Skkn toán học thpt (6)

I ĐIỀU KIỆN, HỒN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Hình học phân mơn quan trọng Tốn học, mảng kiến thức hay, khó thường xuất đề thi học sinh giỏi quốc gia, IMO, APMO… Việc học hiểu, vận dụng nội dung kiến thức hình học giúp học sinh xây dựng ý tưởng kỹ thích hợp cho việc tiếp thu kiến thức toán học, tảng đề giải vấn đề học tập , nghiên cứu toán học đại Trước đây, để chứng minh tốn hình học, học sinh thường biết tính tốn so sánh đại lượng hình học góc, độ dài, diện tích, với việc nghiên cứu sử dụng mơ hình, học sinh tập quan sát vận động, tương tác yếu tố, cấu trúc tiềm ẩn hình vẽ để từ rút chứng minh, kết luận sâu sắc, nêu bật toàn diện chất hình vẽ Điều giúp em biết nhìn nhận việc tượng xung quanh sống với vận động biến đổi chúng để nghiên cứu, tìm tịi, khám phá, tạo sở cho đời phát minh sáng tạo tương lai Chính lí quan trọng thế, cần phải trang bị cho em kiến thức số mơ hình từ đến phức tạp Trong mơ hình tứ giác tồn phần chiếm số nhiều ứng dụng việc giải tốn hình học Hơn nữa, kì thi học sinh giỏi số lượng toán liên quan đến việc sử dụng tứ giác toàn phần tính chất liên quan nhiều Các tốn giải phương pháp sử dụng tính chất tứ giác tồn phần kì thi học sinh giỏi thường hay đặc sắc, thể khả sáng tạo học sinh Bằng cách sử dụng tính chất tứ giác tồn phần giúp học sinh thấy chất toán phát tính chất thú vị khác tốn Tuy nhiên khó khăn lớn giáo viên dạy phần để học sinh hứng thú học có khả vận dụng tính chất quen thuộc vào giải tốn hình học, cần trang bị cho em kiến thức gì? Cần tốn nào? Cần phân dạng tập áp dụng liên quan tới tính chất dấu hiệu tốn dùng đến mơ hình tứ giác tồn phần? Với tất khó khăn thuận lợi chọn đề tài “ Tứ giác toàn phần ” để trao Trang đổi đưa số dạng tập đặc trưng giải việc sử dụng tính chất liên quan tới tứ giác II MƠ TẢ GIẢI PHÁP: Mô tả giải pháp trước tạo sáng kiến: Tứ giác toàn phần chuyên đề quan trọng hình học mảng khó chương trình hình học THPT chun Chính kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Tốn quốc tế khu vực, tốn có liên quan nhiều đến tứ giác tồn phần, tính chất hay đề cập thường xem dạng tốn khó, câu phân loại kì thi Các em học sinh bậc Trung học phổ thơng thường gặp số khó khăn tiếp cận khái niệm liên quan đến tứ giác toàn phần, đặc biệt kỹ ứng dụng tính chất tứ giác tồn phần vào việc làm tập Những học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm tứ giác toàn phần thường chưa hiểu tường tận tư tưởng phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt khâu vận dụng tính chất tứ giác tồn phần vào giải tốn tình khác Để hiểu vận dụng tốt lý thuyết vận dụng kiến thức liên quan tới tính chất tứ giác tồn phần vào giải tốn thơng thường học sinh phải có kiến thức tảng hình học tương đối đầy đủ chắn tất lĩnh vực hình học sơ cấp Đó khó khăn lớn giáo viên học sinh giảng dạy học tập chuyên đề liên quan tới tứ giác toàn phần Đề tài “ Tứ giác toàn phần ” chọn để giới thiệu với thầy cô giáo em học sinh kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề chương trình THPT chuyên, đặc biệt học sinh lớp 10, đồng thời thông qua đề tài muốn nhấn mạnh tầm quan trọng tứ giác toàn phần tốn chứng minh song song, vng góc, đồng quy, thẳng hàng số toán khác xuất kì thi Quốc tế, khu vực Olympic quốc gia số nước Mô tả giải pháp sau có sáng kiến: Thơng qua đề tài “ Tứ giác tồn phần ” chúng tơi mong muốn nhận đóng góp ý kiến, trao đổi bạn đồng nghiệp, bậc cha mẹ học sinh em học sinh Chúng mong muốn đề tài góp phần nhỏ để việc dạy phân mơn hình học hiệu giúp em học sinh có khả vận dụng tính chất tứ giác tồn phần vào giải tốn hình học cách tốt Trang A CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa tứ giác tồn phần Cho tứ giác lồi ABCD có cặp cạnh đối không song song, AB cắt CD E AD cắt BC F Hình tạo tứ giác ABCD hai tam giác EBC , FCD gọi tứ giác tồn phần Kí hiệu ABCDEF (hoặc ABCD.EF ) - A , B , C , D , E , F gọi đỉnh tứ giác toàn phần - Các cạnh bao gồm cạnh tứ giác ABCD cạnh ABF ADE - Các đường chéo AC , BD , EF Một số tính chất tứ giác toàn phần 2.1 Điểm Miquel tứ giác toàn phần Cho tứ giác toàn phần ABCDEF Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF , DCF , BCE , ADE đồng quy Điểm đồng quy gọi điểm Miquel tứ giác toàn phần Trang Chứng minh: Gọi M giao điểm hai đường tròn ( ABF ) (CDF ) Ta có: ( MC , MB)  ( MC , MF )  ( MF , MB)  ( DC , DF )  ( AF , AB)  ( DC , AD )  ( AD , AE)  ( DE , AE)  M  ( BCF )  ( EC , EB)(mod  ) Chứng minh tương tự ta có M  ( ADE) Nhận xét: Khi cho tứ giác ABCD nội tiếp M nằm EF Đây tính chất quan trọng tốn có tứ giác nội tiếp Để chứng minh tính chất tiếp theo, ta cần có số kết đường thẳng Simson đường thẳng Steiner cho tam giác Định lý: Cho ABC nội tiếp đường tròn (O) ; M điểm thuộc đường trịn (O) Hình chiếu M xuống BC , AC , AB D, E, F Lấy X , Y , Z điểm đối xứng với M qua D, E, F Khi đó: a) D, E, F điểm thẳng hàng (Đường thẳng Simson) b) Các điểm X , Y , Z trực tâm H thẳng hàng (Đường thẳng Steiner) Chứng minh: Xét hình vẽ Các hình khác chứng minh tương tự a) ABMC tứ giác nội tiếp   180 o  ACM   FBM   ECM   ABM Trang C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an   CME  ( BFM   CEM   90 o )  BMF   BDF  ( BMDF tứ giác nội tiếp) BMF   CDE  ( CMDE tứ giác nội tiếp) CME   CDE   D, F , E thẳng hàng  BDF b) Ta có: MF MD ME     XZ  FD; XY  DE ( định lý Thales đảo) MZ MX MY  X , Y , Z thẳng hàng BH cắt đường tròn (O) điểm thứ hai H B ; CH cắt đường tròn (O) điểm thứ hai HC Theo kết quen thuộc H đối xứng với H B qua AC , H đối xứng với HC qua AB   HAC  ( tính đối xứng trục)  H   BC  HAC  HYC B   HAC   HAYC tứ giác nội tiếp  HBC   YAC   MAC  (tính đối xứng trục)  MH    (tính đối xứng  YHC C  MH H  ZHH C C C   ZHH  trục)  CHY C Mà H , HC , C ba điểm thẳng hàng  Z , H , Y thẳng hàng  X , Y , H , Z thẳng hàng (đpcm) 2.2 Đường trịn Miquel tứ giác tồn phần Điểm Miquel tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF , DCF , BCE , ADE nằm đường tròn - đường tròn Miquel tứ giác toàn phần Chứng minh: Trang Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Gọi O1 , O2 , O3 , O4 tâm  FAB , FCD , EAD ,EBC  Dễ thấy điểm đối xứng với M qua ba cạnh tam giác O1O2O4 F , B, C Do F , B, C thẳng hàng nên M nằm O1O2O4  BC đường thẳng Steiner M ứng với tam giác O1O2O4 Chứng minh tương tự suy O1 , O2 , O3 , O4 , M thuộc đường tròn 2.3 Đường thẳng Simson, Steiner tứ giác toàn phần - Đường thẳng Simson: Chân đường vng góc hạ từ điểm Miquel M lên đường thẳng AB, BC , CD , DA nằm đường thẳng (đường thẳng Simson) Chứng minh: Gọi G , I , J , H chân đường cao kẻ từ M xuống BE, DE, BF , DF Vì M thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác CDF nên đường thẳng qua I , J , H đường thẳng Simson điểm M tam giác FDC , suy I , J , H thẳng hàng Chứng minh tương tự cho điểm lại, ta suy điều phải chứng minh Nhận xét : từ tính chất điểm Miquel , ta có hệ trực tiếp điểm Miquel có chung đường thẳng Simson ứng với tam giác ABF , DCF , BCE, ADE - Đường thẳng Steiner: Trực tâm tam giác ABF , DCF , BCE, ADE nằm đường thẳng, gọi đường thẳng Steiner tứ giác toàn phần Trang Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Chứng minh: Gọi M điểm Miquel tứ giác toàn phần Phép vị tự tâm M , tỉ số biến đường thẳng Simson tam giác BCE, CDF , ADE, ABF thành đường thẳng Steiner tam giác đó, qua trực tâm tam giác Đây hệ tính chất đường thẳng Simson tứ giác toàn phần, trực tâm tam giác ABF , DCF , BCE, ADE nằm đường thẳng Steiner M ứng với tam giác ABF , DCF , BCE, ADE Mà M có chung đường thẳng Simson nên có chung đường thẳng Steiner với tam giác Suy trực tâm tam giác thẳng hàng Nhận xét: Hai đường thẳng Simson Steiner song song với 2.4 Đường thẳng Gauss Trong tứ giác toàn phần ABCDEF Các trung điểm đoạn AC , BD , EF nằm đường thẳng, gọi đường thẳng Gauss – Newton (Đường thẳng Gauss) Chứng minh: Gọi H , I , J , K , L, G trung điểm AC , BD , EF , BE, EC , CB Ta có: Trang 10 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an H , G , L nằm đường thẳng song song với AE I , G , K nằm đường thẳng song song với DE J , L, K nằm đường thẳng song song với BF  HG JL IK AB FC DE      HL JK IG AE FB DC Áp dụng định lý Menelaus tam giác BCE đường thẳng ADF , ta có AB FC DE HG JL IK   1    1 AE FB DC HL JK IG  H , I , J thẳng hàng (định lý Menelaus đảo GKL ) Nhận xét : đường thẳng Gauss vng góc với đường thẳng Steiner Chứng minh: Từ 3, ta có trực tâm H1 , H , H3 , H tam giác CDF, ADE, ABF, BCE thuộc đường thẳng Steiner tứ giác toàn phần ABCDEF Trang 11 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Gọi P, Q chân đường vng góc kẻ từ H1 xuống CD CB; T, S chân đường vng góc kẻ từ H xuống CD CB Gọi I, J, K trung điểm AC, BD, EF (I), (J), (K) đường trịn đường kính AC, BD, EF Dễ thấy H1 P.H1F  H D.H1Q hay PH /K  PH / J 1 H 4T H E  H B.H 4S hay PH /K  PH / J 4 Do s trục đẳng phương (J) (K), suy JK  s Tương tự ta chứng minh s trục đẳng phương chung (I) (J), suy IJ  s Từ có điểm I, J, K thẳng hàng đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng s Hệ : Các đường tròn đường kính ba đường chéo tứ giác tồn phần đồng trục có trục đẳng phương đường thẳng Steiner tứ giác tồn phần 2.5 Định lý Brocard Cho tứ giác toàn phần ABCDEF nội tiếp (O) G giao điểm AC,BD Chứng minh O trực tâm EFG Kẻ Dx tia đối tia DC Gọi H giao điểm thứ hai đường tròn ngoại tiếp AKD BKC Ta có: (OC ; OD )  2( AC ; AD )  2( BC ; BD)  (OC ; OD ) = ( AC ; AD ) + ( BC ; BD ) (mod  ) Trang 12 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn C.33.44.55.54.78.65.5.43.22.2.4 22.Tai lieu Luan 66.55.77.99 van Luan an.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.C.33.44.55.54.78.655.43.22.2.4.55.22 Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an = ( AK ; AD ) + ( BC ; BK ) (mod  ) = ( HK ; HD ) + ( HC ; HK ) (mod  ) = ( HC ; HD ) (mod  ) Suy bốn điểm O , C , D , H đồng viên Chứng minh tương tự: Bốn điểm O , A , B , H đồng viên Vì OH trục đẳng phương đường tròn ngoại tiếp tứ giác OHBA tứ giác OHCD  AB , CD OH đồng quy Mà AB CD cắt E  E , H , O thẳng hàng   ODC  Vì OCD cân O  OCD Ta có: ( HO ; HK ) = ( HO; HD ) + ( HD ; HK ) (mod  ) = (CO ; CD) + ( AD ; AK ) (mod  )   = (CO ; CD) + ( AD ; AC ) (mod  ) = CO; CD  = OD; OC (mod  )   ODx  CO; CD  DO; CO (mod  ) = OCD 2   ODx  ODC = (mod  ) = (mod  )  (mod  )  HO  HK hay FH  OE Chứng minh tương tự: EK  OF Mà FO cắt HE O  O trực tâm FKE (đpcm) 2.6 Định lý Emelyanov: Gọi XYZ tam giác tạo đường chéo AC, BD, EF; M điểm Miquel tứ giác tồn phần ABCDEF Khi M nằm đường thẳng Euler tam giác XYZ Trang 13 Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd 77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77.77.99.44.45.67.22.55.77.C.37.99.44.45.67.22.55.77t@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn