2 phuong trinh 2(ii 2nhom1)

2 Liên hợp với phương trình có nghiệm vơ tỷ có biến đổi  Nhóm I: Đặt ẩn phụ để đơn giản có biến đổi, liên hợp () Bài Giải phương trình: (8 x  13) x   2( x  2) x  12 x  35 Phân tích Sử dụng casio được nghiệm nhất x   Nhận thấy phương 2 x , trình đều có hạng tử đó để giảm độ phức tạp, ta có thể đặt ẩn phụ trước để qui về thức, rồi liên hợp sau, cụ thể đặt t  x   x t  Khi đó phương trình ()  (4tt2  1) 2tt2  1t 6   17 0 và lúc đó nghiệm t 2, nên ghép thức với số để liên hợp và có lời giải sau:  Lời giải Điều kiện: x  0 Đặt t  x  0  x t  Khi đó: ()  (4tt2  1) 2tt2  1t    17  (4tt2  1)  2tt2   ( t 1)     (4tt2  1)(t  )  2  16 0  (tt 2)(3t   8) 0 2tt       (tt 2)   3tt2    t0   x2 0  2   2tt  1  1           0,  t  Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm nhất x   Bình luận Nếu sau đặt t  x  0 và dự đoán được nghiệm nhất của phương trình là t 2  ghép số (4tt2  1)( 2tt2  t 3)  (  2)(   7) và liên hợp rất khó đánh giá cụm còn lại nếu truy ngược dấu lại chẳng giải quyết được cụm còn lại Hiển nhiên, cách này bó tay nếu không đặt ẩn phụ ?! (bạn đọc có thể kiểm chứng lại) Để khắc phục điều đó, cách giải 2 đã đổi (4tt2  1)( 2   3) thành (4tt  1)  2t   (  1)  để đảm bảo sau liên hợp dễ đánh giá Vấn đề đặt là tại biết được phải trừ t  ?!  TL  Mấu chốt là điều kiện t 0, nếu xem phương trình có nhân tử là tt.(  2) (tức ghép bậc nhất ax  b xem phương trình có nghiệm tt0, 2) tìm được lượng ghép đó là t  1, (dành cho bạn đọc) Hơn nữa, làm vậy, ta đã vơ tình trừ (4tt2  1)(tt 1) t4  2   nên cộng thêm lượng này được: 3tt  2tt  16  t (  2)(3   8) có 3tt2  3t   0,  , a(do :   0, 3  0) Bài Giải phương trình: (8 x  x  1) x2  21  16 x4  12 x2  x 21 () Chọn đội tuyển VMO năm 2014 – Tỉnh Nghệ An Phân tích Sử dụng casio tìm được nghiệm nhất x 1 Nhận thấy phương trình đều có hạng tử x , đó để giảm độ phức tạp, ta có thể đặt ẩn phụ trước, rồi liên hợp sau, cụ thể đặt t 2 x và có lời giải sau:  Lời giải Đặt t 2 x Khi đó biến đổi phương trình đã cho về dạng: ()  (tt3  3tt 1)  tt 21   (tt3  3tt 1)  tt  21  (  21   1) 21 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  (tt3  3tt 1).(  21  ) 21   tt3  3tt  tt  21tt  ( 21.(tt3   1) tt2  21  21   2)  (    21) 0  0  (  2)  (  1)2   tt  tt  21 3  t 2, suy ra: t 2x 2  x 1 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm nhất x 1  (tt 2)(tt 1)2  6(t  2) 2   0  21  Bài Giải phương trình: (28  x ) x  15 2 x4  x3  14 x  16 Phân tích 28  x 4(7  x3 ); x4  14 x 2 x( x  7); () x3  15  2( x  7)  nên để đơn giản, ta có thể đặt t x   x t   x  t  và có lời giải sau:  Lời giải Điều kiện: x  15 0  x  15  ()  x( x3  7)  3( x3  7)  4(7  x3 ) 2( x  7) (1) Đặt t x   x  t  và x  15 0  2t 2 x  14 1  t   (1)  2tt3 tt 7tt 2tttt (  1)  Do: tt   5  tt (   2)  (   1)  5(  1) 0 (tt 7)  2t   7 4 2tt (tt 7)  (  1)   7 4  5(tt 1) 0  x 1  2t     0, t  2  Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm nhất x 2 Bài Giải x  91  x  x x   x  93   x  x x   x  93 Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Phân Châu Trinh – Đà Nẵng  x 2   Lời giải Điều kiện:   x  x x   x  93  0 Đặt t  x  x x   x  93 0 Suy ra: t x  x x   x  93 ( x  x  2)2  91 2  x  x   t  91 2 tt  x    91 ( x  t)( x  t )  0 ( x , t 2) t 2 t  91  x  91  x t   0  x t t2 t  91  x2  91  ( x  x  2)2 t  91  Ta đó ta có hệ phương trình:  2  x  91  tt   x t  ( x  t )( x  t )  x    ( x  t )  x  t   x   Suy ra: x  91  x   x  ( x2  91  10) ( x   1)  ( x  9)  ( x  3)( x  3) x  91  10  x x  1  ( x  3)( x  3) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word   x3  ( x  3)    ( x  3)  0  x 3 : TMĐK x  1  x  91  10  x3 x3   ( x  3)    ( x  3)  0, x 2 Do: 10 x  1 x  1 x  91  10 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm nhất x 3 Bình luận Trong bài giải trên, đã đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng loại II, ta tìm hiểu dấu hiệu nhận dạng và hướng cụ thể bài học sau Hơn nữa, qua bài này muốn gửi thông điệp rằng: gặp hệ phương trình đối xứng loại II chứa thức sau lấy vế trừ vế liên hợp nhận được x y , có thể sử dụng phương pháp hàm số nhận được lượng nhân tử x  y Bài Giải phương trình: x 3 x 1  x   9 x x () Phân tích Đối với bài toán phương trình có dạng thức dưới mẫu, ta nên quan sát xem có mối liên hệ nào các biểu thức dưới mẫu với các thức khác biểu thức tử không Nếu chúng biểu diễn cho được ta nên rút gọn lại và dự đoán hướng tiếp theo Trong đó công cụ thường gặp nhất là phân tích tam thức bậc hai thành tích f ( x) ax  bx  c a.( x  x1 )( x  x2 ) với x1 , x2 là nghiệm của f ( x) 0 bậc ba chia Hoócner, đẳng thức, biểu thức liên • x   x  ( x  1)2  x   ( x   1)( x   2)  2 hợp Cụ thể: • x  ( x  1)  ( x   2)( x   2)  2 • x ( x  1)  ( x   1)( x   1) và thấy các biểu thức có mối liên hệ với Từ đó có biến đổi và lời giải sau:  x  0;  x 0  x 9   x   x    Lời giải Điều kiện:   x 0  x 0 ()  ( x   2)( x   2) 9 x  ( x   1)( x   2) ( x   1)( x   1)  ( x   2)( x   1) 2  x  x   x    x 0  x  1( x   3)  2(1   x ) 0  ( x  8) x  x 1 3  2( x  8) 1  x 0  x  0  x 8 : thỏa mãn điều kiện x 1  0, x    1;  \ 0 x 1  1  x Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm nhất x 8 Do:  Bài Giải phương trình: ( x  6) x    x x 3 x  2x   ()  Lời giải Với x 1, ta có: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word • x   x  ( x  1)2  x   ( x   1)( x   2)   • ( x  6) x    x  ( x  1)   x   2( x  1)    ( x  1)  2( x  1)  x   ( x   2)( x   3)( x   1)  x 1  x 1   Khi đó: Điều kiện:   x   0  x 2 ()  ( x   2)( x   3)( x   1)  ( x   1)( x   2) 2x    x 1 3 2x   Do sử dụng casio, tìm được nghiệm nhất x 5 nên có tách ghép: ( x   3)    2( x   2) ( x   3)   2( x  5) 2( x  5) 1    ( x  5)    0 x 12 2x   2x     x 12  x  0  x    x 5   : vô nghiệm  x    x   2 x  2 x  x   x 1 2 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm nhất x 5 Bài Giải phương trình: x  14 x  25  3x   x  ( x   1)(2 x  4) x ()  Phân tích và lời giải Điều kiện: x 1, suy ra: 3x   x   Ta có:  (3x  3)  x    (3 x  3)  x   (3 x  3)2  16 x  9 x2  14 x  25    x  14 x  25  Do đó phương trình: nên ta ln có: (3x  3)  x   3x   x  ()  x   x   ( x   1)(2 x  4) x  x  x  x x  (2 x  4) x   x   x  x   x x   2( x  2) x  0 Do các số trước thức đều là số chẵn, nên ta định hướng phân tích về dạng tổng các số không âm A n Bn dựa vào đẳng thức:   x2  2.2 x x   (2 x  1)    ( x  2)2  2.( x  2) x   ( x  1)  0      (2 x  x  1)2  ( x   x  1)2 0  (2 x  x  1) ( x   x  1)2  x  x  x   x   x   x  x  (1)   (2)  x  x  2  x  x   x   x   x  0 Do sử dụng casio, nhận thấy phương trình (1) vơ nghiệm với x 1 nên tìm cách chứng minh phương trình này vơ nghiệm, tức: (1)  3x   ( x  1)(2 x  1) x  x   ( x  1)(2 x  1) x  x  Cauchy Do x 1, suy ra: ( x  1)(2 x  1)  x.2 x 2 2.x  x   x  x  nên phương trình (1) vơ nghiệm Sử dụng casio, tìm được nghiệm nhất x 1, nên tách ghép liên hợp (2) sau: (2)  x   x  1( x   1)  ( x  1) 0 (sử dụng kỹ thuật truy ngược) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word   x 1 2( x  1) x  2x    ( x  1) 0   ( x  1)(2 x  1) x     x   0  2x                   x  0  x 1  0, x 1 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm nhất x 1 Bài Giải phương trình: 3 x  x  x  x  2 x  x  x  () ()  x  x  3 x  x  x 0 16 x2  x   (1) 54  35  TH Với x 0 phương trình (1) ln nên x 0 là một nghiệm  54   TH Với x   0;  nên chia hai vế của (1) cho x  0, ta được:  35  Điều kiện: 3 2x  x  2x 0  35 x  54 x 0  x 0 hoặc x  (1)  1  16      x x  Đặt t  (2)  1      3  x x x  (2) 2 t3   1, suy ra: t      x x x tt6  15  t  3    ( tt6  15  4)  (3  tt6  8) 3   (điều kiện: 3t   0) tt6  6  tt  15  1 3(  1) 8 3  (tt3  1)(tt2   1)tt (  1)(   1)   (tt 1)     0  x 1  1 6   tt  15  8 3 (tt  1)(tt   1)tt (  1)(   1) 6 tt  15       Do có: tt6  15  8 3 3 (tt  1)(tt   1)tt (  1)(   1)    0, t   Suy ra: 6 tt  15  8 3  TH Với x  (  ; 0), chia hai vế cho x  0, ta được:  1  1 (1)      16 x  x      x  x   3 x  x  x  x  x  1   4    x x  Đặt t  (3)  1  16     3  x x x   (3) 2 t3   1, suy ra: t      Do x   tt3      x x x tt6   t  15   0 Xét hàm số f (tt)  tt6   (4)  15   (  ;  1), có:   1 f (tt)   3t     0,    Do đó hàm số f (t ) nghịch biến  6  15   tt  (  ;  1), suy ra: f (tt)  tt6    15    f(  1) 2 (5) Từ (4), (5), suy phương trình (4) vơ nghiệm Kết ḷn: Các nghiệm cần tìm của phương trình là x 0, x 1 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài Giải phương trình: x  x  (2 x  1) x  x  () Học sinh giỏi tỉnh Long An năm 2014 D  Tập xác định: Phân tích và lời giải Sử dụng casio, thấy phương trình có nghiệm xấu Khi đó để xuất hiện nhân tử trừ a  : (2 x  1)( x  x   a) x  x   ax  a và liên hợp: (2 x  1)  x  x   a2 x  (6  2a)x   a Đồng nhất hệ số, ta được hệ: x  2x   a 2 6  a a 2    a 2 và có lời giải sau:   3  1  3  a 1  a (2 x  1)( x2  x  1) ()  (2 x  1)( x2  x   2) x2  x   x  x  x  2x    2x   ( x  x  1)     x  2x     0     x  x  0   x  x  2 x   x    x       2 x  0   15  x   2     x  x  (2 x  1) Kết luận: Các nghiệm cần tìm của phương trình là x   , x   Lời giải Do x  không là nghiệm nên ()   15  x2  6x   2x   x    x  x  0 x2  2x  x2  x         15  2 x  x  2x    x  x  2 x   x   Bình luận Về nguyên tắc tổng quát, ta nên trừ hai vế cho ax  b và liên hợp vế trái, quy đồng vế phải, rời đờng nhất tìm a, b Nhưng hệ số x2 nên để đơn giản có thể thêm số a Từ nhận định này, ta có lời giải phương pháp đặt ẩn số phụ không hoàn toàn (nên làm Δ là số phương): x2  x     Lời giải Đặt t  x  x    x t  x  ()  t  (2 x  1) t  x  0 có  t (2 x  3)2  t 2 hoặc t 2 x   x  x  2  x   hoặc x   15 là các nghiệm Suy ra:   x  x  2 x   x3  2x2  3x  () x2  2 Phân tích Nếu biến đổi ( x  2)  x  x   ( ax  b) x  x  (3  a)x   b và liên hợp vế trái vế trái là bậc 2, vế phải là bậc nên không thể đồng nhất Nhưng nếu chia đa thức bên vế phải, rồi ghép thức với phần nguyên để liên hợp xuất nhân tử chung và có lời giải sau:  Lời giải Tập xác định: D  5x  5x  ()  x  x  x     x  x   ( x  2)   (1)   x 2 x 2 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Bài 10 Giải phương trình: x2  x    Với  Với (1)  (2)  x  x   x  0  x2  x   x  : vô nghiệm x  x   x  0 thì:  (5x  3) 5x  3  0  x   x2  x   x  x  x  x  x  x  x  x2  x   x   (2) x 2 1   Kết luận: Các nghiệm cần tìm của phương trình là x  , x 1    () x  16 x  18  x  2 x  Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang Điều kiện:  x  x 1 Phân tích và lời giải Sử dụng casio, tìm được hai nghiệm x 1, tức có nhân tử x  Do thức x  thân có nghiệm x 1, nên không biến đổi Lúc Bài 11 Giải phương trình: đó còn một phương án là ghép trực tiếp x  16 x  18  (2 x  4) để liên hợp Một điều cần lưu ý vế trái là tổng của hai bậc chẵn nên là số dương, đó để phương trình có nghiệm điều kiện kéo théo là x  0 Từ đó có lời giải 1: ()   x  16 x  18  (2 x  4)   x  0    2( x  1)    x  0 x  16 x  18  x    x2   0 x2      x  16 x  18  x     x  0  x 1 hoặc x  16 x  18  x  2 x   x2  16 x  18  x2  2 x   (),(1)    x  4 x   x2  16 x  18  x   x   32  57  x  0  x     x  9( x  1) (4 x  8) 7 x  64 x  73 0 (1)  32  57  Phân tích và lời giải Do tồn tại a 4, b  sử dụng đồng nhất thức cho biểu thức theo tổng bình phương hai biểu thức ngoài căn, nghĩa là có đồng nhất x  16 x  18 a.( x  2)  b.( x  1) nên sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Kết luận: So với điều kiện, nghiệm phương trình là x 1, x  ()  4( x  2)2  2( x  1) 2( x  2)  x2  (1) Do x  khơng là nghiệm của phương trình nên chia hai vế x   0, được: (1)  x2   2 2  ( x  2)2 x2  x2  (2) và đặt t  0 phương trình: x2 x2 (2)   t 0 0 t 2  2tt 2       2  t 4 4  2tt (2  )  http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word  Với t 0  x2  0  x2  Với t   x2   32  57   x  4( x  2)  x  : TMĐK x2 x  0  x 1 : TMĐK Kết luận: Nghiệm của phương trình là x 1, x  57  32   1  1 Bài 12 Giải phương trình:    x  x      x  x  5 () x x    Lời giải Điều kiện: x 0 ()  x  x   x  x   ( x  x   x  x  2) 5 x 4x  x2  x   x2  2x    5 x x2  x   x2  2x   x2  2x   x2  2x   x  2x   x2  2x  5 Đặt t  x  x   x  x   ( x  1)2   ( x  1)2  2 (1)  tt 5  tt2   0  1 (loại) hoặc t 4 (nhận) t Suy ra: x  x   x  x  4  x   ( x  x  2)( x  x  2) 8   x  x  6  x     x  x  12 x  36  x  6  x    12 x 32 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word