Hoàn thiện kỹ năng giải phương trình bậc 3,4
Trang 1ĐỊNH LÍ VIÈTE
Định lí Viète về các nghiệm là định lí thiết lập hệ thức giữa các
nghiệm và các hệ số của một đa thức một biến, nghĩa là của phương trình đại
số tương ứng với đa thức đó
* Đối với phương trình bậc 2:
Tổng các nghiệm của phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0, bằng b
a
− ; tích
các nghiệm bằng c
a
Các hệ thức: x1+x2= b
a
− = - p ; x1.x2= c
a=q
* Định lí đảo của định lí Viète:
Hai số α 1 và α 2, mà tổng bằng – p và tích bằng q, là nghiệm của
phương trình bậc 2: x2+ px+q = 0
* Cả định lí Viète lẫn định lí đảo của nó được tổng quát hóa cho các phương trình đại số bậc tùy ý Chẳng hạn, đối với phương trình đại số bậc n dạng:
xn + a1x n-1 + a2xn-2 +… + an = 0,
hệ thức giữa các hệ số và các nghiệm được xác định như sau:
x1+ x2 + … + xn = - a1
x1.x2 + x1.x3 + … + xn-1 xn = a2
………
x1 x2 x3… xn = (-1)n an
Đặc biệt, với mọi n, tổng tất cả các nghiệm bằng số đối của hệ số thứ hai (tức là bằng hệ số của xn-1), còn tích các nghiệm bằng hạng tử tự do, với
độ chính xác đến dấu của nó
François Viète (Vi-ét, 1540 - 13 tháng 2, 1603, phiên âm: Phrăng-xoa Vi-ét) đã tìm được sự phụ thuộc đó đối với mọi n, tuy nhiên với điều kiện các nghiệm nguyên dương
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
x + + + =bx c (1) Đưa về phương trình bậc ba dạng:
y +py q+ = (2) bằng cách đặt
3
a
y x= +
để giải phương trình (2) ta đặt
Trang 2y u v= +
3
p
u v
− =
Khi đó u và v được xác định bởi các công thức sau:
3
3
Giả sử u1 là một giá trị của 3 2 3
− + + khi đó phần tử v1 tương
ứng với nó là một trong ba giá trị của 3 2 3
− − + sao cho u1.v1=
3
p
− . Gọi ε là một căn nguyên thủy bậc ba của một thì ta có công thức nghiệm của phương trình (2) là:
y1= u1+v1
y2= u2ε+v1ε 2
y3= u1ε 2+v1ε.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a 4x3-36x2+84x- 20=0;
b x3-x-6=0;
c x3+18x+15=0;
d x3-3x2-6x+4=0;
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
0 2
3
4 + ax +bx +cx+ d =
x
Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loại phương trình bậc bốn đặc biệt Đó là phương trình trùng phương Tuy nhiên trong các đề thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa về dạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương
Sau đây xin giới thiệu với các bạn cách giải các phương trình bậc bốn dạng
0
2
3
4 +ax +bx +cx+d =
x trong đó a,b,c,d là các số thực khác không
1 Với các phương trình bậc bốn, trong một số trường hợp cụ thể,
nếu ta có cách nhìn sáng tạo, biết biến đổi hợp lí và sáng tạo, ta có thể
giải được chúng không khó khăn gì
Ví dụ 1 Giải phương trình
Trang 3(x2 −a)2 − 6x2 + 4x+ 2a = 0 (1)
Phương trình (1) được viết thành
x4 − 2ax2 +a2 − 6x2 + 4x+ 2a= 0
hay x4 −(2a+ 6)x2 + 4x+a2 + 2a = 0 (2)
Phương trình (2) là phương trình bậc bốn đối với x mà bạn không được học cách giải
Nhưng ta lại có thể viết phương trình (1) dưới dạng
a2 − 2(x2 − 1)a+x4 − 6x2 + 4x= 0 (3)
Và xem (3) là phương trình bậc hai đối với a
Với cách nhìn này, ta tìm được a theo x:
a x2 1 x4 2x2 1 x4 6x2 4x
2
,
(2 1)
1
1 4 4 1
2
2 2
−
±
−
=
+
−
±
−
=
x x
x x x
Giải các phương trình bậc hai đối với x
x2 + 2x−a− 2 = 0 (4)
Và x2 − 2x−a= 0 (5)
Ta tìm đuợc các nghiệm (1) theo a
Điều kiện để (4) có nghiệm là 3 +a≥ 0 và các nghiệm của (4) là
x1,2 = − 1 ± 3 +a
Điều kiện để (5) có nghiệm là 1 +a≥ 0 và các nghiệm của (5) là
x3,4 = 1 ± 1 +a
Tổng kết
a -3 -1
Phương trình (4) Vô nghiệm 2 nghiệm 2 nghiệm
Phương trình (5) Vô nghiệm Vô nghiệm 2 nghiệm
Phương trình (6) Vô nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm
1 nghiệm 3 nghiệm
Ví dụ 2 Giải phương trình
x4 −x3 − 5x2 + 4x+ 4 = 0 (1)
Phương trình (1) được viết dưới dạng:
0 1 4
1
0 4 4 4
2
2
2 2
2
2 2 3
4
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
x x
x
x x x
x
x
x x x
x
x
Vậy (1) có 4 nghiệm là
2
5 1
; 2
5 1
; 2
;
1
+
=
−
=
=
−
x
Ví dụ 3 Giải phương trình
Trang 432x4 − 48x3 − 10x2 + 21x+ 5 = 0 (1)
Ta viết (1) dưới dạng:
2(16x4 − 24x3 + 9x2) (− 7 4x2 − 3x)+ 5 = 0
Và đặt: y= 4x2 − 3x thì (1) được biến đổi thành
2y2 − 7y+ 5 = 0
Từ đó y1 = 1 và
2
5
2 =
y
Giải tiếp các phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi thayy1 = 1 và
2
5
2 =
y vào y= 4x2 − 3x ):
4x2 − 3x− 1 = 0
Và 8x2 − 6x− 5 = 0
Ta sẽ được các nghiệm của (1)
Ví dụ 4 Giải phương trình
2x4 + 3x3 − 16x2 + 3x+ 2 = 0 (1)
Đây là phương trình bậc bốn (và là phương trình hồi quy khi
2
= ÷ ) Với phương trình này ta giải như sau:
Chia hai vế của phương trình cho x2 (khác không) thì (1) tương đương với
2 2 + 3 − 16 +3+ 22 = 0
x x x
x
Hay 2
2
+ + + − =
Đặt y x 1
x
= + thì 2 2
2
1 2
x
− = + Phương trình (1) được biến đổi thành:
2( y2 − + 2) 3y− = 16 0
hay 2y2 + 3y− 20 0 =
Phương trình này có nghiệm là 1 2
5 4,
2
y = − y =
Vì vậy x 1 4
x
+ = − và 1 5
2
x x
+ = tức là x2 + 4x+ = 1 0 và 2x2 − 5x+ = 2 0
Từ đó ta tìm được các nghiệm của (1) là:
1
2
x = − ± x = x = .
Như vậy, với các ví dụ 2,3 và 4 ta giải được phương trình bậc bốn nhờ
biết biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình để dẫn tới việc giải các phương trình và phương trình quen thuộc.
Trang 52 Có thể giải phương trình bậc bốn nói trên bằng cách phân tích vế
trái của phương trình thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 5 Giải phương trình: x4 + 4x3 − 10x2 + 37x− = 14 0 (1)
Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai x2 +px q+ và x2 + +rx s , trong đó p q r s, , , là các hệ số nguyên chưa xác định
Ta có:
x + x − x + x− = x +px q x+ + +rx s (2)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai vế của đồng nhất thức ta có hệ phương trình sau
4 10 37 14
p r
s q pr
ps qr
qs
+ = −
+ + = −
+ =
= −
Nhờ phương trình cuối cùng của hệ này ta đoán nhận các giá trị nguyên tương ứng có thể lấy được của q và s như sau
q 1 2 7 14 -1 -2 -7 -14
s -14 -7- 2 -1 14 7 2 1
Thử lần lượt các giá trị trên của q thì thấy với q= 2,s= − 7 phương trình
thứ hai và thứ ba của hệ trên cho ta hệ phương trình mới
− + =pr7p= −52r 37
Mà khử pđi thì đuợc 2r2 − 37r+ 35 0 =
Phương trình này cho nghiệm nguyên của r là 1 Nhờ thế ta suy ra p= − 5
Thay các giá trị p q r s, , , vừa tìm được vào (2) thì có:
x4 + 4x3 − 10x2 + 37x− = 14 (x2 − 5x+ 2) (x2 + −x 7)
Phương trình (1) ứng với (x2 − 5x+ 2) (x2 + − =x 7) 0
Giải phương trình tích này ta được các nghiệm sau của (1):
5 17; 1 29
x= ± x= − ±
Lưu ý: Trong một số trường hợp ta không thể dùng phương pháp này vì
nhiều khi việc phân tích trên không được như mong muốn chẳng hạn khi hệ trên không có nghiệm nguyên
3 Sau đây ta sẽ tìm công thức nghiệm của phương trình bậc bốn
f x( ) =x4 +ax3 +bx2 + + =cx d 0 (1)
trong đó a b c d, , , là các số thực.
Dụng ý của ta là phân tích đa thức x4 +ax3 +bx2 + +cx d thành hai nhân tử bậc hai
Trang 6Dùng ẩn phụ h, ta biến đổi như sau:
( ) 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1
f x =x + ax+ h +bx + + −cx d a x − h −hx − ahx
f x =x + ax+ h −h+ a −b x + ah c x− + h −d
Tam thức trong dấu móc vuông có dạng: Ax2 +Bx C+
2
Ax +Bx C+ có thể viết dưới dạng: 2 ( )2
Ax +Bx C+ = Px q+ (3) Khi và chỉ khi B2 − 4AC= 0 hay 4AC B− 2 = 0
Ta có:
2
+ − − − − =
Đây là phương trình bậc ba đối với h nến phải có ít nhất một nghiệm thực. Giả sử nghiệm đó là h= 1
(Ta có thể dùng công thức biểu diễn nghiệm phương trình bậc ba của Cacđanô (nhà toán học người Italia) x3 +px2 + =q 0 (*) qua các hệ số của nó Mọi phương trình bậc ba tổng quát: 3 2
a y +a y +a y a+ = a ≠ đều có thể đưa về dạng (*) nhờ phép biến đổi ẩn số 1
0
3
a
y x
a
= − Công thức được viết
x= − + + + − − + trong đó mỗi căn thức bậc ba ở
vế sau có ba giá trị, nhưng phải chọn các cặp giá trị có tích bằng
3
p
− để cộng với nhau)
Thế thì (2) đuợc viết dưới dạng: ( ) 2 1 1 2 ( )2
f x =x + ax+ t − px q+
Vậy:
0
f x =x + ax+ t px q+ + x + ax+ t px q− + =
Từ đó: 2 1 1
0
x + a p x+ + t q+ =
0
x + a p x− + t q− =
Giải hai phương trình bậc hai này ta đuợc tập hợp nghiệm của (1):
2 1,2
x = − a p+ ± a p+ − q− t
Và
2 3,4
x = − a p− ± a p− + q− t
Trang 7Ví dụ 6 Giải phương trình: x4 − −x3 7x2 + + =x 6 0
Dựa vào công thức (3) ta xác định đuợc h:
2 2
+ − − − − =
tức h3 + 7h2 − 25h− 175 0 =
Ta tìm được một nghiệm thực h của phương trình này là h= 5
Dựa vào (3) và với h t= = 5,a= − 1,,b= − 7,c= 1,d = 6 thì tính đuợc
,
p= q= −
Phương trình đã cho sẽ được diễn đạt theo (4) là:
2
0
0
− + − − =
Thì được tập nghiệm của phương trình đã cho là: {− − 1; 2;3;1}
4 Ta còn có thể giải phương trình bậc bốn bằng cách sử dụng đồ thị.
Thật vậy, để giải phương trình bậc bốn
x4 +ax3 +bx2 + + =cx d 0 (1)
bằng đồ thị, ta hãy đặt x2 = −y mx
Phương trình (1) trở thành: y2 − 2mxy m x+ 2 2 +axy axm− 2 +bx2 + + =cx d 0
Để khử được các số hạng có xy trong phương trình này thì phải có:
2m a 0
− + = và
2
a
m= Vậy nếu đặt
2
x = −y mx và
2
a
m= tức 2
2
a
x = −y x
Thì (1) trở thành: 2 2 2 2 2 2 0
y + x − x +bx + + =cx d (2)
Thay x2 bởi
2
a
y− x và biến đổi thì (2) trở thành
+ + + − + ÷ + − − ÷ + =
Vậy phương trình (1) tương đương với hệ phương trình
Trang 8
4
2 2
,(3) 2
a
= +
+ + + − + ÷ + − − ÷ + =
Do đó hoành độ các giao điểm của parabol, đồ thị (3) và của đường tròn, đồ thị của (4), là nghiệm của phương trình (1) đã cho
Nếu ta đặt 2 ( 0)
2
a
my x= + x m≠ thì khi ấy nghiệm của phương trình (1) lại là hoành độ các giao điểm của hai parabol
1 2
2
a
và
2
2 2
4
a
m y
−
Bây giờ, ta hãy vận dụng các phương pháp trên để giải các phương trình bậc bốn sau: