Bồi dưỡng năng lực tự học toán 7 phụ lục

Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp PHẦN C – PHỤ LỤC ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC Bài 1: Cho tam giác ABC có AB 5cm, AC 7cm BC 9cm Kéo dài AB lấy điểm D cho BD BA, kéo dài AC lấy điểm E cho CE CA Kéo dài đường trung tuyến AM lấy điểm I cho MI MA 1) Tính độ dài cạnh tam giác ADE 2) Chứng minh DI // BC 3) Chứng minh điểm D, I , E thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC có BC a M trung điểm đoạn thẳng AB Tia Mx // BC cắt AC N 1) Chứng minh N trung điểm đoạn thẳng AC 2) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo a Bài 3: Cho tam giác MNP có MN 4cm, MP 6cm, NP 8cm Kéo dài MN lấy điểm I cho NI NM , kéo dài MP lấy điểm K cho PK PM , kéo dài đường trung tuyến MO lấy điểm S cho OS OM 1) Tính độ dài cạnh tam giác MIK 2) Chứng minh ba điểm I, S, K thẳng hàng Bài 4: Cho tam giác ABC cân A có M trung điểm đoạn thẳng BC Kẻ Mx // AC cắt AB E , kẻ My // AB cắt AC F 1) Chứng minh E , F trung điểm đoạn thẳng AB AC EF  BC 2) Chứng minh 3) Chứng minh: ME MF , AE  AF Bài 5: Cho tam giác OPQ cân O có I trung điểm đoạn thẳng PQ Kẻ IM // OQ  M  OP  , IN // OP  N  OQ  1) Chứng minh IMN cân I 2) Chứng minh OI đường trung trực MN Bài 6: Cho tam giác ABC cân A có AM đường cao N trung điểm đoạn thẳng AC Kẻ Ax // BC cắt đường thẳng MN E 1) Chứng minh: M trung điểm đoạn thẳng BC 2) Chứng minh: ME // AB 3) Chứng minh: AE MC Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 7: Cho tam giác ABC, nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B lấy điểm D Gọi M , N , P, Q trung điểm đoạn thẳng AB, BC , CD, DA 1) Chứng minh: MN // PQ MQ // NP 2) Chứng minh : MN  NP  PQ  AC  BD Bài 8: Cho tam giác ABC cân A có M trung điểm đường cao AH , đường thẳng CM cắt AB D, kẻ Hx // CD cắt AB E 1) Chứng minh DA DE 2) Chứng minh AB 3 AD 3) Chứng minh CD 4MD Bài 9: Cho tam giác ABC vng A có AM đường trung tuyến Gọi N trung điểm đoạn thẳng AC 1) Chứng minh MN  AC 2) Tam giác AMN tam giác gì? Vì sao? 3) Chứng minh 2AM BC Bài 10: Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao BD CE Gọi M N trung điểm đoạn thẳng BD CE DM  BC 1) Chứng minh 2) Chứng minh tam giác DME cân 3) Chứng minh MN  DE Bài 11: Cho tam giác ABC, AC lấy theo thứ tự điểm D E cho AD DE EC Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC , BD cắt AM I 1) Chứng minh ME // BD 2) Chứng minh I trung điểm đoạn thẳng AM DI  BD 3) Chứng minh Bài 12: Cho tam giác ABC có AM đường trung tuyến Lấy D thuộc cạnh AC AD  DC ME // BD  E  CD  , BD cắt AM I cho Kẻ 1) Chứng minh AD DE EC 2) Chứng minh I trung điểm đoạn thẳng AM Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn Vẽ tia đối tia AB lấy điểm D cạnh cho DA  AB Vẽ tia đối tia AC lấy điểm E cho AE  AC 1) So sánh ABC ADE 2) Gọi M N trung điểm đoạn thẳng BC DE Chứng minh M , A, N thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AB Vẽ tia đối tia AC lấy điểm E cho AE  AC 1) So sánh BC DE 2) AH AK đường cao ABC ADE Chứng minh H, A, K thẳng hàng Bài 3: Tam giác ABC có AB  AC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD  AC Trên tia đối tia AC lấy điểm E cho AE  AB 1) Định dạng hai tam giác ACD ABE 2) Gọi M N trung điểm CD BE Chứng minh M, A, N thẳng hàng Bài 4: Tam giác ABC vng A có đường cao AH Kẻ HM vng góc AB M kéo dài lấy MD MH Kẻ HN vng góc AC N kéo dài lấy NE NH 1) So sánh AD với AE 2) Chứng minh D, A, E thẳng hàng Bài 5: Lấy hai điểm A B hai nửa mặt phẳng đối có bờ đường thẳng xy Kẻ AH vng góc với xy H BK vng góc với xy K cho AH BK Gọi O trung điểm đoạn thẳng HK Chứng minh A, O, B thẳng hàng  Bài 6: Cho xOy  90 Trên Ox lấy hai điểm A C cho A nằm hai điểm O C Trên tia Oy lấy hai điểm B D cho OA OB ; AC BD 1) Định dạng OAB OCD 2) Gọi M n trung điểm AB CD Chứng minh O, M, N thẳng hàng Bài 7: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM CN Trên tia đối tia MB lấy điểm D cho MD MB Trên tia đối tia CN lấy điểm E cho NE NC Chứng minh D, A, E thẳng hàng Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp DIỆN TÍCH TAM GIÁC Bài 1: Cho ABC vng A có đường cao AH Chứng minh: AB AC BC AH Bài 2: Cho ABC có hai đường cao BD CE Chứng minh: AB.CE  AC.BD Bài 3: Cho ABC có góc A nhọn AB 6cm; AC 8cm , đường cao BD 3cm Tính độ dài đường cao CE  Bài 4: Cho xAy nhọn Trên tia Ax lấy điểm B, tia Ay lấy điểm C Kẻ BD  Ay D, CE  Ax E Giả sử BD 5cm, CE 3cm, AB 10cm Tính AC Bài 5: Cho ABC có AB  AC hai đường cao BH, CK Theo cơng thức tính diện tích ABC , chứng minh BH CK Bài 6: Cho ABC có AB  AC hai đường cao BH, CK Trên AC lấy E tùy ý Trên tia đối tia BA lấy BD CE Chứng minh: 1) BH CK 2) S BCD S BCE Bài 7: Cho ABC có AB  AC , E trung điểm AC Trên tia đối tia BA lấy BD  AB Chứng minh: 2) S BCD S BCE  Bài 8: Cho điểm M thuộc tia phân giác Ot xOy nhọn 1) Có nhận xét khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh Ox Oy? 1) BD CE ; 2) Trên Ox lấy hai điểm A B Trên Oy lấy đoạn CD  AB Chứng minh S MAB S MCD Bài 9: Cho ABC có AB  AC Kẻ BH vng góc AC H Trên BC lấy điểm M Vẽ MI vng góc AB I MK vng góc AC K S AMB , S AMC S ABC có liên hệ gì? Hãy chứng minh MI  MK BH Bài 10: Cho ABC tam giác có chiều dài cạnh x, có đường cao AD Lấy điểm M ABC Kẻ MH, MI, MK vng góc với BC, CA, AB H, I K Chứng minh MI  MK  MH  AD Bài 11: Bài toán thường dùng thứ I: a) Cho hai đường thẳng song song Chứng minh khoảng cách từ hai điểm đường thẳng đến đường thẳng Khoảng cách gọi khoảng cách hai đường thẳng song song b) Chứng minh hai đầu đoạn thẳng phía cách đường thẳng cho trước đoạn thẳng song song với đường thẳng cho Bài 12: Cho đoạn thẳng CD nằm đường thẳng xy cho đoạn thẳng AB  xy Kẻ AH BK vng góc với đường thẳng xy H K Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp 1) Có nhận xét AH BK 2) So sánh diện tích ACD BCD Bài 13: Cho đoạn thẳng CD đường thẳng d // CD Cho điểm M di động d Có nhận xét diện tích MCD M di động? Bài 14: Cho d1 , d d3 ba đường thẳng song song cách (nghĩa khoảng cách d1 d khoảng cách d d3 ) Lấy đoạn thẳng CD d A điểm di động d1 B điểm di động d3 Chứng minh SCDA SCDB Bài 15: Cho đoạn thẳng CD nằm đường thẳng xy M trung điểm CD Cho đoạn thẳng AB // xy So sánh diện tích ACM BMD Bài 16: Cho hai đoạn thẳng AD BC AD // BC cho A B phía đường thẳng CD 1) Chứng minh AB // CD 2) So sánh S ACD S BCD Bài 17: Cho hai đoạn thẳng AB  CD AB // CD cho B C bên đường thẳng AD AC cắt BD O Chứng minh: 1) S ACD S BCD 2) SOAD SOBC Bài 18: Cho hai đoạn thẳng AB  CD AB // CD cho B C bên đường thẳng AD AC cắt BD O Đoạn AD BC kéo dài cắt I Chứng minh: 1) SOAD SOBC 2) S IAC S IBD  Bài 19: Cho hai điểm D E bên xOy nhọn Trên Ox lấy A cho AD // Oy Oy lấy B cho BE // Ox 1) So sánh S EOA SOAB ; 2) So sánh SOAB S DOB ; 3) So sánh S EOA S DOB Bài 20: Cho ABC Trên cạnh AC lấy hai điểm D E (D nằm A E) Trên AB lấy I cho DI // BC Trên BC lấy K cho EK // AB Chứng minh S EBI S DBK Bài 21: Cho hai tia Ax // Cy chiều Lấy B Ax D tia Cy Chứng minh: 1) S ABC S ABD ; 2) S ACB  S ACD S ABCD Bài 22: Cho điểm M nằm đường thẳng xy Trên xy lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự cho AB CD 1) So sánh diện tích MAB MCD 2) Chứng minh S MAC S MBD cách cộng diện tích Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 23: Cho điểm M nằm đường thẳng xy Một đoạn thẳng CD trượt xy cho độ dài đoạn thẳng CD khơng đổi Có nhận xét diện tích MCD Bài 24: Cho điểm M nằm đường thẳng xy Trên xy lấy bốn điểm A, B, C, D theo thứ tự cho AB CD Gọi O trung điểm BC Chứng minh: 1) S MAC S MBD ; 2) S MOB S MOC 3) S MOA S MOD Bài 25: Cho điểm M nằm đường thẳng xy Trên xy lấy đoạn thẳng AB S MAB CD cho AB 3CD Tính S MCD Bài 26: Cho ABC Trên cạnh AB AC lấy hai điểm D E tùy ý Chứng minh (vẽ riêng hình cho câu) S ABE AE S ADE AD S ADE AD AE    S AC S AB S 1) ABC ; 2) ABE ; 3) ABC AB AC Bài 27: Cho ABC có diện tích 16cm D trung điểm AB AC lấy S ADE AD AE  S điểm E AC 4 AE Chứng minh ABC AB AC tính S ADE Bài 28: Cho ABC có BM CN hai đường trung tuyến 1) So sánh S BCM S BCN với S ABC Có nhận xét khoảng cách từ M N đến BC? Kết luận gì? 2) So sánh S BMN S BAM ; S BMN S BCM ; 3) Chứng minh MN nửa BC Bài 29: Cho ABC Trên cạnh AB lấy D Từ D kẻ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC E Chứng minh: 1) S ADE : S BDE  AD : BD S ADE : SCDE  AE : CE 2) S BDE SCDE AD AE  BD CE Bài 30: Định lí Thalets: Cho ABC Chứng minh đường thẳng d  BC AD AE  d cắt AB AC D E BD CE Bài 31: Bài toán thường dùng thứ II: Chứng minh đường trung tuyến chia tam giác thành hai phần có diện tích nửa diện tích tam giác  Bài 32: Cho zCt nhọn Trên cạnh Cz lấy A E cho A trung điểm CE  Lấy điểm B bên zCt cho AB // Ct Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp 1) 2) So sánh S ABE S ABC ; 4) So sánh S ABE S ABD 3) Trên Ct lấy D So sánh S ABC S ABD ; Bài 33: Cho BCE có đường trung tuyến BA Vẽ tia Ct // AB Lấy D tùy ý Ct Chứng minh S ABD S ABE Bài 34: Cho ABC có M N trung điểm hai cạnh AB AC Trên BC lấy điểm D 1) DM DN đường trung tuyến tam giác nào? Chứng minh: S BDM  SCDN S AMDN ; S AMDN  S ABC 2) Chứng minh: Bài 35: Cho ABC có đường trung tuyến AM Trên AM lấy điểm G tùy ý Chứng minh: 1) SGBM SGCM 2) S ABG S ACG Bài 36: Cho ABC có đường trung tuyến AM Trên AM lấy điểm G tùy ý So sánh khoảng cách từ B C đến đường thẳng AM chứng minh S ABG S ACG Bài 37: Cho ABC có hai đường trung tuyến BD CE cắt G Chứng minh: 1) S ABD S ACE 2) SGBE SGCD Bài 38: Cho ABC có hai trung tuyến BD CE cắt G Chứng minh: 1) S ABD S BCE 2) SGBC S AEGD Bài 39: Cho ABC có hai đường trung tuyến BD CE cắt G Chứng minh: 1) SGAB SGBC ; SGBC SGAC suy SGAC S BAC : ; 3) S AGD S ABD : suy BD 3GD ; 4) Nếu trung tuyến AF cắt BD G’ ta có kết tương tự câu c? suy ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm Bài 40: Cho hai tia Ax Cy chiều Lấy B Ax D Cy Gọi I trung 2) điểm BD, CI cắt Ax F Chứng minh: 1) ICD IFB ; 2) S ACI S AFI ; 3) S ABI  SCDI S ACI ; 4) S ABCD 2 S ACI Bài 41: Cho ABC có AD đường phân giác Chứng minh: 1) ADB ADC có đường cao chung; Khoảng cách từ D đến AB AC nhau; Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán 2) S ADB : S ADC DB : DC ; 3) S ADB : S ADC  AB : AC ; Lớp DB AB  DC AC 4) Bài 42: Chứng minh đường phân giác tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề với hai đoạn thẳng Bài 43: Cho ABC Các điểm A’, B’, C’ cạnh BC, CA, AB cho BC 3CA ' ; CA 3 AB ' ; AB 3BC ' ; AA’ cắt BB’ D; BB’ cắt CC’ E; CC’ cắt AA’ F Đặt Sa S ADB ' (diện tích ADB ' ); S 'a S ADEC ' ; Sb S BEC ' ; S 'b SBEFA ' ; Sc SCFA ' ; S 'c SCFDB ' S AA ' C S BB ' A SCC ' B  S ABC 1) Chứng minh ; 2) Chứng minh S AA 'C  S BB ' A  SCC ' B S ABC , suy S DEF S a  Sb  Sc TOÁN NÂNG CAO ĐƯƠNG PHÂN GIÁC  Bài 1: Cho A thuộc tia phân giác xOy Lấy B thuộc Ox; C thuộc Oy với OB OC Lấy M nằm O B; N nằm O C với Om ON Chứng minh: ABM CAN Bài 2: Tam giác ABC có BD phân giác Kẻ Dx//AB cắt BC M My tia phân   Chứng minh hai đường thẳng Bz giác DMC , Bz phân giác B My vng góc với Bài 3: Tam giác ABC có BI phân giác trong, Bx phân giác đỉnh B M trung điểm BI Kẻ My//Bx Chứng minh My đường trung trực BI Bài 4: Tam giác ABC có góc A nhỏ Từ C kẻ đường thẳng song song với đường phân giác BD, đường cắt đường thẳng AB E  1) Chứng minh A  90 2) Chứng minh tam giác CEB có hai góc    Bài 5: Tam giác ABC có B 3C Ax tia đối tia AC Tia phân giác BAx cắt  đường thẳng BC E Ay phân giác EAx Chứng minh: 1) Tam giác AEC có hai góc 2) Ay/BE Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp  1 B  C Vẽ phân giác BD Lấy M thuộc tia đối tia BD Bài 6: Tam giác ABC có với BM  AC , N thuộc tia đối tia CB với CN  AB Chứng minh AM  AN Bài 7: Tam giác ABC có phân giác BD E thuộc tia đối tia BA cho BE BC Chứng minh BD // EC Bài 8: Tam giác ABC cân A có Ax tia phân giác đỉnh A Chứng minh Ax//BC   Bài 9: Tam giác ABC có B 2C , BD phân giác Trên tia đối tia BD lấy BM  AC Trên tia đối tia CB lấy CN  AB I trung điểm MN Chứng minh AI  MN  Bài 10: xOy 60 Từ A thuộc tia Ox vẽ đường thẳng song song với Oy cắt tia phân  giác xOy Oz B Vẽ AC  Oy C Chứng minh OB 2 AC Bài 11: Tam giác ABC có D trung điểm BC AB  AC Vẽ Dx vng góc với  tia phân giác BAC I cắt AB, AC M, N Đặt AB c; AC b 1) Chứng minh BM CN 2) Tính AM, BM theo b c Bài 12: Tam giác ABC vng A có phân giác AD Đường thẳng vng góc với BC D cắt AC E 1) Chứng minh tam giác BDE vuông cân  2) Nếu cho ACB 30 DE  tính số đo ABE độ dài cạnh tam giác BEC  Bài 13: Tam giác ABC có A 60 Phân giác BD, CE cắt I Chứng minh: ID IE     Bài 14: Tam giác ABC có A  C B  A Phân giác BM, CN cắt O Chứng minh tam giác OMN cân Bài 15: Tam giác ABC có AB  AC AD phân giác Chứng minh CD  BD Bài 16: Tam giác ABC có AD phân giác AB  AC M thuộc AD Chứng minh: MB  MC  AB  AC Bài 17: Tam giác ABC có điểm M thuộc tia phân giác ngồi đỉnh C Chứng minh: MA  MB  AC  BC   Bài 18: Góc nhọn xOy có tia phân giác Oz M nằm xOy , kẻ Ay  Ox I Chứng minh: 1) IA  AK ; 2) MH  MK Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp 0   Bài 19: Tam giác ABC có A 80 ; C 60 Hai tia phân giác góc B góc C cắt   I Tia phân giác B cắt tia CI D Chứng minh: BDC  ABC Bài 20: Tam giác ABC có phân giác AD, BE    1) Nếu ADC BEC Chứng minh: A B     2) Nếu ADB BEC Chứng minh: A  B 120 Bài 21: Cho O nằm tam giác ABC   1) Chứng minh: BOC  BAC 2) Nếu O giao điểm hai tia phân giác góc B góc C Chứng minh:  BOC  900 Bài 22: Cho tam giác ABC có góc C góc B 90 Kẻ tia phân giác góc A cắt BC D Tính ADB Bài 23: Các đường thẳng chứa tia phân giác góc ngồi đỉnh B, C cắt O  Chứng minh BOC nửa góc ngồi đỉnh A   Bài 24: Tam giác ABC có B  C Đường thẳng chứa tia phân giác A cắt đường thẳng BC E AEB  B  C  1) Chứng minh: 0   2) Tính góc B góc C biết A 60 AEB 15 Bài 25: Tam giác ABC có phân giác góc B góc C cắt I; phân giác ngồi góc B góc C cắt K Chứng minh: 1   BKC 900  A BIC 900  A 1) 2)   Bài 26: Tam giác ABC có B C 40 , tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh: DB  DA BC Bài 27: Tam giác ABC có tia phân giác góc B tia phân giác góc ngồi đỉnh C cắt M Tia phân giác góc C tia phân giác ngồi     BMC BNC  A góc B cắt N Chứng minh: Bài 28: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt I Kẻ IM  AC M Chứng minh: AB  AC  BC 2 AM Bài 29: Tam giác ABC có AB  AC , đường cao AE Tia phân giác góc B cắt AE H Kẻ HF  AB F Chứng minh: HC  HF Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 10 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp  Bài 30: Tam giác ABC cân A có A 20 D thuộc AB với AD BC Tính số đo ACD Bài 31: Tam giác ABC có phân giác BD, CE cắt O Chứng minh:    1) OA OB OC ; 2) AOB BOC COA ? Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 11 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN ˆ 800 ; B ˆ 600 ; M trung điểm AC Trên tia đối tia Bài 1: Tam giác ABC có: A  MB lấy MD = MB Tính BCD Bài 2: Tam giác ABC có D thuộc AC, E trung điểm AB F tia đối tia ED  ˆ ˆ với EF = ED Chứng minh FBA 180  (B C) Bài 3: Tam giác ABC có AM đường trung tuyến tam giác ABC, D thuộc tia AM với AM = MD Vẽ MH  AB H Chứng minh hai đường thẳng MH DC vng góc với Bài 4: Tam giác ABC có M, N trung điểm AC, AB Trên tia BM, CN lấy điểm D, E cho BM = MD CN = NE Chứng mimhf A trung điểm DE Bài 5: Tam giác ABC có AB AC M trung điểm BC Chứng minh AM không vuông góc với BC Bài 6: Tam giác ABC có M, N trung điểm AB, AC Trên tia đối tia NM lấy NI = NM Chứng minh: CI // AB CI  AB MN  BC MN // BC Bài 7: Tam giác ABC có D trung điểm AB Vẽ DE// SBC (E thuộc AC) Lấy F thuộc BC với BF = DE Chứng minh DF// AC Bài 8: Cho tam giác AOB lấy A’, B’ cho O trung điểm AA’ BB’ D trung điểm AB, tia DO cắt A’B’ D’ Chứng minh D’ trung điểm A’B’ Bài 9: Tam giác ABC có M trung điểm BC Lấy e, F, G cho B, M, C trung điểm AF, AE, AG Chứng minh : 1) EC / AB BE // AC 2) F, E, G thẳng hàng Bài 10: Tam giác ABC cân A Lấy D thuộc AB, E thuộc AC với AD  AE M, N trung điểm DE, BC Chứng minh A, M, N thẳng hàng Bài 11: Tam giác ABC cân A, tia đối tia CA, CB lấy hai đoạn CD =CE M, N trung điểm BC CE Chứng minh AM // DN Bài 12: Tam giác ABC cân đỉnh A D thuộc tia đối tia CA, kẻ DE  BC E I trung điểm CD, kéo dài EI lấy IK = IE, vẽ AM phân giác tam giác ABC Chứng minh AM // CK // ED Bài 13: Tam giác ABC có BC = 2AB M trung điểm BC, D trung điểm BM, tia AD lấy điểm E cho D trung điểm đoạn thẳng AE Chứng minh : Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 12 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp 1) AME AMC So sánh AD AC Bài 14: Cho B thuộc đoạn AC Vẽ tam giác DAB EBC với D, E thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng AC M, N trung điểm DC, AE Chứng minh tam giác BMN   Bài 15: Tam giác ABC có M trung điểm BC BAM  CAM Chứng minh AB < AC Bài 16: Tam giác ABC có D, E, F trung điểm BC, AC, AB Chứng minh: DE + DF > 2DI Bài 17: Tam giác ABC có D, E, F trung điểm BC, AC, AB Chứng minh: AB + AC + BC > AD + BE + CF AM  BC Bài 18: Tam giác ABC vuông có M trung điểm BC Chứng minh AM  BC Bài 19: Tam giác ABC có M trung điểm BC Chứng minh tam giác ABC vuông Bài 20: Tam giác ABC vuông cân A Qua A vẽ đường thẳng xy cho B, C nửa mặt phẳng có bờ xy Vẽ BH CK vng góc với xy H, K 1) Chứng minh HK = BH + CK 2) Gọi M trung điểm Tam giác MHK tam giác ? Bài 21: Tam giác ABC tam giác A’B’C’ có AB = A’B’ ; AC = A’C’ ; AM  AD ˆ ˆ A  A' 180 M trung điểm BC Lấy D thuộc tia AM cho Chứng minh: AM  B'C' 1) ABD  A ' 2) Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 13 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp ĐƯỜNG VNG GĨC – ĐƯỜNG CAO – ĐƯỜNG TRUNG TRỰC  Bài 1: Vẽ xOy  180 tia phân giác Oz Lấy A thuộc tia Oz M trung điểm OA Đường thẳng vng góc OA M cắt Oy B 1) Chứng minh AB/ /Ox   2) Nếu OBA 100 Tính số đo xOy Bài 2: Tam giác ABC có Bˆ  90 Vẽ AH vng góc với đường thẳng CB H Trên tia đối tia HS lấy HI = HA Chứng minh: 1) BH tia phân giác ABI 2) Chứng minh ABC IBC Bài 3: Tam giác ABC nhọn Kẻ AH  BC H Lấy B’ thuộc tia HC với HB’ = HB ; C’ thuộc tia HB với HC’ = HC Chứng minh ABC AB ' C '  Bài 4: Cho điểm A di động xOy Vẽ AB  Ox B Trên tia đối tia BA lấy BC = BA Vẽ AD  Oy D Trên tia đối tia DA lấy DE = DA Chứng minh OC  = OE vị trí điểm A xOy Bài 5: Cho H trung điểm đoạn AB Vẽ tia Hx  AB Lấy M, N thuộc Hx ( N H M) Chứng minh MNA MNB 1  CBH  BAC Bài 6: Tam giác ABC cần đỉnh A Kẻ BH  AC H Chứng minh Bài 7: Tam giác ABC đều, vẽ BD  AC D Trên tia đối tia BD Lấy BK = AC   Tính ABC  AKC Bài 8: Tam giác ABC vuông A, kẻ AH  BC H K thuộc tia đối tia HA với  KH = HA Tính số đo BKC Bài 9: Tam giác ABC nhọn Vẽ BH  AC H CK  AB K Trên tia đối tia BH lấy BM = AC, tia đối tia CK lấy CN = AB Chứng minh: 1) ABM NCA 2) AM  AN Bài 10: Tam giác ABC (AB = AC) Vẽ BH  AC H Lấy D thuộc BC, kẻ DF  AC F DE  AB E Chứng minh DE + DF = BH Bài 11: Lấy B, C thuộc đường thẳng x,y M trung điểm BC D thuộc tia đối tia BC E thuộc tia đối tia CB với BD = CE Tia Mz  xy có A thuộc Mz Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 14 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp   1) Chứng minh BAC DAE có tia phân giác  2) Chứng minh ACE  90 3) So sánh tam giác ABD tam giác ACE; tam giác ADC tam giác AEB Bài 12: Tam giác ABC nhọn có AH  BC H Trên nửa mặt phẳng chứa C có bờ AB vẽ Ax  AH , lấy D thuộc Ax với AD = BC Chứng minh AB / / CD AB = CD  Bài 13: Tam giác ABC có AB < AC, vẽ AH  BC H Tia phân giác BAC cắt BC  M Tính MAH theo góc B góc C tam giác ABC ˆ  900 Vẽ tia Ax  AB Ax cắt đường Bài 14: Tam giác ABC cân ( AB = AC) có A   thẳng BC D Tính ACD  ADC Bài 15: Tam giác ABC nhọn Trên nửa mặt phẳng chứa C có bờ AB vẽ BD  BA BD = BA Trên nửa mặt phẳng chứa A có bờ BC vẽ BE  BC BE = BC Chứng minh AE = DC AE  DC Bài 16: Tam giác ABC nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ AE  AB AE = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ AF  AC AF = AC AM  BC 1) M trung điểm EF Chứng minh 2) AM kéo dài cắt BC H Chứng minh AH  BC H Bài 17: Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng chứa điểm A bờ đường thẳng BC vẽ tia Cx  AC lấy D thuộc Cx với CD = CA Vẽ AM  BC M CN  BD N AM CN kéo dài cắt P Chứng minh AP = BC BD  BC Bài 18: Tam giác ABC, lấy D thuộc BC với Vẽ DE  BC ( E thuộc AB), vẽ DF  AC F Tam giác DEF tam giác ? Bài 19: Tam giác ABC vng A có đường cao AH So sánh góc tam giác ABC, HBA, HAC Bài 20: Tam giác ABC vng A, có đường cao AH AB < AC Lấy D thuộc AC với AD = AB Vẽ DE  BC E Chứng minh HA = HE Bài 21: Phía ngồi tam giác ABC, vẽ hai tam giác vuông cân A ADB ACE Vẽ AH  BC H HA cắt DE K Vẽ AM  DE M AM cắt BC N Chứng minh: 1) NCA KAE 2) DK = KE Bài 22: Tam gisc ABC vuông A, đường cao AH D, E, F giao điểm phân giác tam giác ABC, HAB, HAC Chứng minh AD  EF Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 15 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 23: Tam giác ABC vuông A, vẽ AH  BC M, N, P điểm nằm tam giác ABC, AHB, AHC cách ba cạnh tam giác Vẽ MI  BC I, NK  BC K, PL  BC L Chứng minh MI + LK + PL = AH Bài 24: Tam giác ABC vuông A có đường cao AH M, N trung điểm AH, BH Chứng minh CM  AN Bài 25: Tam giác ABC vng A có đường cao AH Trên tia BA lấy E cho A trung điểm BE Gọi I trung điểm AH Chứng minh CI  HE Bài 26: G trực tâm tam giác ABC E, F trung điểm AC, BC Đường trung trực AC BC cắt H Chứng minh BG = 2HE AG = 2HF Bài 27: Tam giác ABC có H trực tâm, O giao điểm ba đường trung trực Kéo dài AO lấy OA’ = OA 1) Tam giác ACA’ tam gisc ABA’ tam giác gì? 2) Chứng minh BH = CA’ 3) Gọi M trung điểm BC Chứng minh H, M, A’ thẳng hàng 4) G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng HG = 2GO Bài 28: Tam giác ABC nhọn có đường cao AH Lấy M, N cho AB, AC đường trung trực HM HN MN cắt AB, AC E F Chứng minh:  1) Tam giác AMN cân 2) HA tia phân giác EHF 3) AH, EC, BF đồng qui Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 16 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp BÀI TỔNG HỢP Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ A C đến đường thẳng BM Chứng minh : BE  BF  AB  Bài 2: Cho xOy 60 Điểm M tùy ý Ox ( M 0 ) N tùy ý Oy ( N 0 ) Chứng minh OM + ON < 2MN Bài 3: Cho tam giác ABC đều, điểm D E di động cạnh BC, AC cho BD = CE Xác định vị trí D, E để DE có độ dài nhỏ Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn, tia Ax nằm góc BAC Từ B C kẻ BH Ck vuông góc với Ax ( H, K thuộc Ax) Gọi M giao điểm Ax BC 1) Chứng minh: BM BH 2) Chứng minh: BC BH  CK 3) Tìm vị trí Ax để BH + CK lớn Bài 5: Cho tam giác ABC nhọn, tia Ax nằm góc BAC Từ B C kẻ BH CK vng góc với Ax( H, K thuộc Ax) Gọi M giao điểm Ax BC Tìm vị trí Ax để BH + CK lớn Bài 6: Cho tam giác ABC, biết góc 90 > góc B > góc C AH đường cao thuộc cạnh BC, M điểm thuộc đoạn HB, N điểm nằm đường thẳng BC không thuộc đoạn thẳng BC Chứng minh rằng: AM < AB < AN Bài 7: Cho tam giác ABC vng A có đường thẳng xy  AC C Tia phân giác Bˆ cắt AC D cắt xy E 1) Tam giác BCE tam giác gì? 2) So sánh CE AB 3) Chứng minh DA < DC 4) So sánh DB với DE Bài 8: Cho tam giác ABC có điểm D bên tam giác cho AD =AB Từ BD cắt AC I 1) So sánh AD AI 2) Chứng minh AB < AC  Bài 9: Cho tam giác ABC có AD đường phân giác BAC ( D thuộc BC) AB < AC Trên cạnh AC lấy AE = AB 1) So sánh tam giác ABD tam giác AED   2) Chứng minh DEC  ADB 3) So sánh ADB Cˆ 4) Chứng minh DB < DC Bài 10: Cho tam giác ABC có gọc nhọn AB < AC Kẻ BD  AC D, CE  AB E BD cắt CE I Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 17 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp  1) So sánh ABD ACE 2) Chứng minh IB < IC 3) So sánh CE.AB BD.AC 4) Chứng minh CE > BD Bài 11: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy D, E cho BD = DE = EC 1) Chứng minh tam giác ADE cân 2) So sánh AB với AD 3) Trên tia đối tia DA lấy DF = DA Chứng minh EF = AB   DAE 4) Chứng minh BAD  Bài 12: Cho tam giác ABC cân A có BAC 20 Ngoài tam giác ABC dựng hai   tam giác ABD tam giác ACE cân A DAB CAE 20 1) Tam giác ADE tam giác gì? 2) So sánh BC với BD CE BC  AB 3) Chứng minh   Bài 13: Cho tam giác ABC cân A có điểm D tam giác cho ADB  ADC  Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B Vẽ CAE với AE = AD   CAE BAD   1) Chứng minh AEC  ADB   2) So sánh CED với CDE 3) Chứng minh DB < DC   Bài 14: Cho tam giác ABC cân A có điểm D tam giác cho ADB  ADC Chứng minh DB < DC Bài 15 : Cho tam giác ABC có AB < AC đường trung tuyến AE Kẻ BO  AE O  1) Chứng minh : AEC  90 2) Chứng minh : BC < 2AC Bài 16: Cho tam giác ABC có AB > AC đường trung tuyến AM Kẻ CI  AM  1) Chứng minh: AMB  90 2) Chứng minh : BC < 2AB Bài 17: Cho tam giác ABC có AB > AC Chứng minh: BC < 2AB Bài 18: Cho tam giác ABC có BC > AC > AB Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác     1) Chứng minh: IAB  IBC IBC  ICB 2) Chứng minh: IC > IB > IA Bài 19: Cho tam giác ABC có BC > AC > AB Gọi I giao điểm ba đường phân giác tam giác Chứng minh: IC > IB > IA Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 18 Bồi dưỡng lực tự học Toán Lớp Bài 20: Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy hai điểm D, E cho BD = DE = EC  1) Chứng minh: ADB  Cˆ AB > AD 2) Trên tia đối tia DA lấy điểm F cho: DF = DA Chứng minh EF = AB   3) Chứng minh: AB > AE BAD  DAE Bài 21: Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy hai điểm D, E cho BD = DE =   EC Chứng minh: AB > AE BAD  DAE Bài 22: Cho tam giác ABC có AB > AC Trên AB lấy F cho AC = AF Gọi AD đường phân giác tam giác ABC Trên tia AD lấy điểm E tùy ý 1) Chứng minh AFD ACD 2) Chứng minh AEC AEF 3) Chứng minh AB – AC = BF Bài 23: Cho tam giác ABC có AB > AC, AD đường phân giác Chứng minh:   ADB  BAC  ACB ADB  BAC  ABC 2 1) ;   2) ADB  ADC Bài 24: Cho tam giác ABC có AB > AC, AD đường phân giác Chứng minh ADB  ADC Bài 25: Cho tam giác ABC có điểm M thuộc tia phân giác góc ngồi C Chứng minh: MA + MB > AC + BC Bài 26: Cho tam giác ABC có AC < AB Trên đường trung trực BC lấy điểm E D giao điểm đường trung trực BC với AB Chứng minh: AE + AC + EC > AD + DC + CA Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học 19 Bồi dưỡng lực tự học Toán Nhóm word hóa tài liệu THCS và tiểu học Lớp 20