II Kỹ thuật nhân lượng liên hợp để đưa tích số Nhân lượng liên hợp là mợt hình thức trục thức bằng hằng đẳng thức để sau liên hợp xuất hiện nhân tử chung và kết thúc bằng việc giải phương trình tích số Ta thường bắt gặp những loại bản sau: Biểu thức Biểu thức nhân liên hợp A B Thu được A B A B A B A B 3 A B A B2 A B 3 A AB B A B A B 3 A B A AB B2 A B3 A B A B2 A B A B Phân tích tốn hướng tư đến lời giải (tương tự cho Giả sử phương trình có dạng: f ( x) f ( x )) g( x) h( x) 0 xác định D Hướng Nếu lấy f ( x) g( x) và phân tích biểu thức h( x) thành nhân tử mà có nhân tử chung với f ( x) g( x) thì ta tiến hành ghép hai thức lại với và liên hợp Chẳng hạn đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam 2014 có câu giải: 3x x 2 x x 3, ta sẽ ghép: (3x 2) ( x 1) 2 x và phân tích x x (2 x 3)( x 1) có nhân tử chung x nên sẽ tiến hành nhân lượng liên hợp Trong trường hợp ghép f ( x) g( x) không xuất hiện nhân tử chung với h( x), ta sẽ tư sang một những hướng sau: PP Hướng Nếu chỉ nhẩm được một nghiệm x xo ghép hằng số Sử dụng máy tính bỏ túi, nhập: f (X) g( X ) h( X ) và bấm shift solve, để tìm nghiệm x xo Để kiểm tra phương trình còn nghiệm hay không, ta sửa lại cấu trúc: ( f ( X ) g( X ) h( X )) : ( X xo ) và bấm shift solve, nếu máy tính báo Can't Solve thì chứng tỏ phương trình không còn nghiệm Còn nếu phương trình có thêm một nghiệm nữa, ta sẽ chuyển sang hướng Khi đã nhẩm được nhất một nghiệm x xo thì ta sẽ ghép với hằng số m, n để liên hợp và hai số này tìm bằng cách cho x xo vào hai thức, với: m f ( xo ), n g( xo ) (giá trị của thức tại x xo ) Lúc này, sẽ ghép: [ f ( x ) m] [ n g( x)] h( x) m n 0 và liên hợp từng cụm sẽ xuất hiện nhân tử chung với h( x) m n Chẳng hạn đề thi Đại học khối B năm 2010 có câu: 3x x 3x2 14 x 0 Nếu ghép từng thức lại với để liên hợp thì sẽ không xuất hiện nhân tử chung với biểu thức ngoài dấu Ta sẽ sử dụng máy tính và dự đoán được nghiệm là x 5 nên sẽ ghép hai hằng số m 3.5 4 dạng: ( 3x 4) và n 1 dạng: (1 x ) rồi liên hợp sẽ xuất hiện nhân tử x Biểu thức ngoài là: 3x 14 x ( x 5)(3 x 1) : có nhân tử x PP Hướng 3: Nhẩm được hai nghiệm đẹp x x1 , x x2 ghép ax b Để liên hợp triệt để, ta sẽ ghép với biểu thức bậc nhất ax b cho từng thức để liên hợp Hai số hằng số a , b của bậc nhất này tìm bằng cách giải hệ: Đối với http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word f ( x ) ax b 1 a , b và sẽ làm tương tự với thức f ( x) ta sẽ giải hệ: f ( x2 ) ax2 b g( x) Thí dụ giải: x x x x 13 Do ta đã nhẩm được hai nghiệm: x 0, x nên sẽ ghép bậc nhất ax b cho từng và liên hợp Cụ thể tìm ax b để ghép với x bằng cách giải hệ: 3.0 a.0 b 3.( 1) a.( 1) b b 2 nên ghép: x ( x 2) và tương tự đối với a 1 x sẽ tìm được lượng ghép: x ( x 3) Xử lý sau nhân lượng liên hợp Mong muốn của việc nhân lượng liên hợp là tạo phương trình tích số dạng ( x xo ) f ( x) 0 hoặc dạng ( ax bx c ) f ( x) 0 Một vướng mắc mà học sinh thường vấp phải là nào giải phương trình f ( x) 0, nào đánh giá f ( x) dương hoặc âm và sử dụng phương pháp nào để đánh giá ?! Để trả lời câu hỏi đó, ta cùng tham khảo một số ý tưởng sau: Đối với phương trình f ( x) 0, ta nên kiểm tra xem còn nghiệm hay không bằng nhập f ( x) vào máy tính và bấm shift solve Nếu phương trình có nghiệm x tập xác định hoặc vô nghiệm, thì đó ta tìm cách chứng minh vô nghiệm dựa vào các phương pháp thông thường sau: + Tìm miền giá trị (tìm GTLN, GTNN của hàm f ( x)), suy f ( x) dương hoặc âm tập xác định của bài toán + Sử dụng các đánh giá bản hoặc bất đẳng thức cổ điển… Đối với phương trình f ( x) 0 còn nghiệm, thường giải bằng phương pháp: + Đưa về phương trình vô tỷ ( A B, A B , ) nếu f ( x) 0 đơn giản + Kết hợp đề bài tạo hệ tạm (đề dạng A B k ) và giải hệ này tìm x + Kết hợp với các phương pháp khác để giải (đặt ẩn phụ, hàm số,…) Liên hợp với phương trình có nghiệm hữu tỷ dễ xác định nhân tử Nhóm I: Ghép hai thức để liên hợp phân tích biểu thức cịn lại Bài Giải phương trình: 3x () x 2 x x Học sinh giỏi tỉnh Quãng Nam năm 2014 Lời giải Điều kiện: x () ( 3x x 1)( x x 1) 3x x 2x 3x x 2 x x (2 x 3)( x 1) 0 x 2 (2 x 3) ( x 1) 0 3x x x (1) 3x x 2 Ta có: x thì f ( x) x (2) 3 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Xét hàm số g( x) 3x x có: g( x) 0, x 3x 2 x 1 1 2 Do đó hàm số g( x) đồng biến ; nên h( x) nghịch g( x) 3x x 3 2 2 15 h x h hay h( x) biến ; max 2 ; 3 (3) Từ (1), (2), (3), suy phương trình f ( x) h( x) vô nghiệm hay (1) vô nghiệm Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm nhất x 3/2 Bình luận Sau liên hợp, để xử lý f ( x) (2 x 3) f ( x) 0 đã nhập vào ( X 1) và bấm shift calc, thấy casio hiển thị can’t 3X X solve Chứng tỏ rằng phương trình này vô nghiệm nên tìm cách chứng minh bằng cách tìm miền giá trị của hai hàm f ( x) và g( x) Hiển nhiên hàm này không có chung miền giá trị nên sẽ vô nghiệm, phù hợp với dự đoán bằng casio Câu hỏi đặt là nào sử dụng hàm số để đánh giá phương trình vô nghiệm ?!! Khi tính đạo hàm f ( x) dễ dàng hoặc tách dạng g( x) h( x) mà việc tìm miền giá trị của hai hàm không mấy khó khăn thì ta nên sử dụng phương pháp hàm số máy tính casio () x 4 x x Đề thi thử Đại học khối D năm 2013 – THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc Phân tích Khi ghép hiệu hai biểu thức 3x ( x 1) 2 x và biểu thức Bài Giải phương trình: x (2 x 1)(2 x 1) thì thấy có nhân tử chung, đó tiến hành ghép thức lại với để liên hợp theo hằng đẳng thức: A B ( A B )( A B ) A B Lời giải Điều kiện: x 0 () (4 x 1) ( 3x x 1) 0 (2 x 1)(2 x 1) 2x 3x x 0 1 (2 x 1) x 0 x 0 x 3 x x 1 , x 0 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm nhất x () Bài Giải phương trình: 3.(2 x ) 2 x x Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự Phân tích Rút gọn được () 2.(3 x) x x x x 18 và ghép ( x 6) (9 x 18) x 24 8.(3 x) sẽ có nhân tử x với vế trái nên sẽ ghép thức lại với để liên hợp và có lời giải sau: x 0 x 2 Khi đó: Lời giải Điều kiện: x 0 () 2.(3 x) x x 18 2.(3 x) 8.(3 x) x x 18 ( http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word (3 x) 0 x x 18 (1) 10 x 12 ( x 6)(9 x 18) 16 x 3 x x 18 4 (1) x 36 x 108 14 5x 14 14 11 x x x 5 9 x 36 x 108 (14 5x)2 16 x 176 x 304 0 Kết luận: So với điều kiện, phương trình có nghiệm là x 2, x 11 () x x x x x Phân tích Do biểu thức hai thức dương nên vế trái là tổng của các số dương Để phương trình có nghiệm thì vế phải phải dương, tức điều kiện là x x và được gọi là điều kiện kéo theo mà ta hay thường bỏ sót 2 Nhận thấy: (2 x x 9) (2 x x 1) 2( x 4) nên ta sẽ ghép hai thức lại với để liên hợp sẽ có cùng nhân tử x với vế phải và có lời giải sau: Lời giải Điều kiện: x x Bài Giải phương trình: () ( x x x x 1)( x x ( x2 x x x 1) x x 1) x (do : x x x x x x 4, x 4) 2( x 4) 2x x x x2 x x x 2 2x x (1) x x x x 2 ( ), Kết hợp (1) với được hệ phương trình: x x x x x Cộng lại vế theo vế, suy ra: 2 x x x 4(2 x x 9) ( x 6)2 x x 0 x 0 hoặc x : thỏa mãn điều kiện Kết luận: Các nghiệm cần tìm của phương trình là x 0, x Bình luận Nếu không tìm chính xác điều kiện thì vô tình nhận thêm nghiệm x 4, mà nghiệm này không thỏa phương trình Ngoài ra, liên hợp thu được phương trình f ( x) 0 và kết hợp với đề bài được hệ phương trình, gọi là phương pháp đưa về hệ tạm để giải phương trình vô tỷ Vấn đề đặt là nào ta sử dụng hệ tạm sau liên hợp ?! TL Thường thì đề bài có dạng Một điều cần lưu ý nữa là nhân thêm dạng f ( x) f ( x) g( x) ax b g( x) , (hay ax b f ( x)) ta cần xét lượng này có khác hay chưa hoặc đối với bất phương trình thì xét xem nó dương hay âm để nhân cần đổi dấu của bất phương trình thích hợp (nhân âm đổi dấu, nhân dương không đổi dấu) Còn nếu không biết cần chia hai trường hợp Bài Giải phương trình: x x 24 x2 59 x 149 5 x () http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 2 2 Phân tích Nhận thấy (6 x 59 x 149) ( x x 24) 5 x 50 125 5( x 5) sẽ có nhân tử chung x nên sẽ ghép thức lại với để liên hợp Lời giải Tập xác định: D x 59 x 149 () x x 24 x 5.( x 5)2 x x 59 x 149 x x 24 5.( x 5) ( x 5) 1 0 2 x 59 x 149 x x 24 x 5 x 59 x 149 x x 24 5.( x 5) (1) x x 24 x 59 x 149 5 x (2) Kết hợp (), (1), có hệ: 2 (3) x 59 x 149 x x 24 5.( x 5) x 5 19 x Lấy (2) (3), suy ra: x x 24 2 x 10 3 x 31x 76 0 19 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là x 5, x Bài Giải phương trình: () x x x2 x x 2 Phân tích Nhận thấy ( x x 1) (2 x 3) x x nên sẽ ghép hai này lại để liên hợp: A B (3 A 3 B ) ( A2 AB B2 ) 3 ( A AB B ) A B ( A AB B2 ) thì sẽ xuất hiện nhân tử chung x 3x 2, từ đó có lời giải sau: Lời giải Tập xác định: D Đặt a x x 1; b x () ( x x x 3) ( x2 x 2) 0 x2 3x 2 3 ( x x 1) ( x x 1)(2 x 3) (2 x 3) ( x x 2) 0 x 1 : TMĐK x 2 Nhận xét Trong phép nhân liên hợp của bậc ba, để đơn giản bài toán, ta nên đặt ( x x 2) 0 x x 0 a ab b a A , b B Nguyên nhân của việc đặt này là dựa vào hằng đẳng thức quen b 3b 2 3 thuộc: ( a b).( a ab b ) a b mà lượng: a2 ab b a 2 Bài Giải phương trình: x x 2x2 x2 Lời giải Tập xác định: D () ( x 3 x 1) ( x () (1) x 2) 0 Đặt a x , b x 1, m x 1, n x Khi đó: (1) 2x2 x x2 x 0 2 a ab b m mn n2 1 (2 x x 1) 2 m mn n2 a ab b 0 x 1 x http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1 0, a, b, m, n a ab b m mn n2 Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm là x 0, và x 1 Do: Bài Giải phương trình: ( x () x 1)( x x x 3) 2 x Nhận xét Mục đích cuối cùng của nhân lượng liên hợp là xác định lượng nhân tử chung để đưa được về phương trình tích số Nhưng một số trường hợp, ta liên hợp để độc lập biến x nhằm chuyển bài toán từ tình thế phức tạp, sang tình thế đơn giản Cụ thể đối với bài này, thấy ( x 3) ( x 1) 2 đã độc lập được biến x nên sẽ liên hợp, tức nhân hai vế cho Lời giải Điều kiện: x ?! x x 0 và có lời giải sau: () x ( x 1)( x 3) x.( x x 1) ( x x x 3) ( x 1)( x 3) x x 0 x( x x 3) x 1( x x) 0 ( x x 3)( x x 1) 0 x x 1 13 x hoặc x (thỏa mãn điều kiện) x x Kết luận: Các nghiệm cần tìm của phương trình là x Bài Giải: ( x x x x 1).( x 1 13 , x 2 () x 1) 3 x2 2 Phân tích Nhận thấy (5x 1) (2 x 1) 3x có nhân tử chung với vế phải nên ta tiến hành liên hợp và có lời giải sau: Lời giải Tập xác định: D Nhận thấy x 0 là nghiệm của phương trình Với x 0, ta có: () x x2 3x 3 x2 (1) x x x x 5x x Do x 0 thì (1) x2 x 4x2 x x x x x và x x nên: 3x 3x2 4x2 x x2 x 5x2 x2 1 4x2 x x2 x 5x x 4x2 x 2 x2 x 5x2 (2) 2x2 x x x x 5x x Kết hợp (1), (2), suy ra: x x x2 x 5x x (3) (4) x x x x x 0 x 0 x 1 Kết luận: Phương trình đã cho có hai nghiệm x 0, x 1 Lấy (3) (4) Bài 10 Giải phương trình: x 1 x 5.( x 3) x 18 () http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương x x x 16 x và ( x 1) (16 x) 5.( x 3) nên Phân tích Có sẽ ghép thức với để liên hợp và có lời giải sau: Lời giải Điều kiện: x 4 () x 18.( x 16 x ) 5.( x 3) x 3 : TMĐK 5.( x 3) x 16 x x 18 x 16 x (1) 5.( x 3) x 18 (1) x 3x 4 ( x 1)(4 x) x 3x 2 x 3x (2) Nhận xét Sử dụng casio dò được nghiệm của phương trình là x 1, x , hay 2 có nhân tử ( x 1).(2 x 3) 2 x x 3, nên ta có ba hướng xử lý sau: Hướng Xem là dạng A B và bình phương được phương trình bậc bốn, lúc đó sẽ chia Hoócner biết trước nghiệm 2 x x 0 x x (2) 4 x 12 x 29 x 42 x 63 0 ( x 1)(2 x 3)(2 x x 21) 0 x x : thỏa mãn điều kiện Hướng Tách ghép và liên hợp dựa vào nhân tử x x (2) (2 x x 3) ( x 1) x x 0 (3) Xét x x2 x 0 x và thế vào (3) thấy x là nghiệm của phương trình (3) Xét x x 3x 0 x 1, tức x ( 1; 4] Khi đó: (3) (2 x x 3) 4.(2 x x 3) x x 3x 0 (2 x x 3) 0 x x 0 x 3x 4 x 1 0, x ( 1;4] x x 3 Hướng Đưa về tổng các số không âm dạng an bn với dấu hiệu là có hằng số chẵn trước thức (2) 2.2 x x ( x x 4) x2 x x 3x x (2 x 3x 4)2 ( x 3)2 x 3x x x x x x x x x x 0 : VN x 1; o Bài 11 Giải phương trình: 2x 2 x 6x x2 () Phân tích Nhận thấy (2 x 4) (8 x) 6 x có nhân tử chung với vế phải nên ta sẽ tiến hành ghép thức với để liên hợp và có lời giải sau: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Lời giải Điều kiện: x 2 () x2 4.( x (6 x 4) x ) 6 x (6 x 4) x 6 x 2x 4x x2 x 3 0 2x 4x x x x (1) (1) x 12 (2 x 4)(8 x) x x x x x 2 x 2 x x 2 x 2 f (2) 0 f ( x) x x 20 x 32 x 64 0 Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm là x , x 2 Nhận xét Qua những thí dụ từ 20 đến 31, nhận thấy rằng nếu ghép hiệu hai biểu thức thức lại với mà có nhân tử chung với biểu thức bên ngoài Khi đó hướng xử lý là ghép các tương ứng và liên hợp theo hằng đẳng thức Sau ta sẽ tìm hiểu hướng giải quyết đối với phương trình có nghiệm nhất http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word