PP Nhóm II: Sử dụng casio, tìm nghiệm x xo ghép số () Bài Giải phương trình: 3x 10 x 3x x 26 x Phân tích Sử dụng chức shift solve casio, thấy x 2 nghiệm phương trình nên ghép thức với số: ( 3x m), ( x n) với m, n xác định m x 3.2 3, n x 2.2 1 có lời giải: 3 x 0 x Lời giải Điều kiện: 5 x 0 () ( x 3) (1 3( x 2) x ) x x 10 x 24 0 2( x 3) ( x 2)( x x 12) 0 3x x ( x 2) ( x2 x 12) 0 2x 3x x x 12 x 2 (1) 3x 2x 5 Xét hàm số f ( x) x x 12 đoạn 1; có f ( x) 2 x 0 x 2 5 33 49 max f ( x) 10 , Suy ra: 1; Mà ff( 1) 10, f 2 2 Do đó: VT(1) f ( x) 10, mà VP(1) 3x 5 0, x 1; , nên 2x phương trình (1) vơ nghiệm Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x 2 () 3x x 3x x x x 0 Phân tích Sử dụng casio, nhận thấy phương trình có nghiệm x 1 nên ghép số để liên hợp số giá trị thức vị trí x 1, tương ứng có lời giải sau: 2 x 0; 3x 0 x Lời giải Điều kiện: 2 3 x x 0 Bài Giải: () ( 3x x 1) ( x 2) ( x 1) x3 x 0 3x2 4x 3x x ( x 1)(3x 1) 3x 3x 3( x 1) 3x 2x 2x 2( x 1) 2x x x 0 ( x 1)(6 x x 1) 0 3x x 3x ( x 1) 6x2 6x 3x 2x 3x 4x 0 x 1 3x x x 0 (1) 3x x 3x 2x http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 Xét hàm số f ( x) 6 x x ; có f (t ) 12 x 0, x 2 1 1 Do hàm số f ( x) ln đồng biến ; , suy ra: f ( x) f 2 2 3x 0, x Mà g( x) 2 3x 2x 3x 4x Do VT(1) f ( x) g( x) 0, suy phương trình (1) vơ nghiệm Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 1 Lời giải Phương pháp hàm số Có: () Xét hàm số f ( x) x 15 f ( x) x x2 15 x 15 x x 0 x2 x có: x2 x 15 0, x x 2 ( x 8)( x 15) x 8 x 2 Do f ( x) nghịch biến ; có f (1) 0, nên x 1 nghiệm 3 phương trình cho Bài Giải phương trình: x x2 3x 5x () Học sinh giỏi Tp Hà Nội 2013 Phân tích Sử dụng casio, nhận thấy phương trình cho có nghiệm x 1 Do ta ghép số để liên hợp có lời giải sau: Điều kiện: 5x 0 x Lời giải Nhân lượng liên hợp thông thường x 1) x x 0 () ( x 2) (2 x 3 ( x 9) x 5( x 1) 5x ( x 1)(2 x 5) 0 ( x 1) x 0 x 1 : TMĐK 5x ( x 1) 5 x 0, x Do 2 5 ( x 1) 5x Nhận xét Khi phương trình vơ tỷ có nghiệm nhất, ta ghép thêm số để liên hợp tạo ( x xo ) f ( x) với f ( x) dương mà dễ nhìn nhận tốn giải nhanh chóng Đối với loại ghép số này, để khắc phục việc đánh giá phức tạp f ( x) sau liên hợp, ta sử dụng phương pháp truy ngược dấu nhằm đảm bảo f ( x) dương phương trình có nghiệm sau: Bước Chuyển vế cho hệ số bậc cao đa thức dương () x x x x 0 Bước Xác định biểu thức ngược dấu (dấu x bị âm dạng ax bỏ căn): http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word , hiển nhiên cụm Ghép liên hợp cụm: ( x 2) ( x 1) ( x 9) x ( x 9) x (2 x 1) (đổi ( m dương nên khơng thay đởi thứ tự Cịn cụm: 5(1 x) 5 ( x 1) , bị ngược dấu nên truy ngược lại 5x 5x A ) thành cụm vừa thu ln dương Khi hiện thêm số trước x ( 5x 2) A ( A m)), tức: 5( x 1) 5x 5x với 5x 1( x 2) 5 x x xuất 5x nên nhân hai vế cho có lời giải sau: Lời giải Ta có: () x x x x 0 2( x 2) 5x 1( x 2) x x 0 x ( x 9) x 5( x 1) 5x 5x ( x 1)(4 x 5) 0 5x ( x 1) (4 x 5) 0 x 0 x 1 5x ( x 1) Bài Giải phương trình: () x x x Điều kiện: x 0 x 1 Để khắc phục việc đánh giá khó khăn này, ta xét việc truy ngược bậc 3: Phân tích lời giải Chun vế () x x x 0 nhận thấy thức ngược dấu Do tích chất nghiệm phương trình nên thức bậc ba ta truy ngược dấu dạng liên hợp thông thường m (2) 3 A ( A m) thay cho việc A có lời giải sau: x x x x x x ( x 6)2 x 1( x 1) 0 ( x 2)(4 x 3) ( x 2)( x 14) x 3 4( x 2) x ( x 6) x 16 x 1 0 ( x 14) x x ( x 2) x 0 x 0 x 2 ( x 6 2) 12 x 1 1 0, x Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm x 2 Bài Giải phương trình: x x x x 2 x x () x x 0 x Điều kiện: 4 x 0 Phân tích lời giải Sử dụng casio tìm nghiệm x 1, ghép số để liên hợp có lời giải sau: () x x2 x (2 x2 x 5) 2(3 x 5) 0 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( x 1)( x x 4) x2 2x 2 x 2x 4x 4x 0 x ( x 1) x x 0 x 2 x 5 2 4 x 5 3 (1) f (x) Ta có: ( x 1)2 ( x 1)2 x x Mặt khác: x , suy 8 4x 3 x ( x 1)2 (2) 4x (3) 2 Từ (2), (3), suy ra: f ( x ) x x 11 1 x 0, x 12 (4) (1) x 0 x 1 Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 1 Phân tích lời giải Truy ngược x 5( x 3) 4x 4x 0, x 8( x 1) x 5 có x 5( x 3) 2(4 x 5) 3.2 x dư x so với đề nên nhân hai vế cho Còn với (2 thành ( ax b) 4x x x 5) đổi x x liên hợp cần tạo lượng m.( x 1) nên chọn (2b 2)x b x x x b x x m 2b mong muốn tạo m.( x 1) nên đồng hệ số hệ giải hệ m b tìm b 1 hoặc b Để đơn giản tơi chọn b 1 có lời giải sau: a 1 để liên hợp x Khi ( x b) () x x2 15 x 12 x x x 0 3( x x x 5) x 5( x 3) 3x x x 0 12( x 1) 8( x 1) x ( x 1)(3x 3x 1) 0 4x x x 2x 12 4x ( x 1) x 3x 0 x 1 x x2 2x 4x Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 1 Bài 10 Giải phương trình: (5 x 4) x (4 x 5) x 2 () Chọn đội tuyển VMO năm 2015 – Tỉnh Đồng Nai Phân tích Sử dụng casio tìm phương trình có nghiệm x 6 Nếu liên hợp trực tiếp phương trình thu phức tạp, khó đánh giá Nhưng biến đởi phương trình thành (2 x 3)(5x 4)2 (3 x 2)(4 x 5)2 2 có dạng A B C chuyển vế cho hai vế dương lũy thừa, lúc lại thức Hiển nhiên việc tách ghép để liên hợp dễ dàng có lời giải sau: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Lời giải Điều kiện: x () (5 x 4) x 2 (4 x 5) x bình phương hai vế 50 x3 155x 152 x 48 48 x3 152 x2 155 x 46 4(4 x 5) x x x 3x 4(4 x 5) x 0 (1) (4 x 5) 3x 2.( 3x 4) x 15x 20 x 12 0 3( x 6)(4 x 5) 3x (2) ( x 6)(2 x x 2) 0 3x 3(4 x 5) 3x ( x 6) x 3x 0 x 6 3x x 3x 0, x 3x Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x 6 Bình luận Trong biến đởi từ (1) sang (2), sử dụng kỹ thuật truy ngược dấu Do 3(4 x 5) 3x biểu thức 4(4 x 5)(4 3x 2) thành (4 x 5) 3x 2.( 3x 4) để thu biểu thức dương sau liên hợp Bài 11 Giải phương trình: ( x 1) x ( x 6) x x x 12 () Điều kiện: x Phân tích lời giải Sử dụng casio tìm nghiệm x 2, ghép số để liên hợp Nhưng lưu ý, biểu thức (hoặc số) tích trước thức khơng tham gia vào liên hợp, tức ghép ( x 1).( x m), ( x 6).( x n) () ( x 1)( x 2) ( x 6)( x 3) ( x x 8) 0 ( x 1) x x2 2 ( x 6) x x7 3 ( x 2)( x 4) 0 x 1 x6 ( x 2) x 0 x 2 x2 3 x2 2 x 1 x6 x 1 x 6 ( x 12) x 4 x 4 0 Do x x2 2 x 7 3 Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 2 ( x 1)( x 2) Phân tích lời giải Nếu liên hợp dạng ( x 1)( x 2) với x2 2 x chưa xác định dấu x nên suy nghĩ đến việc tạo lượng dương ( x 2)( x 1) sau liên hợp Để làm điều đó, tức cụm phải có nhân tử ( x 2)( x 1) liên hợp ta xem cụm có hai nghiệm x 1, x 2 nên ghép vào biểu thức liên hợp bậc dạng ( ax b) x để liên hợp (sau liên hợp bậc hai có khả xuất hiện nhân tử ( x 2)( x 1)), với hai số a, b x 2 x 2 ax b 2a b a , b Do ghép thỏa hệ 3 x x 1 ax b a b 4 ( x 1) x 3 x để đơn giản, ta nên nhân hai vế cho biến thành http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( x 1)( x x 2) ( x 2)( x 1)2 ( x 1) ( x 4) x đảm bảo lượng: x43 x2 x43 x2 ( x 6)( x 2) ( x 1)2 0, x Còn với: ( x 6)(3 x ) có lượng 3 x 7 x43 x2 x với x 2, nên truy ngược lại cách đổi: ( x 6)(3 x ) thành ( x 6) x 7( x 3) ( x 2)( x 6) x có x7 3 Từ phân tích này, ta có lời giải sau: ( x 6) x x 7 3 0, x () ( x 1)( x x 2) ( x 6) x 7( x 3) x x 10 0 ( x 1)2 ( x 2) ( x 6) x x ( x 2)( x 5) 0 x43 x2 x 7 3 ( x 1)2 ( x 6) x ( x 2) x 0 x 2 x7 3 x x 0, x Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 2 Bài 12 Giải phương trình: ( x 1) x 2( x 5) x 3 x 14 x 13 () Điều kiện: x 0 Lời giải Liên hợp thông thường biết x 1 nghiệm () ( x 1)( x 3) 2( x 5)( x 2) 3x x 10 4( x 1).( x 1) 2( x 5)( x 1) ( x 1)(3x 10) 0 4x x3 2 4( x 1) 2( x 5) ( x 1) (3 x 10) 0 x 1 x3 2 4x 4( x 1) 2( x 5) (3 x 10) ( x 1) ( x 5) (3 x 10) Do 4x x3 2 x 23 0, x Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 1 Lời giải Truy ngược dấu () 2( x 1) ( x 2) x 2( x 5) x 3.( x 2) x x 0 2( x 1)2 ( x 1) 2( x 5)(x 1) x 2( x 1)( x 4) 0 x 4x x3 2 2( x 1)2 2( x 5) x ( x 1) 2( x 4) 0 x 1 x3 2 x x Do 2( x 1)2 2( x 5) x 2( x 4) 0, x x 4x x3 2 Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 1 Bài 13 Giải phương trình: 3x x x 2 x () Lời giải Điều kiện: x http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word () ( 3x 2) x( x 2) x 2 x ( 3x 2) x( 3x 2) ( x 1) x 0 3( x 2) x( x 2) x( x 2) 0 3 3x x x (3x 2) 3x 3x 2x 0 ( x 2) (3x 2)2 3 x x x x x(3 x x 3x 1) ( x 2) 0 ( 3x 1)2 ( 3x 2)( x x 1) 18 x 12 x 17 x x 3 2x 3x 0 ( x 2) 2 1) ( 3x 2)( x x 1) ( 3x2 f ( x) • 18 x 12 x 17 x x 0 x 2 Do nên f ( x) • 3x Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x 2 Bài 14 Giải phương trình: x x 18 (2 x 9) x 5x 0 () Điều kiện: x Lời giải Liên hợp thông thường x 1) x x 0 () (2 x 9)( x 2) 2(2 (2 x 9) x x3 2 10.(1 x) 5x ( x 1)( x 4) 0 2x 10 ( x 1) x 0 5x x3 2 1 2x 10 x ; có: Xét hàm số f ( x) x3 2 5x 5 f ( x) 2x x x 3( x 2) (1) 0, x 5x 1( 5x 2) 1 227 94 (2) Do f ( x) đồng biến ; , suy f ( x) f 10 5 Từ (1), (2), suy ra: x 0 x 1 Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 1 Lời giải Truy ngược dấu () x 3(4 x 18 11 x 3) x 1( 5x 2) ( x 1)(2 x 1) 0 ( x 1)(16 x 39) 10( x 1) x x3 ( x 1)(2 x 1) 0 x 18 11 x 5x (16 x 39) x 10 x ( x 1) (2 x 1) 0 x 1 5x x 18 11 x http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word (16 x 39) x 10 x x Do x , suy ra: x 18 11 x 5x Kết luận: So với điều kiện, phương trình cho có nghiệm x 1 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word