Chuyên đề nhận diện đồ thị

CHỦ ĐỀ 5: NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ I HÀM SỐ BẬC BA: y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ 0) Giới hạn, đạo hàm cực trị Giới hạn: - Với a > lim y = +∞ lim y = −∞ x →+∞ x →−∞ - Với a < lim y = −∞ lim y = +∞ x →+∞ x →−∞ Đạo hàm cực trị: y′ = 3ax + 2bx + c Khi đó: - Hàm số có hai điểm cực trị y′ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆′y′ > −2b   x1 + x2 = 3a hai tọa độ điểm cực trị theo định lý Viet ta có:  x x = c 3a  Gọi A ( x1 ; y1 ) B ( x2 ; y2 ) - Hàm số khơng có cực trị y′ = vơ nghiệm có nghiệm kép ⇔ ∆′y′ ≤ Chú ý: Đối với hàm số bậc ba ta ln có yCĐ > yCT và: - Nếu a > xCĐ < xCT - Nếu a < xCĐ > xCT Bảng biến thiên TH1: Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 x y′ + y − CÑ x +∞ x2 x1 −∞ y′ + y +∞ − Hệ số a > + CT −∞ Hệ số a < +∞ y′ x −∞ +∞ y′ y +∞ y +∞ −∞ −∞ Hệ số a > Hệ số a < − −∞ TH2: Hàm số khơng có điểm cực trị x CĐ +∞ CT −∞ +∞ x2 x1 −∞ Đồ thị hàm số a>0 a xCÑ < xCT xCÑ > xCT ∆′y′ ≤ Phương pháp giải toán Để nhận diện đồ thị hàm số bậc ba: y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ 0) ta làm sau: Ta có y′ = 3ax + 2bx + c Dựa vào lim y để xác định hệ số a : x →+∞ - Nếu a > nhánh cuối đồ thị lên x; y tiến vô - Nếu a < nhánh cuối đồ thị xuống x → +∞ y → −∞ Dựa vào giao điểm với trục tung ( 0; d ) suy tính chất hệ số d Dựa vào số điểm cực trị đồ thị hàm số suy số nghiệm phương trình y′ = Dựa vào vị trí điểm cực trị, tọa độ điểm cực trị điểm mà đề cho thuộc đồ thị hàm số −2b   x1 + x2 = 3a Trong trường hợp đồ thị hàm số có điểm cực trị x1 ; x2 ta có:  (định lý Viet) c x x =  3a c −2b Khi dựa vào x1 + x2 = suy tính chất b; dựa vào x1 x2 = suy tính chất c 3a 3a II CÁC DẠNG TỐN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: [Đề THPT QG năm 2017] Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số đây? A y =x − x + B y = x − x + C y = x + x + D y = − x3 + 3x + Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy Hàm số cho có điểm cực trị nên ta loại đáp án B C Mặt khác lim y = +∞ nên hệ số Chọn A x →+∞ Ví dụ 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục  có bảng biến thiên hình vẽ x y′ y −∞ + +∞ − + +∞ −2 −∞ Hàm số y = f ( x ) hàm số hàm số sau: A y =x − x + B y = − x3 + 3x + C y = − x3 − 3x + Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy lim y = +∞ ⇒ Hệ số a > loại B C x →+∞ Mặt khác hàm số đạt cực trị tại= x 0,= x nên loại D Chọn A D y =x + x + Ví dụ 3: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số đây? A y = x − x + B y =x + x + C y = x − x − D y = − x3 + x + Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm ( 0; d ) ⇒ d > nên ta loại đáp án C lim y = +∞ ⇒ a > nên ta loại đáp án D x →+∞ Mặt khác hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1 , x2 trái dấu nên đáp án ta loại đáp án B Chọn A Ví dụ 4: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y = − x3 + 3x + B y = − x3 + 3x + C y = x − x + D y = − x3 − 3x + Lời giải Hàm số có hệ số a < lim y = −∞ nên loại đáp án C x →+∞ Hàm số có điểm cực trị x1 < < x2 nên y′ = có nghiệm phân biệt trái dấu x = Xét đáp án A y =− x3 + x + ⇒ y′ =−3 x + x =0 ⇔  (loại) x = Xét đáp án D y =− x3 − x + ⇒ y′ =−3 x − x < ( ∀x ∈  ) (loại) Chọn B Ví dụ 5: Đường cong hình bên đồ thị hàm số y = ax3 + bx + cx + d Khẳng định sau đúng? A a > 0, b < 0, c > 0, d > B a > 0, b < 0, c < 0, d > C a > 0, b > 0, c < 0, d > D a > 0, b > 0, c > 0, d < Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y = +∞ ⇒ a > ; đồ thị hàm số qua điểm ( 0; d ) ⇒ d > x →+∞ Hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1 > 0, x2 > −2b  a >0 x1 += x2 > → b0 x = x > → c >  3a Ví dụ 6: Đường cong hình bên đồ thị hàm số y = ax3 + bx + cx + d Khẳng định sau đúng? A a > 0, b < 0, c > 0, d > B a > 0, b < 0, c < 0, d > C a > 0, b > 0, c < 0, d > D a < 0, b > 0, c > 0, d < Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y = +∞ ⇒ a > ; đồ thị hàm số qua điểm ( 0; d ) ⇒ d > x →+∞ Hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1 < 0, x2 > x1 + x2 > −2b  a >0 x + = x > → b x = < → c < x  3a Ví dụ 7: Đường cong hình bên đồ thị hàm số y = ax3 + bx + cx + d Khẳng định sau đúng? A a < 0, b < 0, c > 0, d < B a > 0, b > 0, c < 0, d < C a < 0, b < 0, c < 0, d < D a < 0, b > 0, c < 0, d < Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y = −∞ ⇒ a < ; đồ thị hàm số qua điểm ( 0; d ) ⇒ d < x →+∞ Hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1 > 0, x2 > −2b  a → x1 += x2 b>0   a Mặt khác: y=′ 3ax + 2bx + c ⇒  Chọn D c < a x = > → c < x  3a Ví dụ 8: Đường cong hình bên đồ thị hàm số y = ax3 + bx + cx + d Khẳng định sau đúng? A a > 0, b = 0, c > 0, d > B a < 0, b = 0, c > 0, d > C a < 0, b < 0, c = 0, d > D a < 0, b > 0, c = 0, d > Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y = −∞ ⇒ a < (loại đáp án A) x →+∞ Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm ( 0; d ) ⇒ d >  x1 = Hàm số có điểm cực trị  nên y′ = có nghiệm thỏa mãn  x2 < Ta có: y′ = 3ax + 2bx + c ⇒ y′ ( ) = ⇒ c = ⇒ x2 =  x1 =   x2 < −2b < ⇒ b < Chọn C 3a Ví dụ 9: Cho hàm số y = ax3 + bx + cx + d có điểm cực trị thỏa mãn x1 ∈ ( −1;0 ) , x2 ∈ (1; ) Biết hàm số đồng biến khoảng ( x1 ; x2 ) đồng thời đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm Mệnh đề đúng? A a < 0, b > 0, c < 0, d < B a < 0, b < 0, c > 0, d < C a > 0, b > 0, c > 0, d < D a < 0, b > 0, c > 0, d < Lời giải Dựa vào giả thiết, ta có nhận xét sau: - Đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục tung điểm có tung độ âm ⇒ f ( ) = d c Chọn D ⇒ < ⇒ c >  3a 1 < x2 <  x1.x2 < II HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG: y = ax + bx + c ( a ≠ 0) −2b > ⇒ b > tích hai 3a Giới hạn, đạo hàm cực trị Giới hạn - Với a > lim y = +∞ x →±∞ - Với a < lim y = −∞ x →±∞ x = Đạo hàm cực trị: y′ = 4ax + 2bx = x ( 2ax + b ) nên y′= ⇔  x = − b 2a  2 - Với ab ≥ hàm số có điểm cực trị x = −b 2a - Với ab < hàm số có điểm cực trị x = 0, x = ± Bảng biến thiên x y′ 0 −∞ – +∞ + +∞ y +∞ CT x y′ −∞ y +∞ + CÑ −∞ + +∞ x2 − + −∞ CT a > 0, b < −∞ x x1 − y' +∞ CÑ CT y + CÑ −∞ CT a < 0, b > ab ≥ +∞ x2 − + CÑ Đồ thị hàm số a>0 +∞ a < 0, b ≤ x1 − y' – y a > 0, b ≥ x 0 −∞ ab < −∞ a loại đáp án B D x →+∞ Mặt khác hàm số có điểm cực trị nên loại đáp án C Chọn A Ví dụ 3: Cho hàm số y = − x + bx + c có bảng biến thiên hình vẽ Tính giá trị biểu thức T= b + 2c x y′ −∞ + −1 −2 − 0 + −2 − +∞ y −3 −∞ A T = −4 B T = −∞ C T = −2 Lời giải Do y ( ) =2 ⇔ c =−3 ⇒ y =− x + bx − Mặt khác f (1) =−2 ⇔ −1 + b + c =−2 ⇒ b + c =−1 ⇒ b =2 Suy b + 2c =2 − =−4 Chọn A Ví dụ 4: Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Mệnh đề sau đúng? A a > 0, b < 0, c > B a < 0, b > 0, c < C a < 0, b > 0, c > D a < 0, b < 0, c > Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy lim y = −∞ ⇒ a < ; đồ thị hàm số qua điểm ( 0; d ) ⇒ d > x →∞ a 0 D T = −1 Đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ ( 0; c ) ⇒ c > Chọn C Ví dụ 5: Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A a > 0, b > 0, c < B a > 0, b < 0, c > C a < 0, b > 0, c > D a > 0, b > 0, c > Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy: lim y = +∞ ⇒ a > ; đồ thị hàm số qua điểm ( 0; d ) ⇒ d > x →∞ a 0 Đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ ( 0; c ) ⇒ c > Chọn D Ví dụ 6: Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A a > 0, b > 0, c > 0; b = 4ac B a > 0, b < 0, c > 0; b = 4ac C a > 0, b > 0, c > 0; b > 4ac D a > 0, b < 0, c > 0; b < 4ac Lời giải Ta có: lim y = +∞ nên a > ; đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm ( 0;c ) ⇒ c > x →+∞ Hàm số có ba cực trị suy ab < ⇒ b < Giá trị cực trị hàm số yCT  −b  b2 b2 = y  ± + c = ⇔ b = 4ac Chọn B  = a − 4a 2a  2a  Ví dụ 7: Cho hàm số y = ax + bx + c cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C, D hình vẽ bên Biết AB = BC = CD , mệnh đề sau đúng? A a > 0, b < 0, c > 0,100b = 9ac B a > 0, b > 0, c > 0,9b = 100ac C a > 0, b < 0, c > 0,9b = 100ac D a > 0, b > 0, c > 0,100b = 9ac