nghịch biến ¡ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm khoảng đồng biến , nghịch biến hàm số: y 2 sin x  cos 2x với x   0;     y sin 2x  cos x  2x với x    ;   2 Bài Chứng minh hàm số y sin 2x  2x  nghịch biến ¡ Chứng minh hàm số y  sin x  cos x  2x  đồng biến ¡ Tìm m để hàm số y 2x  m sin x  đồng biến ¡ Tìm m để hàm số y 2 cos 2x  mx  đồng biến ¡ 1 Bài Tìm tham số m để hàm số: y mx  sin x  sin 2x  sin 3x đồng biến ¡ Dạng 2: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu tập xác định Phương pháp B.1 Xác định tham số để hàm số f xác định khoảng cho B.2 Tính f’(x) ,vận dụng định lí vào hàm số thường gặp chương trình (xem phần tóm tắt giáo khoa) Chú ý Để giải toán dạng ,ta thường sử dụng tính chất sau Nếu f(x) = ax2 + bx + c (a 0)  0 * x  ¡ (hay ¡ bớt số hữu hạn điểm), f(x) 0   a   0 * x  ¡ (hay ¡ bớt số hữu hạn điểm), f(x) 0   a  Bài tốn 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp  Tìm TXĐ  Tính y’  Hàm số đồng biến ¡  y' 0, x  ¡ ( Hàm số nghịch biến ¡  y' 0, x  ¡ Từ suy điều kiện m Chú ý: Cho hàm số y f(x) có đạo hàm liên tục D http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 15  Hàm số đồng biến I  D  f '(x) 0, x  I f '(x) 0 có hữu hạn nghiệm  Hàm số đồng biến I  D  f '(x) 0, x  I f '(x) 0 có hữu hạn nghiệm Các ví dụ Ví dụ 1: Định m để hàm số y  mx  đồng biến khoảng xác định xm Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ \{ m}   ;  m     m;   Ta có: y'  m2  (x  m)2 Hàm số đồng biến khoảng   ;  m    m;    y'  , x  D  m    m   m  Vậy, với m   m  hàm số đồng biến khoảng   ;  m    m;  Ví dụ : Định m để hàm số đồng biến: y x3  3x  mx  m y mx  (2m  1)x  (m  2)x  Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2  6x  m Cách 1: Hàm số đồng biến ¡  y' 0, x  ¡ , phải có  ' 0 , tức  3m 0 hay m 3 Vậy, với m 3 hàm số đồng biến ¡ Cách 2: Hàm số đồng biến ¡  y' 0, x  ¡ , phải có m  3x2  6x Xét hàm số g  x   3x  6x ¡ có g '  x   6x  , g '  x  0  x  Bảng biến thiên: x g '(x)   1   g(x)   Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m g(x) với x  ¡  m 3 Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y' 3mx  2(2m  1)x  m  16 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Hàm số đồng biến ¡  ' 0  y' 0, x  ¡ , phải có  , tức 3m  4m  4m   3m(m  2) 0 (m  1)2 0  m 0 hay   m  m  Vậy, với m  hàm số ln đồng biến ¡ CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm a để hàm số y  x  ax  4x  đồng biến ¡ Bài 2: Tìm m để hàm số sau ln nghịch biến khoảng xác định y  mx   2m xm y   2x   m   x  3m  x Bài 3: Tìm m để hàm số: y (m  2) x3  (m  2)x  (3m  1)x  m đồng biến ¡ y (m  1)x3  3(m  1)x  3(2m  3)x  m nghịch biến ¡ m  x3   m  1 x  3x nghịch biến ¡ 3 2 x  x  đồng biến tập xác định y mx  3 y        y x   m x  đồng biến ¡  3x2  mx  nghịch biến khoảng xác định 2x  Bài tốn 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Bài 4: Tìm m để hàm số: y  Ví dụ : Tùy theo m khảo sát tính đơn điệu hàm số: 1 y  x  m  m  1 x  m x  m  Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có y' x  m  m  1 x  m  m  m  1  m 0 y' x2 0, x  ¡ y' 0 điểm x 0 Hàm số đồng biến nửa khoảng   ;   0;   Do hàm số đồng biến ¡  m 1 y'  x  1 0, x  ¡ y' 0 điểm x 1 Hàm số đồng biến nửa khoảng   ;1  1;   Do hàm số đồng biến ¡ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 17  m 0, m 1 y' 0  x m x m  Nếu m  m  m  m Bảng xét dấu y' : x  y' m   m2   Dựa vào bảng xét dấu, suy hàm số đồng biến khoảng   ; m   m ;  , giảm khoảng  m; m  2  Nếu  m  m  m Bảng xét dấu y' : x   y' m2 m      Dựa vào bảng xét dấu, suy hàm số đồng biến khoảng  ; m  m;  , giảm khoảng  m ; m  Dạng 3: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu khoảng xác định Phương pháp Tìm điều kiện để hàm số y  f ( x) ax  bx2  cx  d đơn điệu khoảng ( ;  ) Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y f (x) 3ax  2bx  c Hàm số f đồng biến ( ;  )  y 0, x  ( ;  ) y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc ( ;  ) Trường hợp 1:  Nếu bất phương trình f (x) 0  h(m) g(x) (*) f đồng biến ( ;  )  h(m) maxg(x) ( ;  )  Nếu bất phương trình f (x) 0  h(m) g(x) (**) f đồng biến ( ;  )  h(m) min g(x) ( ;  ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f (x) 0 khơng đưa dạng (*) đặt t x   Khi ta có: y g(t) 3at  2(3a  b)t  3a  2b  c a   a     g(t)  0,  t  – Hàm số f đồng biến khoảng (  ; a)      0 S  P 0 18 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a   a    – Hàm số f đồng biến khoảng (a; )  g(t) 0, t      0 S  P 0 2.Hàm số f nghịch biến ( ;  )  y 0, x  ( ;  ) y 0 xảy số hữu hạn điểm thuộc ( ;  ) Trường hợp 1:  Nếu bất phương trình f (x) 0  h(m) g(x) (*) f nghịch biến ( ;  )  h(m) maxg(x) ( ;  )  Nếu bất phương trình f (x) 0  h(m) g(x) (**) f nghịch biến ( ;  )  h(m) min g(x) ( ;  ) Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f (x) 0 khơng đưa dạng (*) đặt t x   Khi ta có: y g(t) 3at  2(3a  b)t  3a  2b  c a   a    g(t)  0,  t  (   ; a) – Hàm số f nghịch biến khoảng        S  P 0 a   a    – Hàm số f nghịch biến khoảng (a; )  g(t) 0, t      0 S  P 0 Chú ý: Phương trình f  x  ax  bx  c 0 (a 0) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1   x2  P     x1  x  P 0 S     x1  x    x1  x  x1 0 x2  P 0    x1  x2 0  P 0 S      P  b c , P x1 x  a a Nếu hàm số f(x) có giá trị nhỏ tập D ,thế thì: x  D,f(x) 0  f(x) 0 Trong : S x1  x2  xD Nếu hàm số f(x) có giá trị lớn tập D, http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 19 x  D,f(x) 0  max f(x) 0 xD Cho hàm số y f(x) liên tục D * f(x) k x  D  f(x) k ( tồn f(x) ) D D f(x) k ( tồn max f(x) ) * f(x) k x  D  max D D Bài tốn 01: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG K   ;   ,  ;  ,   ;   ,   ;   Phương pháp Chú ý 1: y' 0 * Hàm số y f  x,m  tăng ¡  y' 0 x  ¡  x¡ y' 0 * Hàm số y f  x,m  giảm ¡  y' 0 x  ¡  max x¡ Chú ý 2: Đặt f  x  ax2  bx  c  a 0   f  x  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn : x1    x Đặt t x   , g  t  f  t    Bài tốn trở thành g  t  0 có hai nghiệm trái dấu tức t1   t  P   f  x  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn : x1 x2   Đặt t x   , g  t  f  t    Bài toán trở thành g  t  0 có hai nghiệm âm nghĩa tt1 02   0,   S 0, P   f  x  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn   x1 x2 Đặt t x   , g  t  f  t    Bài toán trở thành g  t  0 có hai nghiệm dương nghĩa  tt1 0,2  S 0, P 0   Để ý f  x  0 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn: x1    x2   x1     x      x1 x    x1  x2          x1  x2  x1  x2  2  x   x   0       x1  x2    x1  x2  2  x   x   0      x1  x2      0, 2  x1  x2  2,  x1     x2     0,  x1     x2     Ví dụ Ví dụ (m  1)x  2mx  6m Tìm giá trị tham số m để hàm số: x 1 Đồng biến khoảng xác định nó; Đồng biến khoảng  4;  Cho hàm số y  20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải TXĐ: D ¡ \ 1 Xét hai trường hợp TH1: Khi m  , ta có hàm số y  2x  y'  > với x  D x (x  1)2 Do hàm số đồng biến khoảng xác định Vậy, m  thỏa yêu cầu toán TH2: Khi m  , ta có y'  (m  1)x2  2(m  1)x  4m (x  1)2 Đặt g(x) (m  1)x  2(m  1)x  4m ta có y' dấu với g(x) Hàm số đồng biến khoảng xác định  x  D, y' 0  x  D ,g(x) 0  ' (m  1)2  4m(m  1) 0   m   (m  1)(5m  1) 0    m   m    1 Vậy tập hợp giá trị tham số m thỏa yêu cầu toán   1;   5  Theo câu m  thỏa mãn đề Với m  Khi hàm số đồng biến khoảng  4;   x  (4; ) ,g(x) 0  x  (4; ) , 2x  x2 x2  2x  Xét hàm h  x   m (do x  2x   x  (4; )) 2x  x2 x  2x  h  x  (4; ) h'(x)  8x  (x  2x  4)2 , (1)  x  (4; ) , h(x) m ta lập bảng biến thiên  x  (4; ) 2  x2    x   lim h(x)  lim x   x    x 1  x x2  1 x  lim   x  1   x x2  Dựa vào bảng biến thiên h  x  suy x  (4; ) , h(x) m   m Vậy tập hợp giá trị tham số m thỏa yêu cầu toán [ 1; ) CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : 2x  1 y  nghịch biến (2; ) x m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 21 y  mx  nghịch biến khoảng   ;1 xm y  2x  3x  m đồng biến khoảng (  ;  1) x y  x2  2mx  3m nghịch biến khoảng (  ;1) 2m  x y  x2  5x  m  đồng biến khoảng  1;  x3 mx  6x  nghịch biến nửa khoảng  1;   x2 Bài 2: Định m để hàm số : y  y x3  (1  2m)x  (2  m)x  m  đồng biến khoảng (0; ) y x3  3x  mx  đồng biến khoảng (  ; 0) y  x3  mx2  (1  2m)x  đồng biến  1;  y x3  (m  1)x2  (2m  3m  2)x  m(2m  1) đồng biến  2;   y  mx   m  1 x   m  1 x  2013 đồng biến khoảng  2;     2 y x   m  1 x  2m  3m  x  2013m  2m  1 đồng biến nửa  2;   Bài 3: Định m để hàm số : y 2x  3(2m  1)x2  6m(m  1)x  đồng biến khoảng (2; ) y x3  (m  1)x2  (2m  3m  2)x nghịch biến (2; ) 3 y  (m  1)x  (m  1)x  2x  (m 1) nghịch biến khoảng (  ; 2) 3 y  mx  (m  1)x  3(m  2)x  đồng biến (2; ) y  x  3x  mx  nghịch biến khoảng  0;  y 2x  2x  mx  đồng biến khoảng  1;  Bài tốn 02: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN TRÊN KHOẢNG XÁC ĐỊNH  ;  ,  ; Phương pháp Ví dụ Ví dụ : Định m để hàm số y x3  3x2  (m  1)x  4m nghịch biến   1;1 Lời giải 22 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2  6x  m  Cách 1: Hàm số nghịch biến khoảng   1;1  y' 0 x1     x2  x1  1  x2  1  m     m8 m    x1  1  x2  1  Vậy, với m   hàm số ln nghịch biến khoảng   1;1 Cách 2: Hàm số nghịch biến khoảng   1;1  y' 0 , x    1;1 tức phải có: m  3x2  6x  , x    1;1 Xét hàm số g  x   3x  6x  , x    1;1 có g '  x    x  1 Với x    1;1  x    g'(x)  , x    1;1 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: m g(x) với x    1;1  m   Vậy, với m   hàm số ln nghịch biến khoảng   1;1 CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : y x4  2mx  3m  đồng biến khoảng (1; 2) y x3  (m  2)x  (3m  2)x  đồng biến đoạn  3;  Bài 2: Tìm m để hàm số: y  x   2m  1 x  mx  nghịch biến khoảng  0;1 x3  (m  1)x  (2m  1)x  m nghịch biến (0; 3) 3 y x3  3x2  3(m  1)x  đồng biến (1; 2) y  y  x – 3x   2m  1 x – biến [ 2;  1] y x  3x   m  1 x  4m nghịch biến khoảng   1;1 y mx3  x  3x  m  đồng biến khoảng   3;  Dạng 4: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đơn điệu khoảng có độ dài k cho trước Phương pháp + Tìm TXĐ + Tính y’ + Hàm số có khoảng đồng biến ( nghịch biến )  y' 0 có nghiệm phân biệt x1 , x2 đồng thời x  x1 k Chú ý: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 23  b    b   , x2  ax2  bx  c 0 có nghiệm x1 , x2 (giả sử x1  x2 ) thỏa x1  2a 2a  x2  x1   ,  b2  4ac x  x1 k   x1  x2   4x1 x k ( a  ) 2a Các ví dụ Ví dụ : Định m để hàm số y x3  3x  mx  m nghịch biến khoảng có độ dài nhỏ Lời giải Hàm số cho xác định D ¡ Ta có: y' 3x2  6x  m Hàm số nghịch biến khoảng có độ dài nhỏ  y' 0 x1  x  9  3m    S  4P  Vậy, với m  3  m3  4  4m   m  hàm số nghịch biến khoảng có độ dài nhỏ Ví dụ Tìm m để hàm số: y x3  mx   m  36  x  nghịch biến khoảng có độ dài Lời giải Hàm số cho xác định ¡ Ta có: y' 3x  2mx  m  36  ' m  3m  108 Dễ thấy a y ' 3  , hàm số cho khơng nghịch biến ¡ Nếu m   m  12 tức  '  y' 0 có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Lập bảng xét dấu, ta thấy y'  với x   x1 ; x2  suy hàm số nghịch biến với x   x1 ; x  Hàm số nghịch biến khoảng có độ dài x1  x 4 tức m  3m  108 4 , bình phương hai vế rút gọn ta phương trình: m  3m  180 0  m  12 m 15 ( thỏa điều kiện ) Vậy, với m  12 m 15 yêu cầu toán thỏa mãn CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1: Định m để hàm số : y x3  3x  mx  m nghịch biến đoạn có độ dài lớn y  2x  3mx  đồng biến đoạn có độ dài lớn 24 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word