Casio nguyễn hàm tích phân

NGUN HÀM –TÍCH PHÂN T.CASIO TÌM NHANH HỌ NGUN HÀM CỦA HÀM SỐ -I)MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Hơm nhận câu hỏi thầy Bình Kami, câu hỏi tính quãng đường vật chuyển động biến đổi câu hỏi xuất đề thi minh họa BGD-ĐT năm 2017 [Câu 24 đề minh họa 2017] Một ô tô chạy với vận tốc 10(m/s) người lái đạp phanh,từ thời điểm , ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = -2t + 10 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn , tơ cịn di chuyển mét? A 15 m B 20 m C 25 m D 40 m Xem nào, xe dừng lại vận tốc hay = -2t +10 thời gian xe di chuyển thêm 5(s) Vậy quãng đường s = v.t = 10.5 = 50(m) mà xe chạy chậm dần phải nhỏ 50(m), 40(m) phải không ? Để chắn, có lẽ phải lập bảng mơ tả quãng đường: Mốc Hết giây thứ Hết giây thứ2 Hết giây thứ Hết giây thứ Hết giây thứ Vận tốc 108 86 64 42 20 Quãng đường Như tổng quãng đường xe vận tốc giảm đến + + + + = 25 (m) Cách tin cậy hơn, nhiều, thời gian đến phút!!! Vậy cịn cách nhanh khơng nhỉ? Minh Nguyệt giải tốn tìm đáp án xác 25 (m), tốt mặt kết mặt thời gian tính lại lâu Bài ta hồn thành thời gian 20 (s) nhờ công cụ gọi tích phân S   2t  10  dt 25(cm) Ta bấm máy tính sau: Khởi động chức tính tích phân : y Nhập biểu thức cần tính tích phân nhấn nút= (p2Q)+10)R0E5= Máy tính cho kết 25 (m) Chỉ 20 (s) thật tuyệt vời phải không !!! Thầy Bình Kami, Tích phân cơng cụ mà hay ??? Tích phân cơng cụ tuyệt vời mà tốn học tạo ra, sử dụng tích phân tính quãng đường , vận tốc vật thể tính diện tích hình phức tạp ví dụ hình trịn , hình tham giác, hình e líp…thì cịn có cơng thức diện tích mặt ao hồ hình thù phức tạp có tích phân xử lý được, tính thể tích khoang tầu thủy có hình dạng phức tạp lại phải nhờ đến tích phân Tích phân đại nhà toán học Anh Isac Newton nhà tốn học Pháp Laibonit cơng bố khoảng cuối kỉ 17 người đặt móng cho hình thành phát triển Tích phân nhà toán học, vật lý học, triết học, thiên văn học thiên tài người Hi Lạp Ac-si-met Tích phân chia làm dạng: Tích phân bất định (khơng cận ) thường biết tới tên Nguyên hàm Tích phân xác định ( có cận ) thường biết đến với tên Tích phân mà e học học kì lớp 12 II) CÁCH TÍNH NGUN HÀM  Xây dựng cơng thức tính ngun hàm : 4 Ta có  x  ' 5 x ta nói nguyên hàm 5x x5 kí hiệu 5x dx x  C Tương tự  s inx  cos x ta nói nguyên hàm cosx sinx, kí hiệu cos xdx s inx  C Tổng quát: f  x  dx F  x   C  F '  x   f  x  VD1-[Sách BT Nâng cao 12] Hàm số F  x  e x nguyên hàm hàm số : 2x A f  x  e 2x B f  x  2 x.e C f  x   ex 2x D f  x   x 2e x  Giải Thưa thầy, em làm ạ! u u *Đầu tiên em tính đạo hàm F(x) , F(x) hàm hợp nên em áp dụng công thức  e  ' e u '   2 x x x *Khi đó: F '  x   e ' e  x  ' 2 x.e 2 *Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f  x  2 x.e x ta chọn đáp án B VD2-[Đề thi minh họa ĐHQG 2016] Nguyên hàm hàm số y x.e x A 2e x ( x  2)  C 2x  1 B e  x    C  2 1 2x  C 2e  x    C 2  2x D e  x    C Giải 2x Thưa thầy, thử , với đáp án A F  x  e  x   Nhưng việc tính đạo hàm F(x) 2e 2x  x  2 em thấy khó q ạ, em qn cơng thức !! Trong phịng thi gặp nhiều áp lực, nhiều bị quên công thức đạo hàm hay than chưa học phần làm sao?? Thầy cho em thủ thuật Casio để em quên công thức đáp án đúng:  Ta biết F’(x) = f(x) việc với x thuộc tập xác định  Vậy với x = chẳng hạn Khi F’(1) = f(1)  Tính giá trị f(1) = 7,3890… Q)QK^2Q)r1=  Tính đạo hàm F’(1) với đáp án , đáp án A F ( x) 2e2 x ( x  2) qy2QK^2Q)$(Q)p2)$1= Vậy ta kết F’(1) = -14.7781… kết khác với f(1) Đáp án A sai 2x  1  Tính đạo hàm F’(1) đáp án B với F  x   e  x    2 qya1R2$QK^2Q)$(Q)pa1R2$)$1= 2x  1 Ta thu kết giống hệt f  x  F '( x)  f  x  hay F  x   e  x   nguyên hàm  2 f  x   Đáp án B đáp án xác  Bình luận: *Nếu F(x) nguyên hàm f  x  F  x   C nguyên hàm hàm f  x  ( F  x   C ) '  F '  x   C ' F '  x   f  x  *Việc sử dụng Casio để tính nguyên hàm đặc biệt hữu ích phức tạp, áp dụng nhiều công thức tính đạo hàm lúc, tránh nhầm lẫn việc tính tốn!! VD3-[Câu 23 Đề minh họa năm 2017] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  : A f  x  dx  C  x  1 x   C f  x  dx  2x   C B f  x  dx 3  x  1 D f  x  dx  2x   C 2x   C Giải  Cách 1: CASIO  Nhắc lại công thức quan trọng Nếu F(x) nguyên hàm f  x  F  x  f  x Khi ta chọn giá trị x = a thuộc tập xác định F(a) = f(a)  Chọn giá trị x = chẳng hạn ( thỏa mãn điều kiện x  0  x  ) Khi f(2) = 1,732… s2Q)p1r2=n Theo quy trình ta chọn đáp án F(x) đáp án , A, B, C, D đáp án thỏa mãn F’(2)=f(2) = 1,732… Thử đáp án A F  x    x  1 x  qya2R3$(2q)p1)s2Q)p1$$2= Vậy F’(2) = 3,4641…là giá trị khác f(2) = 1,732 điều có nghĩa điều kieneh F’(x) = f(x) không đáp ứng Vậy đáp án A sai  Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B Khi f (2) 1, 732 có nghĩa điều kiện F’(x) = f(x) thỏa mãn Vậy đáp án xác B  Cách tham khảo: Tự luận *Dựa vào đặc điểm hàm f(x) ta thấy x  mặt chất có dạng (2 x  1) Ta nghĩ đến công thức đạo hàm (u n ) ' n.u n  1.u ' +)Trong công thức đạo hàm số mũ u bị giảm Vậy hàm F(x) có số mũ lớn f(x) đơn vị Vậy F(x) phải có số mũ 3   +)Ta thực phép đạo hàm   x  1  '   x  1 (2 x  1) ' 3 x    1  *Cân hệ số ta   x  1   x  Điều có nghĩa nguyên hàm 3  F  x  1  x  1   x  1 x   B đáp án  Bình luận: *Nếu có chút kiến thức đạo hàm việc sử dụng máy tính Casio để tìm đáp án nhẹ nhàng Chúng ta việc thử đáp án A B đáp án có số mũ *Điều đặc biệt dạng số mũ nguyên hàm F(x) lúc lớn số mũ hàm số f(x) đơn vị +) Chúng ta áp dụng cách linh hoạt Ví dụ tìm nguyên hàm hàm số y  đơn giản m vơ x Ta thấy y m  1 mặt chất x mũ  chắn nguyên hàm phải x mũ x x 1   2 x +Ta xét đạo hàm gốc  x  ' 2 x (*)Việc lại cân hệ số, để tạo thành   vế (*) với 2m xong Khi 2m x '  VD4- Một nguyên hàm hàm số f  x   A x  3x  ln x B m ta nhận x m Thật đơn giản phải không!! x x  3x  x x 3x   ln x 2 C x2 x2  x  3x  ln x  D 2 x Giải  Cách 1: CASIO  Ta chọn giá trị x thuộc tập xác định (x # 0) x = Khi f(5) = 7.6 aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n  Với đáp án C ta có F  x   x2  x  ln x  có qyaQ)dR2$+3Q)p2HQ))+1$5=  Cách tham khảo : Tự luận *Hàm số f  x   mẫu bậc x  3x  có tên gọi hàm phân thức hữu tỉ với bậc tử bậc lớn bậc x *Phương pháp giải: Thực phép chia tử số cho mẫu số ta được: f  x   x   Khi hàm số x trở thành dạng đơn giản ta dễ dàng tìm nguyên hàm  x2  x2 +)Có   x  '  x   x nguyên hàm x +   +)Có (ln x) '  2 Cân hệ số ta có   ln x  '  -2lnx nguyên hàm  x x x  x2  x2  3x   x  ln x '  x    Tổng kết   x x   Hay x2 x2  3x  ln x nguyên hàm cần tìm  3x  ln x  nguyên hàm 2 1  *Cân hệ số ta   x  1  '  x  Điều có nghĩa nguyên hàm 3  F  x  1  x  1   x  1  x  1  B đáp án  Bình luận: *Tìm nguyên hàm hàm phân thức hữu tỉ dạng toán hay biết nguyên tắc tư khơng biết khó khăn *Ta phải nhớ này, phân thức hữu tỉ bậc tử lớn bậc mẫu ta thực phép chia tử số cho mẫu số thu hàm số dễ tính ngun hàm *Ngồi cịn dạng hay phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích thành nhân tử ta xử lý ? Mời bạn xem ví dụ VD5- Nguyên hàm hàm số f  x   A ln  x    ln  x    C C ln x2 C x là: x 4 B ln  x    ln  x    C D ln Giải  Cách 1: CASIO  Ta chọn giá trị x thuộc tập xác định ( x 0 ) x = Khi f(5) = 7.6 aQ)d+3Q)p2RQ)r5=n x C x2  Với đáp án C ta có F  x   x2  x  ln x  có qyaQ)dR2$+3Q)p2hQ))+1$5= Ta F '   7.6  f   Vậy đáp án C đáp án xác  Cách tham khảo: Tự luận *Hàm f  x   có tên gọi hàm phân thức hữu tỉ có mẫu số phân tích thành nhân tử x 4 *Phương pháp giải: Chia phân thức phức tạp ban đầu thành phân thức phức tạp +) Có 4  x   x  2  x  2 +)Ta tách phân thức lớn thành phần nhỏ đơn giản : 1 m  n x 4  x  2  x  2 +) Để tách ta lại dùng phương pháp hệ số bất định: m  x  2  n  x  2 1 m  n  x 4  x  2  x  2  x  2  x  2  m  n  m  x    n  x    x   x  m  n   2m  2n     2m  2n Vậy  m 1  n  1   x   x  2  x  2 *Thành công việc đưa phân số đơn giản, ta nhớ đến công thức sau: x  ln x  '   ln u   u ' u 1 1  x  2 '   x  2 '  Dễ dàng áp dụng:  ln  x    '   ln  x    '  x x x2 x2 Tổng hợp  ln  x    ln  x    '  1  x     ln '  x x2  x2  x  Vậy nguyên hàm f ( x) F  x  ln x C x2  Bình luận: *Qua ví dụ thấy hữu hiệu phương trình pháp hệ số bất định, phân số phức tạp chia thành phân số đơn giản *Về nguyên tắc tích phân hàm phân thức chia thành hang chục phân số đơn giản trương trình học THPT chia làm phân thức Chúng ta theo dõi phép chia sau: 4x2  5x  x2  5x  4x2  5x  m n p      2 x  x  x   x    x  1  x    x  1  x  1 x  x  x   Tử số vế trái = Tử số vế phải 4 m  2n  p   x  x  m  x  1  n  x  x    p  x  x       n  p     m 2 p  m 1  n 2   n 1  x2  5x  1 Cuối ta thu được:    x  x  x  x  x  x 1 Và ta dễ tính nguyên hàm   : x  x  x 1 ln  x    ln  x  1  ln  x  1  C Thật hiệu phải khơng!! VD6-[Báo Tốn học tuổi trẻ tháng 12-2016] Nguyên hàm hàm số f  x  s inx.cos x tập số thực : A cos x  C B  cos x  C C  s inx.cos x D  cos x  C Giải  Cách 1: CASIO  Chuyển máy tính Casio chế độ Radian ( làm toán liên quan đến lượng giác ) qw4   Chọn giá trị x ví dụ x   Khi giá trị f  x  x  jQ))kQ))rqKP6=n      Theo đáp án A F  x   cos x Nếu đáp án A F '    f   Ta tính F(2) =  6  6   -0,4430 giá trị khác f   Vậy đáp án A sai 6 qya1R4$k2Q))$aqKR6=  Ta tiếp tục thử nghiệm với đáp án B qypa1R4$k2Q))$aqKR6=     Ta F '   0, 4430  f   Vậy đáp án xác B  6 6  Cách tham khảo: Tự luận * Dễ thấy cụm sinxcosx quen thuộc ta nhớ đến cơng thức có nhân đơi: sin2x = 2sinxcosx *Từ ta rút gọn f  x   sin x *Cái đạo hàm sin cos!! Ta nhớ đến cơng thức  cos u  '  u '.sin u Áp dụng  cos x  '  sin x  x  '  2sin x